Кратка формулировка на теоремата на Талес. Теорема на Талес. Средна линия на триъгълника

Позволявам f (\displaystyle f)- проективно съответствие между точки от правата l (\displaystyle l)и директно m (\displaystyle m). Тогава наборът от прави ще бъде набор от допирателни към някакво (вероятно изродено) конично сечение.

Позволявам f (\displaystyle f)е проективна трансформация на коника. След това обвивката на набора от линии X f (X) (\displaystyle Xf(X))ще има конична (възможно изродена).

Наречен пропорция. В същото време те казват, че:

x 1 е свързано с x 2, както y 1 е свързано с y 2,

отношението на числата x 1 и x 2 е равно на отношението на числата y 1 и y 2,

числата x 1 и x 2 са свързани по същия начин като числата y 1 и y 2,

или накрая

числата x 1 и y 1 (!) пропорционално на числата x 2 и y 2(тоест числителите са пропорционални на знаменателите).

Числата са включени тук х 1 , х 2 , г 1 и г 2 се наричат ​​членове на пропорцията. Обикновено всички те са положителни, но не е задължително. Нито един от тях обаче не се приема за нула. Това равенство е получило специално име поради причината, че често се среща при решаването на различни математически задачи.

Пропорциите могат да се трансформират чрез прехвърляне на членове "отгоре" на една част от равенството "към дъното" на другата част от равенството и обратно. Тази процедура може лесно да бъде обоснована по следния начин. Да кажем, че искаме да прехвърлим х 1 отляво надясно. За да направите това, умножете двете страни на пропорцията по 1/ х 1:

това е променлива х 1 се е преместил „по диагонал отгоре надолу“. Сега нека преместим променливата "нагоре наляво" г 2. Това се постига чрез умножаване на двете части на това равенство по него. В резултат на това имаме

числители х 1 и г 1 са свързани помежду си по абсолютно същия начин като съответните им знаменатели х 2 и г 2 .

Обобщена теорема на Талес

Теоремата на Талес, разгледана миналия път, допуска следното обобщение.

Нека две произволни линии хи гпресечени от три успоредни линии н 1 , н 2 и н 3 в точки х 1 , х 2 , х 3 и Y 1 , Й 2 , Y 3, както е показано на снимката:

Тогава дължините на отрязаните сегменти образуват следната пропорция

е рационално число, т.е. може да се изрази като несъкратима дроб

където аи b- някои естествени числа, а< b. Нека разделим сегмента х 1 х 3 на bеднакви части. (Докато точката х 2 ще се окаже една от точките на деление.) Нека начертаем прави линии през всяка точка на деление, успоредни на н 1 , н 2 и н 3 . (Една от тези линии ще съвпадне с линията н 2 .)

Според теоремата на Талес (в оригиналната й версия) сегментът Y 1 Y 3 също се разделя от тези редове на bравни части, от които ачасти съставляват сегмент Y 1 Y 2. Следователно,

Q.E.D. От нашата конструкция също следва, че

Използвайки свойствата на пропорциите, тези равенства могат да бъдат пренаписани като една верига:

Така сегментите се отрязват по права линия гпропорционални на съответните отсечки х.

Теоретично също е възможно съотношението на дължините

не е рационално число, тъй като дължините на отсечките | х 1 х 2 | и | х 1 х 3 | по принцип може да се изрази с ирационални числа. На практика обаче това никога не е така. За да определим дължините на отсечките, винаги използваме някакво измервателно устройство (например училищна линийка), което дава само закръглени резултати под формата на последна десетична дроб.

Важно последствие

Нека са дадени несъвпадащи прави хи г, които се пресичат в точка O, и още две успоредни прави н 1 и н 2, които пресичат правата хпо точки х 1 и х 2 и прав гпо точки Y 1 и Y 2, както е показано на фигурата.

Нека въведем обозначението:

х 1 = |ОХ 1 |, х 2 = |ОХ 2 |;

г 1 = |ой 1 |, г 2 = |ой 2 |;

z 1 = |х 1 Y 1 |, z 2 = |х 2 Y 2 |.

Всъщност и двете равенства в тази верига следват директно от обобщената теорема на Талес. За първото равенство това е ясно веднага, но за второто става очевидно, след като преминем през точката Y 1 начертайте права линия м, успоредна на правата х.

Обратното също е вярно. Нека е дадена същата геометрична конструкция и е известно, че

След това линиите н 1 и н 2 са успоредни. Наистина, нека преминем през точката х 1 спомагателна линия, успоредна на линията н 2. По обобщената теорема на Талес тази спомагателна права минава през точката Yедин . Следователно тя съвпада с линията недин . По този начин директният н 1 успоредно на правата н 2 .

Мащаб

Да излезем навън, като вземем лист хартия и молив със себе си. Нека поставим нашия лист хоризонтално и приблизително в средата му поставим точка О. От тази точка мислено ще начертаем лъчи в посока на различни забележителни точки на земята, разположени в радиус от около сто метра - дървета, стълбове, ъгли на сгради и други подобни.

Да предположим, че имаме възможност да измерим разстоянията до тези забележителни точки. Нека например разстоянието до най-близкото дърво е 10 м. Нека мислено се отделим от точката Опо посока на това дърво, сегмент, чиято дължина е 1000 пъти по-малка от даденото разстояние, и маркирайте позицията на втория му край с молив върху хартия. Лесно е да се изчисли, че разстоянието от точката Одо марката ще бъде 10 m / 1000 \u003d 1 cm.

По същия начин, нека разстоянието до някой друг забележителен обект е хедин . Умножете това разстояние по числото к, равно на 1/1000. Мислено се отдръпнете от точката Одължина на сегмента х 2 =kx 1 по лъча, насочен към дадения обект. На мястото на хартията, където се намира вторият край на сегмента, направете маркировка с молив. Нека направим тази процедура с всички забележителни точки на земята, като използваме една и съща стойност на параметъра през цялото време к. Ако някоя от тези точки е свързана помежду си с ограда или стена или нещо подобно, тогава ще начертаем линии между съответните знаци на хартия.

В резултат на нашия лист хартия получаваме карта на района. По силата на теоремата на Талес и свойствата на пропорциите, всички отношения между разстоянията на хартия ще бъдат точно същите като в действителност. Освен това всички линии на хартия ще бъдат успоредни на съответните линии на земята. Този паралелизъм, разбира се, ще бъде нарушен, когато вземем нашия лист някъде другаде, но ъглите между линиите ще останат.

Параметър к, който използвахме в нашата конструкция, се нарича мащабен факторили просто мащаб. Разбира се, не е задължително да е равно на 1/1000. По принцип тя може да приеме всякаква стойност, важно е само тази стойност да остане непроменена през цялото време в процеса на изграждане на карта.

На реални географски карти мащабът е задължително посочен в легендата и обикновено се използва двоеточие вместо частична лента. Например, мащаб 1:100 000 означава, че един сантиметър на картата съответства на 100 000 сантиметра (т.е. един километър) на земята.

Техническите чертежи също винаги се правят, както се казва, в определен мащаб. Мащаб 1:1 означава, че частта е начертана в действителен размер. Мащаб 10:1 показва, че рисунката е направена с десетократно увеличение.

Бележка за успоредните прави

Успоредни сме нарекли такива несъвпадащи прави, ъгълът между които е равен на нула. Отбелязахме, че такива линии не се пресичат никъде. Сега доказваме, че ако правите лежат в една равнина и не са успоредни (т.е. ъгълът между тях е различен от нула), тогава те определено ще се пресичат някъде.

Нека на равнината са дадени две прави линии - хи н. Маркираме произволни точки върху тях - Ои Y- и начертайте трета права линия през тези точки - г. Ако приемем, че ъгълът между линиите хи нне е равно на нула, тогава съседните ъгли не трябва да са равни един на друг. Нека за категоричност α 1 > α 2, както е показано на фигурата.

Да минем през точката Одиректен н 1 успоредна на правата н. Забележете го от страната на ъгъла α 1 произволна точка н 1 и начертайте права през тази точка г 1 успоредна на правата г. В този случай се образува успоредник, обозначен на фигурата със сив фон.

Това означава, че прекият г 1 пресича линията нв някакъв момент, който ще обозначим с н. Направо х, влизайки в "територията" на успоредника в точката Отрябва да е излязло някъде. Тя може да го направи или чрез сегмента YN, или през сегмента н 1 н. В първия случай веднага става очевидно, че линията хпресича линията н. Да разгледаме втория случай. Означете пресечната точка на линията хи изрежете н 1 нпрез хедин . Нека начертаем права линия през него н 2 успоредно на правата н. Тази права разделя успоредника НА 1 Ню Йоркна два нови успоредника и пресича правата гв някакъв момент Yедин . Забележка на права линия хтакава точка х, за които отношението

Да преминем през точките хи Yдиректен. Съгласно следствието от теоремата на Талес, разгледана по-горе, тази права е успоредна на правата н 2, което означава, че образува нулев ъгъл с правата н. Следователно новата линия съвпада с линията н, която по този начин пресича линията хв точката х.

Сега можем да твърдим, че следните три твърдения за несъвпадащи прави аи bлежащи в една и съща равнина означават точно същото нещо:

(1) Ъгъл между прави линии аи bе равно на нула.

(2) Направо аи bне се пресичат никъде.

(3) Направо аи bса успоредни.

В традиционните курсове по геометрия дефиницията за успоредност на линиите е твърдение 2. За тази цел избрахме твърдение 1. В крайна сметка е много по-лесно да се определи ъгълът между две прави, отколкото да се уверите, че те не се пресичат никъде по цялата им дължина безкрайна дължина.

Резюме

1. Равенство на формата х 1 /х 2 = г 1 /г 2 се нарича пропорция. Числителите са пропорционални на знаменателите. Числителят и знаменателят на една дроб са свързани по същия начин като числителят и знаменателят на друга дроб. Еквивалентно равенство: х 1 /г 1 = х 2 /г 2 .

2. Обобщена теорема на Талес. Нека две произволни линии аи bпресечени от три успоредни линии. След това сегментите се отрязват на линията а, са пропорционални на съответните отсечки, отсечени на права линия b.

3. Следствие 1. Нека страните на ъгъл с връх в точка Опресечени от две успоредни линии н 1 и н 2. След това сегментите се отрязват по правите линии н 1 и н 2, са свързани по същия начин като сегментите, нанесени от двете страни на ъгъла от точката Одо съответните точки на пресичане с линиите н 1 и н 2 .

4. Следствие 2. Нека сегментите от страните на ъгъла да бъдат положени от върха по такъв начин, че сегментите от едната страна да са пропорционални на сегментите от другата. Тогава линиите, минаващи през съответните краища на тези сегменти, са успоредни една на друга.

5. Всички съотношения между разстояния и всички ъгли се записват на картата. Съотношението на разстоянието между някои две точки на картата към разстоянието между съответните точки на земята не зависи от избора на точки и се нарича мащаб.

6. Ако ъгълът между две прави линии, лежащи в една и съща равнина, не е равен на нула, тогава такива линии трябва да се пресичат.

Тема на урока

Цели на урока

• Запознайте се с нови определения и си припомнете някои вече изучени.
• Формулирайте и докажете свойствата на квадрат, докажете неговите свойства.
• Научете се да прилагате свойствата на формите при решаване на задачи.
• Развиване - развиване на вниманието на учениците, постоянство, постоянство, логическо мислене, математическа реч.
• Образователни - чрез урок, да се култивира внимателно отношение един към друг, да се внуши способността да се слушат другари, взаимопомощ, независимост.

Цели на урока

• Проверете способността на учениците да решават проблеми.

План на урока

1. История справка.
2. Талес като математик и неговите трудове.
3. Добре е да запомните.

История справка

• Теоремата на Талес все още се използва днес в морската навигация като правилото, че сблъсък между кораби, движещи се с постоянна скорост, е неизбежен, ако корабите продължават да се насочват един към друг.

• Извън рускоезичната литература, теоремата на Талес понякога се нарича друга теорема на планиметрията, а именно твърдението, че вписан ъгъл, базиран на диаметъра на кръг, е прав. Откриването на тази теорема наистина се приписва на Талес, както е видно от Прокъл.

• Талес разбира основите на геометрията в Египет.

Открития и заслуги на неговия автор

Знаете ли, че Талес от Милет е един от седемте най-известни мъдреци на Гърция по това време. Основава Йонийската школа. Идеята, насърчавана от Талес в тази школа, беше единството на всички неща. Мъдрецът вярвал, че има един единствен източник, от който произлизат всички неща.

Голямата заслуга на Талес от Милет е създаването на научна геометрия. Това велико учение успя да създаде дедуктивна геометрия от египетското изкуство на измерването, чиято основа е обща основа.

В допълнение към огромните си познания по геометрия, Талес също е бил добре запознат с астрономията. Ем беше първият, който предсказа пълно слънчево затъмнение. Но това не се е случило в съвременния свят, а през далечната 585 г., дори преди нашата ера.

Талес от Милет беше човекът, който разбра, че северът може да бъде точно определен от съзвездието Малка мечка. Но това не беше последното му откритие, тъй като той успя да определи точно продължителността на годината, да я раздели на триста шестдесет и пет дни и също така да определи времето на равноденствията.

Талес всъщност е всестранно развит и мъдър човек. Освен че се е славил като отличен математик, физик и астроном, той е бил в състояние и като истински метеоролог да предскаже доста точно реколтата от маслини.

Но най-забележителното е, че Талес никога не е ограничавал знанията си само до научната и теоретичната област, а винаги се е опитвал да консолидира доказателствата на своите теории на практика. И най-интересното е, че великият мъдрец не се е фокусирал върху нито една област от своето познание, интересът му е бил в различни посоки.

Още тогава името на Талес става нарицателно за мъдреца. Неговото значение и значение за Гърция е толкова голямо, колкото името на Ломоносов за Русия. Разбира се, неговата мъдрост може да се тълкува по различни начини. Но определено можем да кажем, че той се отличаваше както с изобретателност, така и с практическа изобретателност и до известна степен с необвързаност.

Талес от Милет беше отличен математик, философ, астроном, обичаше да пътува, беше търговец и предприемач, занимаваше се с търговия, а също така беше добър инженер, дипломат, прорицател и активно участваше в политическия живот.

Той дори успя да определи височината на пирамидата с помощта на жезъл и сянка. И беше така. Един хубав слънчев ден Талес поставил тоягата си на границата, където свършвала сянката на пирамидата. След това изчака дължината на сянката на тоягата му да се изравни с височината му и измери дължината на сянката на пирамидата. И така, изглежда, че Талес просто е определил височината на пирамидата и е доказал, че дължината на една сянка е свързана с дължината на другата сянка, точно както височината на пирамидата е свързана с височината на тоягата. Това поразило и самия фараон Амасис.

Благодарение на Талес цялото известно по онова време знание е пренесено в областта на научния интерес. Той успя да доведе резултатите до ниво, подходящо за научна консумация, подчертавайки определен набор от концепции. И може би с помощта на Талес започва последващото развитие на античната философия.

Теоремата на Талес играе важна роля в математиката. Тя е била известна не само в древен Египет и Вавилон, но и в други страни и е в основата на развитието на математиката. Да, и в ежедневието, при изграждането на сгради, конструкции, пътища и т.н., не може да се мине без теоремата на Талес.

Теоремата на Талес в културата

Теоремата на Талес стана известна не само в математиката, но беше въведена и в културата. Веднъж аржентинската музикална група Les Luthiers (испанец) представи песен на публиката, която посвети на известна теорема. Членовете на Les Luthiers предоставиха доказателство за директната теорема за пропорционалните отсечки в своя видеоклип специално за тази песен.

Въпроси

1. Какви прави се наричат ​​успоредни?
2. Къде се прилага на практика теоремата на Талес?
3. За какво се отнася теоремата на Талес?

Списък на използваните източници

1. Енциклопедия за деца. T.11. Математика / Главен редактор М. Д. Аксенова.-М .: Аванта +, 2001.
2. “Единен държавен изпит 2006 г. Математика. Образователни и обучителни материали за подготовка на студенти / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина "Геометрия, 7 - 9: учебник за образователни институции"

Тази гробница е малка, но славата над нея е огромна.
В него пред вас е скрит многоумният Талес.

Надпис върху гробницата на Талес от Милет

Представете си такава картина. 600 г. пр.н.е Египет. Пред вас е огромна египетска пирамида. За да изненадате фараона и да останете сред любимците му, трябва да измерите височината на тази пирамида. Нямате… нищо на ваше разположение. Можете да изпаднете в отчаяние или можете да направите каквото Талес от Милет: използвайте теоремата за подобие на триъгълник. Да, оказва се, че всичко е съвсем просто. Талес от Милет изчака, докато дължината на сянката му и височината му съвпаднат, и след това, използвайки теоремата за подобие на триъгълника, намери дължината на сянката на пирамидата, която съответно беше равна на сянката, хвърлена от пирамидата.

Кой е това Талес от Милет? Човек, придобил слава като един от „седемте мъдреци“ на древността? Талес от Милет е древногръцки философ, който превъзхожда астрономията, както и математиката и физиката. Годините от живота му са установени само приблизително: 625-645 пр.н.е

Сред доказателствата за познанията на Талес по астрономия е следният пример. 28 май 585 пр.н.епредсказанието за слънчево затъмнение от Милет помогна да се прекрати войната между Лидия и Мидия, която вече продължи 6 години. Това явление толкова изплаши мидийците, че те се съгласиха на неблагоприятни условия за сключване на мир с лидийците.

Легендата, която характеризира Талес като изобретателен човек, е доста широко известна. Талес често чувал неласкави коментари за своята бедност. Веднъж той реши да докаже, че философите могат, ако искат, да живеят в изобилие. Дори през зимата Талес, наблюдавайки звездите, определи, че през лятото ще има добра реколта от маслини. След това наел преси за масло в Милет и Хиос. Струва му се доста евтино, тъй като през зимата практически няма търсене за тях. Когато маслините дадоха богата реколта, Талес започна да дава под наем пресите си за масло. Голяма сума пари, събрана по този метод, се смяташе за доказателство, че философите могат да печелят с ума си, но тяхното призвание е по-високо от подобни земни проблеми. Тази легенда, между другото, е повторена от самия Аристотел.

Що се отнася до геометрията, много от неговите "открития" са заимствани от египтяните. И все пак този трансфер на знания в Гърция се смята за една от основните заслуги на Талес от Милет.

Постиженията на Талес са формулировка и доказателство за следното теореми:

• вертикалните ъгли са равни;
• равни триъгълници са тези, при които страната и двата съседни ъгъла са съответно равни;
• ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни;
• диаметърът разполовява кръга;
• Вписан ъгъл, базиран на диаметър, е прав ъгъл.

Друга теорема е кръстена на Талес, която е полезна при решаването на геометрични проблеми. Има нейната обобщена и частна форма, обратната теорема, формулировките също могат да се различават леко в зависимост от източника, но значението на всички остава същото. Нека разгледаме тази теорема.

Ако успоредни прави пресичат страните на ъгъл и отрязват равни сегменти от едната му страна, тогава те отрязват равни сегменти от другата му страна.

Да кажем, че точките A 1, A 2, A 3 са точките на пресичане на успоредни прави от едната страна на ъгъла, а B 1, B 2, B 3 са точките на пресичане на успоредни прави с другата страна на ъгъла . Необходимо е да се докаже, че ако A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, тогава B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Начертайте права през точка B 2 успоредна на права A 1 A 2 . Да обозначим нова права С 1 С 2 . Да разгледаме успоредниците A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 .

Свойствата на успоредника ни позволяват да твърдим, че A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . И тъй като според нашето условие A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, тогава C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

И накрая, разгледайте триъгълниците ∆ C 1 B 2 B 1 и ∆ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано по-горе).

И това означава, че Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 ще бъдат равни според втория знак за равенство на триъгълниците (по протежение на страната и съседните ъгли).