Онлайн калкулатор.
Изчисляване на израз с числови дроби.
Умножение, изваждане, деление, събиране и съкращаване на дроби с различни знаменатели.

С този онлайн калкулатор можете умножение, изваждане, деление, събиране и намаляване на числови дроби с различни знаменатели.

Програмата работи с правилни, неправилни и смесени числови дроби.

Тази програма (онлайн калкулатор) може:
- събиране на смесени дроби с различни знаменатели
- Изваждане на смесени дроби с различни знаменатели
- дели смесени дроби с различни знаменатели
- Умножете смесени дроби с различни знаменатели
- привеждане на дроби към общ знаменател
- Преобразуване на смесени дроби в неправилни
- намаляване на дроби

Можете също така да въведете не израз с дроби, а една единствена дроб.
В този случай фракцията ще бъде намалена и от резултата ще бъде избрана цялата част.

Онлайн калкулаторът за пресмятане на изрази с числови дроби не просто дава отговор на задачата, той предоставя подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на намиране на решение.

Тази програма може да бъде полезна за ученици в гимназията при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родители за контрол на решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на изрази с числови дроби, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на изрази с числови дроби

Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Вход: -2/3 + 7/5
Резултат: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Цялата част е разделена от дробта с амперсанд: &
Вход: -1&2/3 * 5&8/3
Резултат: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Делението на дроби се въвежда с двоеточие: :
Вход: -9&37/12: -3&5/14
Резултат: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Не забравяйте, че не можете да делите на нула!

Скобите могат да се използват при въвеждане на изрази с числови дроби.
Вход: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Резултат: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Въведете израз с числови дроби.

Изчисли

Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Обикновени дроби. Деление с остатък

Ако трябва да разделим 497 на 4, тогава при деленето ще видим, че 497 не се дели на 4, т.е. остава остатъкът от разделението. В такива случаи се казва, че деление с остатък, а решението се записва по следния начин:
497: 4 = 124 (1 остатък).

Компонентите за деление от лявата страна на равенството се наричат ​​по същия начин, както при деление без остатък: 497 - дивидент, 4 - разделител. Резултатът от делението при деление с остатък се нарича непълна частна. В нашия случай това число е 124. И накрая, последният компонент, който не е в обичайното разделение, е остатък. Когато няма остатък, се казва, че едно число е разделено на друго. без следа или напълно. Смята се, че при такова деление остатъкът е нула. В нашия случай остатъкът е 1.

Остатъкът винаги е по-малък от делителя.

Можете да проверите при деление чрез умножение. Ако например има равенство 64: 32 = 2, тогава проверката може да се извърши по следния начин: 64 = 32 * 2.

Често в случаите, когато се извършва деление с остатък, е удобно да се използва равенството
a \u003d b * n + r,
където a е дивидентът, b е делителят, n е частичното частно, r е остатъкът.

Частното при деление на естествени числа може да се запише като дроб.

Числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят.

Тъй като числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят, вярват, че чертата на дроб означава действието на деленето. Понякога е удобно да напишете делението като дроб, без да използвате знака ":".

Частното при деление на естествените числа m и n може да се запише като дроб \(\frac(m)(n) \), където числителят m е дивидентът, а знаменателят n е делителят:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Правилни са следните правила:

За да получите дроб \(\frac(m)(n) \), трябва да разделите единицата на n равни части (акции) и да вземете m такива части.

За да получите дробта \(\frac(m)(n) \), трябва да разделите числото m на числото n.

За да намерите част от цяло, трябва да разделите числото, съответстващо на цялото, на знаменателя и да умножите резултата по числителя на дробта, която изразява тази част.

За да намерите цяло по неговата част, трябва да разделите числото, съответстващо на тази част, на числителя и да умножите резултата по знаменателя на фракцията, която изразява тази част.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ако числителят и знаменателят на дроб са разделени на едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Това свойство се нарича основно свойство на дроб.

Последните две трансформации се наричат намаляване на фракцията.

Ако дробите трябва да бъдат представени като дроби с еднакъв знаменател, тогава се извиква такова действие свеждане на дроби до общ знаменател.

Правилни и неправилни дроби. смесени числа

Вече знаете, че дроб може да се получи, като едно цяло се раздели на равни части и се вземат няколко такива части. Например дробта \(\frac(3)(4) \) означава три четвърти от едно. В много от задачите в предишния раздел дробите са използвани за означаване на част от цяло. Здравият разум диктува, че частта винаги трябва да е по-малка от цялото, но какво да кажем за дроби като \(\frac(5)(5) \) или \(\frac(8)(5) \)? Ясно е, че това вече не е част от звеното. Вероятно затова такива дроби, в които числителят е по-голям или равен на знаменателя, се наричат неправилни дроби. Останалите дроби, т.е. дроби, в които числителят е по-малък от знаменателя, се наричат правилни дроби.

Както знаете, всяка обикновена дроб, както правилна, така и неправилна, може да се разглежда като резултат от разделянето на числителя на знаменателя. Следователно в математиката, за разлика от обикновения език, терминът "неправилна дроб" не означава, че сме направили нещо нередно, а само че тази дроб има числител, по-голям или равен на знаменателя.

Ако числото се състои от цяла част и дроб, тогава такова фракциите се наричат ​​смесени.

Например:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 е цялата част и \(\frac(2)(3) \) е дробната част.

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) се дели на естествено число n, тогава, за да се раздели тази дроб на n, нейният числител трябва да бъде разделен на това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) не се дели на естествено число n, тогава за да разделите тази дроб на n, трябва да умножите знаменателя й по това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Имайте предвид, че второто правило е валидно и когато числителят се дели на n. Следователно можем да го използваме, когато на пръв поглед е трудно да определим дали числителят на една дроб се дели на n или не.

Действия с дроби. Събиране на дроби.

С дробните числа, както и с естествените числа, можете да извършвате аритметични операции. Нека първо разгледаме добавянето на дроби. Лесно е да събирате дроби с еднакви знаменатели. Намерете например сумата от \(\frac(2)(7) \) и \(\frac(3)(7) \). Лесно е да се разбере, че \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете числителите им и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ако искате да съберете дроби с различни знаменатели, те първо трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Например:
\(\голям \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и асоциативността на събирането.

Събиране на смесени дроби

Извикват се записи като \(2\frac(2)(3) \). смесени фракции. Извиква се числото 2 цяла частсмесена дроб и числото \(\frac(2)(3) \) е нейното дробна част. Записът \(2\frac(2)(3) \) се чете така: "две и две трети".

Разделянето на числото 8 на числото 3 дава два отговора: \(\frac(8)(3) \) и \(2\frac(2)(3) \). Те изразяват едно и също дробно число, т.е. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Така неправилната дроб \(\frac(8)(3) \) е представена като смесена дроб \(2\frac(2)(3) \). В такива случаи казват, че от неправилна дроб отдели цялото.

Изваждане на дроби (дробни числа)

Изваждането на дробните числа, както и на естествените, се определя въз основа на действието на добавяне: изваждането на друго от едно число означава намиране на число, което при добавяне към второто дава първото. Например:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), тъй като \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели е подобно на правилото за събиране на такива дроби:
За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя същия.

Използвайки букви, това правило е написано, както следва:
\(\голям \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Умножение на дроби

За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и знаменатели и да запишете първия продукт като числител, а втория като знаменател.

Използвайки букви, правилото за умножение на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

С помощта на формулираното правило е възможно да се умножи дроб с естествено число, със смесена дроб, както и да се умножат смесени дроби. За да направите това, трябва да запишете естествено число като дроб със знаменател 1, смесена дроб като неправилна дроб.

Резултатът от умножението трябва да бъде опростен (ако е възможно) чрез намаляване на дробта и подчертаване на цялата част от неправилната дроб.

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и асоциативността на умножението, както и разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.

Деление на дроби

Вземете дробта \(\frac(2)(3) \) и я „обърнете“, като размените числителя и знаменателя. Получаваме дробта \(\frac(3)(2) \). Тази дроб се нарича обратендроби \(\frac(2)(3) \).

Ако сега „обърнем“ дробта \(\frac(3)(2) \), тогава ще получим оригиналната дроб \(\frac(2)(3) \). Следователно дроби като \(\frac(2)(3) \) и \(\frac(3)(2) \) се наричат взаимно обратни.

Например фракциите \(\frac(6)(5) \) и \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) и \(\frac (18 )(7) \).

Използвайки букви, взаимно обратните дроби могат да бъдат записани както следва: \(\frac(a)(b) \) и \(\frac(b)(a) \)

Ясно е, че произведението на реципрочните дроби е 1. Например: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Използвайки реципрочни дроби, делението на дроби може да се сведе до умножение.

Правилото за деление на дроб на дроб:
За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

Дробите са обикновени числа, те също могат да се събират и изваждат. Но поради факта, че имат знаменател, тук са необходими по-сложни правила, отколкото за целите числа.

Разгледайте най-простия случай, когато има две дроби с еднакви знаменатели. Тогава:

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, съберете техните числители и оставете знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, е необходимо да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция на събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, нищо сложно: просто добавете или извадете числителите - и това е всичко.

Но дори и в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Най-често забравят, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се добавят и това е фундаментално погрешно.

Да се ​​отървете от лошия навик да добавяте знаменатели е доста лесно. Опитайте се да направите същото, когато изваждате. В резултат на това знаменателят ще бъде нула и дробта (внезапно!) ще загуби значението си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Освен това много хора правят грешки, когато събират няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде - плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът преди знака за дроб винаги може да бъде прехвърлен в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

1. Плюс по минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Нека анализираме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай всичко е просто, а във втория ще добавим минуси към числителите на дроби:

Ами ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. Поне на мен този метод е непознат. Оригиналните дроби обаче винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях са разгледани в урока " Привеждане на дроби към общ знаменател", така че няма да се спираме на тях тук. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай привеждаме дробите към общ знаменател по метода "кръстосано". Във втория ще търсим LCM. Обърнете внимание, че 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разширения са равни, а първите са взаимнопрости. Следователно, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Ами ако дробта има цяло число

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели на дробите не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е подчертана в дробните членове.

Разбира се, за такива дроби има собствени алгоритми за събиране и изваждане, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добре използвайте простата диаграма по-долу:

1. Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяло число, в неправилни. Получаваме нормални условия (дори и с различни знаменатели), които се изчисляват съгласно правилата, обсъдени по-горе;
2. Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
3. Ако това е всичко, което се изискваше в задачата, извършваме обратната трансформация, т.е. отърваваме се от неправилната дроб, като подчертаваме цялата част в нея.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и подчертаване на цялата част са описани подробно в урока "Какво е числова дроб". Ако не си спомняте, не забравяйте да повторите. Примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че остава да преобразувате всички дроби в неправилни и да преброите. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където се изваждат дроби с подчертана цяла част. Минусът преди втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение, погледнете примерите и помислете върху него. Това е мястото, където начинаещите правят много грешки. Те обичат да дават такива задачи на контролна работа. Ще ги срещнете многократно и в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: Обща схема на изчисленията

В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:

1. Ако в една или повече дроби е подчертана цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
2. Приведете всички фракции до общ знаменател по всеки удобен за вас начин (освен ако, разбира се, компилаторите на проблемите не са направили това);
3. Съберете или извадете получените числа според правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
4. Намалете резултата, ако е възможно. Ако фракцията се окаже неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, точно преди да напишете отговора.

Числителят и това, на което се разделя, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете нейния числител, след това начертайте хоризонтална линия под това число и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, разделяща числителя и знаменателя, се нарича дробна черта. Понякога се изобразява като наклонен "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

За да изчислите произведението на дроби, първо умножете числителя на едно дробикъм друг числител. Запишете резултата в числителя на новия дроби. След това умножете и знаменателите. Посочете крайната стойност в новия дроби. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да изпълните всички стъпки, първо „обърнете“ делителя, ако ви е по-удобно: знаменателят трябва да е на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на дивидента по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

източници:

• Основни задачи за дроби

Дробните числа ви позволяват да изразите точната стойност на дадено количество по различни начини. С дроби можете да извършвате същите математически операции като с цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. Да се ​​научиш да решаваш дроби, е необходимо да запомните някои от техните характеристики. Те зависят от вида дроби, наличието на цяла част, общ знаменател. Някои аритметични операции след изпълнение изискват намаляване на дробната част от резултата.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкция

Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни знаци, понякога е по-удобно първо да извършите действия с десетични знаци и след това да ги преобразувате в грешна форма. Можеш ли да преведеш дробив тази форма първоначално, записвайки стойността след десетичната запетая в числителя и поставяйки 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дробите, в които цялата част се откроява, водят до грешна форма, като я умножите по знаменателя и добавите числителя към резултата. Тази стойност ще стане новият числител дроби. Да се ​​извлече цялата част от първоначално неправилното дроби, разделете числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от дроби. И остатъкът от деленето става новият числител, знаменателят дробидокато не се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране поотделно на цели и дробни части на членовете:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Препишете ги през разделителя ":" и продължете обичайното разделяне.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.

Забележка

Не правете аритметика с дроби, които имат различни знаменатели. Изберете такова число, че когато числителят и знаменателят на всяка дроб се умножат по него, в резултат на това знаменателите на двете дроби да са равни.

Полезни съвети

При писане на дробни числа дивидентът се изписва над чертата. Това количество се нарича числител на дроб. Под чертата е изписан делителя или знаменателя на дробта. Например един и половина килограма ориз под формата на дроб ще бъде написан по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на една дроб е 10, тя се нарича десетична дроб. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, разделена със запетая: 1,5 кг ориз. За удобство на изчисленията такава фракция винаги може да бъде написана в грешна форма: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. В този пример е възможно деление на 2. Резултатът е 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще правите аритметика, са в една и съща форма.

Сега, след като се научихме как да събираме и умножаваме отделни дроби, можем да разгледаме по-сложни структури. Например, какво ще стане, ако събирането, изваждането и умножението на дроби се появят в една задача?

На първо място, трябва да преобразувате всички дроби в неправилни. След това последователно извършваме необходимите действия - в същия ред, както при обикновените числа. а именно:

1. Първо се извършва степенуване - отървете се от всички изрази, съдържащи степени;
2. След това - деление и умножение;
3. Последната стъпка е събиране и изваждане.

Разбира се, ако в израза има скоби, редът на действията се променя - първо трябва да се вземе предвид всичко, което е вътре в скобите. И не забравяйте за неправилните дроби: трябва да изберете цялата част само когато всички други действия вече са завършени.

Нека преведем всички дроби от първия израз в неправилни и след това изпълним следните действия:

Сега нека намерим стойността на втория израз. Няма дроби с цяла част, но има скоби, така че първо извършваме събиране и едва след това деление. Обърнете внимание, че 14 = 7 2 . Тогава:

И накрая, разгледайте третия пример. Тук има скоби и степен - по-добре е да ги броите отделно. Като се има предвид, че 9 = 3 3 , имаме:

Обърнете внимание на последния пример. За да повдигнете дроб на степен, трябва отделно да повдигнете числителя на тази степен и отделно знаменателя.

Можете да решите различно. Ако си припомним дефиницията на степента, проблемът ще бъде намален до обичайното умножение на дроби:

Многоетажни фракции

Досега разглеждахме само "чисти" дроби, когато числителят и знаменателят са обикновени числа. Това е в съответствие с определението за числова дроб, дадено в първия урок.

Но какво ще стане, ако в числителя или знаменателя е поставен по-сложен обект? Например друга числена дроб? Такива конструкции се срещат доста често, особено при работа с дълги изрази. Ето няколко примера:

Има само едно правило за работа с многоетажни фракции: трябва незабавно да се отървете от тях. Премахването на "допълнителни" етажи е доста просто, ако си спомняте, че дробната лента означава стандартната операция за разделяне. Следователно всяка дроб може да бъде пренаписана, както следва:

Възползвайки се от този факт и следвайки процедурата, лесно можем да намалим всяка многоетажна фракция до обикновена. Разгледайте примерите:

Задача. Преобразувайте многоетажни дроби в обикновени:

Във всеки случай пренаписваме основната дроб, като заменяме разделителната линия със знак за деление. Също така не забравяйте, че всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1. Тоест, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаваме:

В последния пример дробите бяха намалени преди окончателното умножение.

Спецификата на работа с многоетажни фракции

Има една тънкост в многоетажните фракции, която винаги трябва да се помни, в противен случай можете да получите грешен отговор, дори ако всички изчисления са правилни. Погледни:

1. В числителя има отделно число 7, а в знаменателя - дробта 12/5;
2. Числителят е дробта 7/12, а знаменателят е единственото число 5.

И така, за един запис получихме две напълно различни интерпретации. Ако броите, отговорите също ще бъдат различни:

За да сте сигурни, че записът винаги се чете недвусмислено, използвайте просто правило: разделителната линия на основната фракция трябва да е по-дълга от вложената линия. За предпочитане няколко пъти.

Ако следвате това правило, горните дроби трябва да бъдат записани, както следва:

Да, вероятно е грозен и заема твърде много място. Но ще сметнеш правилно. И накрая, няколко примера, при които наистина се срещат дроби на много нива:

Задача. Намерете стойностите на израза:

И така, нека работим с първия пример. Нека преобразуваме всички дроби в неправилни и след това изпълним операциите за събиране и деление:

Нека направим същото с втория пример. Преобразувайте всички дроби в неправилни и изпълнете необходимите операции. За да не отегчавам читателя, ще пропусна някои очевидни изчисления. Ние имаме:

Поради факта, че числителят и знаменателят на главните дроби съдържат суми, правилото за изписване на многоетажни дроби се спазва автоматично. Освен това в последния пример съзнателно оставихме числото 46/1 под формата на дроб, за да извършим делението.

Също така отбелязвам, че и в двата примера дробната лента всъщност замества скобите: първо намерихме сумата и едва след това - частното.

Някой ще каже, че преходът към неправилни дроби във втория пример е очевидно излишен. Може би това е така. Но така се застраховаме от грешки, защото следващият път примерът може да се окаже доста по-сложен. Изберете сами кое е по-важно: скорост или надеждност.

Тази статия е общ поглед върху операциите с дроби. Тук формулираме и обосноваваме правилата за събиране, изваждане, умножение, деление и повдигане на степен на дроби от общ вид A/B, където A и B са някои числа, числови изрази или изрази с променливи. Както обикновено, ще предоставим материала с обяснителни примери с подробно описание на решенията.

Навигация в страницата.

Правила за извършване на операции с числови дроби от общ вид

Нека се съгласим, че общите числови дроби са дроби, в които числителят и/или знаменателят могат да бъдат представени не само от естествени числа, но и от други числа или числови изрази. За по-голяма яснота ето няколко примера за такива дроби: .

Ние знаем правилата, по които. По същите правила можете да извършвате операции с дроби от обща форма:

Обосновка на правилата

За да се обоснове валидността на правилата за извършване на действия с общи числови дроби, може да се започне от следните точки:

• частична черта е по същество знак за деление,
• деленето на някакво различно от нула число може да се разглежда като умножение по реципрочната стойност на делителя (това веднага обяснява правилото за деление на дроби),
• свойства на действия с реални числа,
• и неговото обобщено разбиране,

Те ви позволяват да извършите следните трансформации, които оправдават правилата за добавяне, изваждане на дроби с еднакви и различни знаменатели, както и правилото за умножение на дроби:

Примери

Нека дадем примери за извършване на действие с дроби от общ вид според правилата, научени в предходния параграф. Нека кажем веднага, че обикновено след извършване на операции с дроби, получената фракция изисква опростяване и процесът на опростяване на фракция често е по-труден от извършването на предишните действия. Няма да се спираме на опростяването на дроби (съответните трансформации са обсъдени в статията Трансформация на дроби), за да не се отвличаме от темата, която ни интересува.

Нека започнем с примери за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели. Нека започнем със събиране на дробите и . Очевидно знаменателите са равни. Съгласно съответното правило, записваме дроб, чийто числител е равен на сумата от числителите на първоначалните дроби, и оставяме знаменателя същия, имаме . Добавянето е направено, остава да се опрости получената дроб: . Така, .

Възможно е да се извърши решението по различен начин: първо да се направи преход към обикновени дроби и след това да се извърши добавяне. С този подход имаме .

Сега извадете от дробта фракция . Знаменателите на дробите са равни, следователно действаме според правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели:

Нека да преминем към примери за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Тук основната трудност се състои в привеждането на дробите към общ знаменател. За дроби от обща форма това е доста обширна тема, ще я анализираме подробно в отделна статия. свеждане на дроби до общ знаменател. Засега ще се ограничим до няколко общи препоръки, тъй като в момента се интересуваме повече от техниката за извършване на действия с дроби.

Като цяло процесът е подобен на привеждане до общ знаменател на обикновени дроби. Тоест знаменателите се представят като произведения, след което се вземат всички множители от знаменателя на първата дроб и към тях се добавят липсващите множители от знаменателя на втората дроб.

Когато знаменателите на събираните или изважданите дроби нямат общи множители, тогава е логично произведението им да се приеме за общ знаменател. Да вземем пример.

Да кажем, че трябва да съберем дроби и 1/2. Тук като общ знаменател е логично да вземем произведението на знаменателите на оригиналните дроби, т.е. В този случай допълнителният фактор за първата дроб ще бъде 2. След умножаване на числителя и знаменателя по него, дробта ще приеме формата . А за втората дроб допълнителният фактор е изразът. С негова помощ фракцията 1/2 се свежда до формата. Остава да съберем получените дроби с еднакви знаменатели. Ето обобщение на цялото решение:

В случай на дроби от общ вид вече не говорим за най-малкия общ знаменател, до който обикновено се свеждат обикновените дроби. Въпреки че по този въпрос все още е желателно да се стремим към някакъв минимализъм. С това искаме да кажем, че не е необходимо веднага да вземем произведението на знаменателите на първоначалните дроби като общ знаменател. Например, изобщо не е необходимо да се взема общият знаменател на дробите и произведението . Тук като общ знаменател можем да вземем .

Обръщаме се към примери за умножение на дроби от обща форма. Умножете дробите и . Правилото за извършване на това действие ни казва да запишем дроб, чийто числител е произведение на числителите на първоначалните дроби, а знаменателят е произведение на знаменателите. Ние имаме . Тук, както в много други случаи, когато умножавате дроби, можете да намалите дроба: .

Правилото за деление на дроби ви позволява да преминете от деление към умножение с реципрочна стойност. Тук трябва да запомните, че за да получите реципрочна дроб на дадена, трябва да размените числителя и знаменателя на тази дроб. Ето пример за преход от деление на общи дроби към умножение: . Остава да извършите умножението и да опростите получената дроб (ако е необходимо, вижте трансформацията на ирационални изрази):

Завършвайки информацията в този параграф, припомняме, че всяко число или числов израз може да бъде представено като дроб със знаменател 1, следователно събирането, изваждането, умножението и деленето на число и дроб може да се счита за извършване на съответното действие с дроби, едната от които има единица в знаменателя. Например замяна в израза корен от три дроби, ще преминем от умножаване на дроб по число към умножение на две дроби: .

Извършване на операции с дроби, съдържащи променливи

Правилата от първата част на тази статия важат и за извършване на операции с дроби, които съдържат променливи. Нека обосновем първото от тях - правилото за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели, останалите се доказват по абсолютно същия начин.

Нека докажем, че за всякакви изрази A , C и D (D е идентично различно от нула) имаме равенството върху неговия диапазон от приемливи стойности на променливи.

Нека вземем някакъв набор от променливи от ODZ. Нека изразите A , C и D приемат стойностите a 0 , c 0 и d 0 за тези стойности на променливите. След това заместването на стойностите на променливите от избрания набор в израза го превръща в сбор (разлика) на числови дроби с еднакви знаменатели на формата , което според правилото за събиране (изваждане) на числови дроби с същите знаменатели, е равно на . Но заместването на стойностите на променливите от избрания набор в израза го превръща в същата дроб. Това означава, че за избрания набор от стойности на променливи от ODZ, стойностите на изразите и са равни. Ясно е, че стойностите на посочените изрази ще бъдат равни за всеки друг набор от стойности на променливи от ODZ, което означава, че изразите и са идентично равни, т.е. равенството, което се доказва, е вярно .

Примери за събиране и изваждане на дроби с променливи

Когато знаменателите на добавяните или изважданите дроби са еднакви, тогава всичко е съвсем просто - числителите се добавят или изваждат, а знаменателят остава същият. Ясно е, че получената след това дроб се опростява, ако е необходимо и възможно.

Обърнете внимание, че понякога знаменателите на дробите се различават само на пръв поглед, но всъщност те са идентично равни изрази, като например и , или и . И понякога е достатъчно да се опростят първоначалните дроби, така че техните идентични знаменатели да се „появят“.

Пример.

, б) , в) .

Решение.

а) Трябва да извадим дроби с еднакви знаменатели. Съгласно съответното правило, оставяме знаменателя същия и изваждаме числителите, които имаме . Действието е извършено. Но все още можете да отворите скобите в числителя и да въведете подобни условия: .

б) Очевидно знаменателите на добавените дроби са еднакви. Следователно добавяме числителите и оставяме знаменателя същия: . Добавянето е завършено. Но е лесно да се види, че получената фракция може да бъде намалена. Действително, числителят на получената дроб може да бъде намален с квадрата на сумата като (lgx+2) 2 (вижте формулите за съкратено умножение), така че се извършват следните трансформации: .

в) Дроби в сумата имат различни знаменатели. Но като преобразувате една от дробите, можете да продължите към добавяне на дроби с еднакви знаменатели. Показваме две решения.

Първи начин. Знаменателят на първата дроб може да бъде разложен на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите и след това да се намали тази дроб: . По този начин, . Не боли да се отървете от ирационалността в знаменателя на дроб: .

Вторият начин. Умножаването на числителя и знаменателя на втората дроб (този израз не изчезва за никакви стойности на променливата x от DPV за оригиналния израз) ви позволява да постигнете две цели наведнъж: да се отървете от ирационалността и да преминете към добавяне дроби с еднакви знаменатели. Ние имаме

Отговор:

а) , б) , в) .

Последният пример ни доведе до въпроса за привеждането на дроби към общ знаменател. Там почти случайно стигнахме до едни и същи знаменатели, опростявайки една от добавените дроби. Но в повечето случаи, когато събирате и изваждате дроби с различни знаменатели, трябва целенасочено да приведете дробите към общ знаменател. За да направите това, знаменателите на дробите обикновено се представят като продукти, всички фактори се вземат от знаменателя на първата дроб и към тях се добавят липсващите фактори от знаменателя на втората дроб.

Пример.

Извършвайте действия с дроби: а) , б), в) .

Решение.

а) Няма нужда да правите нищо със знаменателите на дробите. Като общ знаменател приемаме продукта . В този случай допълнителният фактор за първата дроб е изразът, а за втората дроб - числото 3. Тези допълнителни фактори привеждат дробите към общ знаменател, което допълнително ни позволява да извършим действието, от което се нуждаем, имаме

b) В този пример знаменателите вече са представени като продукти и не са необходими допълнителни трансформации. Очевидно факторите в знаменателите се различават само по показатели, следователно като общ знаменател приемаме произведението на факторите с най-големи показатели, т.е. . Тогава допълнителният множител за първата дроб ще бъде x 4 , а за втората - ln(x+1) . Сега сме готови да извадим дроби:

в) И в този случай, като начало, ще работим със знаменателите на дробите. Формулите на разликата на квадратите и квадрата на сумата ви позволяват да преминете от първоначалната сума към израза . Сега е ясно, че тези дроби могат да бъдат сведени до общ знаменател . С този подход решението ще изглежда така:

Отговор:

а)

б)

в)

Примери за умножение на дроби с променливи

Умножаването на дроби дава дроб, чийто числител е произведението на числителите на първоначалните дроби, а знаменателят е произведението на знаменателите. Тук, както можете да видите, всичко е познато и просто и можем само да добавим, че фракцията, получена в резултат на това действие, често се намалява. В тези случаи тя се намалява, освен ако разбира се не е необходимо и оправдано.