Meie tsivilisatsiooni esimesed ajaloolased – vanad kreeklased – mainivad Egiptust geomeetria sünnikohana. Nendega on raske eriarvamusele jääda, teades, millise hämmastava täpsusega vaaraode hiiglaslikud hauad püstitati. Püramiidide tasapindade vastastikune paigutus, nende proportsioonid, orientatsioon kardinaalsetele punktidele – sellise täiuslikkuse saavutamine geomeetria põhitõdesid tundmata oleks mõeldamatu.
Sõna "geomeetria" võib tõlkida kui "maa mõõtmist". Veelgi enam, sõna "maa" ei esine planeedina - päikesesüsteemi osana, vaid tasapinnana. Põllumajandusalade tähistamine on tõenäoliselt geomeetriliste kujundite, nende tüüpide ja omaduste teaduse väga originaalne alus.
Kolmnurk on planimeetria lihtsaim ruumikuju, mis sisaldab ainult kolme punkti - tippe (vähemalt pole). Vundamentide vundament võib-olla on see, miks selles näib olevat midagi salapärast ja iidset. Kolmnurga sees olev kõikenägev silm on üks varasemaid teadaolevaid okultseid märke ning selle leviku geograafia ja ajaraam on lihtsalt hämmastavad. Alates iidsetest Egiptuse, Sumeri, asteekide ja teistest tsivilisatsioonidest kuni tänapäevasemate okultismiarmastajate kogukondadeni, mis on hajutatud üle maailma.
Mis on kolmnurgad
Tavaline skaleenkolmnurk on suletud geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest erineva pikkusega ja kolme nurgaga segmendist, millest ükski pole sirge. Lisaks sellele on mitu eritüüpi.
Teravkolmnurga kõik nurgad on alla 90 kraadi. Teisisõnu, kõik sellise kolmnurga nurgad on teravad.
Täisnurksel kolmnurgal, mille peale koolilapsed on teoreemide rohkuse pärast kogu aeg nutnud, on üks nurk väärtusega 90 kraadi ehk, nagu seda ka nimetatakse, täisnurk.
Nürinurkset kolmnurka eristab asjaolu, et üks selle nurkadest on nüri, see tähendab, et selle väärtus on üle 90 kraadi.
Võrdkülgsel kolmnurgal on kolm ühepikkust külge. Sellisel joonisel on ka kõik nurgad võrdsed.
Ja lõpuks, kolme küljega võrdkülgses kolmnurgas on kaks üksteisega võrdsed.
Iseloomulikud tunnused
Võrdhaarse kolmnurga omadused määravad ka selle peamise, peamise erinevuse – kahe külje võrdsuse. Neid võrdseid külgi nimetatakse tavaliselt puusadeks (või sagedamini külgedeks), kuid kolmandat külge nimetatakse "aluseks".
Vaadeldaval joonisel on a = b.
Võrdhaarse kolmnurga teine märk tuleneb siinusteoreemist. Kuna küljed a ja b on võrdsed, on ka nende vastasnurkade siinused võrdsed:
a/sin γ = b/sin α, kust saame: sin γ = sin α.
Siinuste võrdsusest tuleneb nurkade võrdsus: γ = α.
Seega on võrdhaarse kolmnurga teine märk kahe aluse külgneva nurga võrdsus.
Kolmas märk. Kolmnurgas eristatakse selliseid elemente nagu kõrgus, poolitaja ja mediaan.
Kui ülesande lahendamise käigus selgub, et vaadeldavas kolmnurgas langevad kaks neist elementidest kokku: kõrgus poolitajaga; poolitaja mediaaniga; mediaan kõrgusega - võime kindlalt järeldada, et kolmnurk on võrdhaarne.
Figuuri geomeetrilised omadused
1. Võrdhaarse kolmnurga omadused. Üks joonise eristavaid omadusi on aluse külgnevate nurkade võrdsus:
<ВАС = <ВСА.
2. Veel üks ülalpool käsitletud omadus: võrdhaarse kolmnurga mediaan, poolitaja ja kõrgus on samad, kui need on ehitatud selle tipust põhjani.
3. Alus asuvatest tippudest tõmmatud poolitajate võrdsus:
Kui AE on nurga BAC poolitaja ja CD on nurga BCA poolitaja, siis: AE = DC.
4. Võrdhaarse kolmnurga omadused näevad ette ka aluse tippudest tõmmatavate kõrguste võrdsuse.
Kui ehitada kolmnurga ABC (kus AB = BC) kõrgused tippudest A ja C, siis on saadud lõigud CD ja AE võrdsed.
5. Samuti osutuvad aluse nurkadest tõmmatud mediaanid võrdseks.
Seega, kui AE ja DC on mediaanid, st AD = DB ja BE = EC, siis AE = DC.
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus
Külgede ja nurkade võrdsus nende juures toob kaasa mõned tunnused vaadeldava joonise elementide pikkuste arvutamisel.
Kõrgus võrdhaarses kolmnurgas jagab kujundi 2 sümmeetriliseks täisnurkseks kolmnurgaks, mille hüpotenuusid on küljed. Kõrgus määratakse sel juhul Pythagorase teoreemi järgi jalana.
Kolmnurga kõik kolm külge võivad olla võrdsed, siis nimetatakse seda võrdkülgseks. Võrdkülgse kolmnurga kõrgus määratakse sarnasel viisil, ainult arvutuste jaoks piisab ainult ühe väärtuse teadmisest - selle kolmnurga külje pikkusest.
Kõrguse saate määrata muul viisil, näiteks teades alust ja sellega külgnevat nurka.
Võrdhaarse kolmnurga mediaan
Vaadeldav kolmnurga tüüp lahendatakse geomeetriliste omaduste tõttu üsna lihtsalt minimaalse algandmete kogumiga. Kuna võrdhaarse kolmnurga mediaan on võrdne nii selle kõrguse kui ka poolitajaga, ei erine selle määramise algoritm nende elementide arvutamise järjekorrast.
Näiteks saate teadaoleva külgmise külje järgi määrata mediaani pikkuse ja tipus oleva nurga väärtuse.
Kuidas määrata perimeetrit
Kuna vaadeldaval planimeetrilisel joonisel on kaks külge alati võrdsed, siis perimeetri määramiseks piisab aluse pikkuse ja ühe külje pikkuse teadmisest.
Vaatleme näidet, kui on vaja teadaoleva aluse ja kõrguse põhjal määrata kolmnurga ümbermõõt.
Ümbermõõt on võrdne aluse ja külje kahekordse pikkuse summaga. Külgkülg omakorda määratakse Pythagorase teoreemi abil täisnurkse kolmnurga hüpotenuusina. Selle pikkus võrdub ruutjuurega kõrguse ruudu ja poole aluse ruudu summast.
Võrdhaarse kolmnurga pindala
See ei tekita reeglina raskusi ja võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamist. Universaalne reegel kolmnurga pindala määramiseks pooleks aluse ja selle kõrguse korrutisest kehtib loomulikult meie puhul. Võrdhaarse kolmnurga omadused teevad aga jällegi ülesande lihtsamaks.
Oletame, et teame aluse kõrgust ja nurka. Peate määrama joonise pindala. Saate seda teha nii.
Kuna iga kolmnurga nurkade summa on 180°, siis pole nurga suurust raske määrata. Lisaks määratakse siinusteoreemi järgi koostatud proportsiooni abil kolmnurga aluse pikkus. Kõik, alus ja kõrgus – pindala määramiseks piisavalt andmeid – on olemas.
Võrdhaarse kolmnurga muud omadused
Võrdhaarse kolmnurga ümber piiratud ringjoone keskpunkti asukoht sõltub tipu nurgast. Seega, kui võrdhaarne kolmnurk on teravnurkne, asub ringi keskpunkt joonise sees.
Nüri võrdhaarse kolmnurga ümber piiratud ringi keskpunkt asub sellest väljaspool. Ja lõpuks, kui nurk tipus on 90°, asub keskpunkt täpselt aluse keskel ja ringi läbimõõt läbib alust ennast.
Võrdhaarse kolmnurga ümber piiritletud ringi raadiuse määramiseks piisab, kui jagada külgkülje pikkus kahekordse tipu nurga poole koosinusega.
Tunni teema
Võrdhaarne kolmnurk
Tunni eesmärk
Tutvustage õpilastele võrdhaarset kolmnurka;
Jätkata täisnurksete kolmnurkade ehitamise oskuste kujundamist;
Laiendada kooliõpilaste teadmisi võrdhaarsete kolmnurkade omadustest;
Kinnitada teoreetilisi teadmisi probleemide lahendamisel.
Tunni eesmärgid
Oskab sõnastada, tõestada ja kasutada ülesannete lahendamise protsessis teoreemi võrdhaarse kolmnurga omaduste kohta;
Jätkata õppematerjali teadliku taju, loogilise mõtlemise, enesekontrolli ja enesehindamise oskuste arendamist;
Äratada tunnetuslikku huvi matemaatikatundide vastu;
Kasvatage aktiivsust, uudishimu ja organiseeritust.
Tunniplaan
1. Üldmõisted ja definitsioonid võrdhaarse kolmnurga kohta.
2. Võrdhaarse kolmnurga omadused.
3. Võrdhaarse kolmnurga märgid.
4. Küsimused ja ülesanded.
Võrdhaarne kolmnurk
Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks võrdset külge, mida nimetatakse võrdhaarse kolmnurga külgedeks ja selle kolmandat külge nimetatakse aluseks.
Selle joonise ülaosa on see, mis asub selle aluse vastas.
Nurka, mis asub aluse vastas, nimetatakse selle kolmnurga tipu nurgaks ja ülejäänud kahte nurka nimetatakse võrdhaarse kolmnurga aluse nurkadeks.
Võrdhaarsete kolmnurkade tüübid
Võrdhaarsel kolmnurgal, nagu ka teistel kujunditel, võib olla erinevat tüüpi. Võrdhaarsete kolmnurkade hulka kuuluvad terav-, parem-, nüri- ja võrdkülgsed kolmnurgad.
Teravkolmnurgal on kõik teravnurgad.
Täisnurksel kolmnurgal on täisnurk tipus ja teravnurgad põhjas.
Nürinurga tipus on nürinurk ja põhjas teravad nurgad.
Võrdkülgse kõik nurgad ja küljed on võrdsed.
Võrdhaarse kolmnurga omadused
Võrdhaarse kolmnurga võrdsete külgede vastasnurgad on üksteisega võrdsed;
Kolmnurga võrdsete külgede vastasnurkadest tõmmatud poolitajad, mediaanid ja kõrgused on üksteisega võrdsed.
Poolitaja, mediaan ja kõrgus, mis on suunatud ja tõmmatud kolmnurga alusele, langevad üksteisega kokku.
Sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid asuvad aluse külge tõmmatud kõrgusel, poolitaja ja mediaanil (need langevad kokku).
Võrdhaarse kolmnurga võrdsete külgede vastas olevad nurgad on alati teravad.
Neid võrdhaarse kolmnurga omadusi kasutatakse ülesannete lahendamisel.
Kodutöö
1. Defineeri võrdhaarne kolmnurk.
2. Mis on selle kolmnurga eripära?
3. Mis vahe on võrdhaarsel kolmnurgal ja täisnurksel kolmnurgal?
4. Nimeta sulle teadaolevad võrdhaarse kolmnurga omadused.
5. Kas teie arvates on praktikas võimalik kontrollida nurkade võrdsust aluses ja kuidas seda teha?
Harjutus
Ja nüüd teeme lühikese viktoriini ja uurime, kuidas te uut materjali õppisite.
Kuulake hoolikalt küsimusi ja vastake, kas järgmine väide vastab tõele:
1. Kas kolmnurka saab lugeda võrdkülgseks, kui selle kaks külge on võrdsed?
2. Poolitaja on lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga?
3. Kas poolitaja on lõik, mis jagab nurga, mis poolitab tipu vastasküljel asuva punktiga?
Näpunäiteid võrdhaarse kolmnurga ülesannete lahendamiseks:
1. Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõdu määramiseks piisab, kui korrutada külje pikkus 2-ga ja lisada see korrutis kolmnurga aluse pikkusele.
2. Kui ülesandes on teada võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt ja aluse pikkus, siis külgkülje pikkuse leidmiseks piisab, kui lahutada ümbermõõdust aluse pikkus ja jagada leitud erinevus 2.
3. Ja võrdhaarse kolmnurga aluse pikkuse leidmiseks, teades nii perimeetrit kui ka külje pikkust, peate lihtsalt külje korrutama kahega ja lahutama selle korrutise meie kolmnurga perimeetrist.
Ülesanded:
1. Määrake joonisel olevate kolmnurkade hulgast üks lisa ja selgitage oma valikut:
2. Määrake, millised joonisel kujutatud kolmnurgad on võrdhaarsed, nimetage nende alused ja küljed ning arvutage ka ümbermõõt.
3. Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 21 cm Leia selle kolmnurga küljed, kui üks neist on 3 cm suurem Mitu lahendust saab sellel ülesandel olla?
4. On teada, et kui ühe võrdhaarse kolmnurga külgkülg ja aluse vastasnurk on võrdsed teise külgkülje ja nurgaga, siis on need kolmnurgad võrdsed. Tõesta see väide.
5. Mõelge ja öelge, kas mõni võrdhaarne kolmnurk on võrdkülgne? Ja kas mõni võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarne?
6. Kui võrdhaarse kolmnurga küljed on 4 m ja 5 m, siis milline on selle ümbermõõt? Mitu lahendust sellel probleemil võib olla?
7. Kui võrdhaarse kolmnurga üks nurkadest on võrdne 91 kraadiga, siis millega on võrdsed teised nurgad?
8. Mõelge ja vastake, millised nurgad peaksid olema kolmnurgal, et see oleks korraga nii ristkülikukujuline kui ka võrdhaarne?
Kas sa tead, mis on Pascali kolmnurk? Sageli palutakse Pascali kolmnurgal testida elementaarseid programmeerimisoskusi. Üldiselt viitab Pascali kolmnurk kombinatoorikale ja tõenäosusteooriale. Mis see kolmnurk siis on?
Pascali kolmnurk on lõpmatu aritmeetiline kolmnurk või kolmnurga kujuline tabel, mis moodustatakse binoomkoefitsientide abil. Lihtsamalt öeldes on selle kolmnurga tipp ja küljed ühikud ning see täidetakse kahe ülaltoodud arvu summadega. Sellise kolmnurga saab lisada lõpmatuseni, aga kui selle visandada, siis saame võrdhaarse kolmnurga, mille vertikaaltelje ümber on sümmeetrilised jooned.
Mõelge, kus igapäevaelus pidite kohtuma võrdhaarsete kolmnurkadega? Kas pole tõsi, et majade katused ja iidsed arhitektuuriehitised meenutavad neid vägagi? Ja pidage meeles, mis on Egiptuse püramiidide alus? Kus te veel võrdkülgseid kolmnurki olete näinud?
Iidsetest aegadest pärit võrdhaarsed kolmnurgad aitasid kreeklasi ja egiptlasi kauguste ja kõrguste määramisel. Näiteks kasutasid iidsed kreeklased seda, et määrata kaugelt merel laeva kaugus. Ja iidsed egiptlased määrasid oma püramiidide kõrguse heidetud varju pikkuse tõttu, kuna. see oli võrdhaarne kolmnurk.
Juba iidsetest aegadest on inimesed selle kuju ilu ja praktilisust hinnanud, kuna kolmnurkade kujundid ümbritsevad meid kõikjal. Läbi erinevate külade liikudes näeme majade katuseid ja muid ehitisi, mis meenutavad võrdkülgset kolmnurka, poodi minnes näeme kolmnurkseid toidu- ja mahlapakke ning isegi mõne inimese näod on kolmnurga kujulised. See kujund on nii populaarne, et seda võib leida igal sammul.
Õppeained > Matemaatika > Matemaatika 7. klassvalik 1
1. Kolmnurka nimetatakse skaleeniks ...
2. Võrdhaarse kolmnurga alust nimetatakse ...
4. Kolmnurk UVW- võrdhaarne, wu- selle alus, siis on nurgad võrdsed ...
5. Võrdhaarse kolmnurga poolitaja, mis on tõmmatud alusele, ...
6. Kui kolmnurga kaks nurka on võrdsed, siis ...
2. variant
1. Kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks ...
2. Võrdhaarse kolmnurga külgi nimetatakse ...
3. Kolmnurka nimetatakse võrdkülgseks ...
4. Kolmnurk RST- võrdhaarne, RS ja ST- selle küljed, siis on nurgad võrdsed...
5. Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluses ...
6. Võrdhaarse kolmnurga põhjani langetatud kõrgus, ...
Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk
valik 1
1. Kolmnurkade võrdsuse teine märk on see, et ...
2. Kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks ...
3. Võrdhaarse kolmnurga märk on see, et ...
4. Diagonaalide kolmnurgas...
5. Tala erineb sirgest selle poolest, et ...
6. Kahe võrdhaarse kolmnurga võrdsuse tõestamiseks kolmnurkade võrdsuse kolmanda kriteeriumi järgi peate kontrollima ...
2. variant
1. Kolmnurkade võrdsuse esimene märk on see, et ...
2. Kolmnurkade võrdsuse kolmas märk on see, et ...
3. Kolmnurka nimetatakse õigeks ...
4. Diagonaalide nelinurgas ...
5. Kiir erineb segmendist selle poolest, et ...
6. Kahe võrdkülgse kolmnurga võrdsuse tõestamiseks kolmnurkade võrdsuse kolmanda kriteeriumi järgi peate kontrollima ...
Suhe poolte vahel
Ja kolmnurga nurgad
valik 1
1. Kaht nurka nimetatakse vertikaalseks...
2. Kolmnurga välisnurka nimetatakse ...
3. Kolmnurgal on sisenurgad...
4. Suvalise kolmnurga välisnurk ...
5. Suvalises kolmnurgas suurema nurga vastu ...
2. variant
1. Kaht nurka nimetatakse külgnevateks ...
2. Kolmnurga sisenurka nimetatakse ...
3. Kolmnurgal on välisnurgad…
4. Suvalises kolmnurgas vastu suuremat külge ...
5. Suvalises kolmnurgas väiksema nurga vastu ...
5. Kui kolmnurga kolm nurka on võrdsed, siis kolmnurga ...
Suhe poolte vahel
Kolmnurk
valik 1
1. Kolmnurga kumbki külg ...
2. Katkendjoone otste ühendava segmendi pikkus, ...
3. Suvalises kolmnurgas vastu suuremat külge ...
4. Suvalises kolmnurgas väiksema nurga vastu ...
5. Väide "Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluse juures võrdsed" on ...
2. variant
1. Kolmnurga ebavõrdsus on see, et ...
2. Hulknurga mis tahes külg ...
3. Suvalises kolmnurgas suurema nurga vastu ...
4. Suvalises kolmnurgas vastu väiksemat külge ...
5. Väide "Kui kolmnurga kaks nurka on võrdsed, siis on see võrdhaarne" on ...
Võrdhaarse kolmnurga omadused väljendavad järgmisi teoreeme.
Teoreem 1. Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluses võrdsed.
Teoreem 2. Võrdhaarses kolmnurgas on alusele tõmmatud poolitaja mediaan ja kõrgus.
Teoreem 3. Võrdhaarses kolmnurgas on aluse külge tõmmatud mediaan poolitaja ja kõrgus.
Teoreem 4. Võrdhaarses kolmnurgas on aluse külge tõmmatud kõrgus poolitaja ja mediaan.
Tõestame ühte neist, näiteks teoreemi 2.5.
Tõestus. Vaatleme võrdhaarset kolmnurka ABC, mille alus on BC ja tõesta, et ∠ B = ∠ C. Olgu AD kolmnurga ABC poolitaja (joonis 1). Kolmnurgad ABD ja ACD on kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi võrdsed (AB = AC tingimusel, AD on ühine külg, ∠ 1 = ∠ 2, kuna AD on poolitaja). Nende kolmnurkade võrdsusest järeldub, et ∠ B = ∠ C. Teoreem on tõestatud.
Kasutades teoreemi 1, paneme paika järgmise teoreemi.
Teoreem 5. Kolmnurkade võrdsuse kolmas kriteerium. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad võrdsed (joonis 2).
kommenteerida. Näidetes 1 ja 2 loodud laused väljendavad lõiguga risti poolitaja omadusi. Nendest ettepanekutest tuleneb, et kolmnurga külgede risti poolitajad lõikuvad ühes punktis.
Näide 1 Tõesta, et lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv tasapinna punkt asub selle lõiguga risti poolitajal.
Lahendus. Olgu punkt M lõigu AB otstest võrdsel kaugusel (joonis 3), st AM = VM.
Siis on ΔAMV võrdhaarne. Joonestame sirge p läbi lõigu AB punkti M ja keskpunkti O. Konstruktsiooni järgi on lõik MO võrdhaarse kolmnurga AMB mediaan ja seetõttu (teoreem 3) ja kõrgus, st sirgjoon MO, on lõigu AB risti poolitaja.
Näide 2 Tõesta, et lõigu risti poolitaja iga punkt on selle otstest võrdsel kaugusel.
Lahendus. Olgu p lõigu AB poolitaja risti ja punkt O lõigu AB keskpunkt (vt joonis 3).
Vaatleme suvalist punkti M, mis asub sirgel p. Joonistame lõigud AM ja VM. Kolmnurgad AOM ja VOM on võrdsed, kuna nende nurgad tipus O on sirged, jalg OM on ühine ja jalg OA on tingimuse järgi võrdne jalaga OB. Kolmnurkade AOM ja BOM võrdsusest järeldub, et AM = BM.
Näide 3 Kolmnurgas ABC (vt joonis 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; kolmnurgas DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Võrdle kolmnurki ABC ja DEF. Leidke vastavalt võrdsed nurgad.
Lahendus. Need kolmnurgad on kolmandas kriteeriumis võrdsed. Vastavalt sellele võrdsed nurgad: A ja E (need asetsevad võrdsete külgede BC ja FD vastas), B ja F (need asuvad võrdsete külgede AC ja DE vastas), C ja D (need asuvad võrdsete külgede AB ja EF vastas).
Näide 4 Joonisel 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Leia nurk D.
Lahendus. Vaatleme kolmnurki ABC ja ADC. Need on kolmandas tunnuses võrdsed (AB = DC, BC = AD tingimuse järgi ja külg AC on tavaline). Nende kolmnurkade võrdsusest järeldub, et ∠ B = ∠ D, kuid nurk B on 100°, seega nurk D on 100°.
Näide 5 Võrdhaarses kolmnurgas ABC, mille alus on AC, on tipu C välisnurk 123°. Leia nurk ABC. Esitage oma vastus kraadides.
Video lahendus.