Suurim ühisjagaja ja väikseim ühiskordaja on aritmeetilised põhimõisted, mis võimaldavad hõlpsasti opereerida tavaliste murdudega. LCM ja neid kasutatakse kõige sagedamini mitme murru ühisnimetaja leidmiseks.
Põhimõisted
Täisarvu X jagaja on teine täisarv Y, millega X jagub ilma jäägita. Näiteks arvu 4 jagaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Täisarvu X kordne on arv Y, mis jagub X-ga ilma jäägita. Näiteks 3 on 15 kordne ja 6 on 12 kordne.
Mis tahes arvupaari jaoks leiame nende ühised jagajad ja kordsed. Näiteks 6 ja 9 puhul on ühiskordne 18 ja ühisjagaja 3. Ilmselt võib paaridel olla mitu jagajat ja kordajat, seega kasutatakse arvutustes GCD suurimat ja LCM-i väikseimat kordset. .
Väikseimal jagajal pole mõtet, kuna iga arvu puhul on see alati üks. Ka suurim kordne on mõttetu, kuna kordajate jada kipub lõpmatuseni.
GCD leidmine
Suurima ühise jagaja leidmiseks on palju meetodeid, millest kuulsaimad on:
- jagajate järjestikune loendamine, paarile ühiste valimine ja neist suurima otsimine;
- arvude lagunemine jagamatuteks teguriteks;
- Eukleidese algoritm;
- binaarne algoritm.
Tänapäeval on haridusasutustes kõige populaarsemad algteguriteks ja Eukleidilise algoritmideks jaotamise meetodid. Viimast kasutatakse omakorda diofantiinsete võrrandite lahendamisel: GCD otsimine on vajalik, et kontrollida võrrandi võimalust selle lahendamiseks täisarvudes.
NOC leidmine
Vähim ühiskordaja määratakse täpselt ka iteratiivse loendamise või jagamatuteks teguriteks jagamise teel. Lisaks on LCM-i lihtne leida, kui suurim jagaja on juba määratud. Numbrite X ja Y puhul on LCM ja GCD seotud järgmise seosega:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Näiteks kui gcd(15,18) = 3, siis LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-i kõige ilmsem kasutamine on ühisnimetaja leidmine, mis on antud murrud.
Koaprarvud
Kui arvupaaril pole ühiseid jagajaid, siis nimetatakse sellist paari koaprarvuks. Selliste paaride GCM on alati võrdne ühega ning jagajate ja kordajate ühenduse põhjal võrdub koprime GCM nende korrutisega. Näiteks arvud 25 ja 28 on kaasalgarvud, kuna neil pole ühiseid jagajaid, ja LCM(25, 28) = 700, mis vastab nende korrutisele. Mis tahes kaks jagamatut arvu on alati kaasalgarvuks.
Ühine jagaja ja mitmekordne kalkulaator
Meie kalkulaatoriga saate arvutada GCD ja LCM mis tahes arvu numbrite jaoks. Ühiste jagajate ja kordajate arvutamise ülesandeid leidub 5. ja 6. klassi aritmeetikas, kuid GCD ja LCM on matemaatika põhimõisted ning neid kasutatakse arvuteoorias, planimeetrias ja kommunikatiivses algebras.
Näited elust
Murdude ühisnimetaja
Väiksemat ühiskordset kasutatakse mitme murru ühisnimetaja leidmisel. Oletame, et aritmeetilises ülesandes on vaja liita 5 murdu:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Murdude lisamiseks tuleb avaldis taandada ühise nimetajani, mis taandub LCM-i leidmise probleemiks. Selleks valige kalkulaatoris 5 numbrit ja sisestage nimetaja väärtused vastavatesse lahtritesse. Programm arvutab LCM-i (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nüüd peate iga murdosa jaoks arvutama lisategurid, mis on määratletud kui LCM-i ja nimetaja suhe. Seega näeksid lisakordajad välja järgmised:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Pärast seda korrutame kõik murrud vastava lisateguriga ja saame:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Selliseid murde saame lihtsalt lisada ja tulemuseks saada kujul 159/360. Vähendame murdosa 3 võrra ja näeme lõplikku vastust - 53/120.
Lineaarsete diofantiinsete võrrandite lahendus
Lineaarsed diofantiini võrrandid on avaldised kujul ax + by = d. Kui suhe d / gcd(a, b) on täisarv, siis on võrrand lahendatav täisarvudes. Kontrollime paari võrrandit täisarvlahenduse võimalikkuse kohta. Kõigepealt kontrollige võrrandit 150x + 8y = 37. Kalkulaatori abil leiame gcd (150,8) = 2. Jagage 37/2 = 18,5. Arv ei ole täisarv, seetõttu pole võrrandil täisarvu juuri.
Kontrollime võrrandit 1320x + 1760y = 10120. Leidke kalkulaatoriga gcd(1320, 1760) = 440. Jagage 10120/440 = 23. Selle tulemusena saame täisarvu, seega on Diofantiini kordaja lahendatav .
Järeldus
GCD ja LCM mängivad arvuteoorias olulist rolli ning mõisteid ise kasutatakse laialdaselt matemaatika erinevates valdkondades. Kasutage meie kalkulaatorit mis tahes arvu arvu suurimate jagajate ja väikseimate kordajate arvutamiseks.
Kuid paljud naturaalarvud jaguvad teiste naturaalarvudega võrdselt.
Näiteks:
Arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;
Arv 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.
Arvu, millega arv jagub (12 puhul on see 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvujagajad. Naturaalarvu jagaja a on naturaalarv, mis jagab antud arvu a jäljetult. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks tegurit komposiit .
Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised jagajad. Need on arvud: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12. Nende kahe arvu ühisjagaja a ja b on arv, millega mõlemad antud arvud jaguvad ilma jäägita a ja b.
ühismitmik mitut arvu nimetatakse arvuks, mis jagub kõigi nende arvudega. Näiteks, on arvude 9, 18 ja 45 ühiskordne 180. Kuid 90 ja 360 on ka nende ühiskordsed. Kõigi jcommon kordsete hulgas on alati kõige väiksem, antud juhul on see 90. Seda arvu nimetatakse vähemaltühiskordne (LCM).
LCM on alati naturaalarv, mis peab olema suurem kui suurim arv, mille jaoks see on määratletud.
Vähim ühiskordaja (LCM). Omadused.
Kommutatiivsus:
Assotsiatiivsus:
Täpsemalt, kui ja on koalgarvud , siis:
Kahe täisarvu vähim ühiskordne m ja n on kõigi teiste ühiste kordajate jagaja m ja n. Veelgi enam, ühiste kordajate hulk m,n langeb kokku LCM(i kordajate hulgaga m,n).
Asümptootikat saab väljendada mõne arvuteoreetilise funktsioonina.
Niisiis, Tšebõševi funktsioon. Sama hästi kui:
See tuleneb Landau funktsiooni definitsioonist ja omadustest g(n).
Mis tuleneb algarvude jaotamise seadusest.
Vähima ühiskordse (LCM) leidmine.
NOC( a, b) saab arvutada mitmel viisil:
1. Kui suurim ühisjagaja on teada, saate kasutada selle seost LCM-iga:
2. Olgu teada mõlema arvu kanooniline lagunemine algteguriteks:
kus p 1 ,...,p k on erinevad algarvud ja d 1,...,dk ja e 1 ,...,ek on mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui vastavat algarvu pole dekompositsioonis).
Seejärel LCM ( a,b) arvutatakse järgmise valemiga:
Teisisõnu sisaldab LCM-i laiendus kõiki algtegureid, mis sisalduvad vähemalt ühes arvulaiendustes. a, b, ja võetakse selle teguri kahest eksponendist suurim.
Näide:
Mitme arvu vähima ühiskordse arvutamise saab taandada kahe arvu LCM-i mitmeks järjestikuseks arvutuseks:
Reegel. Numbriseeria LCM-i leidmiseks vajate:
- lagundada arvud algteguriteks;
- kanda suurim laienemine soovitud korrutise teguritele (antud suurima arvu tegurite korrutis) ja seejärel lisada tegurid teiste arvude laiendusest, mis ei esine esimeses numbris või on selles väiksem arv kordi;
- algtegurite korrutis on antud arvude LCM.
Igal kahel või enamal naturaalarvul on oma LCM. Kui arvud ei ole üksteise kordsed või neil ei ole laiendusel samu tegureid, siis on nende LCM võrdne nende arvude korrutisega.
Arvu 28 algtegureid (2, 2, 7) täiendati koefitsiendiga 3 (arv 21), saadud korrutis (84) on väikseim arv, mis jagub 21 ja 28-ga.
Suurima arvu 30 algtegureid täiendati arvu 25 koefitsiendiga 5, saadud korrutis 150 on suurem kui suurim arv 30 ja jagub kõigi antud arvudega ilma jäägita. See on väikseim võimalik korrutis (150, 250, 300...), mille kõik antud arvud on kordsed.
Arvud 2,3,11,37 on algarvud, seega on nende LCM võrdne antud arvude korrutisega.
reegel. Algarvude LCM-i arvutamiseks peate kõik need arvud omavahel korrutama.
Teine võimalus:
Mitme arvu vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks vajate järgmist.
1) esitage iga arv selle algtegurite korrutisena, näiteks:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) kirjutage üles kõigi algtegurite astmed:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) kirjutage üles kõigi nende arvude kõik algjagajad (kordajad);
4) vali neist igaühe suurim aste, mis on leitud nende arvude kõigis laiendustes;
5) korrutage need võimsused.
Näide. Leidke arvude LCM: 168, 180 ja 3024.
Lahendus. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
Kirjutame välja kõigi algjagajate suurimad astmed ja korrutame need:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Kahe või enama arvu suurima ühisjagaja leidmiseks peate mõistma, mis on naturaal-, alg- ja kompleksarvud.
Naturaalarv on mis tahes arv, mida kasutatakse täisarvude loendamiseks.
Kui naturaalarvu saab jagada ainult iseenda ja ühega, siis nimetatakse seda algarvuks.
Kõik naturaalarvud saab jagada iseenda ja ühega, kuid ainuke paaris algarv on 2, kõik teised saab jagada kahega. Seetõttu saavad algarvud olla ainult paaritud arvud.
Algarvusid on palju, nende täielikku loendit pole. GCD leidmiseks on mugav kasutada selliste numbritega spetsiaalseid tabeleid.
Enamikku naturaalarve saab jagada mitte ainult ühega, vaid ka teiste arvudega. Nii saab näiteks arvu 15 jagada 3 ja 5-ga. Neid kõiki nimetatakse arvu 15 jagajateks.
Seega on iga A jagaja arv, millega seda saab ilma jäägita jagada. Kui arvul on rohkem kui kaks loomulikku jagajat, nimetatakse seda liitarvuks.
Numbril 30 on sellised jagajad nagu 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Näete, et arvudel 15 ja 30 on samad jagajad 1, 3, 5, 15. Nende kahe arvu suurim ühine jagaja on 15.
Seega on arvude A ja B ühine jagaja arv, millega saate need täielikult jagada. Maksimaalseks võib pidada maksimaalset koguarvu, millega neid saab jagada.
Probleemide lahendamiseks kasutatakse järgmist lühendatud pealdist:
GCD (A; B).
Näiteks GCD (15; 30) = 30.
Naturaalarvu kõigi jagajate üleskirjutamiseks kasutatakse tähistust:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
Selles näites on naturaalarvudel ainult üks ühine jagaja. Neid nimetatakse vastavalt koprimeks, ühik on nende suurim ühine jagaja.
Kuidas leida arvude suurim ühisjagaja
Mitme numbri GCD leidmiseks vajate:
Leia iga naturaalarvu kõik jagajad eraldi ehk lagunda need teguriteks (algarvudeks);
Valige antud arvude jaoks kõik samad tegurid;
Korrutage need kokku.
Näiteks 30 ja 56 suurima ühisjagaja arvutamiseks kirjutage järgmine:
Et mitte segadusse sattuda , on mugav kirjutada kordajad vertikaalsete veergude abil. Rea vasakul küljel peate paigutama dividendi ja paremale - jagaja. Dividendi alla tuleks märkida saadud jagatis.
Niisiis, paremas veerus on kõik lahenduseks vajalikud tegurid.
Identsed jagajad (leitud tegurid) võib mugavuse huvides alla kriipsutada. Need tuleks ümber kirjutada ja korrutada ning üles kirjutada suurim ühisjagaja.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Arvude suurima ühisjagaja leidmine on tõesti nii lihtne. Väikese harjutamisega saate seda teha peaaegu automaatselt.
Kahe arvu vähim ühiskordne on otseselt seotud nende arvude suurima ühisjagajaga. See seos GCD ja NOC vahel on määratletud järgmise teoreemiga.
Teoreem.
Kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordne on võrdne arvu a ja b korrutisega jagatud a ja b suurima ühisjagajaga, st LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Tõestus.
Lase M on arvude a ja b kordne. See tähendab, et M jagub a-ga ja jaguvuse definitsiooni kohaselt on mingi täisarv k, mille puhul on tõene võrdus M=a·k. Kuid M jagub ka b-ga, siis a k jagub b-ga.
Tähistage gcd(a, b) kui d . Siis saame üles kirjutada võrrandid a=a 1 ·d ja b=b 1 ·d ning a 1 =a:d ja b 1 =b:d on koalgarvud. Seetõttu saab eelmises lõigus saadud tingimuse, et a k jagub b-ga, ümber sõnastada järgmiselt: a 1 d k jagub b 1 d-ga ja see on jaguvuse omaduste tõttu samaväärne tingimusega, et a 1 k jagub b-ga ühega.
Samuti peame vaadeldavast teoreemist üles kirjutama kaks olulist järeldust.
Kahe arvu ühiskordsed on samad, mis nende vähima ühiskordse kordsed.
See on tõsi, kuna mis tahes M arvu a ja b ühiskordne on defineeritud võrrandiga M=LCM(a, b) t mõne täisarvu t korral.
Positiivsete koaprimarvude a ja b vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.
Selle fakti põhjendus on üsna ilmne. Kuna a ja b on kaasalgarvud, siis gcd(a, b)=1 , seega, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Kolme või enama arvu vähim ühiskordne
Kolme või enama arvu vähima ühiskordse leidmise võib taandada kahe arvu järjestikuse LCM-i leidmiseks. Kuidas seda tehakse, on näidatud järgmises teoreemis: a 1 , a 2 , …, a k langevad kokku arvude m k-1 ühiskordadega ja a k langevad seega kokku m k kordsetega. Ja kuna arvu m k vähim positiivne kordne on arv m k ise, siis arvude a 1 , a 2 , …, a k vähim ühiskordne on m k .
Bibliograafia.
- Vilenkin N.Ya. jne Matemaatika. 6. klass: õpik õppeasutustele.
- Vinogradov I.M. Arvuteooria alused.
- Mihhelovitš Sh.Kh. Arvuteooria.
- Kulikov L.Ya. jt Algebra ja arvuteooria ülesannete kogu: Õpik fiz.-mat. pedagoogiliste instituutide erialad.
GCD on suurim ühine jagaja.
Mitme arvu suurima ühisjagaja leidmiseks toimige järgmiselt.
- määrake mõlemale arvule ühised tegurid;
- leida ühiste tegurite korrutis.
Näide GCD leidmisest:
Leidke arvude 315 ja 245 GCD.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Kirjutage üles mõlema arvu ühised tegurid:
3. Leidke tavategurite korrutis:
gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.
Vastus: GCD(315; 245) = 35.
NOC leidmine
LCM on vähim ühiskordne.
Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks toimige järgmiselt.
- lagundada arvud algteguriteks;
- kirjutage välja tegurid, mis sisalduvad ühe arvu laiendamisel;
- lisage neile teise numbri laiendamisest puuduvad tegurid;
- leida saadud tegurite korrutis.
Näide NOC leidmisest:
Leidke numbrite 236 ja 328 LCM:
1. Jagame arvud algteguriteks:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Kirjutage üles ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid ja lisage neile teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Leidke saadud tegurite korrutis:
LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Vastus: LCM(236; 328) = 19352.
Kahe arvu GCD (suurima ühise jagaja) leidmiseks vajate:
2. Leia (jooni alla) saadud laiendustes kõik levinud algtegurid.
3. Leidke ühiste algtegurite korrutis.
Kahe arvu LCM-i (kõige vähem levinud kordne) leidmiseks vajate:
1. Jagage need arvud algteguriteks.
2. Täiendage ühe neist laiendust nende teise arvu laienemise teguritega, mis ei ole esimese laienduses.
3. Arvutage saadud tegurite korrutis.