Thalese teoreemi lühisõnastus. Thalese teoreem. Kolmnurga keskjoon

Lase f (\displaystyle f)- projektiivne vastavus sirge punktide vahel l (\displaystyle l) ja otsene m (\displaystyle m). Siis on ridade komplekt mõne (võimalik, et degenereerunud) koonilise lõigu puutujate kogum.

Lase f (\displaystyle f) on koonuse projektiivne teisendus. Seejärel joonte komplekti ümbrik X f (X) (\displaystyle Xf(X)) tekib koonus (võib-olla degenereerunud).

helistas proportsioon. Samal ajal ütlevad nad, et:

x 1 on seotud x 2-ga, nagu y 1 on seotud y 2-ga,

arvude x 1 ja x 2 suhe on võrdne arvude y 1 ja y 2 suhtega,

arvud x 1 ja x 2 on seotud samamoodi nagu numbrid y 1 ja y 2,

või lõpuks

numbrid x 1 ja y 1 (!) võrdeline arvudega x 2 ja y 2(st lugejad on proportsionaalsed nimetajatega).

Siin sisalduvad numbrid x 1 , x 2 , y 1 ja y 2 nimetatakse proportsioonideks. Tavaliselt on need kõik positiivsed, aga ei pea olema. Siiski ei eeldata, et ükski neist oleks null. See võrdsus on saanud erilise nime põhjusel, et see esineb sageli erinevate matemaatikaülesannete lahendamisel.

Proportsioone saab teisendada, viies võrdsuse ühe osa liikmed "ülevalt" teise võrdsuse osa "alla" ja vastupidi. Seda protseduuri saab hõlpsasti põhjendada järgmiselt. Oletame, et tahame üle kanda x 1 vasakult paremale. Selleks korrutage proportsiooni mõlemad pooled 1/-ga x 1:

see on muutuja x 1 on liikunud "diagonaalselt ülalt alla". Nüüd liigutame muutujat "üles vasakule" y 2. See saavutatakse selle võrdsuse mõlema osa korrutamisel sellega. Selle tulemusena on meil

lugejad x 1 ja y 1 on omavahel seotud täpselt samamoodi nagu nende vastavad nimetajad x 2 ja y 2 .

Üldistatud Thalese teoreem

Eelmisel korral käsitletud Thalese teoreem tunnistab järgmist üldistust.

Olgu kaks suvalist rida x ja y mida lõikab kolm paralleelset sirget n 1 , n 2 ja n 3 punktides X 1 , X 2 , X 3 ja Y 1 , Y 2 , Y 3 nagu pildil näidatud:

Seejärel moodustavad äralõigatud segmentide pikkused järgmise proportsiooni

on ratsionaalne arv, st seda saab väljendada taandamatu murruna

kus a ja b- mõned naturaalarvud, a< b. Jagame segmendi pooleks X 1 X 3 sisse b identsed osad. (Kuigi punkt X 2 osutub üheks jaotuspunktiks.) Joonestame iga jagamispunkti läbi sirgjooned paralleelselt n 1 , n 2 ja n 3 . (Üks neist ridadest langeb joonega kokku n 2 .)

Thalese teoreemi kohaselt (selle algses versioonis) segment Y 1 Y 3 on samuti jagatud nende joontega b võrdsed osad, millest a osad moodustavad segmendi Y 1 Y 2. Järelikult

Q.E.D. Meie ehitusest tuleneb ka see

Proportsioonide omadusi kasutades saab need võrdsused ümber kirjutada üheks ahelaks:

Seega lõigatakse segmendid sirgjooneliselt ära y võrdeline vastavate joonelõikudega x.

Teoreetiliselt on ka võimalik, et pikkuste suhe

ei ole ratsionaalne arv, kuna lõikude pikkused | X 1 X 2 | ja | X 1 X 3 | saab põhimõtteliselt väljendada irratsionaalarvudega. Praktikas pole see aga kunagi nii. Lõikude pikkuste määramiseks kasutame alati mingit mõõteseadet (näiteks kooli joonlauda), mis annab ainult ümardatud tulemused lõpliku kümnendmurru kujul.

Oluline tagajärg

Olgu antud mittekattuvad read x ja y, mis lõikuvad punktis O ja veel kaks paralleelset sirget n 1 ja n 2, mis lõikuvad joonega x punktides X 1 ja X 2 ja sirge y punktides Y 1 ja Y 2 nagu on näidatud joonisel.

Tutvustame tähistust:

x 1 = |HÄRG 1 |, x 2 = |HÄRG 2 |;

y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |;

z 1 = |X 1 Y 1 |, z 2 = |X 2 Y 2 |.

Tõepoolest, mõlemad võrdsused selles ahelas tulenevad otseselt üldistatud Thalese teoreemist. Esimese võrdsuse puhul on see kohe selge, kuid teise puhul ilmneb see pärast punkti läbimist Y 1 tõmmake sirgjoon m, paralleelselt joonega x.

Ka vastupidine on tõsi. Olgu antud sama geomeetriline konstruktsioon ja see on teada

Siis jooned n 1 ja n 2 on paralleelsed. Tõepoolest, tõmbame punkti läbi X 1 joonega paralleelne abijoon n 2. Üldistatud Thalese teoreemi järgi läbib see abisirge punkti Yüks . Seetõttu langeb see joonega kokku nüks . Seega otsene n 1 joonega paralleelne n 2 .

Kaal

Lähme õue, võttes kaasa paberi ja pliiatsi. Asetame oma lehe horisontaalselt ja asetame sellele umbes keskele punkt O. Sellest punktist joonistame mõttes kiiri erinevate tähelepanuväärsete punktide suunas maapinnal, mis asuvad umbes saja meetri raadiuses - puud, postid, maapinna nurgad. hooned jms.

Oletame, et meil on võimalus mõõta kaugusi nende tähelepanuväärsete punktideni. Olgu näiteks kaugus lähima puuni 10 m. Jätame mõtteliselt punktist kõrvale O selle puu suunas lõigu, mille pikkus on etteantud vahemaast 1000 korda väiksem, ja märgi paberile pliiatsiga selle teise otsa asukoht. Seda kaugust punktist on lihtne arvutada O märgini on 10 m / 1000 \u003d 1 cm.

Samamoodi olgu kaugus mõne teise tähelepanuväärse objektiga xüks . Korrutage see vahemaa arvuga k, võrdne 1/1000. Vaimselt punktist kõrvale O segmendi pikkus x 2 =kx 1 piki kiirt, mis on suunatud antud objektile. Paberi kohta, kus asub segmendi teine ​​ots, tehke pliiatsiga märk. Teeme seda protseduuri kõigi maapealsete tähelepanuväärsete punktidega, kasutades kogu aeg sama parameetri väärtust k. Kui mõni neist punktidest on omavahel ühendatud aia või seina või muu sarnasega, siis tõmbame paberile vastavate märkide vahele ka jooned.

Selle tulemusena saame oma paberilehele piirkonna kaardi. Thalese teoreemi ja proportsioonide omaduste tõttu on kõik paberil kaugustevahelised suhted täpselt samad, mis tegelikkuses. Lisaks on kõik paberil olevad jooned paralleelsed vastavate maapinna joontega. See paralleelsus läheb muidugi katki, kui viime oma lehe kuhugi mujale, aga nurgad joonte vahel jäävad.

Parameeter k, mida me oma ehituses kasutasime, nimetatakse mastaabitegur või lihtsalt kaal. Muidugi ei pea see olema võrdne 1/1000-ga. See võib põhimõtteliselt omandada mis tahes väärtuse, oluline on vaid, et see väärtus jääks kaardi koostamise käigus kogu aeg muutumatuks.

Tõelistel geograafilistel kaartidel on skaala legendis tingimata märgitud ja murdosa riba asemel kasutatakse tavaliselt koolonit. Näiteks mõõtkava 1:100 000 tähendab, et üks sentimeeter kaardil vastab 100 000 sentimeetrile (see tähendab ühele kilomeetrile) maapinnal.

Tehnilised joonised tehakse ka alati, nagu öeldakse, teatud mõõtkavas. Mõõtkava 1:1 tähendab, et osa joonistatakse tegelikus suuruses. Mõõtkava 10:1 näitab, et joonis on tehtud kümnekordse kasvuga.

Märkus paralleelsete joonte kohta

Paralleelseks nimetasime selliseid mittekattuvad sirged, mille vaheline nurk on võrdne nulliga. Märkasime, et sellised jooned ei ristu kuskil. Nüüd tõestame, et kui sirged asuvad samas tasapinnas ega ole paralleelsed (st nendevaheline nurk erineb nullist), siis nad kindlasti kuskil lõikuvad.

Olgu tasapinnal antud kaks sirget - x ja n. Märgime neile suvalised punktid - O ja Y- ja tõmmake läbi nende punktide kolmas sirge - y. Eeldusel, et nurk joonte vahel x ja n ei ole võrdne nulliga, siis ei tohi külgnevad nurgad olla üksteisega võrdsed. Laske kindluse mõttes α 1 > α 2 nagu on näidatud joonisel.

Lähme punktist läbi O otsene n 1 paralleelselt joonega n. Märkus selle kohta nurga küljelt α 1 suvaline punkt N 1 ja tõmmake joon läbi selle punkti y 1 paralleelselt joonega y. Sel juhul moodustub rööpkülik, mida joonisel tähistab hall taust.

See tähendab, et otsene y 1 ületab joone n mingil hetkel, mida me tähistame N. Otse x, sisenedes punktis rööpküliku "territooriumile". O pidi kuskilt välja tulema. Ta saab seda teha kas segmendi kaudu YN või segmendi kaudu N 1 N. Esimesel juhul saab kohe selgeks, et joon xületab piiri n. Vaatleme teist juhtumit. Tähistage sirge lõikepunkti x ja lõika N 1 N läbi Xüks . Tõmbame selle läbi sirgjoone n 2 paralleelselt joonega n. See sirge poolitab rööpküliku PEAL 1 New York kaheks uueks rööpkülikuks ja lõikub sirgega y mingil hetkel Yüks . Märkus sirgjoonel x selline punkt X, mille puhul seos

Läbime punktid X ja Y otsene. Ülalpool vaadeldud Thalese teoreemi järelduse kohaselt on see sirge sirgega paralleelne n 2, mis tähendab, et see moodustab joonega nullnurga n. Seetõttu langeb uus rida joonega kokku n, mis seega lõikub joonega x punktis X.

Nüüd võime väita, et järgmised kolm väidet mittekattuvate joonte kohta a ja b samas tasapinnas lebamine tähendab täpselt sama asja:

(1) Sirgete vaheline nurk a ja b võrdub nulliga.

(2) Sirge a ja b ei ristu kuskil.

(3) Sirge a ja b on paralleelsed.

Traditsioonilistes geomeetriakursustes on sirgete paralleelsuse definitsiooniks väide 2. Valisime selleks väite 1. Kahe sirge vaheline nurk on ju palju lihtsam määrata, kui veenduda, et need ei ristuks kuskil kogu oma pikkuses. lõpmatu pikkus.

Abstraktne

1. Vormi võrdsus x 1 /x 2 = y 1 /y 2 nimetatakse proportsiooniks. Lugejad on proportsionaalsed nimetajatega. Ühe murru lugeja ja nimetaja on seotud samamoodi nagu teise murru lugeja ja nimetaja. Samaväärne võrdsus: x 1 /y 1 = x 2 /y 2 .

2. Üldistatud Thalese teoreem. Olgu kaks suvalist rida a ja b mida lõikab kolm paralleelset sirget. Seejärel lõigake segmendid joonel ära a, on võrdelised sirgjoonel ära lõigatud vastavate segmentidega b.

3. Järeldus 1. Laske tipuga nurga küljed punktis O mida lõikavad kaks paralleelset sirget n 1 ja n 2. Seejärel lõigake segmendid sirgjoontel ära n 1 ja n 2 , on seotud samamoodi nagu punktist nurga mõlemale küljele joonistatud lõigud O vastavatesse joontega ristumispunktidesse n 1 ja n 2 .

4. Tagajärg 2. Olgu nurga külgedel olevad segmendid tipust maha pandud nii, et ühel küljel olevad segmendid on proportsionaalsed teise külje segmentidega. Siis on nende segmentide vastavaid otste läbivad jooned üksteisega paralleelsed.

5. Kõik vahemaade ja nurkade vahelised suhted salvestatakse kaardile. Mõne kahe kaardi punkti vahelise kauguse suhe maapinna vastavate punktide vahelise kaugusega ei sõltu punktide valikust ja seda nimetatakse mõõtkavaks.

6. Kui kahe samas tasapinnas paikneva sirge vaheline nurk ei ole võrdne nulliga, siis peavad sellised sirged lõikuma.

Tunni teema

Tunni eesmärgid

• Tutvuge uute definitsioonidega ja meenutage mõnda juba uuritud.
• Sõnasta ja tõesta ruudu omadused, tõesta selle omadusi.
• Õppige rakendama kujundite omadusi ülesannete lahendamisel.
• Arendav – arendada õpilaste tähelepanu, visadust, visadust, loogilist mõtlemist, matemaatilist kõnet.
• Haridus - läbi õppetunni, arendada tähelepanelikku suhtumist üksteisesse, sisendada oskust kuulata kaaslasi, vastastikust abi, iseseisvust.

Tunni eesmärgid

• Kontrollige õpilaste võimet probleeme lahendada.

Tunniplaan

1. Ajaloo viide.
2. Thales kui matemaatik ja tema tööd.
3. Hea meenutada.

Ajaloo viide

• Thalese teoreem on merenavigatsioonis kasutusel ka tänapäeval reeglina, et konstantsel kiirusel liikuvate laevade kokkupõrge on vältimatu, kui laevad suunduvad üksteise poole.

• Väljaspool venekeelset kirjandust nimetatakse Thalese teoreemi mõnikord ka teiseks planimeetria teoreemiks, nimelt väiteks, et ringi läbimõõdul põhinev sisse kirjutatud nurk on õige. Selle teoreemi avastamine on tõepoolest omistatud Thalesele, nagu tõendab Proclus.

• Thales mõistis Egiptuses geomeetria põhitõdesid.

Selle autori avastused ja teened

Kas tead, et Thales Mileetosest oli sel ajal üks seitsmest kuulsaimast Kreeka targast. Ta asutas Joonia kooli. Idee, mida Thales selles koolis propageeris, oli kõigi asjade ühtsus. Tark uskus, et on üksainus allikas, kust kõik asjad pärinevad.

Thales of Miletose suur teene on teadusliku geomeetria loomine. See suurepärane õpetus suutis luua Egiptuse mõõtmiskunstist deduktiivse geomeetria, mille aluseks on ühisosa.

Lisaks tohututele teadmistele geomeetrias oli Thales hästi kursis ka astronoomiaga. Em ennustas esimesena täielikku päikesevarjutust. Kuid see ei juhtunud mitte tänapäeva maailmas, vaid kauges 585. aastal, isegi enne meie ajastut.

Thales Mileetusest oli mees, kes mõistis, et põhjaosa saab täpselt määrata Väikese Ursa tähtkuju järgi. Kuid see polnud tema viimane avastus, kuna ta suutis täpselt määrata aasta pikkuse, jagada selle kolmesaja kuuekümne viieks päevaks ja määrata ka pööripäevade aja.

Thales oli tegelikult igakülgselt arenenud ja tark mees. Lisaks sellele, et ta oli kuulus suurepärase matemaatiku, füüsiku ja astronoomina, suutis ta tõelise meteoroloogina ka oliivisaaki üsna täpselt ennustada.

Kuid kõige tähelepanuväärsem on see, et Thales ei piiranud kunagi oma teadmisi ainult teadusliku ja teoreetilise valdkonnaga, vaid püüdis alati oma teooriate tõendeid praktikas kinnistada. Ja kõige huvitavam on see, et suur tark ei keskendunud ühelegi oma teadmiste valdkonnale, tema huvid olid erinevad.

Thalese nimest sai juba siis targale omane nimi. Tema tähtsus ja tähendus Kreeka jaoks oli sama suur kui Lomonossovi nimi Venemaale. Muidugi saab tema tarkust tõlgendada erinevalt. Kuid võib kindlalt öelda, et teda iseloomustas nii leidlikkus, praktiline leidlikkus kui ka mingil määral eemaldumine.

Miletose Thales oli suurepärane matemaatik, filosoof, astronoom, armastas reisida, oli kaupmees ja ettevõtja, tegeles kaubandusega ning oli ka hea insener, diplomaat, nägija ja osales aktiivselt poliitilises elus.

Tal õnnestus kepi ja varju abil isegi püramiidi kõrgus määrata. Ja see oli nii. Ühel ilusal päikesepaistelisel päeval asetas Thales oma saua piirile, kus püramiidi vari lõppes. Seejärel ootas ta, kuni tema kepi varju pikkus võrdub tema pikkusega, ja mõõtis püramiidi varju pikkuse. Seega näib, et Thales määras lihtsalt püramiidi kõrguse ja tõestas, et ühe varju pikkus on seotud teise varju pikkusega, nagu püramiidi kõrgus on seotud kepi kõrgusega. See tabas vaarao Amasist ennast.

Tänu Thalesele kandus kõik tol ajal teadaolevad teadmised üle teadusliku huvi valdkonda. Ta suutis viia tulemused teaduslikuks tarbimiseks sobivale tasemele, tuues esile teatud mõistete kogumi. Ja võib-olla Thalese abiga sai alguse antiikfilosoofia hilisem areng.

Thalese teoreemil on matemaatikas üks oluline roll. Seda tunti mitte ainult Vana-Egiptuses ja Babüloonias, vaid ka teistes riikides ning see oli matemaatika arengu aluseks. Jah, ja igapäevaelus, hoonete, rajatiste, teede jms ehitamisel, ei saa ilma Thalese teoreemita hakkama.

Thalese teoreem kultuuris

Thalese teoreem sai kuulsaks mitte ainult matemaatikas, vaid seda tutvustati ka kultuuris. Kord esitas Argentina muusikaline rühmitus Les Luthiers (Hispaania) publiku ette laulu, mille nad pühendasid tuntud teoreemile. Les Luthiersi liikmed esitasid oma videoklipis spetsiaalselt selle laulu jaoks tõestuse proportsionaalsete segmentide otsese teoreemi kohta.

Küsimused

1. Milliseid sirgeid nimetatakse paralleelseteks?
2. Kus on Thalese teoreemi praktikas rakendatud?
3. Millest räägib Thalese teoreem?

Kasutatud allikate loetelu

1. Entsüklopeedia lastele. T.11. Matemaatika / Peatoimetaja M.D. Aksenova.-m.: Avanta +, 2001.
2. “Ühtne riigieksam 2006. Matemaatika. Õppe- ja koolitusmaterjalid õpilaste ettevalmistamiseks / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geomeetria, 7-9: õpik haridusasutustele"

See haud on väike, kuid au selle üle on tohutu.
Selles, teie ees, on peidus paljumeelne Thales.

Sild Miletose Thalese haual

Kujutage ette sellist pilti. 600 eKr Egiptus. Teie ees on tohutu Egiptuse püramiid. Vaarao üllatamiseks ja tema lemmikute hulka jäämiseks peate mõõtma selle püramiidi kõrgust. Sinu käsutuses pole… midagi. Võite langeda meeleheitesse või teha mida Mileetose Thales: kasutage kolmnurga sarnasuse teoreemi. Jah, selgub, et kõik on üsna lihtne. Miletose Thales ootas, kuni tema varju pikkus ja kõrgus ühtivad, ning leidis seejärel kolmnurga sarnasuse teoreemi abil püramiidi varju pikkuse, mis oli vastavalt võrdne püramiidi heidetud varjuga.

Kes see on Mileetose Thales? Mees, kes kogus kuulsust ühena antiikaja "seitsmest targast"? Thales of Miletus on Vana-Kreeka filosoof, kes paistis silma astronoomias, aga ka matemaatikas ja füüsikas. Tema eluaastad on kindlaks tehtud vaid ligikaudu: 625-645 eKr

Thalese astronoomiaalaste teadmiste tõendite hulgas on järgmine näide. 28. mai 585 eKr Miletose päikesevarjutuse ennustus aitas lõpetada juba 6 aastat kestnud sõja Lydia ja Media vahel. See nähtus hirmutas meedlasi nii palju, et nad nõustusid lüüdlastega rahu sõlmimiseks ebasoodsate tingimustega.

Päris laialt on tuntud legend, mis iseloomustab Thalest kui leidlikku inimest. Thales kuulis sageli oma vaesuse kohta meelitamatuid kommentaare. Kord otsustas ta tõestada, et filosoofid võivad soovi korral elada külluses. Talvelgi tegi Thales tähti jälgides kindlaks, et suvel tuleb hea oliivisaak. Seejärel palkas ta Miletoses ja Chioses õlipressid. See maksis talle üsna odavalt, kuna talvel pole nende järele praktiliselt nõudlust. Kui oliivid andsid rikkaliku saagi, hakkas Thales oma õlipressid välja rentima. Selle meetodiga kogutud suurt rahasummat peeti tõendiks, et filosoofid võivad mõistusega teenida, kuid nende kutsumus on kõrgem kui sellised maised probleemid. Seda legendi, muide, kordas Aristoteles ise.

Mis puudutab geomeetriat, siis paljud tema "avastused" olid laenatud egiptlastelt. Ja ometi peetakse seda teadmiste edasiandmist Kreekasse Thalese Mileetose üheks peamiseks eeliseks.

Thalese saavutused on järgmise sõnastus ja tõestus teoreemid:

• vertikaalsed nurgad on võrdsed;
• võrdsed kolmnurgad on need, mille külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed;
• võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on võrdsed;
• läbimõõt poolitab ringi;
• Läbimõõdul põhinev sisse kirjutatud nurk on täisnurk.

Thalese järgi on nime saanud veel üks teoreem, mis on kasulik geomeetriliste ülesannete lahendamisel. Seal on selle üldistatud ja konkreetne vorm, pöördteoreem, sõnastused võivad ka olenevalt allikast veidi erineda, kuid nende kõigi tähendus jääb samaks. Vaatleme seda teoreemi.

Kui paralleelsed sirged lõikuvad nurga külgi ja lõikavad selle ühelt küljelt ära võrdsed lõigud, siis nurga teisest küljest lõikavad nad ära võrdsed lõigud.

Oletame, et punktid A 1, A 2, A 3 on paralleelsete sirgete lõikepunktid nurga ühel küljel ja B 1, B 2, B 3 on paralleelsete sirgete lõikepunktid nurga teise poolega. . On vaja tõestada, et kui A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, siis B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Joonistage joon läbi punkti B 2, mis on paralleelne sirgega A 1 A 2 . Määrame uue sirge С 1 С 2 . Vaatleme rööpkülikuid A 1 C 1 B 2 A 2 ja A 2 B 2 C 2 A 3 .

Rööpkülikuomadused võimaldavad väita, et A1A2 = C 1 B 2 ja A 2 A 3 = B 2 C 2 . Ja kuna meie tingimuse kohaselt A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, siis C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

Ja lõpuks vaatleme kolmnurki ∆ C 1 B 2 B 1 ja ∆ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (tõestatud eespool).

Ja see tähendab, et Δ C 1 B 2 B 1 ja Δ C 2 B 2 B 3 on kolmnurkade teise võrdsuse märgi järgi võrdsed (piki külg- ja külgnevaid nurki).