§ 35. МОМЕНТ СИЛЫ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ РЫЧАГА
Рычаг - самый простой и не самый древний механизм, который использует человек. Ножницы, кусачки, лопата, дверь, весло, руль и ручка переключения передач в автомобиле - все они действуют по принципу рычага. Уже во время строительства египетских пирамид рычагами поднимали камни весом по десять тонн.
Рычаг. Правило рычага
Рычагом называют стержень, который может вращаться вокруг некоторой неподвижной оси. Ось О, перпендикулярная к плоскости рисунка 35.2. На правое плечо рычага длиной l 2 действует сила F 2 , а на левое плечо рычага длиной l 1 действует сила F 1 Длину плеч рычага l 1 и l 2 измеряют от оси вращения О до соответствующих линий действия силы F 1 и F 2 .
Пусть силы F 1 и F 2 такие, что рычаг не вращается. Опыты показывают, что в таком случае выполняется условие:
F 1 ∙ l 1 = F 2 ∙ l 2 . (35.1)
Перепишем это равенство по-другому:
F 1 /F 2 =l 2 /l 1 . (35.2)
Смысл выражения (35.2) такой: во сколько раз плечо l 2 дольше за плечо l 1 , во столько же раз величина силы F 1 больше величины силы F 2 Это утверждение называют правилом рычага, а отношение F 1 /F 2 - выигрышем в силе.
Получая выигрыш в силе, мы проигрываем в расстоянии, поскольку надо сильно опустить правое плечо, чтобы немного поднять левый конец плеча рычага.
Зато весла лодки закреплены в уключинах так, что мы тянем за короткое плечо рычага, прикладывая значительную силу, но зато получаем выигрыш в скорости на конце длинного плеча (рис. 35.3).
Если силы F 1 и F 2 равны по величине и направлению, то рычаг будет в равновесии при условии, что l 1 = l 2 , то есть ось вращения находится посередине. Конечно, никакого выигрыша в силе в этом случае мы не получим. Руль автомобиля устроено еще интереснее (рис. 35. 4).
Рис. 35.1. Инструмент
Рис. 35.2. Рычаг
Рис. 35.3. Весла дают выигрыш в скорости
Рис. 35.4. Сколько рычагов вы видите на этой фотографии?
Момент силы. Условие равновесия рычага
Плечом силы l называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. В случае (рис. 35.5), когда линия действия силы F образует острый угол с гаечным ключом, плечо силы l меньше за плечо l 2 в случае (рис. 35.6), где сила действует перпендикулярно к ключу.
Рис. 35.5. Плечо l меньше
Произведение силы F на длину плеча l называют моментом силы и обозначают буквой М:
M = F ∙ l. (35.3)
Момент силы измеряется в Н-м. В случае (рис.35.6) гайку вращать легче, потому что момент силы, с которой мы действуем на ключ, больше.
Из соотношения (35.1) следует, что в случае, когда на рычаг действуют две силы (рис.35.2), условие отсутствия вращения рычага заключается в том, щомомент силы, которая пытается его вращать по часовой стрелке (F 2 ∙ l 2), должен равняться моменту силы, которая пытается вращать рычаг против часовой стрелки (F 1 ∙ l 1).
Если на рычаг действуют больше, чем две силы, правило равновесия рычага звучит так: рычаг не вращается вокруг неподвижной оси, если сумма моментов всех сил, вращающие тело по часовой стрелке, равна сумме моментов всех сил, вращающие его против часовой стрелки.
Если моменты сил уравновешены, рычаг вращается в ту сторону, куда его вращает больший по сумме момент.
Пример 35.1
К левому плечу рычага длиной 15 см подвесили груз массой 200 г. На каком расстоянии от оси вращения надо подвесить груз 150 г, чтобы рычаг находился в равновесии?
Рис. 35.6. Плечо l больше
Решение: Момент первого бремени (рис. 35.7) равна: M 1 = m 1 g ∙ l 1 .
Момент второго груза: М 2 = m 2 g ∙ l 2 .
Согласно правила равновесия рычага:
М 1 = М 2 , или m 1 ∙ l 1 = m 2 g ∙ l 2 .
Отсюда: l 2 = .
Вычисления: l 2 = = 20 см.
Ответ: длина правого плеча рычага в положении равновесия составляет 20 см.
Оборудование: легкий и достаточно прочный провод длиной примерно 15 см, скрепки, линейка, нить.
Ход работы. Наденьте на проволоку ниткову петлю. Примерно посередине проволоки туго затяните петлю. Затем проволоку подвесьте на нитке (прикрепив нить, скажем, настольной лампы). Установите равновесие проволоки, передвигая петлю.
Нагрузите рычаг с двух сторон от центра цепочками из разного количества скрепок и добейтесь равновесия (рис. 35.8). Измерьте длины плеч l 1 и l 2 с точностью до 0,1 см. Силу будем измерять в “скрепках”. Запишите результаты в таблицу.
Рис. 35.8. Исследование равновесия рычага
Сравните величины А и В. Сделайте вывод.
Интересно знать.
*Проблемы точного взвешивания.
Рычаг используют в весах, и от того, насколько точно совпадает длина плеч зависит точность взвешивания.
Современные аналитические весы могут взвешивать с точностью до одной десятимиллионной части грамма, то есть в 0,1 мкг (рис. 35.9). Причем есть две разновидности таких весов: одни для взвешивания легких грузов, другие - тяжелых. Первый вид вы можете увидеть в аптеке, ювелирной мастерской или химической лаборатории.
На весах для взвешивания крупных грузов можно взвешивать грузы весом до тонны, но они остаются при этом очень чувствительными. Если ступить на такую тяжесть, а затем выдохнуть воздух из легких, то она среагирует.
Ультрамикровесы измеряют массу с точностью до 5 ∙ 10 -11 г (пять стомільярдних долей грамма!)
При взвешивании на точных весах возникает много проблем:
а) Как не старайся, плечи коромысла все равно не равны.
б) Чаши весов хотя и мало, но различаются по массе.
в) Начиная с определенного порога точности, вес начинает реагировать на виштовхувальну силу воздуха, которая для тел обычных размеров очень мала.
г) При размещении весов в вакууме от этого недостатка можно избавиться, но при взвешивании очень маленьких масс начинают ощущаться удары молекул воздуха, которое полностью откачать невозможно никаким насосом.
Рис. 35.9. Современные аналитические весы
Два способа повысить точность нерівноплечних весов.
1. Метод тарирования. Зрівноважимо груз с помощью сыпучего вещества, например песка. Затем снимем груз и разновесками зрівноважимо песок. Очевидно, что масса гирь равна истинной массе груза.
2. Метод поочередного взвешивания. Взвешиваем груз на чаше весов, которая находится, например, на плече длиной l 1 . Пусть масса грузиков, которая приводит к уравновешивании весов, равен m 2 . Потом взвесим этот же груз в другой чаше, что находится на плече длиной l 2 . Получим несколько другую массу грузиков m 1 . Но в обоих случаях настоящая масса груза равна m. В обоих взвешиваниях выполнялось условие: m ∙ l 1 =m 2 ∙ l 2 и m ∙ l 2 = m 1 ∙ l 1 . Решая систему этих уравнений, получим: m = 
.
Тема для исследования
35.1. Сконструируйте весы, на которых можно взвесить песчинку и опишите проблемы, с которыми вы столкнулись при выполнении этого задания.
Подведем итоги
Плечом силы l называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Моментом силы называют произведение силы на плечо: М = F ∙ l.
Рычаг не вращается, если сумма моментов сил, которые вращают тело по часовой стрелке, равна сумме моментов всех сил, вращающие его против часовой стрелки.
Упражнение 35
1. В каком случае рычаг дает выигрыш в силе?
2. В каком случае легче закрутить гайку: рис. 35.5 или 35.6?
3. Почему дверная ручка максимально удаленная от оси вращения?
4. Почему согнутой в локте рукой можно поднять больший груз, чем вытянутой?
5. Длинный стержень легче удерживать в горизонтальном положении, держа его за середину, чем за конец. Почему?
6. Прикладывая силу 5 Н к плечу рычага длиной 80 см, мы хотим уравновесить силу 20 Н. Какой должна быть длина второго плеча?
7. Предположим, что силы (рис. 35.4) одинаковы по величине. Почему они не уравновешиваются?
8. Предмет можно уравновесить на весах так, чтобы со временем равновесие нарушилось само собой, без внешних воздействий?
9. Есть 9 монет, одна из них - фальшивая. Она тяжелее других. Предложите процедуру с помощью которой фальшивую монету можно однозначно обнаружить за минимальное количество взвешиваний. Гиря для взвешивания отсутствуют.
10. Почему груз, масса которого меньше порога чувствительности весов, не нарушает их равновесия?
11. Зачем точное взвешивание проводят в вакууме?
12. В каком случае точность взвешивания на рычажных весах не будет зависеть от действия силы Архимеда?
13. Как определяют длину плеча рычага?
14. Как вычисляют момент силы?
15. Сформулируйте правила равновесия рычага.
16. Что называют выигрышем в силе в случае рычага?
17. Почему гребец берется за короткое плечо рычага?
18. Сколько рычагов можно увидеть на рис. 35.4?
19. Которые весы называют аналитическими?
20. Объясните смысл формулы (35.2).
3 истории науки. До наших времен дошла история о том, как царь Сиракуз Гієрон приказал построить большой трипалубний корабль - триеру (рис.35.10). Но когда корабль был готов, оказалось, что его не удается сдвинуть с места даже усилиями всех жителей острова. Архимед придумал механизм, состоящий из рычагов и позволил спустить корабль на воду одному человеку. Об этом событии рассказал римский историк Витрувий.
Рычаг представляет собой твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.
На рисунке 149 показано, как рабочий для поднятия груза использует в качестве рычага лом. В первом, случае (а) рабочий с силой F нажимает на конец лома B вниз, во втором (б) - приподнимает конец B.
Рабочему нужно преодолеть вес груза P - силу, направленную вертикально вниз. Он поворачивает для этого лом вокруг оси, проходящей через единственную неподвижную точку лома - точку его опоры 0, Сила F, с которой рабочий действует на рычаг и в том и в другом случае, меньше силы P, т. е. рабочий, как говорят, получает выигрыш в силе. Таким образом, при помощи рычага можно поднять такой тяжелый груз, который без рычага поднять нельзя.
На рисунке 153 изображен рычаг, ось вращения которого 0 (точка опоры) расположена между точками приложения сил A и B, на рисунке 154 -схема этого рычага. Обе силы F1 и F2, действующие на рычаг, направлены в одну сторону.
Кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой действует на рычаг сила, называется плечом силы.
Чтобы найти плечо силы, надо из точки опоры опустить перпендикуляр на линию действия силы. Длина этого перпендикуляра и будет плечом данной силы. На рисунке 154 видно, что 0A - плечо силы F1, 0В - плечо силы F2.
Силы, действующие на рычаг, могут повернуть его вокруг оси в двух направлениях: по ходу или против хода часовой стрелки. Так, сила F1 (рис, 153) вращает рычаг по ходу часовой стрелки, а сила F2 вращает его против хода часовой стрелки.
Условие, при котором рычаг находится в равновесии под действием приложенных к нему сил, можно установить на опыте. При этом надо помнить, что результат действия силы зависит не только от ее числового значения (модуля), но и от того, в какой точке она приложена к телу и как направлена.
К рычагу (рис. 153) по обе стороны от точки опоры подвешивают различные грузы так, чтобы рычаг каждый раз оставался в равновесии. Действующие на рычаг силы равны весам этих грузов. Для каждого случая измеряют модули сил и их плечи. На рисунке 153 показано, что сила 2Н уравновешивает силу 4Н. При этом, как видно из рисунка, плечо меньшей, силы в 2 раза больше плеча большей силы.
На основании таких опытов было установлено условие (правило) равновесия рычага: рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.
Это правило можно записать в виде формулы:
где F1 и F2 силы, действующие на рычаг, l1 и l2 - плечи, этих сил (рис. 154).
Правило равновесия рычага было установлено Архимедом.
Из этого правила видно, что меньшей силой можно уравновесить при помощи рычага большую силу, нужно только подобрать для этого плечи определенной длины. Например, на рисунке 149, а одно плечо рычага примерно в 2 раза больше другого. Значит, прикладывая в точке B силу, например в 400Н, рабочий может поднять камень в 800Н, т. е. массой в 80 кг. Чтобы поднять еще более тяжелый груз, нужно увеличить длину плеча рычага, на которое действует рабочий.
Пример. Какая сила требуется (без учета трения) для поднятия с помощью рычага камня массой 240 кг? Плечо силы 2,4 м, плечо силы тяжести, действующей на камень, 0,6 м.
Вопросы.
- Что представляет собой рычаг?
- Что называют плечом силы?
- Как найти плечо силы?
- Какое действие оказывают на рычаг силы?
- В чем состоит правило равновесия рычага?
- Кто установил правило равновесия рычага?
Задание.
Положите под середину линейки маленькую опору так, чтобы линейка находилась в равновесии. Уравновесьте на полученном рычаге монеты в 5 и,1 к. Измерьте плечи сил и проверьте условие равновесия рычага. Повторите работу, используя монеты в 2 и 3 к.
Определите, пользуясь этим рычагом, массу спичечной коробки.
Примечание. Монеты в 1, 2, 3 и 5 к. имеют массы соответственно 1, 2, 3 и 5 г.
Рычагом называют твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки.
Неподвижную точку называют точкой опоры.
Хорошо знакомый вам пример рычага - качели (рис. 25.1).
Когда двое на качелях уравновешивают друг друга? Начнем с наблюдений. Вы, конечно, замечали, что двое людей на качелях уравновешивают друг друга, если у них примерно одинаковый вес и они находятся примерно на одинаковом расстоянии от точки опоры (рис. 25.1, а).
Рис. 25.1. Условие равновесия качелей: а - люди равного веса уравновешивают друг друга, когда сидят на равных расстояниях от точки опоры; б - люди разного веса уравновешивают друг друга, когда более тяжелый сидит ближе к точке опоры
Если же эти двое сильно отличаются по весу, они уравновешивают друг друга только при условии, что более тяжелый сидит намного ближе к точке опоры (рис. 25.1, б).
Перейдем теперь от наблюдений к опытам: найдем на опыте условия равновесия рычага.
Поставим опыт
Опыт показывает, что грузы равного веса уравновешивают рычаг, если они подвешены на одинаковых расстояниях от точки опоры (рис. 25.2, а).
Если же грузы имеют различный вес, то рычаг находится в равновесии, когда более тяжелый груз находится во столько раз ближе к точке опоры, во сколько раз его вес больше, чем вес легкого груза (рис. 25.2, б, в).
Рис. 25.2. Опыты по нахождению условия равновесия рычага
Условие равновесия рычага. Расстояние от точки опоры до прямой, вдоль которой действует сила, называют плечом этой силы. Обозначим F 1 и F 2 силы, действующие на рычаг со стороны грузов (см. схемы в правой части рис. 25.2). Плечи этих сил обозначим соответственно l 1 и l 2 . Наши опыты показали, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к рычагу силы F 1 и F 2 стремятся вращать его в противоположных направлениях, причем модули сил обратно пропорциональны плечам этих сил:
F 1 /F 2 = l 2 /l 1 .
Это условие равновесия рычага было установлено на опыте Архимедом в 3-м веке до н. э.
Условие равновесия рычага вы сможете изучить на опыте в лабораторной работе № 11.
§ 03-и. Правило равновесия рычага
Ещё до Нашей Эры люди начали применять рычаги в строительном деле. Например, на рисунке вы видите использование рычага для подъёма тяжестей при постройке пирамид в Египте.
Рычагом называют твёрдое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси. Рычаг – это не обязательно длинный и тонкий предмет. Например, рычагом является любое колесо, так как оно может вращаться вокруг оси.
Введём два определения. Линией действия силы назовём прямую, проходящую через вектор силы. Плечом силы назовём кратчайшее расстояние от оси рычага до линии действия силы . Из геометрии вы знаете, что кратчайшее расстояние от точки до прямой – это расстояние по перпендикуляру к прямой.
Проиллюстрируем эти определения. На рисунке слева рычагом является педаль . Ось её вращения проходит через точку О . К педали приложены две силы: F 1 – сила, с которой нога давит на педаль, и F 2 – сила упругости натянутого троса, прикреплённого к педали. Проведя через вектор F 1 линию действия силы (изображена пунктиром), и, построив к ней перпендикуляр из т.О , мы получим отрезок ОА – плечо силы F 1
С силой F 2 дело обстоит проще: линию её действия можно не проводить, так как её вектор расположен более удачно. Построив из т. О перпендикуляр на линию действия силы F 2 , получим отрезок ОВ – плечо силы F 2 .
При помощи рычага можно маленькой силой уравновесить большую силу . Рассмотрим, например, подъём ведра из колодца (см. рис. в § 5-б). Рычагом является колодезный ворот – бревно с прикреплённой к нему изогнутой ручкой . Ось вращения ворота проходит сквозь бревно. Меньшей силой служит сила руки человека, а большей силой – сила, с которой цепь тянет вниз.
Справа показана схема ворота. Вы видите, что плечом большей силы является отрезок OB , а плечом меньшей силы – отрезок OA . Видно, что OA > OB . Другими словами, плечо меньшей силы больше плеча большей силы . Такая закономерность справедлива не только для ворота, но и для любого другого рычага.
Опыты свидетельствуют, что при равновесии рычага плечо меньшей силы во столько раз больше плеча большей, во сколько раз большая сила больше меньшей:
Рассмотрим теперь вторую разновидность рычага – блоки . Они бывают подвижными и неподвижными (см. рис.).
Знаете ли вы, что такое блок? Это такая круглая штуковина с крюком, при помощи которой на стройках поднимают грузы на высоту.
Похоже на рычаг? Едва ли. Однако, блок тоже является простым механизмом. Более того, можно говорить о применимости закона равновесия рычага к блоку. Как это возможно? Давайте разберемся.
Приложение закона равновесия
Блок представляет собой устройство, которое состоит из колеса с желобом, по которому пропускают, трос, веревку или цепь, а также прикрепленной к оси колеса обоймы с крюком. Блок может быть неподвижным и подвижным. У неподвижного блока ось закреплена, и она не двигается при подъеме или опускании груза. Неподвижный блок помогает изменить направление действия силы. Перекинув через такой блок, подвешенный вверху, веревку, мы можем, поднимать груз вверх, сами при этом находясь внизу. Однако выигрыша в силе применение неподвижного блока нам не дает. Мы можем представить блок в виде рычага, вращающегося вокруг неподвижной опоры - оси блока. Тогда радиус блока будет равен плечам, приложенных с двух сторон сил, - силы тяги нашей веревки с грузом с одной стороны и силы тяжести груза с другой. Плечи будут равны, соответственно, выигрыша в силе нет.
Иначе обстоит дело с подвижным блоком. Подвижный блок перемещается вместе с грузом, он как бы лежит на веревке. В таком случае точка опоры в каждый момент времени будет находиться в месте соприкосновения блока с веревкой с одной стороны, воздействие груза будет приложено к центру блока, где он и крепится на оси, а сила тяги будет приложена в месте соприкосновения с веревкой с другой стороны блока. То есть плечом веса тела будет радиус блока, а плечом силы нашей тяги - диаметр. Диаметр, как известно, в два раза больше радиуса, соответственно, плечи различаются по длине в два раза, и выигрыш в силе, получаемый с помощью подвижного блока, равен двум. На практике применяют комбинацию неподвижного блока с подвижным. Закрепленный вверху неподвижный блок не дает выигрыша в силе, однако помогает поднимать груз, стоя внизу. А подвижный блок, перемещаясь вместе с грузом, увеличивает прикладываемую силу вдвое, помогая поднимать большие грузы на высоту.
Золотое правило механики
Возникает вопрос: а дают ли применяемые устройства выигрыш в работе? Работа есть произведение пройденного пути на приложенную силу. Рассмотрим рычаг с плечами, различающимися в два раза по длине плеча. Этот рычаг даст нам выигрыш в силе в два раза, однако, в два раза большее плечо при этом пройдет в два раза больший путь. То есть, несмотря на выигрыш в силе, совершенная работа будет одинакова. В этом и заключается равенство работ при использовании простых механизмов: во сколько раз мы имеем выигрыш в силе, во столько раз, мы проигрываем в расстоянии. Это правило называется золотым правилом механики , и оно применимо абсолютно ко всем простым механизмам. Поэтому простые механизмы облегчают труд человека, но не уменьшают совершаемую им работу. Они просто помогают переводить одни виды усилий в другие, более удобные в конкретной ситуации.