Приближенные вычисления квадратного корня. "приближенные вычисления квадратного корня"

Приближенное вычисление квадратных корней

Тема приближенного вычисления корней актуальна всегда, так как задания с квадратными корнями есть в каждом курсе предметов естественнонаучного цикла. В ходе решения многих математических задач, а так же задач по геометрии, по физике, по химии и т.д. приходится сталкиваться с квадратными корнями. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, но ее бывает недостаточно. Извлечение корня разложением на множители тоже непростая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату, и я решила изучить различные способы извлечения квадратных корней с целью их практического применения.

Поэтому цель работы направлена на сопоставление различных способов приближенного извлечения квадратных корней, при этом ставятся задачи: изучение материала, выявление наиболее эффективного способа в зависимости от поставленной задачи.

Решим графически уравнение. Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую. Абсциссы точек A и B являются корнями уравнения. Решим уравнение. Ясно, что это уравнение имеет два корня и, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (). По чертежу мы не можем указать точные значения корней. Интересующее нас число x1 расположено между числами 1 и 2, но между числами 1 и 2 находится бесконечное множество рациональных чисел, например и т.д. В работе доказано, что располагая только рациональными числами, уравнение мы решить не сможем.

Математики ввели в рассмотрение новый символ, который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения записали так: и. Читается: "арифметический квадратный корень из двух". Теперь для любого уравнения вида, где, можно найти корни - ими являются числа и.

Квадратным корнем из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен. Это число обозначают. Если, то уравнение не имеет корней.

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.

В ходе исследования методов вычисления квадратного корня были найдены несколько методов, такие как: арифметический способ; метод грубой оценки; столбиком; Вавилонский способ; метод Герона и метод Ньютона; геометрический метод. В данной работе рассмотрены лишь некоторые из них.

Арифметический способ

квадратный корень извлечение приближенное

Для квадратов натуральных чисел верны следующие равенства:

То есть, чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.

Например, найдем квадратный корень числа 16 так:

Выполнено 4 действия, значит, квадратный корень числа 16 равен 4. Аналогично найдем квадратный корень числа 12:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 12 равен 3 целым.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне пригоден для грубой оценки, для учащихся, решающих простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Вавилонский способ или первый метод Герона

Если - положительное число и - приближённое значение для по избытку, то - приближенное значение для по недостатку.

Доказательство теоремы рассмотрено в работе. Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, и является средним геометрическим чисел и, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число. А чтобы получить ещё более точное значение для, надо взять среднее арифметическое чисел и, т.е. число. Так вычисляются одно за другим все более точные приближенные значения для. Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения и не совпадут в пределах заданной точности. Тогда мы имеем формулу:

Эту формулу можно вывести и из несколько иных рассуждений.

Пусть, например, нужно извлечь квадратный корень из числа 32. Выберем сначала какое-то приближенное значение этого корня, например, . Погрешность этого приближенного значения обозначим через, тогда. Чтобы найти значение, возведем обе части этого равенства в квадрат, получим:

Таким образом, для получилось квадратное уравнение. Если его решить, то. Мы, получается, ходим по кругу: чтобы найти, нужно сосчитать, а чтобы найти, надо вычислить. На помощь приходит следующее соображение. Погрешность приближенного значения невелика, она меньше единицы, значит число еще меньше, поэтому в равенстве (2) его можно отбросить. При этом для получается приближенное уравнение, значит. Итак, приближенное значение поправки найдено.

Так как, то второе приближение для. Чтобы найти более точное приближение для повторим описанный процесс.

Возведем обе части в квадрат и отбросим малое слагаемое:

Тогда третье приближение для выражается формулой:

Так как, то.

Точно так же, исходя из приближенного значения, можно найти следующее приближение. Тогда, если найдено приближенное значение, то следующее выражается формулой:

При этом каждый следующий шаг приводит ко все более точным приближениям для. Полученная формула является частным случаем формулы (1), в которой некоторое действительное число.

По формуле (1) можно найти приближенное значение для, оно приблизительно равно 1,414213562.

Правило нахождения приближенного значения квадратного корня из любого натурального числа было известно ещё математикам древнего Вавилона более 4000 лет назад. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

Формула, с помощью которой вычислялись последовательные приближения по Вавилонскому способу, может быть записана следующим образом:

В данном случае в качестве функции берется, где - это число, корень которого нужно найти. В работе выясняется точность Вавилонского способа.

Этот метод был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Потом этот способ был заброшен, но сейчас его применяют для извлечения квадратных корней на калькуляторах и вычислительных машинах.

Работа над данным исследованием показала, что изучение квадратных корней - объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор. Помимо того, бывают ситуации, когда использование калькулятора недопустимо, например, ЕГЭ.

Хотелось бы выбрать оптимально рациональный способ извлечения квадратных корней. Конечно же, арифметический способ и особенно способ грубой оценки, просты в использовании, но не точны, хотя вполне пригодны для первого приближения. К тому же при применении этих способов извлечения квадратных корней любая ошибка, допущенная в каком-то месте, полностью обесценивает дальнейшие вычисления. Иначе состоит дело при применении Вавилонского способа или способа последовательных приближений. Хоть он и трудоемкий, однако можно верно вычислить значение корня с заданной точностью.

На практике часто приходится вычислять квадратные корни из различных чисел. Сейчас это можно сделать на калькуляторе или с помощью компьютера. Мы же рассмотрим способ, как вычислить квадратный корень из любого числа с необходимой точностью, не используя при этом компьютер, калькулятор или другие вычислительные средства.

Для примера, попробуем вычислить корень из числа 2, с точностью до 0.01, то есть до двух знаков после запятой.

Посчитаем квадратный корень из числа 2

Будем рассуждать следующим образом. Число √2 больше 1, так как 1 2 < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

Теперь попытаемся отыскать цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух. Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых. Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Получи число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4 2 меньше 2, а 1,5 2 уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

• 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< √2

Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления. √2 ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

Как уже и говорилось выше, данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:

А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22"37"29". Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04"76"59"83".

Б) Навесить на число радикал и написатьзнак равенства:

22"37"29"→=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

И производим вычисление так, как это уже написано.

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:

После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:

Это наибольшая цифра k такая, что число 8 k , т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k , не превосходит 637.

В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. = 473.

943 2829

В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

= 4,123…

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а 1 - первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа - точного квадрата, не превосходящего х) .

8 класс

Дата:

Урок № 9.

Тема: Приближенные вычисления квадратного корня.

Цели: 1. Научить учащихся находить приближенные значения квадратных корней.

2. Развивать наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.

Воспитывать позитивное отношение к учебному труду

Тип урока: комбинированный.

Формы организации урока: индивидуальная, коллективная

Оборудование: проектная доска, карточки для рефлексии настроений, микрокалькулятор

Три пути ведут к знанию: путь размышления

Это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький.

Конфуций

Ход урока.

Организационный момент

Этап проверки домашнего задания

№ 60 – у доски выполняет 1 учащийся, на месте проверяет правильность выполнения задания другой ученик

Устная работа: проектируется на доску

а) Найди значение корня:

б) Имеет ли смысл выражение:

в) Найди число, арифметический квадратный корень которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6

Этап объяснения нового материала

Для того, чтобы вычислить приближенное значение квадратного корня, необходимо использовать микрокалькулятор. Для этого нужно ввести в калькулятор подкоренное выражение и нажать на клавишу со знаком радикала. Но не всегда под рукой имеется калькулятор, поэтому находить приближенное значение квадратного корня можно следующим образом:

Пусть надо найти значение .

Так как , то . Теперь среди чисел, расположенных на отрезке от 1 до 2 возьмем соседние числа 1,4 и 1,5, получим: , далее возьмем числа 1,41 и 1,42,эти числа удовлетворяют неравенству . Если продолжить данный процесс возведения в квадрат соседних чисел, то получим следующую систему неравенств:

Проецируется на доску.

Из этой системы, сравнивая цифры после запятой, получаем:

Приближенные значения квадратных корней можно брать по избытку и по недостатку, т.е. по недостатку с точностью до 0,0001 и по избытку.

Закрепление изученного материала.

Уровень «А»

0,2664 0,2 – по недостатку

№93 (используется калькулятор)

5. Валеологическая пауза: упражнения для глаз.

Уровень «В»

6. Историческая справка о необходимости нахождения значения квадратных корней

(Заранее предлагается желающему ученику подготовить сообщение на эту тему, используя интернет)

Предлагается формула для нахождения приближенного значения квадратного корня из иррационального числа:

Уровень «С» № 105

7. Рефлексия.

Итог урока.

Домашнее задание: № 102,

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

• Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
• Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

1. Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

   • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
     • √(25 х 16)
     • √25 х √16
     • 5 х 4 = 20

2. Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

   • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
     • = √(49 х 3)
     • = √49 х √3
     • = 7√3

3. Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

   • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
     • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.

4. Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

   • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
   • Рассмотрим другой пример: √88.
     • = √(2 х 44)
     • = √ (2 х 4 х 11)
     • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
     • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

   Вычисление квадратного корня вручную

   При помощи деления в столбик

   1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде "7 80, 14". Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

   2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

      • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

      • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

   4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере второй парой чисел является "80". Запишите "80" после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите "4_×_=" снизу справа.

   5. Заполните прочерки справа.

      • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 - слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа - это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

   6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

      • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

   7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением "_×_=".

      • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите "54_×_=" снизу справа.

   8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

      • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 - 4941 = 173.

   9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

      Понимание процесса

      1. Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

         Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C - третьей и так далее.

         Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b - вторую пару цифр и так далее.

         Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

      2. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C - цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

         • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B - это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A - десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² - это площадь всего квадрата, 100A² - площадь большого внутреннего квадрата, B² - площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B - площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.