Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem on väga lihtne asi. Nii tähenduses kui ka üldiselt. Kuid n-nda liikme valemiga on igasuguseid probleeme – väga primitiivsetest kuni päris tõsisteni. Ja tutvumise käigus arvestame kindlasti mõlemaga. Noh, kohtume?)
Nii et alustuseks tegelikult valemn
Seal ta on:
b n = b 1 · q n -1
Valem kui valem, ei midagi üleloomulikku. See näeb välja veelgi lihtsam ja kompaktsem kui sarnane valem . Valemi tähendus on samuti lihtne, nagu viltsaabas.
See valem võimaldab teil leida GEomeetrilise progressiooni mistahes liikme TEMA NUMBRI JÄRGI " n".
Nagu näete, on tähendus täielik analoogia aritmeetilise progressiooniga. Teame arvu n – selle arvu all saame ka liikme välja arvutada. Mida me tahame. Mitte korrutada järjestikku "q-ga" mitu korda. See on kogu mõte.)
Ma saan aru, et sellisel tasemel progresseerumisega töötamisel peaksid kõik valemis sisalduvad kogused teile juba selged olema, kuid pean oma kohuseks igaüks neist lahti mõtestada. Igaks juhuks.
Nii et lähme:
b 1 – esimene geomeetrilise progressiooni liige;
q – ;
n– liikme number;
b n – nth (nth) geomeetrilise progressiooni liige.
See valem seob mis tahes geomeetrilise progressiooni neli peamist parameetrit - bn, b 1 , q ja n. Ja nende nelja võtmefiguuri ümber keerlevad kõik käimasolevad ülesanded.
"Ja kuidas seda kuvatakse?"- Ma kuulen uudishimulikku küsimust ... Elementaarne! Vaata!
Mis on võrdne teiseks progressi liige? Pole probleemi! Kirjutame otse:
b 2 = b 1 q
Ja kolmas liige? Pole ka probleem! Korrutame teise liikme uuesti sisseq.
Nagu nii:
B 3 \u003d b 2 q
Tuletage nüüd meelde, et teine liige on omakorda võrdne b 1 q-ga ja asendage see avaldis meie võrdsusega:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Saame:
B 3 = b 1 q 2
Nüüd loeme oma sissekannet vene keeles: kolmandaks liige on võrdne esimese liikmega, mis on korrutatud q-ga teiseks kraadi. Kas saad aru? Mitte veel? Olgu, üks samm veel.
Mis on neljas termin? Kõik on sama! Korrutada eelmine(st kolmas termin) q-s:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Kokku:
B 4 = b 1 q 3
Ja jälle tõlgime vene keelde: neljas liige on võrdne esimese liikmega, mis on korrutatud q-ga kolmandaks kraadi.
Ja nii edasi. Kuidas siis on? Kas sa said mustri kinni? Jah! Mis tahes arvuga liikme puhul on võrdsete tegurite arv q (st nimetaja võimsus) alati ühe võrra vähem kui soovitud liikme arvn.
Seetõttu on meie valem ilma valikuteta:
b n =b 1 · q n -1
See on kõik.)
Noh, lahendame probleemid, eks?)
Ülesannete lahendamine valemigangeomeetrilise progressiooni liige.
Alustame, nagu tavaliselt, valemi otsesest rakendamisest. Siin on tüüpiline probleem:
See on eksponentsiaalselt teada b 1 = 512 ja q = -1/2. Leidke progressiooni kümnes liige.
Loomulikult saab selle probleemi lahendada ilma valemiteta. Täpselt nagu geomeetriline progressioon. Aga me peame end soojendama n-nda liikme valemiga, eks? Siin me läheme lahku.
Meie andmed valemi rakendamiseks on järgmised.
Esimene termin on teada. See on 512.
b 1 = 512.
Teada on ka progresseerumise nimetaja: q = -1/2.
Jääb vaid välja mõelda, millega n-liikme arv võrdub. Pole probleemi! Kas meid huvitab kümnes ametiaeg? Seega asendame üldvalemis n asemel kümne.
Ja arvutage hoolikalt aritmeetika:
Vastus: -1
Nagu näha, osutus progressi kümnes liige miinusega. Pole ka ime: progressiooni nimetaja on -1/2, s.o. negatiivne number. Ja see ütleb meile, et meie progresseerumise märgid vahelduvad, jah.)
Siin on kõik lihtne. Ja siin on sarnane probleem, kuid arvutuste osas veidi keerulisem.
Geomeetrilises progressioonis teame, et:
b 1 = 3
Leidke progressiooni kolmeteistkümnes liige.
Kõik on endine, ainult seekord progressi nimetaja - irratsionaalne. Kahe juur. No pole suurt midagi. Valem on universaalne asi, see tuleb toime mis tahes numbritega.
Töötame otse valemi järgi:
Valem muidugi töötas nii, nagu peab, aga ... siin jäävad mõned rippuma. Mida juurega edasi teha? Kuidas tõsta juur kaheteistkümnenda astmeni?
Kuidas-kuidas ... Peate mõistma, et igasugune valem on muidugi hea, kuid kogu eelneva matemaatika teadmisi ei tühistata! Kuidas kasvatada? Jah, pidage meeles kraadide omadusi! Muudame juureks murdosa aste ja – võimsuse võimsuseks tõstmise valemiga.
Nagu nii:
Vastus: 192
Ja kõik asjad.)
Mis on peamine raskus n-nda termini valemi otsesel rakendamisel? Jah! Peamine raskus on tööta kraadiga! Nimelt negatiivsete arvude, murdude, juurte jms konstruktsioonide astendamine. Nii et kellel sellega probleeme, kiire palve korrata kraadid ja nende omadused! Vastasel juhul aeglustate selles teemas, jah ...)
Nüüd lahendame tüüpilised otsinguprobleemid üks valemi elemente kui kõik teised on antud. Selliste probleemide edukaks lahendamiseks on retsept ühekordne ja õudusele lihtne - kirjutage valemnliige üldiselt! Otse märkmikus seisukorra kõrval. Ja siis, tingimuse järgi, mõtleme välja, mida meile antakse ja millest ei piisa. Ja me väljendame soovitud väärtust valemist. Kõik!
Näiteks selline kahjutu probleem.
Geomeetrilise progressiooni viies liige, mille nimetaja on 3, on 567. Leidke selle progressiooni esimene liige.
Ei midagi keerulist. Töötame otse loitsu järgi.
Kirjutame n-nda liikme valemi!
b n = b 1 · q n -1
Mida meile antakse? Esiteks antakse progresseerumise nimetaja: q = 3.
Lisaks on meile antud viies ametiaeg: b 5 = 567 .
Kõik? Mitte! Meile antakse ka number n! See on viis: n = 5.
Loodan, et saate juba aru, mis protokollis on b 5 = 567 kaks parameetrit on korraga peidetud - see on viies liige ise (567) ja selle number (5). Sarnases õppetükis ma sellest juba rääkisin, kuid arvan, et siin pole üleliigne meelde tuletada.)
Nüüd asendame oma andmed valemiga:
567 = b 1 3 5-1
Vaatleme aritmeetikat, lihtsustame ja saame lihtsa lineaarvõrrandi:
81 b 1 = 567
Lahendame ja saame:
b 1 = 7
Nagu näha, siis esimese liikme leidmisega probleeme pole. Aga nimetajat otsides q ja numbrid n võib tulla üllatusi. Ja sa pead olema ka nendeks (üllatusteks) valmis, jah.)
Näiteks selline probleem:
Positiivse nimetajaga geomeetrilise progressiooni viies liige on 162 ja selle progressiooni esimene liige on 2. Leidke progressiooni nimetaja.
Seekord antakse meile esimene ja viies liige ning palutakse leida edenemise nimetaja. Siit me alustame.
Kirjutame valeminliige!
b n = b 1 · q n -1
Meie esialgsed andmed on järgmised:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Pole piisavalt väärtust q. Pole probleemi! Leiame selle kohe üles.) Asendame valemiga kõik, mida teame.
Saame:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Lihtne neljanda astme võrrand. Aga nüüd - hoolikalt! Lahenduse selles etapis tõmbavad paljud õpilased kohe rõõmsalt juure (neljanda astme) välja ja saavad vastuse q=3 .
Nagu nii:
q4 = 81
q = 3
Kuid üldiselt on see lõpetamata vastus. Või õigemini poolik. Miks? Asi on selles, et vastus q = -3 sobib ka: (-3) 4 oleks ka 81!
Selle põhjuseks on võimsusvõrrand x n = a alati on olnud kaks vastandlikku juurt juures isegin . Pluss ja miinus:
Mõlemad sobivad.
Näiteks lahendamine (st. teiseks kraadi)
x2 = 9
Millegipärast ei üllata välimus kaks juured x=±3? Siin on sama. Ja mis tahes muuga isegi aste (neljas, kuues, kümnes jne) on sama. Üksikasjad - teemas umbes
Seega oleks õige lahendus:
q 4 = 81
q= ±3
Olgu, me oleme märgid välja mõelnud. Kumb on õige - pluss või miinus? Noh, lugesime otsimisel uuesti probleemi seisukorda Lisainformatsioon. Seda muidugi ei pruugi olla, kuid selles probleemis sellist teavet saadaval. Meie seisukorras on otse öeldud, et progressioon antakse koos positiivne nimetaja.
Nii et vastus on ilmne:
q = 3
Siin on kõik lihtne. Mis teie arvates juhtuks, kui probleemiavaldus oleks järgmine:
Geomeetrilise progressiooni viies liige on 162 ja selle progressiooni esimene liige on 2. Leidke progressiooni nimetaja.
Mis vahe on? Jah! Seisundis mitte midagi nimetajat ei mainita. Ei otseselt ega kaudselt. Ja siin oleks probleem juba tekkinud kaks lahendust!
q = 3 ja q = -3
Jah Jah! Ja pluss-miinus.) Matemaatiliselt tähendaks see fakt, et neid on kaks progressi mis sobib ülesandega. Ja igaühe jaoks - oma nimetaja. Lõbu pärast harjutage ja kirjutage üles igaühe esimesed viis terminit.)
Nüüd harjutame liikmenumbri leidmist. See on kõige raskem, jah. Aga ka loomingulisem.
Arvestades geomeetrilist progressiooni:
3; 6; 12; 24; …
Mis arv on 768 selles javas?
Esimene samm on sama: kirjutage valemnliige!
b n = b 1 · q n -1
Ja nüüd, nagu tavaliselt, asendame sellega meile teadaolevad andmed. Hm... ei sobi! Kus on esimene liige, kus on nimetaja, kus on kõik muu?!
Kus, kus ... Miks me vajame silmi? Lehvivad ripsmed? Seekord antakse edasiminek meile otse vormis järjestused. Kas me näeme esimest ametiaega? Me näeme! See on kolmik (b 1 = 3). Aga nimetaja? Me ei näe seda veel, kuid seda on väga lihtne üles lugeda. Kui muidugi mõistate.
Siin me kaalume. Otseselt geomeetrilise progressiooni tähenduse järgi: võtame selle suvalise liikme (välja arvatud esimene) ja jagame eelmisega.
Vähemalt nii:
q = 24/12 = 2
Mida me veel teame? Teame ka mõnda selle progressiooni liiget, mis on võrdne 768-ga. Mõne arvu n all:
b n = 768
Me ei tea tema numbrit, aga meie ülesanne on just nimelt ta üles leida.) Seega me otsime. Oleme juba valemis kõik asendamiseks vajalikud andmed alla laadinud. Märkamatult.)
Siin asendame:
768 = 3 2n -1
Teeme elementaarsed - jagame mõlemad osad kolmega ja kirjutame võrrandi ümber tavalisel kujul: vasakul on tundmatu, paremal on teada.
Saame:
2 n -1 = 256
Siin on huvitav võrrand. Peame leidma "n". Mis on ebatavaline? Jah, ma ei vaidle vastu. Tegelikult on see kõige lihtsam. Seda nimetatakse tundmatu tõttu (antud juhul on see number n) seisab sisse indikaator kraadi.
Geomeetrilise progressiooniga tutvumise etapis (see on üheksas klass) eksponentsiaalvõrrandeid ei õpetata lahendama, jah ... See on keskkooli teema. Aga midagi kohutavat pole. Isegi kui te ei tea, kuidas selliseid võrrandeid lahendatakse, proovime leida oma n juhindudes lihtsast loogikast ja tervest mõistusest.
Hakkame arutama. Vasakul on meil kaksik mingi piirini. Me ei tea veel, mis see kraad täpselt on, kuid see pole hirmutav. Kuid teisest küljest teame kindlalt, et see kraad võrdub 256-ga! Nii et me mäletame, mil määral annab kakskümmend meile 256. Mäletate? Jah! AT kaheksas kraadid!
256 = 2 8
Kui te ei mäletanud või ei teadnud probleemi astmeid, siis pole ka midagi: me lihtsalt tõstame need kaks järjestikku ruudule, kuubile, neljandale astmele, viiendale ja nii edasi. Valik on tegelikult, kuid sellel tasemel, üsna suur sõit.
Ühel või teisel viisil saame:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Nii et 768 on üheksas meie progressi liige. See on kõik, probleem lahendatud.)
Vastus: 9
Mida? Igav? Väsinud algõpetusest? Ma nõustun. Ja mina ka. Läheme järgmisele tasemele.)
Keerulisemad ülesanded.
Ja nüüd lahendame mõistatusi järsemalt. Mitte just ülilahe, aga mille kallal tuleb vastuseni jõudmiseks veidi tööd teha.
Näiteks niimoodi.
Leidke geomeetrilise progressiooni teine liige, kui selle neljas liige on -24 ja seitsmes liige on 192.
See on selle žanri klassika. On teada mõned kaks erinevat edenemise liiget, kuid üks liige tuleb juurde leida. Pealegi EI OLE kõik liikmed naabrid. Mis alguses segadusse ajab, jah...
Nagu , kaalume selliste probleemide lahendamiseks kahte meetodit. Esimene viis on universaalne. Algebraline. Töötab veatult kõigi lähteandmetega. Nii et siit me alustame.)
Värvime iga termini valemi järgi nliige!
Kõik on täpselt sama, mis aritmeetilise progressiooni puhul. Ainult seekord teeme koostööd teineüldine valem. See on kõik.) Kuid olemus on sama: me võtame ja vastutasuks asendame oma algandmed n-nda liikme valemiga. Igale liikmele - oma.
Neljandaks ametiajaks kirjutame:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Seal on. Üks võrrand on valmis.
Seitsmenda perioodi kohta kirjutame:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Kokku saadi kaks võrrandit sama progress .
Nendest koostame süsteemi:
Vaatamata oma suurepärasele välimusele on süsteem üsna lihtne. Kõige ilmsem viis selle lahendamiseks on tavaline asendus. Me väljendame b 1 ülemisest võrrandist ja asendage alumisega:
Pisut askeldamist madalama võrrandiga (vähendades eksponente ja jagades -24-ga) on tulemuseks:
q 3 = -8
Muide, sama võrrandini saab jõuda ka lihtsamal viisil! Mida? Nüüd näitan teile veel ühte salajast, kuid väga ilusat, võimsat ja kasulikku viisi selliste süsteemide lahendamiseks. Sellised süsteemid, mille võrrandites nad istuvad ainult töötab. Vähemalt ühes. helistas termini jagamise meetodühest võrrandist teise.
Nii et meil on süsteem:
Mõlemas vasakpoolses võrrandis - tööd, ja paremal on vaid number. See on väga hea märk.) Võtame ja ... jagame näiteks alumine võrrand ülemisega! Mida tähendab, jagada üks võrrand teisega? Väga lihtne. Me võtame vasak poolüks võrrand (madalam) ja me jagame ta peal vasak pool teine võrrand (ülemine). Parem pool on sarnane: parem poolüks võrrand me jagame peal parem pool teine.
Kogu jagamisprotsess näeb välja selline:
Nüüd, vähendades kõike vähendatavat, saame:
q 3 = -8
Mis on selles meetodis head? Jah, sest sellise jagamise käigus saab kõike halba ja ebamugavat turvaliselt vähendada ning jääb alles täiesti kahjutu võrrand! Sellepärast on nii oluline omada ainult korrutused vähemalt ühes süsteemi võrrandis. Korrutamist pole - pole midagi vähendada, jah ...
Üldiselt väärib see meetod (nagu paljud teised mittetriviaalsed süsteemide lahendamise viisid) isegi eraldi õppetundi. Kindlasti vaatan seda lähemalt. Kunagi…
Kuid hoolimata sellest, kuidas te süsteemi lahendate, peame nüüd igal juhul lahendama saadud võrrandi:
q 3 = -8
Pole probleemi: ekstraheerime juure (kuup) ja - valmis!
Pange tähele, et ekstraheerimisel ei ole vaja siia pluss/miinus panna. Meil on paaritu (kolmanda) astme juur. Ja vastus on sama, jah.
Niisiis, progresseerumise nimetaja on leitud. Miinus kaks. Suurepärane! Protsess on käimas.)
Esimese liikme jaoks (ütleme ülemisest võrrandist) saame:
Suurepärane! Teame esimest liiget, teame nimetajat. Ja nüüd on meil võimalus leida iga progressi liige. Kaasa arvatud teine.)
Teise liikme jaoks on kõik üsna lihtne:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Vastus: -6
Niisiis, oleme välja selgitanud probleemi lahendamise algebralise viisi. Raske? Mitte palju, nõustun. Pikad ja igavad? Jah, kindlasti. Kuid mõnikord saate töö mahtu oluliselt vähendada. Selle jaoks on olemas graafiline viis. Vana hea ja meile tuttav.)
Joonistame probleemi!
Jah! Täpselt nii. Jällegi kujutame oma progresseerumist arvuteljel. Mitte tingimata joonlaua abil, pole vaja säilitada liikmete vahel võrdseid intervalle (mis, muide, ei ole sama, sest progressioon on geomeetriline!), Aga lihtsalt skemaatiliselt joonistage meie jada.
Sain selle nii:
Vaata nüüd pilti ja mõtle. Kui palju võrdseid tegureid "q" jagab neljas ja seitsmes liikmed? Täpselt nii, kolm!
Seetõttu on meil täielik õigus kirjutada:
-24q 3 = 192
Siit on nüüd lihtne q leida:
q 3 = -8
q = -2
Tore, nimetaja on juba taskus. Ja nüüd vaatame uuesti pilti: kui palju selliseid nimetajaid istub teiseks ja neljas liikmed? Kaks! Seetõttu tõstame nende liikmete vahelise suhte fikseerimiseks nimetaja ruuduline.
Siin me kirjutame:
b 2 · q 2 = -24 , kus b 2 = -24/ q 2
Asendame leitud nimetaja avaldises b 2, loendame ja saame:
Vastus: -6
Nagu näete, on kõik palju lihtsam ja kiirem kui süsteemi kaudu. Veelgi enam, siin ei pidanud me isegi esimest ametiaega üldse arvestama! Üleüldse.)
Siin on selline lihtne ja visuaalne viis-valgus. Kuid sellel on ka tõsine puudus. Arvas? Jah! See on hea ainult väga lühikeste edenemise tükkide jaoks. Sellised, kus vahemaad meid huvitavate liikmete vahel ei ole väga suured. Aga kõigil muudel juhtudel on juba raske pilti joonistada, jah... Siis lahendame probleemi analüütiliselt, süsteemi kaudu.) Ja süsteemid on universaalne asi. Tegelege mis tahes numbriga.
Veel üks eepiline:
Geomeetrilise progressiooni teine liige on 10 võrra suurem kui esimene ja kolmas liige on 30 võrra suurem kui teine. Leidke progressiooni nimetaja.
Mis on lahe? Üldse mitte! Kõik on sama. Tõlgime ülesande tingimuse taas puhtaks algebraks.
1) Värvime iga termini valemi järgi nliige!
Teine liige: b 2 = b 1 q
Kolmas liige: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Paneme ülesande seisundist kirja liikmetevahelise suhte.
Tingimust lugedes: "Gomeetrilise progressiooni teine liige on 10 võrra suurem kui esimene." Lõpetage, see on väärtuslik!
Nii et me kirjutame:
b 2 = b 1 +10
Ja me tõlgime selle fraasi puhtaks matemaatikaks:
b 3 = b 2 +30
Saime kaks võrrandit. Ühendame need süsteemiks:
Süsteem tundub lihtne. Kuid tähtede jaoks on palju erinevaid indekseid. Asendagem nende avaldise teise ja kolmanda liikme asemel esimese liikme ja nimetaja kaudu! Asjata, või mis, me värvisime neid?
Saame:
Kuid selline süsteem pole enam kingitus, jah ... Kuidas seda lahendada? Kahjuks universaalne salajane loits lahendada keeruline mittelineaarne Matemaatikas ei ole süsteeme ega saagi olla. See on fantastiline! Kuid esimene asi, mis teile sellist kõva pähklit murdes peaks pähe tulema, on selle väljamõtlemine Kuid kas üks süsteemi võrranditest pole taandatud ilusale kujule, mis teeb lihtsaks näiteks ühe muutuja väljendamise teise kaudu?
Oletame ära. Süsteemi esimene võrrand on teisest selgelt lihtsam. Me piiname teda.) Miks mitte proovida esimesest võrrandist midagi läbi väljendada midagi? Kuna me tahame leida nimetaja q, siis oleks meile kõige soodsam väljendada b 1 läbi q.
Nii et proovime seda protseduuri teha esimese võrrandiga, kasutades vanu häid võrrandeid:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
Kõik! Siin oleme väljendanud mittevajalik meile muutuja (b 1) kaudu vajalik(q). Jah, mitte kõige lihtsam väljend. Mingi murdosa ... Aga meie süsteem on korralikul tasemel, jah.)
Tüüpiline. Mida teha - me teame.
Kirjutame ODZ (tingimata!) :
q ≠ 1
Korrutame kõik nimetajaga (q-1) ja vähendame kõiki murde:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Jagame kõik kümnega, avame sulgud, kogume kõik vasakult:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Lahendame tulemuse ja saame kaks juurt:
q 1 = 1
q 2 = 3
On ainult üks lõplik vastus: q = 3 .
Vastus: 3
Nagu näete, on enamiku ülesannete lahendamise viis geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi jaoks alati sama: me loeme hoolikaltülesande tingimus ja n-nda liikme valemit kasutades tõlgime kogu kasuliku teabe puhtaks algebraks.
Nimelt:
1) Kirjutame iga ülesandes antud liikme valemi järgi eraldinliige.
2) Ülesande tingimusest tõlgime liikmetevahelise seose matemaatilisele kujule. Koostame võrrandi või võrrandisüsteemi.
3) Lahendame saadud võrrandi või võrrandisüsteemi, leiame progressiooni tundmatud parameetrid.
4) Kahemõttelise vastuse korral loeme lisainformatsiooni otsimisel (kui see on olemas) hoolikalt probleemi seisukorraga. Samuti kontrollime saadud vastust ODZ tingimustega (kui need on olemas).
Ja nüüd loetleme peamised probleemid, mis kõige sagedamini põhjustavad geomeetrilise progressiooni probleemide lahendamisel vigu.
1. Elementaararitmeetika. Tehted murdude ja negatiivsete arvudega.
2. Kui vähemalt üks neist kolmest punktist on probleem, siis eksite selles teemas paratamatult. Kahjuks... Nii et ärge olge laisk ja korrake ülalpool mainitud. Ja järgige linke – minge. Mõnikord aitab.)
Muudetud ja korduvad valemid.
Ja nüüd vaatame paari tüüpilist eksamiprobleemi tingimuse vähem tuttava esitlusega. Jah, jah, sa arvasid ära! seda muudetud ja korduv n-nda liikme valemid. Oleme selliste valemitega juba kokku puutunud ja töötanud aritmeetilises progressioonis. Siin on kõik sarnane. Põhiolemus on sama.
Näiteks selline probleem OGE-st:
Geomeetriline progressioon on antud valemiga b n = 3 2 n . Leidke esimese ja neljanda liikme summa.
Seekord antakse meile edasiminek mitte päris nii nagu tavaliselt. Mingi valem. Mis siis? See valem on ka valemnliige! Me kõik teame, et n-nda liikme valemit saab kirjutada nii üldkujul, tähtede kaudu kui ka jaoks spetsiifiline progresseerumine. FROM spetsiifiline esimene liige ja nimetaja.
Meie puhul antakse meile geomeetrilise progressiooni üldtermin valem järgmiste parameetritega:
b 1 = 6
q = 2
Kontrollime?) Kirjutame n-nda liikme valemi üldkujul ja asendame sellega b 1 ja q. Saame:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Lihtsustame, kasutades faktorisatsiooni ja võimsusomadusi, ning saame:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Nagu näete, on kõik aus. Kuid meie eesmärk teiega ei ole näidata konkreetse valemi tuletamist. See on nii, lüüriline kõrvalepõige. Puhtalt mõistmiseks.) Meie eesmärk on lahendada probleem valemi järgi, mis on meile tingimuses antud. Kas saate aru?) Seega töötame otse muudetud valemiga.
Arvestame esimest ametiaega. Asendaja n=1 üldisesse valemisse:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Nagu nii. Muide, ma ei ole liiga laisk ja juhin taaskord teie tähelepanu tüüpilisele prohmakale esimese tähtaja arvutamisel. ÄRGE vaadake valemit b n= 3 2n, torma kohe kirjutama, et esimene liige on troika! See on suur viga, jah...)
Jätkame. Asendaja n=4 ja kaaluge neljandat terminit:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Ja lõpuks arvutame vajaliku summa:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Vastus: 54
Teine probleem.
Geomeetriline progressioon määratakse järgmiste tingimustega:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Leidke progressiooni neljas liige.
Siin on edenemine antud korduva valemiga. Noh, okei.) Kuidas selle valemiga töötada - me teame ka.
Siin me tegutseme. Samm sammu haaval.
1) lugedes kaks järjestikused progressi liige.
Esimene tähtaeg on meile juba antud. Miinus seitse. Kuid järgmist, teist liiget saab hõlpsasti arvutada rekursiivse valemi abil. Kui saate muidugi aru, kuidas see töötab.)
Siin käsitleme teist terminit kuulsa esimese järgi:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Arvestame progressiooni nimetajaga
Samuti pole probleemi. Otse, jaga teiseks riista peale esimene.
Saame:
q = -21/(-7) = 3
3) Kirjutage valemnliige tavalisel kujul ja kaaluge soovitud liiget.
Niisiis, me teame esimest liiget, ka nimetajat. Siin me kirjutame:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Vastus: -189
Nagu näete, ei erine selliste valemitega töötamine geomeetrilise progressiooni jaoks sisuliselt aritmeetilise progressiooni omast. Oluline on mõista ainult nende valemite üldist olemust ja tähendust. No geomeetrilise progressiooni tähendusest tuleb ka aru saada, jah.) Ja siis ei tule rumalaid vigu.
Noh, otsustame ise?)
Üsna elementaarsed ülesanded soojenduseks:
1. Antud geomeetriline progressioon, milles b 1 = 243 ja q = -2/3. Leidke progressiooni kuues liige.
2. Geomeetrilise progressiooni ühine liige on antud valemiga b n = 5∙2 n +1 . Leidke selle progressiooni viimase kolmekohalise liikme number.
3. Geomeetriline progressioon määratakse järgmiste tingimustega:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Leidke progressiooni viies liige.
Natuke keerulisem:
4. Antud geomeetriline progressioon:
b 1 =2048; q =-0,5
Mis on selle kuues negatiivne termin?
Mis tundub üliraske? Üldse mitte. Päästab loogika ja geomeetrilise progressiooni tähenduse mõistmine. Noh, n-nda liikme valem muidugi.
5. Geomeetrilise progressiooni kolmas liige on -14 ja kaheksas liige 112. Leidke progressiooni nimetaja.
6. Geomeetrilise progressiooni esimese ja teise liikme summa on 75 ning teise ja kolmanda liikme summa on 150. Leidke progressiooni kuues liige.
Vastused (segaselt): 6; -3888; - üks; 800; -32; 448.
See on peaaegu kõik. Jääb üle vaid loendada geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa jah avastada lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ja selle summa. Väga huvitav ja ebatavaline asi, muide! Lisateavet selle kohta hilisemates õppetundides.)
Matemaatika on misinimesed kontrollivad loodust ja iseennast.
Nõukogude matemaatik, akadeemik A.N. Kolmogorov
Geomeetriline progressioon.
Lisaks aritmeetilise progressiooni ülesannetele on matemaatika sisseastumiskatsetel levinud ka geomeetrilise progressiooni mõistega seotud ülesanded. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks peate teadma geomeetrilise progressiooni omadusi ja omama häid oskusi nende kasutamisel.
See artikkel on pühendatud geomeetrilise progressiooni põhiomaduste tutvustamisele. Samuti on toodud näiteid tüüpiliste probleemide lahendamisest, laenatud matemaatika sisseastumiskatsete ülesannetest.
Märgime esmalt geomeetrilise progressiooni põhiomadused ja tuletame meelde olulisemad valemid ja väited, seotud selle kontseptsiooniga.
Definitsioon. Arvjada nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks, kui iga selle arv, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.
Geomeetrilise progressiooni jaoksvalemid kehtivad
, (1)
kus . Valemit (1) nimetatakse geomeetrilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) on geomeetrilise progressiooni põhiomadus: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete geomeetrilise keskmise ja .
Märge, et just selle omaduse tõttu nimetatakse kõnealust progressiooni "geomeetriliseks".
Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on kokku võetud järgmiselt:
, (3)
Summa arvutamiseks esiteks geomeetrilise progressiooni liikmedvalem kehtib
Kui me määrame
kus . Kuna , valem (6) on valemi (5) üldistus.
Juhul, kui ja geomeetriline progressioonväheneb lõpmatult. Summa arvutamisekslõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni kõigist liikmetest kasutatakse valemit
. (7)
Näiteks , kasutades valemit (7), saab näidata, mida
kus . Need võrdsused saadakse valemist (7) eeldusel, et , (esimene võrdsus) ja , (teine võrdsus).
Teoreem. Kui siis
Tõestus. Kui siis ,
Teoreem on tõestatud.
Liigume edasi probleemide lahendamise näidete kaalumisele teemal "Geomeetriline progressioon".
Näide 1 Arvestades: , ja . Leia .
Lahendus. Kui rakendatakse valemit (5), siis
Vastus:.
Näide 2 Lase ja . Leia .
Lahendus. Kuna ja , kasutame valemeid (5), (6) ja saame võrrandisüsteemi
Kui süsteemi (9) teine võrrand on jagatud esimesega, siis või . Sellest järeldub . Vaatleme kahte juhtumit.
1. Kui , siis süsteemi (9) esimesest võrrandist saame.
2. Kui , siis .
Näide 3 Laske , ja . Leia .
Lahendus. Valemist (2) tuleneb, et või . Alates , siis või .
Tingimuse järgi. Siiski . Sest ja , siis siin on võrrandisüsteem
Kui süsteemi teine võrrand on jagatud esimesega, siis või .
Kuna võrrandil on üks sobiv juur . Sel juhul tähendab süsteemi esimene võrrand .
Võttes arvesse valemit (7), saame.
Vastus:.
Näide 4 Arvestades: ja . Leia .
Lahendus. Sellest ajast .
Sest siis või
Vastavalt valemile (2) on meil . Sellega seoses saame võrdsusest (10) või .
Kuid tingimusel, seega .
Näide 5 On teada, et. Leia .
Lahendus. Teoreemi järgi on meil kaks võrdsust
Alates , siis või . Sest siis.
Vastus:.
Näide 6 Arvestades: ja . Leia .
Lahendus. Võttes arvesse valemit (5), saame
Sellest ajast . Alates , ja , siis .
Näide 7 Lase ja . Leia .
Lahendus. Valemi (1) järgi saame kirjutada
Seetõttu on meil või . On teada, et ja , seega ja .
Vastus:.
Näide 8 Leia lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni nimetaja, kui
ja .
Lahendus. Valemist (7) järeldub ja . Siit ja ülesande tingimusest saame võrrandisüsteemi
Kui süsteemi esimene võrrand on ruudus, ja seejärel jagage saadud võrrand teise võrrandiga, siis saame
Või .
Vastus:.
Näide 9 Leidke kõik väärtused, mille jada , , on geomeetriline progressioon.
Lahendus. Laske , ja . Vastavalt valemile (2), mis määratleb geomeetrilise progressiooni põhiomaduse, võime kirjutada või .
Siit saame ruutvõrrandi, mille juured on ja .
Kontrollime: kui, seejärel , ja ; kui , siis ja .
Esimesel juhul on meil ja , ja teises - ja .
Vastus: ,.
Näide 10lahendage võrrand
, (11)
kus ja.
Lahendus. Võrrandi (11) vasak pool on lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, milles ja , tingimusel, et: ja .
Valemist (7) järeldub, mida . Sellega seoses võtab võrrand (11) kuju või . sobiv juur ruutvõrrand on
Vastus:.
Näide 11. P positiivsete arvude jadamoodustab aritmeetilise progressiooni, a - geomeetriline progressioon, mis sellel pistmist on. Leia .
Lahendus. Sest aritmeetiline jada, siis (aritmeetilise progressiooni peamine omadus). Kuna, siis või . See tähendab, et geomeetriline progressioon on. Vastavalt valemile (2), siis kirjutame selle .
Alates ja , siis . Sel juhul väljend võtab kuju või . Tingimuse järgi, seega võrrandistsaame vaadeldava probleemi ainulaadse lahenduse, st. .
Vastus:.
Näide 12. Arvuta summa
. (12)
Lahendus. Korrutage mõlemad võrdsuse pooled (12) 5-ga ja saate
Kui lahutame saadud avaldisest (12)., siis
või .
Arvutamiseks asendame väärtused valemiga (7) ja saame . Sellest ajast .
Vastus:.
Siin toodud probleemide lahendamise näited on sisseastumiseksamiteks valmistumisel kasulikud. Probleemide lahendamise meetodite sügavamaks uurimiseks, seotud geomeetrilise progressiooniga, saate kasutada soovitatud kirjanduse loendis olevaid õpetusi.
1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 lk.
2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: kooli õppekava lisalõigud. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 lk.
3. Medynsky M.M. Algmatemaatika tervikkursus ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. - 208 lk.
Kas teil on küsimusi?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
ARVUJÄRGSED VI
§ l48. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa
Siiani oleme summadest rääkides alati eeldanud, et nendes summades olevate liikmete arv on lõplik (näiteks 2, 15, 1000 jne). Kuid mõne ülesande lahendamisel (eriti kõrgema matemaatika puhul) tuleb tegeleda lõpmatu hulga terminite summadega
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Mis need summad on? Definitsiooni järgi lõpmatu arvu terminite summa a 1 , a 2 , ..., a n , ... nimetatakse summa S piiriks n esiteks P numbrid millal P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Limiit (2) võib loomulikult eksisteerida, aga ei pruugi olla. Sellest lähtuvalt öeldakse, et summa (1) on olemas või mitte.
Kuidas teha kindlaks, kas summa (1) on igal konkreetsel juhul olemas? Selle küsimuse üldine lahendus läheb meie programmi ulatusest palju kaugemale. Siiski on üks oluline erijuhtum, mida peame nüüd kaaluma. Räägime lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete liitmisest.
Lase a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. See tähendab, et | q |< 1. Сумма первых P selle progressiooni liikmed on võrdne
Muutujate piiride põhiteoreemidest (vt § 136) saame:
Kuid 1 = 1, a q n = 0. Seega
Seega on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa võrdne selle edenemise esimese liikmega jagatud ühega, millest on lahutatud selle progressiooni nimetaja.
1) Geomeetrilise progressiooni 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... summa on
ja geomeetrilise progressiooni summa on 12; -6; 3; - 3/2, ... võrdub
2) Lihtne perioodiline murd 0,454545 ... muutuda tavaliseks.
Selle ülesande lahendamiseks esitame selle murdosa lõpmatu summana:
Selle võrrandi parem pool on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, mille esimene liige on 45/100 ja nimetaja on 1/100. Sellepärast
Kirjeldatud viisil on võimalik saada ka lihtperioodi murdude harilikeks murrudeks teisendamise üldreegel (vt II peatükk, § 38):
Lihtsa perioodilise murru teisendamiseks tavaliseks peate toimima järgmiselt: panema lugejasse kümnendmurru periood ja nimetajasse - üheksast koosnev arv, mis võetakse nii mitu korda, kui perioodis on numbreid. kümnendmurrust.
3) Segaperioodi murdosa 0,58333 .... muutuda harilikuks murdeks.
Esitame selle murdosa lõpmatu summana:
Selle võrrandi paremal küljel moodustavad kõik liikmed alates 3/1000-st lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, mille esimene liige on 3/1000 ja nimetaja on 1/10. Sellepärast
Kirjeldatud viisil võib saada ka segaperioodi murdude harilikeks murrudeks teisendamise üldreegli (vt II peatükk, § 38). Me ei lisa seda teadlikult siia. Seda tülikat reeglit pole vaja pähe õppida. Palju kasulikum on teada, et iga segatud perioodilist murdu saab esitada lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni ja mõne arvu summana. Ja valem
lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa puhul tuleb muidugi meeles pidada.
Harjutusena kutsume teid lisaks allolevatele probleemidele nr 995-1000 pöörduma veel kord probleemi nr 301 § 38 poole.
Harjutused
995. Mida nimetatakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks?
996. Leidke lõpmatult kahanevate geomeetriliste progressioonide summad:
997. Millistele väärtustele X progresseerumist
väheneb lõpmatult? Leidke sellise progressi summa.
998. Võrdkülgses kolmnurgas küljega a uus kolmnurk kirjutatakse selle külgede keskpunktide ühendamise teel; sellesse kolmnurka kirjutatakse samamoodi uus kolmnurk ja nii edasi lõpmatuseni.
a) kõigi nende kolmnurkade ümbermõõtude summa;
b) nende pindalade summa.
999. Küljega ruudus a uus ruut kirjutatakse selle külgede keskpunktide ühendamise teel; ruut kantakse sellesse ruutu samamoodi ja nii edasi lõpmatuseni. Leidke kõigi nende ruutude ümbermõõtude summa ja nende pindalade summa.
1000. Tehke lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, nii et selle summa on võrdne 25/4 ja liikmete ruutude summa 625/24.
Vaatleme sarja.
7 28 112 448 1792...
On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. Nii et see sari on edasiminek.
Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada, mille põhitunnuseks on see, et mingi kindla arvuga korrutades saadakse eelmisest järgmine arv. Seda väljendatakse järgmise valemiga.
a z +1 =a z q, kus z on valitud elemendi number.
Vastavalt sellele z ∈ N.
Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:
0.25 0.125 0.0625...
Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:
Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.
Järelikult peate seeria järgmise numbri väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.
Selle edenemise määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.
Sordid
Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:
- Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis on selline jada geomeetriline progressioon, mis kasvab iga järgmise elemendiga. Selle näide on esitatud allpool.
Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.
Seejärel saab numbrilise jada kirjutada järgmiselt:
3 6 12 24 48 ...
- Kui |q| vähem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.
Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.
Seejärel saab numbrilise jada kirjutada järgmiselt:
6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.
- Märgi-muutuja. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Näide: a 1 = -3 , q = -2 - mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.
Siis saab järjestuse kirjutada järgmiselt:
3, 6, -12, 24,...
Valemid
Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:
- z-nda liikme valem. Võimaldab arvutada elemendi konkreetse numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.
Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja arvutada progressiooni neljas element.
Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Esimeste elementide summa, mille arv on z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.
Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega q ei ole võrdne 1-ga.
Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduva arvu jada.
Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S 5 .
Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemiga.
- Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.
Lahendus:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Mõned omadused:
- iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus sooritatud mis tahesz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Samuti leitakse geomeetrilise progressiooni mis tahes arvu ruut, kui liidetakse antud jada mis tahes muu kahe arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kuston nende numbrite vaheline kaugus.
- Elemendiderinevad q-süks kord.
- Progressioonielementide logaritmid moodustavad samuti progressiooni, kuid juba aritmeetilise, see tähendab, et igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.
Mõnede klassikaliste probleemide näited
Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, võivad abiks olla näited 9. klassi lahendusega.
- Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.
Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teiste kaudu, kasutades nimetajat.
Järelikulta 3 = q 2 · a 1
Asendamiselq= 4
- Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6 .
Lahendus:Selleks piisab, kui leida q, esimene element ja asendada see valemiga.
a 3 = q· a 2 , Järelikultq= 2
a 2 = q a 1,sellepärast a 1 = 3
S6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.
Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Rakenduse näide:
- Panga klient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille tingimustel lisab klient sellest igal aastal 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?
Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. Seega on aasta pärast investeeringut kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06
Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:
(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000
See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahasummade leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element, mis on võrdne 10 tuhandega, ja nimetaja 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Summa arvutamise ülesannete näited:
Erinevates ülesannetes kasutatakse geomeetrilist progressiooni. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:
a 1 = 4, q= 2, arvutaS5.
Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.
Lahendus:
Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, see tähendab, et summa arvutamiseks peate elementi teadmaa 1 ja nimetajaq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Samamoodi peame leidmaa 1 , teadesa 2 jaq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Tund ja ettekanne teemal: "Arvujadad. Geomeetriline progressioon"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.
Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 9. klassile
Jõud ja juured Funktsioonid ja graafikud
Poisid, täna tutvume teist tüüpi progresseerumisega.
Tänase tunni teemaks on geomeetriline progressioon.
Geomeetriline progressioon
Definitsioon. Arvjada, milles iga liige, alates teisest, võrdub eelmise ja mõne fikseeritud arvu korrutisega, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks.Määratleme oma jada rekursiivselt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kus b ja q on teatud arvud. Arvu q nimetatakse progressiooni nimetajaks.
Näide. 1,2,4,8,16… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega ja $q=2$.
Näide. 8,8,8,8… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kaheksa,
ja $q=1$.
Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kolm,
ja $q=-1$.
Geomeetrilisel progressioonil on monotoonsuse omadused.
Kui $b_(1)>0$, $q>1$,
siis järjestus suureneb.
Kui $b_(1)>0$, siis $0 Jada tähistatakse tavaliselt järgmiselt: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Nii nagu aritmeetilises progressioonis, kui geomeetrilise progressiooni elementide arv on lõplik, nimetatakse progressiooni lõplikuks geomeetriliseks progressiooniks.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Pange tähele, et kui jada on geomeetriline progressioon, siis ruudukujuliste liikmete jada on samuti geomeetriline progressioon. Teises jadas on esimene liige $b_(1)^2$ ja nimetaja $q^2$.
Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem
Geomeetrilist progressiooni saab täpsustada ka analüütilisel kujul. Vaatame, kuidas seda teha:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Näeme kergesti mustrit: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Meie valemit nimetatakse "geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemiks".
Tuleme tagasi oma näidete juurde.
Näide. 1,2,4,8,16… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega,
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Näide. 16,8,4,2,1,1/2… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kuusteist ja $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Näide. 8,8,8,8… Geomeetriline progressioon, kus esimene liige on kaheksa ja $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Näide. 3,-3,3,-3,3… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on kolm ja $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Näide. Antud geomeetriline progressioon $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) On teada, et $b_(1)=6, q=3$. Leidke $b_(5)$.
b) On teada, et $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Leia n.
c) On teada, et $q=-2, b_(6)=96$. Leidke $b_(1)$.
d) On teada, et $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Leia q.
Lahendus.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ kuna $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Näide. Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 192, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on 192. Leidke selle progressiooni kümnes liige.
Lahendus.
Teame, et $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Teame ka: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Seejärel:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saime võrrandisüsteemi:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(juhtumid)$.
Võrdlemisel saavad meie võrrandid:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saime kaks lahendit q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Asendage järjestikku teise võrrandiga:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ lahendusi pole.
Saime selle: $b_(1)=4, q=2$.
Leiame kümnenda liikme: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Lõpliku geomeetrilise progressiooni summa
Oletame, et meil on lõplik geomeetriline progressioon. Arvutame, nagu ka aritmeetilise progressiooni jaoks, selle liikmete summa.Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Tutvustame selle liikmete summa tähistust: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Juhul, kui $q=1$. Kõik geomeetrilise progressiooni liikmed on võrdsed esimese liikmega, siis on ilmne, et $S_(n)=n*b_(1)$.
Vaatleme nüüd juhtumit $q≠1$.
Korrutage ülaltoodud summa q-ga.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Märge:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Oleme saanud lõpliku geomeetrilise progressiooni summa valemi.
Näide.
Leidke geomeetrilise progressiooni seitsme esimese liikme summa, mille esimene liige on 4 ja nimetaja 3.
Lahendus.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Näide.
Leia geomeetrilise progressiooni viies liige, mis on teada: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.
Lahendus.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus
Poisid, arvestades geomeetrilist progressiooni. Vaatleme selle kolme järjestikust liiget: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Me teame seda:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Seejärel:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Kui progresseerumine on piiratud, kehtib see võrdsus kõigi liikmete kohta, välja arvatud esimene ja viimane.
Kui ei ole ette teada, mis jada jada on, kuid on teada, et: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Siis võime julgelt öelda, et see on geomeetriline progressioon.
Arvjada on geomeetriline progressioon ainult siis, kui selle iga liikme ruut on võrdne progressiooni kahe naaberliikme korrutisega. Ärge unustage, et piiratud progressiooni korral ei ole see tingimus esimesel ja viimasel ametiajal täidetud.
Vaatame seda identiteeti: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ nimetatakse a ja b geomeetriliseks keskmiseks.
Geomeetrilise progressiooni mis tahes elemendi moodul on võrdne kahe sellega külgneva elemendi geomeetrilise keskmisega.
Näide.
Leia x selline, et $x+2; 2x+2; 3x+3$ olid geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget.
Lahendus.
Kasutame iseloomulikku omadust:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Asendage järjestikku algses avaldises, meie lahendused:
Kui $x=2$, saime jada: 4;6;9 on geomeetriline progressioon $q=1.5$.
Kui $x=-1$, saime jada: 1;0;0.
Vastus: $x=2.$
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
1. Leidke geomeetrilise progressiooni 16; -8; 4; -2 ... kaheksas esimene liige.2. Leidke geomeetrilise progressiooni 11,22,44… kümnes liige.
3. On teada, et $b_(1)=5, q=3$. Leidke $b_(7)$.
4. On teada, et $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Leia n.
5. Leidke geomeetrilise progressiooni 3;12;48… esimese 11 liikme summa.
6. Leia x selline, et $3x+4; 2x+4; x+5$ on geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget.