Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
где S - площадь треугольника,
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
Формулы площади квадрата
- Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. - Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.S = 1 2 2
где S - Площадь квадрата,
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма - Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.a · b · sin α
где S - Площадь параллелограмма,
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S - Площадь ромба,
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,
С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем жизненном пути встает очень часто и является важным не только для школьников.
Для тех, кто не знает, прямоугольник - это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90°. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.
Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.
Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k
А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.
S = 2 * 7 = 14 м2
В математике, особенно в старших классах, приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?
Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади прямоугольного треугольника. Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.
В виде формулы это будет выглядеть так:
S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали
Еще один способ определения площади прямоугольника - через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать радиус окружности. Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.
Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:
S=d2,где d - диаметр.
Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:
S=b* (P - 2*b), где b - длина стороны, P - периметр.
Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.
Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.
Важно! Важ участок должен приблизительно вписываться в окружность. Иначе расчеты будут не совсем точными.
Указываем все данные в метрах
A B, D A, C D, B C — Размер каждой стороны делянки.
Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.
Методика определения размеров участка ручным методом
Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.
Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².
После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.
В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.
Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.
Общие данные
Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.
Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).
На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.
Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.
И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.
Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.
Урок и презентация на тему: "Периметр и площадь прямоугольника"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 3 класса
Тренажер для 3 класса "Правила и упражнения по математике"
Электронное учебное пособие для 3 класса "Математика за 10 минут"
Что такое прямоугольник и квадрат
Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Значит, противоположные стороны равны друг другу.
Квадрат – это прямоугольник, у которого равны и стороны, и углы. Его называют правильным четырёхугольником.
Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D ...
Пример.
Читается так: четырёхугольник ABCD; квадрат EFGH.
Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2.Периметр обозначается латинской буквой P . Так как периметр - это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.
Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как P
ABCD , где А, В, С, D - это вершины прямоугольника.
Запишем формулу периметра четырехугольника ABCD:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Пример.
Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см.
Определим P ABCD .
Решение:
1. Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.
2. Напишем формулу для расчета периметра данного прямоугольника:
P ABCD = 2 * (AB + BС)
P ABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см
Ответ: P ABCD = 16 см.
Формула расчета периметра квадрата
У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.P
ABCD = 2 * (AB + BC)
Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:
P ABCD = 4 * AB
Пример.
Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата.
Решение.
1. Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.
2. Вспомним формулу расчета периметра квадрата:
P ABCD = 4 * AB
3. Подставим в формулу наши данные:
P ABCD = 4 * 6 см = 24 см
Ответ: P ABCD = 24 см.
Задачи на нахождение периметра прямоугольника
1. Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.
2. Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника.
3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.
Где используется расчет периметра прямоугольника?
1. Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?
В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора.
2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев.
Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.
Что такое площадь прямоугольника?
Площадь – это числовая характеристика фигуры. Площадь измеряется квадратными единицами длины: см 2 , м 2 , дм 2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.)В вычислениях обозначается латинской буквой S .
Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину. 
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины АК на ширину КМ. Запишем это в виде формулы.
S AKMO = AK * KM
Пример.
Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?
S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .
Ответ: 14 см 2 .
Формула вычисления площади квадрата
Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя.Пример.
В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.
S AВСО = AB * BC = AB * AB
Пример.
Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.
S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2
Ответ: 64 см 2 .
Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата
1.Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.
Что такое площадь и что такое прямоугольник
Площадь – это такая геометрическая величина, с помощью которой можно определить размер какой-либо поверхности геометрической фигуры.
На протяжении многих веков так повелось, что вычисление площади называли квадратурой. То есть, чтобы узнать площадь несложных геометрических фигур, достаточно было подсчитать количество единичных квадратов, которыми условно были покрыты фигуры. А фигуру, которая имела площадь, называли квадрируемой.
Поэтому, можно подвести итог, что площадь – это такая величина, которая показывает нам размер части плоскости, соединенной между собой отрезками.
Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого все углы прямые. То есть, четырехстороннюю фигуру, которая имеет четыре прямых угла и ее противоположные стороны равны, называют прямоугольником.
Как найти площадь прямоугольника
Самый простой способ нахождения площади прямоугольника – взять прозрачную бумагу, например кальку, или клеенку и расчертить ее на равные квадратики по 1 см, а потом приложить к изображению прямоугольника. Количество заполненных квадратиков и будет площадью в сантиметрах квадратных. Например, на рисунке видно, что прямоугольник попадает в 12 квадратов, значит, его площадь равна – 12 кв. см.
Но для нахождения площади больших объектов, например квартиры, необходим более универсальный способ, поэтому была доказана формула, чтобы найди площадь прямоугольника необходимо умножить его длину на ширину.
А теперь давайте попробуем записать правило нахождения площади прямоугольника в виде формулы. Обозначим площадь нашей фигуры буквой S, буква а – будет обозначать его длину, а буква b – ширину.
В итоге получаем вот такую формулу:
S = а * b.
Если наложить эту формулу на рисунок прямоугольника выше, то мы получим те же 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4 * 3 = 12 кв.см.
Если взять две идентичные фигуры, и наложить их одну на другую, то они совпадут, а будут называться равными. У таких равных фигур будут также равны их площади и периметры.
Зачем уметь находить площадь
Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-либо фигуры, то с помощью ее формулы вы без проблем сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачки, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписаны в прямоугольник или около него.
В-третьих, зная такую простую формулу, как S = а * b, вы получаете возможность без проблем решать любые простые бытовые задачи (например, находить S квартиры или дома), а со временем и сможете применить их к решению сложных архитектурных проектов.
То есть, если совсем упростить формулу нахождения площади, то она будет выглядеть так:
П = Д х Ш,
Что обозначает П – это искомая площадь, Д – это ее длина, Ш – обозначает ее ширину, а х – является знаком умножения.
А известно ли вам, что площадь любого многоугольника можно условно разбить на определенное количество квадратных блоков, которые находятся внутри этого многоугольника? Какая разница между площадью и периметром
Давайте на примере попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огражден забором – суммарная длина этого забора будет периметром, а то пространство, которое находится внутри ограждения и является площадью.
Единицы измерения площади
Если периметр одномерный измеряется в линейных единицах, которыми являются дюймы, футы и метры, то S относится к двумерным исчислениям и имеет свою длину и ширину.
И измеряется S в квадратных единицах, таких, как:
Один квадратный миллиметр, где S квадрата имеет сторону, равную одному миллиметру;
Квадратный сантиметр, имеет S такого квадрата, у которого сторона равна одному сантиметру;
Квадратный дециметр равен S этого квадрата со стороной в один дециметр;
Квадратный метр имеет S квадрата, сторона которого равна одному метру;
И наконец, квадратный километр имеет S квадрата, сторона которого равна одному километру.
Для измерения площадей больших участков на поверхности Земли используют такие единицы, как:
Один ар или сотка – если S квадрата имеет сторону десять метров;
Один гектар равен S квадрата, у которого сторона имеет сто метров.
Задачи и упражнения
А теперь давайте рассмотрим несколько примеров.
На рисунке 62 нарисована фигура, которая имеет восемь квадратов и каждая сторона этих квадратов равна одному сантиметру. Поэтому S такого квадрата будет квадратный сантиметр.
Если записать, то это будет выглядеть так:
1 см2. А S все этой фигуры, состоящей из восьми квадратов, будет равняться 8 кв.см.
Если взять какую-нибудь фигуру и разбить ее на «р» квадратов со стороной, равной одному сантиметру, то ее площадь будет равна:
Р см2.
Давайте рассмотрим прямоугольник, изображений на рисунке 63. Этот прямоугольник состоит из трех полос, а каждая такая полоска разбита на пять равных квадратов, имеющих сторону в 1 см.
Попробуем найти его площадь. И так берем пять квадратов, и умножаем на три полоски и получаем площадь равную 15 кв.см.:
Рассмотрим следующий пример. На рисунке 64 изображен прямоугольник ABCD, ломаной линией KLMN он разбит на две части. Первая его часть равна площади 12 см2, а вторая имеет площадь 9 см2. Теперь давайте найдем площадь всего прямоугольника:
Итак, берем три и умножаем на семь и получаем 21 кв.см:
3 7 = 21 кв.см. При этом 21 = 12 + 9.
И приходим к выводу, что площадь всей нашей фигуры равна сумме площадей ее отдельных частей.
Рассмотрим еще один пример. И так на рисунке 65 изображен прямоугольник, который с помощью отрезка АС разбит на два равных треугольника ABC и ADC
А так, как нам уже известно, что квадрат – это такой же прямоугольник, только имеющий равные стороны, то площадь каждого треугольника будет равняться половине площади всего прямоугольника.
Представим, что сторона квадрата равна а, то:
S = a a = a2.
Делаем вывод, что формула площади квадрата будет иметь такой вид:
А запись a2 называется квадратом числа а.
И так, если сторона нашего квадрата равна четырем сантиметрам, то его площадь будет:
4 4, то есть 4 * 2 = 16 кв.см.
Вопросы и задания
Найдите площадь фигуры, которая разбита на шестнадцать квадратов, сторона которых равна одному сантиметру.
Вспомните формулу прямоугольника и запишите ее.
Какие измерения нужно произвести, чтобы узнать площадь прямоугольника?
Дайте определение равным фигурам.
Могут ли иметь равные фигуры различные площади? А периметры?
Если вам известны площади отдельных частей фигуры, как узнать ее общую площадь?
Сформулируйте и запишите, чему равняется площадь квадрата.
Историческая справка
А известно ли вам, что древние люди в Вавилоне умели рассчитать площадь прямоугольника. Так же древние египтяне делали расчеты различных фигур, но так как точных формул они не знали, то вычисления имели небольшие погрешности.
В своей книге «Начала» знаменитый древнегреческий математик Евклид, описывает различные способы вычисления площадей разных геометрических фигур.