Прав, тъп, остър и развит ъгъл

Код на блога:

ЪГЪЛ (плосък), геометрична фигура, образувана от два лъча (страни на ъгъл), излизащи от една точка (върха на ъгъл). Всеки ъгъл с връх в центъра на някаква окръжност (централен ъгъл) определя дъга AB върху окръжността, ограничена от точките на пресичане на окръжността със страните на ъгъла. Това ви позволява да намалите измерването на ъгъла до измерването на съответните дъги. Ъглите се измерват в градуси или радиани.

Ъгълът, образуван от продължението на страните на даден ъгъл, се нарича вертикален на дадения; ъгълът, образуван от една от страните на дадения ъгъл и продължението на другата страна, съседна на него. Ъгълът на две криви, пресичащи се в дадена точка, е ъгълът, образуван от допирателните към кривите в тази точка.

Как ще изглежда:

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Символът π по правило не се използва за тази цел. Буквите ω и Ω често се използват за означаване на плътни ъгли (виж по-долу).

Също така е обичайно да се представя ъгъл със символи с три точки, например ∠ A B C . (\displaystyle \angle ABC.)В такъв запис B (\displaystyle B)- отгоре и A (\displaystyle A)и C (\displaystyle C)са точки от различни страни на ъгъла. Във връзка с избора в математиката на посоката на броене на ъгли обратно на часовниковата стрелка, обичайно е точките, разположени отстрани, да се изброяват в обозначението на ъгъла също обратно на часовниковата стрелка. Тази конвенция позволява недвусмисленост при разграничаването на два плоски ъгъла с общи страни, но различни вътрешни области. В случаите, когато изборът на вътрешната зона на плосък ъгъл е ясен от контекста или е посочен по друг начин, тази конвенция може да бъде нарушена. См. .

По-рядко се използва обозначението на прави линии, образуващи страните на ъгъл. Например, ∠ (b c) (\displaystyle \angle (bc))- тук се приема, че имаме предвид вътрешния ъгъл на триъгълника ∠ B A C (\displaystyle \angle BAC), α , което трябва да се означи ∠ (c b) (\displaystyle \angle (cb)).

И така, за фигурата вдясно, записите γ, ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB)и ∠ (b a) (\displaystyle \angle (ba))означават същия ъгъл.

Понякога малките латински букви се използват за означаване на ъгли ( а, б, в,...) и числа.

На чертежите ъглите са маркирани с малки единични, двойни или тройни скоби, минаващи по вътрешната страна на ъгъла, центрирани във върха на ъгъла. Равенството на ъглите може да бъде отбелязано чрез еднакво множество на арките или чрез същия брой напречни щрихи върху арката. Ако е необходимо да се посочи посоката на отчитане на ъгъла, тя се отбелязва със стрелка на лъка. Правите ъгли се отбелязват не с арки, а с два свързани равни сегмента, подредени по такъв начин, че заедно със страните образуват малък квадрат, един от върховете на който съвпада с върха на ъгъла.

Ъглова мярка

Ъглова мярка, която позволява сравняване на равнинни ъгли, може да бъде въведена по следния начин. Двата плоски ъгъла се наричат равен(или конгруентни), ако могат да се комбинират така, че върховете им и двете им страни да съвпадат. От всеки лъч на равнината в дадена посока можете да отделите единичен ъгъл, равен на дадения. Ако един ъгъл може да бъде поставен изцяло в друг ъгъл по такъв начин, че върхът и една от страните на тези ъгли да съвпадат, тогава първият ъгъл е по-малък от втория. Да се обадим съседендва ъгъла, разположени така, че страната на единия да съвпада със страната на другия (и следователно върховете съвпадат), но техните вътрешни области не се пресичат. Ъгъл, съставен от несъвпадащи страни на два съседни ъгъла, се нарича сгънатиот тези ъгли. На всеки ъгъл може да бъде присвоено число (ъглова мярка) по такъв начин, че:

равните ъгли съответстват на еднаква ъглова мярка;
по-малък ъгъл съответства на по-малка ъглова мярка;
при ъгъл, чиито страни съвпадат (нулев ъгъл), ъгловата мярка е нула (същото важи и за ъгъла между успоредни прави);
всеки ненулев ъгъл има определена ъглова мярка, по-голяма от нула;
(адитивност) ъгловата мярка на ъгъл е равна на сбора от ъгловите мерки на ъглите, на които той е разделен от всеки лъч, минаващ между страните му.

В някои нотационни системи, ако има нужда да се прави разлика между ъгъл и неговата мярка, нотацията се използва за ъгъл (геометрична фигура) ∠ A B C , (\displaystyle \angle ABC,)и за стойността на мярката за измерване на този ъгъл - обозначението A B C ^ . (\displaystyle (\widehat (ABC)).)

Измерването на ъглите в градуси датира от Древен Вавилон, където е използвана шестдесетичната бройна система, следи от която са запазени при нас в разделянето на времето и ъглите.

1 оборот = 2π радиана = 360° = 400 градуса.

В морската терминология ъглите се измерват в точки. 1 румб е равно на 1 ⁄ 32 от пълния кръг (360 градуса) на компаса, т.е. 11,25 градуса или 11°15′.

В някои контексти, като идентифициране на точка в полярни координати или описване на ориентацията на обект в две измерения спрямо основната му ориентация, ъгли, които се различават с цял брой пълни обороти, са ефективно еквивалентни. Например, в такива случаи ъглите 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000) могат да се считат за еквивалентни. В други контексти, като идентифициране на точка върху спирална крива или описване на кумулативното въртене на обект в две измерения относно първоначалната му ориентация, ъгли, които се различават с ненулев цяло число на пълните обороти, не са еквивалентни.

Някои плоски ъгли имат специални имена. В допълнение към горните мерни единици (радиан, румб, градус и т.н.), те включват:

квадрант (прав ъгъл, 1 ⁄ 4 кръгове);
секстант ( 1 ⁄ 6 кръгове);
октант ( 1 ⁄ 8 кръгове; освен това в стереометрията октантът е тристенен ъгъл, образуван от три взаимно перпендикулярни равнини),

Посока на ъглите

Стрелката показва посоката на броене на ъглите

Плътен ъгъл

Обобщение на плоския ъгъл към стереометрията е телесен ъгъл - част от пространството, която е обединението на всички лъчи, излизащи от дадена точка ( върховеъгъл) и пресичане на някаква повърхност (която се нарича повърхност, затяганедаден телесен ъгъл).

Телесните ъгли се измерват в стерадиани (една от основните единици на SI), както и в извънсистемни единици - в части от пълна сфера (т.е. пълен телесен ъгъл от 4π стерадиана), в квадратни градуси, квадратни минути и квадратни секунди.

Твърди ъгли са по-специално следните геометрични тела:

двустенен ъгъл - част от пространството, ограничено от две пресичащи се равнини;
тристенен ъгъл - част от пространството, ограничено от три пресичащи се равнини;
полиедърен ъгъл - част от пространството, ограничено от няколко равнини, пресичащи се в една точка.

Двустенният ъгъл може да се характеризира както с линеен ъгъл (ъгълът между равнините, които го образуват), така и с плътен ъгъл (всяка точка от него може да бъде избрана като връх). ръб, край- директното пресичане на лицата му). Ако линейният ъгъл на двустенен ъгъл (в радиани) е φ, тогава неговият телесен ъгъл (в стерадиани) е 2φ.

Ъгъл между кривите

Както в планиметрията, така и в плътната геометрия, както и в редица други геометрии, е възможно да се определи ъгълът между гладките криви в пресечната точка: по дефиниция неговата стойност е равна на ъгъла между допирателните към кривите при пресечна точка.

Ъглово и точково произведение

Концепцията за ъгъл може да бъде дефинирана за линейни пространства с произволна природа (и произволни, включително безкрайно измерение), върху които аксиоматично се въвежда положително определено скаларно произведение (x, y) (\displaystyle (x,y))между два пространствени елемента x (\displaystyle x)и y . (\displaystyle y.)Скаларното произведение също ни позволява да дефинираме така наречената норма (дължина) на елемент като корен квадратен от произведението на елемента и самия него | | x | | = (x , x) . (\displaystyle ||x||=(\sqrt ((x,x))).)От аксиомите на скаларното произведение следва неравенството на Коши-Буняковски (Коши-Шварц) за скаларното произведение: | (x, y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , (\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,)откъдето следва, че стойността приема стойности от −1 до 1, а екстремните стойности се достигат тогава и само ако елементите са пропорционални (колинеарни) един на друг (геометрично погледнато, посоките им съвпадат или са противоположни). Това ни позволява да интерпретираме връзката (x, y) | | x | | ⋅ | | y | | (\displaystyle (\frac ((x,y))(||x||\cdot ||y||)))като косинус на ъгъла между елементите x (\displaystyle x)и y . (\displaystyle y.)По-специално, елементите се считат за ортогонални, ако точковият продукт (или косинусът на ъгъл) е нула.

По-специално, може да се въведе концепцията за ъгъла между непрекъснатите на някакъв интервал [ a , b ] (\displaystyle )функции, ако въведем стандартното скаларно произведение (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , (\displaystyle (f,g)=\int _(a)^(b)f(x)g(x)dx,)тогава нормите на функциите се определят като | | е | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . (\displaystyle ||f||^(2)=\int _(a)^(b)f^(2)(x)dx.)Тогава косинусът на ъгъла се определя по стандартен начин като съотношението на скаларното произведение на функциите към техните норми. Функциите също могат да бъдат наречени ортогонални, ако техният точков продукт (интегралът на техния продукт) е нула.

В риманова геометрия по подобен начин може да се дефинира ъгълът между допирателните вектори с помощта на метричния тензор g i j. (\displaystyle g_(ij).)Точково произведение на допирателни вектори u (\displaystyle u)и v (\displaystyle v)в тензорна нотация ще изглежда така: (u , v) = g i j u i v j , (\displaystyle (u,v)=g_(ij)u^(i)v^(j),)съответно нормите на векторите - | | u | | = | g i j u i u j | (\displaystyle ||u||=(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|)))и | | v | | = | g i j v i v j | . (\displaystyle ||v||=(\sqrt (|g_(ij)v^(i)v^(j)|)).)Следователно косинусът на ъгъла ще се определя от стандартната формула за съотношението на посочения скаларен продукт към нормите на векторите: cos ⁡ θ = (u, v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . (\displaystyle \cos \theta =(\frac ((u,v))(||u||\cdot ||v||))=(\frac (g_(ij)u^(i)v^( j))(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|\cdot |g_(ij)v^(i)v^(j)|))).)

Ъгъл в метричното пространство

Има и редица произведения, в които се въвежда понятието ъгъл между елементите на метрично пространство.

Позволявам (X , ρ) (\displaystyle (X,\rho))- метрично пространство. Нека по-нататък x, y, z (\displaystyle x,y,z)- елементи на това пространство.

К. Менгер въведе понятието ъгъл между върховете y (\displaystyle y)и z (\displaystyle z)с върха в точката x (\displaystyle x) като неотрицателно число y x z ^ (\displaystyle (\widehat(yxz))), което отговаря на три аксиоми:

През 1932 г. Уилсън разглежда следния израз като ъгъл:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) (\displaystyle (\widehat ( yxz))_(w)=\arccos (\frac (\rho ^(2)(x,y)+\rho ^(2)(x,z)-\rho ^(2)(y,z)) (2\rho (x,y)\rho (x,z))))

Лесно се вижда, че въведеният израз винаги има смисъл и удовлетворява трите аксиоми на Менгер.

Освен това ъгълът на Уилсън има свойството, че в евклидовото пространство е еквивалентен на ъгъла между елементите y − x (\displaystyle y-x)и z−x (\displaystyle z-x)в смисъла на евклидовото пространство.

Измерване на ъгъл

Един от най-разпространените инструменти за конструиране и измерване на ъгли е транспортир (както и линийка - виж по-долу); като правило се използва за конструиране на ъгъл с определена величина. Разработени са много инструменти за повече или по-малко точно измерване на ъгли:

гониометър - уред за лабораторно измерване на ъгли;
kipregel - геодезичен гониометричен инструмент.

Ъглово разстояние(или просто ъгълът) между два обекта за наблюдателя се нарича мярката на ъгъла, на върха на който се намира наблюдателят, а обектите лежат отстрани. Ръката може да се използва за груба оценка на ъглите между два отдалечени обекта. На една ръка разстояние ъглово разстояние от 1 градус (1°) съответства на ширината на малкия пръст (вижте също по-долу; ъгловата ширина на средния пръст на една ръка разстояние е около 2°), ъгъл от 10 градуса - ширина на стиснат юмрук, разположен хоризонтално (или дланта на диаметъра), ъгъл от 20 градуса (или около 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - разстоянието между върховете на разведените палец и показалец (

В тази статия ще анализираме изчерпателно една от основните геометрични форми - ъгълът. Нека започнем с помощни понятия и определения, които ще ни доведат до дефиницията на ъгъл. След това даваме приетите методи за обозначаване на ъгли. След това ще разгледаме подробно процеса на измерване на ъгли. В заключение ще покажем как можете да маркирате ъглите в чертежа. Предоставихме цялата теория с необходимите рисунки и графични илюстрации за по-добро запаметяване на материала.

Навигация в страницата.

Определение на ъгъл.

Ъгълът е една от най-важните фигури в геометрията. Дефиницията на ъгъл се дава чрез дефиницията на лъч. От своя страна идеята за лъч не може да се получи без познаване на такива геометрични фигури като точка, права линия и равнина. Ето защо, преди да се запознаете с дефиницията на ъгъла, препоръчваме да опресните теорията от раздели и.

И така, ще започнем от понятията точка, права линия в равнина и равнина.

Нека първо дадем определението за лъч.

Нека ни бъде дадена някаква права линия на равнината. Нека го обозначим с буквата а. Нека O е някаква точка от правата a . Точката O разделя правата a на две части. Всяка от тези части заедно с точката O се нарича лъч, а точката O се нарича началото на лъча. Можете също да чуете, че лъчът се нарича полудиректен.

За краткост и удобство е въведено следното обозначение за лъчите: лъчът се обозначава или с малка латинска буква (например лъч p или лъч k), или с две големи латински букви, първата от които съответства на началото на лъча, а втората обозначава някаква точка от този лъч (например лъч OA или лъч CD). Нека покажем изображението и обозначението на лъчите на чертежа.

Сега можем да дадем първото определение на ъгъл.

Определение.

Ъгъл- това е плоска геометрична фигура (т.е. лежаща изцяло в определена равнина), която се състои от два несъответстващи лъча с общ произход. Всеки от лъчите се нарича ъглова страна, общото начало на страните на ъгъла се нарича горен ъгъл.

Възможно е страните на ъгъл да образуват права линия. Този ъгъл има свое име.

Определение.

Ако двете страни на ъгъл лежат на една права, тогава ъгълът се нарича разгърнати.

Предлагаме на вашето внимание графична илюстрация на развит ъгъл.

Символът за ъгъл се използва за обозначаване на ъгъл. Ако страните на ъгъла са посочени с малки латински букви (например, едната страна на ъгъла е k, а другата е h), тогава за обозначаване на този ъгъл след знака на ъгъла се изписват букви, съответстващи на страните ред, като редът на записване няма значение (тоест или). Ако страните на ъгъла са обозначени с две големи латински букви (например едната страна на ъгъла OA и втората страна на ъгъла OB), тогава ъгълът се обозначава по следния начин: след знака на ъгъла има три букви написани, които участват в обозначаването на страните на ъгъла, и буквата, съответстваща на върха на ъгъла, разположен в средата (в нашия случай ъгълът ще бъде обозначен като или ). Ако върхът на даден ъгъл не е върхът на друг ъгъл, тогава такъв ъгъл може да бъде обозначен с буквата, съответстваща на върха на ъгъла (например ). Понякога можете да видите, че ъглите в чертежите са маркирани с цифри (1, 2 и т.н.), тези ъгли са обозначени като и т.н. За по-голяма яснота представяме фигура, на която са показани и обозначени ъглите.

Всеки ъгъл разделя равнината на две части. Освен това, ако ъгълът не е развит, тогава се нарича една част от равнината зона на вътрешния ъгъл, и другият външна ъглова зона. Следното изображение обяснява коя част от равнината съответства на вътрешната страна на ъгъла и коя на външната.

Всяка от двете части, на които сплесканият ъгъл разделя равнина, може да се счита за вътрешна област на сплескания ъгъл.

Дефиницията на вътрешността на ъгъл ни води до второто определение на ъгъл.

Определение.

Ъгъл- това е геометрична фигура, която е съставена от два несъответстващи лъча с общ произход и съответната вътрешна област на ъгъла.

Трябва да се отбележи, че втората дефиниция на ъгъла е по-строга от първата, тъй като съдържа повече условия. Въпреки това, не трябва да се отхвърля първото определение на ъгъла, нито трябва да се разглеждат отделно първото и второто определение на ъгъла. Нека обясним тази точка. Когато става въпрос за ъгъл като геометрична фигура, тогава под ъгъл се разбира фигура, съставена от два лъча с общ произход. Ако стане необходимо да се извършват някакви действия с този ъгъл (например измерване на ъгъл), тогава ъгълът вече трябва да се разбира като два лъча с общ произход и вътрешна област (в противен случай би възникнала двойна ситуация поради наличието на вътрешна и външна област на ъгъла).

Нека дадем повече дефиниции на съседни и вертикални ъгли.

Определение.

Съседни ъгли- това са два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват прав ъгъл.

От определението следва, че съседните ъгли се допълват до прав ъгъл.

Определение.

Вертикални ъглиса два ъгъла, в които страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия.

Фигурата показва вертикални ъгли.

Очевидно две пресичащи се прави образуват четири двойки съседни ъгли и две двойки вертикални ъгли.

Сравнение на ъгли.

В този параграф на статията ще разгледаме определенията за равни и неравни ъгли, а също и в случай на неравни ъгли ще обясним кой ъгъл се счита за голям и кой за по-малък.

Спомнете си, че две геометрични фигури се наричат равни, ако могат да бъдат насложени.

Нека са ни дадени два ъгъла. Нека дадем разсъждения, които ще ни помогнат да получим отговор на въпроса: „Равни ли са тези два ъгъла или не“?

Очевидно винаги можем да съпоставим върховете на два ъгъла, както и едната страна на първия ъгъл с която и да е от страните на втория ъгъл. Нека комбинираме страната на първия ъгъл с тази страна на втория ъгъл, така че останалите страни на ъглите да са от същата страна на правата линия, на която лежат комбинираните страни на ъглите. След това, ако другите две страни на ъглите са подравнени, тогава ъглите се извикват равен.

Ако другите две страни на ъглите не съвпадат, тогава се наричат ъглите неравен, и по-малъкъгълът се счита за част от друг ( голяме ъгълът, който напълно съдържа друг ъгъл).

Очевидно двата прави ъгъла са равни. Също така е очевидно, че развитият ъгъл е по-голям от всеки неразвит ъгъл.

Измерване на ъгъл.

Измерването на ъгъл се основава на сравняване на измерения ъгъл с ъгъла, взет за мерна единица. Процесът на измерване на ъгли изглежда така: започвайки от една от страните на измерения ъгъл, вътрешната му област се запълва последователно с единични ъгли, плътно подредени един до друг. В същото време се запомня броят на подредените ъгли, което дава мярката на измерения ъгъл.

Всъщност всеки ъгъл може да се приеме като мерна единица за ъгли. Има обаче много общоприети единици за измерване на ъгли, свързани с различни области на науката и технологиите, те са получили специални имена.

Една от единиците за измерване на ъгли е степен.

Определение.

една степене ъгъл, равен на сто и осемдесети от изправения ъгъл.

Една степен се обозначава със символа "", следователно една степен се обозначава като.

По този начин, в развит ъгъл, можем да поберем 180 ъгъла в един градус. Ще изглежда като половин кръгъл пай, нарязан на 180 еднакви парчета. Много важно: „парчетата от пая“ прилягат плътно едно към друго (т.е. страните на ъглите са подравнени), като страната на първия ъгъл е подравнена с едната страна на сплескания ъгъл, а страната на последния ъгъл на единица съвпадна с другата страна на сплеснатия ъгъл.

При измерване на ъгли се установява колко пъти градус (или друга единица за измерване на ъгли) се вписва в измерения ъгъл, докато вътрешната област на измерения ъгъл бъде напълно покрита. Както вече видяхме, в развит ъгъл градусът пасва точно 180 пъти. По-долу са дадени примери за ъгли, в които ъгъл от един градус се вписва точно 30 пъти (такъв ъгъл е една шеста от изправен ъгъл) и точно 90 пъти (половин изправен ъгъл).

За измерване на ъгли, по-малки от един градус (или друга мерна единица за ъгли) и в случаите, когато ъгълът не може да бъде измерен в цяло число градуси (взети единици), трябва да използвате части от градус (части от взети единици от измерване). Някои части от степента получиха специални имена. Най-често срещаните са така наречените минути и секунди.

Определение.

минутае една шестдесета от градуса.

Определение.

Второе една шестдесета от минутата.

С други думи, има шестдесет секунди в минута и шестдесет минути (3600 секунди) в градус. Символът "" се използва за обозначаване на минути, а символът "" се използва за обозначаване на секунди (не бъркайте със знаците на производната и втората производна). Тогава, с въведените дефиниции и нотация, имаме , а ъгълът, в който се побират 17 градуса 3 минути и 59 секунди, може да бъде означен като .

Определение.

Градусна мярка на ъгълсе нарича положително число, което показва колко пъти градус и неговите части се вписват в даден ъгъл.

Например градусната мярка на изправен ъгъл е сто и осемдесет, а градусната мярка на ъгъл е .

За измерване на ъгли има специални измервателни уреди, най-известният от които е транспортир.

Ако са известни както обозначението на ъгъла (например,), така и неговата градусна мярка (нека 110), тогава използвайте кратка нотация на формата и кажете: "Ъгълът AOB е сто и десет градуса."

От дефинициите на ъгъла и градусната мярка на ъгъла следва, че в геометрията мярката на ъгъла в градуси се изразява с реално число от интервала (0, 180] (в тригонометрията ъгли с произволна градусна мярка се считат, те се наричат) Ъгъл от деветдесет градуса има специално име, нарича се прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от 90 градуса, се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от деветдесет градуса, се нарича тъп ъгъл. И така, мярката на остър ъгъл в градуси се изразява с число от интервала (0, 90), мярката на тъп ъгъл - с число от интервала (90, 180), прав ъгъл е равен на деветдесет степени. Ето илюстрации на остър ъгъл, тъп ъгъл и прав ъгъл.

От принципа за измерване на ъгли следва, че градусните мерки на равни ъгли са еднакви, градусната мярка на по-голям ъгъл е по-голяма от градусната мярка на по-малък, а градусната мярка на ъгъл, който се състои от няколко ъгъла, е равна на сумата от градусните мерки на компонентните ъгли. Фигурата по-долу показва ъгъла AOB, който се състои от ъглите AOC, COD и DOB, докато .

По този начин, сумата от съседните ъгли е сто и осемдесет градуса, тъй като образуват прав ъгъл.

От това твърдение следва, че. Действително, ако ъглите AOB и COD са вертикални, то ъглите AOB и BOC са съседни и ъглите COD и BOC също са съседни, следователно са в сила равенствата и , от които следва равенството.

Заедно с градуса се нарича удобна единица за измерване на ъгли радиан. Мярката за радиан се използва широко в тригонометрията. Нека дефинираме радиан.

Определение.

Един радиан ъгъл- това е централен ъгъл, което съответства на дължината на дъгата, равна на дължината на радиуса на съответната окръжност.

Нека да дадем графична илюстрация на ъгъл от един радиан. На чертежа дължината на радиуса OA (както и радиуса OB ) е равна на дължината на дъгата AB , следователно по дефиниция ъгълът AOB е равен на един радиан.

Съкращението "рад" се използва за обозначаване на радиани. Например писането на 5 rad означава 5 radians. В писмена форма обаче обозначението "рад" често се пропуска. Например, когато е написано, че ъгълът е равен на pi, това означава pi rad.

Отделно трябва да се отбележи, че стойността на ъгъла, изразена в радиани, не зависи от дължината на радиуса на окръжността. Това се дължи на факта, че фигурите, ограничени от даден ъгъл и дъга от окръжност с център във върха на даден ъгъл, са подобни една на друга.

Измерването на ъгли в радиани може да се извърши по същия начин като измерването на ъгли в градуси: разберете колко пъти ъгъл от един радиан (и неговите части) се вписват в даден ъгъл. И можете да изчислите дължината на дъгата на съответния централен ъгъл и след това да я разделите на дължината на радиуса.

За нуждите на практиката е полезно да се знае как мерките за градус и радиан се отнасят една към друга, тъй като значителна част трябва да се изпълни. В тази статия се установява връзка между градуса и радианната мярка на ъгъл и са дадени примери за преобразуване на градуси в радиани и обратно.

Обозначаване на ъглите в чертежа.

На чертежите, за удобство и яснота, ъглите могат да бъдат маркирани с дъги, които обикновено се изчертават във вътрешната област на ъгъла от едната страна на ъгъла до другата. Еднаквите ъгли се отбелязват с еднакъв брой дъги, неравните ъгли с различен брой дъги. Правите ъгли на чертежа се обозначават със символ под формата "", който е изобразен във вътрешната област на правия ъгъл от едната страна на ъгъла до другата.

Ако в чертежа трябва да маркирате много различни ъгли (обикновено повече от три), тогава при обозначаване на ъгли, в допълнение към обикновените дъги, е допустимо да използвате дъги от някакъв специален тип. Например, можете да изобразите назъбени дъги или нещо подобно.

Трябва да се отбележи, че не трябва да се увличате с обозначаването на ъгли в чертежите и не претрупвайте чертежите. Препоръчваме да маркирате само онези ъгли, които са необходими в процеса на решаване или доказване.

Библиография.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 клас: учебник за образователни институции.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас на учебните заведения.

Ъглова мярка

Ъгълът в се измерва в градуси (градус, минута, секунда), в обороти - съотношението на дължината на дъгата s към обиколката L, в радиани - съотношението на дължината на дъгата s към радиуса r; исторически мярката за градушка също е била използвана за измерване на ъгли; в момента тя почти не се използва.

1 оборот = 2π радиана = 360° = 400 градуса.

В морската терминология ъглите се обозначават с точки.

Видове ъгли

Съседните ъгли са остри (а) и тъпи (б). Обърнат ъгъл (c)

Освен това се взема предвид ъгълът между гладките криви в допирателната точка: по дефиниция неговата стойност е равна на ъгъла между допирателните към кривите.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "плосък ъгъл" в други речници:

плосък ъгъл- 2.2 плосък ъгъл: Ъгъл, образуван от два лъча (страни на ъгъл), излизащи от геометричния център на стая (структура). Източник... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

плосък ъгъл- plokščiasis kampas statusas T sritis Стандартизация и метрология apibrėžtis Kampas tarp dviejų viename taške susikertančių pustiesių, išreiškiamas apskritimo (su centru tame taške) apimamojo lanko ilgio iirii spinulio dalmeni. Matavimo vienetas … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

плосък ъгъл- plokščiasis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. равнинен ъгъл vok. ебенер винкел, м рус. плосък ъгъл, m pranc. ъглов план, m … Fizikos terminų žodynas Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

ПЛОСК, равномерен, сякаш сплескан, притиснат; лежащи в слой, според нивото; в които няма нито гърбици, нито ями; ниско, плитко, невъзвишено и недълбоко. Равна земя, място, равнина, равна повърхност. Плосък покрив, напълно равен, ... ... Обяснителен речник на Дал

ъгъл на излъчване на полупроводниковия емитер- радиационен ъгъл e Плосък ъгъл, съдържащ оптичната ос на полупроводников излъчвател и образуван от посоки, в които радиационната сила е по-голяма или равна на половината от максималната си стойност. [GOST 27299 87] Теми за полупроводници ... ...

ъгъл на излъчване на знакосинтезиращия индикатор- ъгъл на излъчване (сигнал-синтезиращ индикатор) θ Плосък ъгъл във вертикалната или хоризонталната равнина, съдържащ оптичната ос на активния знак-синтезиращ индикатор и образуван от посоки, в които силата на излъчване е по-голяма или ... Наръчник за технически преводач