טבלת ערכים של פונקציות טריגונומטריות
טבלת הערכים של פונקציות טריגונומטריות מורכבת עבור זוויות של 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 ו-360 מעלות והזוויות המתאימות שלהן ברדיאנים. מבין הפונקציות הטריגונומטריות, הטבלה מציגה את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס, הקוטנגנט, הססקנט והקוסינוס. לנוחות פתרון דוגמאות בית ספר, הערכים של פונקציות טריגונומטריות בטבלה נכתבים כשבר עם שימור הסימנים של חילוץ השורש הריבועי ממספרים, מה שעוזר לעתים קרובות מאוד להפחית ביטויים מתמטיים מורכבים. עבור משיק וקוטנגנטי, לא ניתן לקבוע את הערכים של כמה זוויות. עבור ערכי המשיק והקוטנגנט של זוויות כאלה, יש מקף בטבלת הערכים של פונקציות טריגונומטריות. מקובל בדרך כלל שהמשיק והקוטנגנט של זוויות כאלה שווה לאינסוף. בעמוד נפרד יש נוסחאות להפחתת פונקציות טריגונומטריות.
טבלת הערכים של הפונקציה הטריגונומטרית סינוס מציגה את הערכים עבור הזוויות הבאות: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 במידה. , התואם ל-sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi במדד רדיאני של זוויות. שולחן בית הספר של סינוסים.
עבור פונקציית הקוסינוס הטריגונומטרית, הטבלה מציגה את הערכים עבור הזוויות הבאות: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 במידת מעלות, התואם ל- cos 0 pi, cos pi עד 6, cos pi ב-4, cos pi ב-3, cos pi ב-2, cos pi, cos 3 pi על 2, cos 2 pi במדד רדיאני של זוויות. שולחן הקוסינוסים לבית הספר.
הטבלה הטריגונומטרית עבור משיק הפונקציה הטריגונומטרית נותנת ערכים עבור הזוויות הבאות: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 במידת מעלות, התואמת ל-tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi במידה רדיאנית של זוויות. הערכים הבאים של הפונקציות הטריגונומטריות של הטנגנס אינם מוגדרים tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 ונחשבים שווים לאינסוף.
עבור הקוטנגנט של הפונקציה הטריגונומטרית בטבלה הטריגונומטרית, ניתנים הערכים של הזוויות הבאות: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 במידה, התואם ל-ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 במדד רדיאני של זוויות. הערכים הבאים של פונקציות קוטנגנטיות טריגונומטריות אינן מוגדרות ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi ונחשבים שווים לאינסוף.
הערכים של הפונקציות הטריגונומטריות סקאנט וקוסקנט ניתנים עבור אותן זוויות במעלות ורדיאנים כמו סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט.
טבלת הערכים של פונקציות טריגונומטריות של זוויות לא סטנדרטיות מציגה את הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי עבור זוויות במעלות 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 מעלות וברדיאנים pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 רדיאנים. הערכים של פונקציות טריגונומטריות באים לידי ביטוי במונחים של שברים ושורשים ריבועיים כדי לפשט את הפחתת השברים בדוגמאות בית ספריות.
עוד שלוש מפלצות של טריגונומטריה. הראשון הוא הטנגנס של 1.5 מעלות וחצי, או pi חלקי 120. השני הוא הקוסינוס של pi חלקי 240, pi/240. הארוך ביותר הוא הקוסינוס של pi חלקי 17, pi/17.
המעגל הטריגונומטרי של הערכים של פונקציות הסינוס והקוסינוס מייצג חזותית את הסימנים של הסינוס והקוסינוס בהתאם לגודל הזווית. במיוחד עבור בלונדיניות, ערכי הקוסינוס מסומנים בקו תחתון בקו ירוק כדי להיות פחות מבולבל. גם ההמרה של מעלות לרדיאנים מוצגת בצורה מאוד ברורה, כאשר הרדיאנים מבוטאים דרך פאי.
טבלה טריגונומטרית זו מציגה את הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי עבור זוויות מ-0 אפס עד 90 תשעים מעלות במרווחים של מעלה אחת. עבור ארבעים וחמש המעלות הראשונות, יש להסתכל על שמות הפונקציות הטריגונומטריות בראש הטבלה. העמודה הראשונה מכילה מעלות, ערכי הסינוסים, הקוסינוסים, הטנג'נסים והקוטנגנטים נכתבים בארבע העמודות הבאות.
עבור זוויות מארבעים וחמש מעלות עד תשעים מעלות, שמות הפונקציות הטריגונומטריות כתובות בתחתית הטבלה. העמודה האחרונה מכילה מעלות, ערכי הקוסינוסים, הסינוסים, הקוטנגנטים והטנג'נטים נכתבים בארבע העמודות הקודמות. כדאי להיזהר, כי השמות של פונקציות טריגונומטריות בחלק התחתון של הטבלה הטריגונומטרית שונים מהשמות בחלק העליון של הטבלה. הסינוסים והקוסינוסים מתחלפים, בדיוק כמו טנגנס וקוטנגנט. זה נובע מהסימטריה של הערכים של פונקציות טריגונומטריות.
הסימנים של פונקציות טריגונומטריות מוצגים באיור שלמעלה. לסינוס יש ערכים חיוביים מ-0 עד 180 מעלות או מ-0 עד פי. הערכים השליליים של הסינוס הם מ-180 עד 360 מעלות או מ-pi ל-2 פי. ערכי הקוסינוס חיוביים מ-0 עד 90 ו-270 עד 360 מעלות, או 0 עד 1/2 פי ו-3/2 עד 2 פי. לטנגנט ולקוטנגנט יש ערכים חיוביים מ-0 עד 90 מעלות ומ-180 עד 270 מעלות, המתאימים לערכים מ-0 עד 1/2 פי ומ-pi עד 3/2 פי. טאנג שלילי וקוטנגנט הם 90 עד 180 מעלות ו-270 עד 360 מעלות, או 1/2 פי ל-pi ו-3/2 פי ל-2 פי. בעת קביעת הסימנים של פונקציות טריגונומטריות עבור זוויות גדולות מ-360 מעלות או 2 פי, יש להשתמש במאפייני המחזוריות של פונקציות אלו.
הפונקציות הטריגונומטריות סינוס, טנגנס וקוטנגנט הן פונקציות אי-זוגיות. הערכים של פונקציות אלה עבור זוויות שליליות יהיו שליליים. קוסינוס הוא פונקציה טריגונומטרית שווה - ערך הקוסינוס לזווית שלילית יהיה חיובי. בעת הכפלה וחלוקת פונקציות טריגונומטריות, עליך לפעול לפי כללי הסימנים.
טבלת הערכים של הפונקציה הטריגונומטרית סינוס מציגה את הערכים עבור הזוויות הבאות
מסמךדף נפרד מכיל נוסחאות ליהוק טריגונומטריפונקציות. בְּ שולחןערכיםלטריגונומטריפונקציותסִינוּסנָתוּןערכיםלהַבָּאפינות: חטא 0, חטא 30, חטא 45 ...
המנגנון המתמטי המוצע הוא אנלוגי שלם של החשבון המורכב עבור מספרים היפר-מורכבים n-ממדיים עם כל מספר של דרגות חופש n ומיועד למידול מתמטי של לא ליניארי.
מסמך... פונקציותשווים פונקציותתמונות. מתוך המשפט הזה צריך, מה ללמצוא את הקואורדינטות U, V, זה מספיק כדי לחשב פוּנקצִיָה... גיאומטריה; פולינר פונקציות(אנלוגים רב מימדיים של דו מימד טריגונומטריפונקציות), המאפיינים שלהם, שולחנותויישום; ...
-
טריגונומטריה, כמדע, מקורה במזרח העתיק. היחסים הטריגונומטריים הראשונים פותחו על ידי אסטרונומים כדי ליצור לוח שנה מדויק ולהתמצא לפי הכוכבים. חישובים אלו התייחסו לטריגונומטריה כדורית, בעוד שבקורס בית הספר לומדים את היחס בין הצלעות והזווית של משולש שטוח.
טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של פונקציות טריגונומטריות ובקשר בין הצלעות והזוויות של משולשים.
בתקופת הזוהר של התרבות והמדע באלף הראשון לספירה, התפשט הידע מהמזרח העתיק ליוון. אבל התגליות העיקריות של הטריגונומטריה הן הכשרון של אנשי הח'ליפות הערבית. בפרט, המדען הטורקמני אל-מרזבי הציג פונקציות כמו משיק וקוטנגנט, ריכז את טבלאות הערכים הראשונות עבור סינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים. המושג סינוס וקוסינוס הוצג על ידי מדענים הודים. תשומת לב רבה מוקדשת לטריגונומטריה בעבודותיהם של דמויות כה גדולות מהעת העתיקה כמו אוקלידס, ארכימדס וארוטוסטנס.
כמויות בסיסיות של טריגונומטריה
הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות של ארגומנט מספרי הן סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי. לכל אחד מהם גרף משלו: סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי.
הנוסחאות לחישוב ערכי הכמויות הללו מבוססות על משפט פיתגורס. זה מוכר יותר לתלמידי בית הספר בניסוח: "מכנסיים פיתגוריים, שווים לכל הכיוונים", שכן ההוכחה ניתנת בדוגמה של משולש ישר זווית שווה שוקיים.
תלות בסינוס, קוסינוס ותלות אחרת קובעת קשר בין זוויות חדות וצלעות של כל משולש ישר זווית. אנו נותנים נוסחאות לחישוב הכמויות הללו עבור זווית A ומתחקים אחר הקשר של פונקציות טריגונומטריות:
כפי שאתה יכול לראות, tg ו-ctg הם פונקציות הפוכות. אם נציג את רגל a כמכפלה של חטא A והתחתון c, ורגל b כ-cos A * c, אז נקבל את הנוסחאות הבאות למשיק ולקוטנגנטי:
מעגל טריגונומטרי
מבחינה גרפית, היחס בין הכמויות שהוזכרו יכול להיות מיוצג באופן הבא:
מעגל, ב מקרה זה, מייצג את כל הערכים האפשריים של הזווית α - מ-0° ל-360°. כפי שניתן לראות מהאיור, כל פונקציה מקבלת ערך שלילי או חיובי בהתאם לזווית. לדוגמה, sin α יהיה עם סימן "+" אם α שייך לרבעים I ו-II של המעגל, כלומר, הוא נמצא בטווח שבין 0° ל-180°. עם α מ-180° ל-360° (רבעים III ו-IV), sin α יכול להיות רק ערך שלילי.
בואו ננסה לבנות טבלאות טריגונומטריות לזוויות ספציפיות ולברר את משמעות הכמויות.
הערכים של α השווים ל-30°, 45°, 60°, 90°, 180° וכן הלאה נקראים מקרים מיוחדים. הערכים של פונקציות טריגונומטריות עבורם מחושבים ומוצגים בצורה של טבלאות מיוחדות.
זוויות אלו לא נבחרו במקרה. הכינוי π בטבלאות מיועד לרדיאנים. ראד היא הזווית שבה אורך קשת מעגלית מתאים לרדיוס שלה. ערך זה הוכנס על מנת לבסס קשר אוניברסלי; בחישוב ברדיאנים, האורך האמיתי של הרדיוס בס"מ אינו משנה.
הזוויות בטבלאות עבור פונקציות טריגונומטריות מתאימות לערכי רדיאן:
לכן, לא קשה לנחש ש-2π הוא עיגול שלם או 360°.
תכונות של פונקציות טריגונומטריות: סינוס וקוסינוס
על מנת לשקול ולהשוות את המאפיינים הבסיסיים של סינוס וקוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, יש צורך לצייר את הפונקציות שלהם. ניתן לעשות זאת בצורה של עקומה הממוקמת במערכת קואורדינטות דו מימדית.
שקול טבלה השוואתית של מאפיינים עבור גל סינוס וגל קוסינוס:
סינוסואיד גל קוסינוס y = חטא x y = cos x ODZ [-1; אחד] ODZ [-1; אחד] sin x = 0, עבור x = πk, כאשר k ϵ Z cos x = 0, עבור x = π/2 + πk, כאשר k ϵ Z sin x = 1, עבור x = π/2 + 2πk, כאשר k ϵ Z cos x = 1, עבור x = 2πk, כאשר k ϵ Z sin x = - 1, ב-x = 3π/2 + 2πk, כאשר k ϵ Z cos x = - 1, עבור x = π + 2πk, כאשר k ϵ Z sin (-x) = - sin x, כלומר פונקציה אי-זוגית cos (-x) = cos x, כלומר הפונקציה זוגית הפונקציה היא מחזורית, התקופה הקטנה ביותר היא 2π sin x › 0, כאשר x שייך לרבעים I ו-II או מ-0° ל-180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, כאשר x שייך לרבעים I ו-IV או מ-270° ל-90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) sin x ‹ 0, כאשר x שייך לרבעים III ו-IV או מ-180° ל-360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, כאשר x שייך לרבעים II ו-III או מ-90° ל-270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) גדל במרווח [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] גדל במרווח [-π + 2πk, 2πk] פוחת במרווחים [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] יורד במרווחים נגזרת (sin x)' = cos x נגזרת (cos x)' = - sin x קביעה אם פונקציה זוגית או לא היא פשוטה מאוד. מספיק לדמיין מעגל טריגונומטרי עם סימנים של כמויות טריגונומטריות ו"לקפל" נפשית את הגרף ביחס לציר OX. אם הסימנים זהים, הפונקציה זוגית; אחרת, היא אי זוגית.
הכנסת הרדיאנים וספירת המאפיינים העיקריים של גל הסינוסואיד והקוסינוס מאפשרים לנו להביא את הדפוס הבא:
קל מאוד לאמת את נכונות הנוסחה. לדוגמה, עבור x = π/2, הסינוס שווה ל-1, וכך גם הקוסינוס של x = 0. ניתן לבצע בדיקה על ידי התבוננות בטבלאות או על ידי מעקב אחר עקומות פונקציות עבור ערכים נתונים.
תכונות של טנגנואיד וקוטנגנואיד
הגרפים של הפונקציות המשיקות והקוטנגנטיות שונות באופן משמעותי מגל הסינוסואיד והקוסינוס. הערכים tg ו-ctg הפוכים זה לזה.
- Y = tgx.
- המשיק נוטה לערכי y ב-x = π/2 + πk, אך לעולם לא מגיע אליהם.
- התקופה החיובית הקטנה ביותר של הטנגנואיד היא π.
- Tg (- x) \u003d - tg x, כלומר, הפונקציה היא מוזרה.
- Tg x = 0, עבור x = πk.
- הפונקציה הולכת וגדלה.
- Tg x › 0, עבור x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, עבור x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- נגזרת (tg x)' = 1/cos 2 x .
שקול את הייצוג הגרפי של הקוטנגנטואיד למטה בטקסט.
המאפיינים העיקריים של הקוטנגנואיד:
- Y = ctgx.
- בניגוד לפונקציות הסינוס והקוסינוס, בטנגנואיד Y יכול לקבל את הערכים של קבוצת כל המספרים הממשיים.
- הקוטנגנטואיד נוטה לערכים של y ב-x = πk, אך לעולם לא מגיע אליהם.
- התקופה החיובית הקטנה ביותר של הקוטנגנואיד היא π.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, כלומר, הפונקציה היא מוזרה.
- Ctg x = 0, עבור x = π/2 + πk.
- הפונקציה הולכת ופוחתת.
- Ctg x › 0, עבור x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, עבור x ϵ (π/2 + πk, πk).
- נגזרת (ctg x)' = - 1/sin 2 x תיקון
נניח שאכילס רץ פי עשר מהר יותר מהצב ונמצא אחריו אלף צעדים. במהלך הזמן שבו אכילס רץ את המרחק הזה, הצב זוחל מאה צעדים באותו כיוון. כשאכילס רץ מאה צעדים, הצב יזחל עוד עשרה צעדים, וכן הלאה. התהליך יימשך ללא הגבלת זמן, אכילס לעולם לא ישיג את הצב.
נימוק זה הפך לזעזוע הגיוני עבור כל הדורות הבאים. אריסטו, דיוגנס, קאנט, הגל, גילברט... כולם, בדרך זו או אחרת, נחשבו לאפוריות של זנון. ההלם היה כל כך חזק ש" ... דיונים נמשכים בזמן הנוכחי, הקהילה המדעית עדיין לא הצליחה להגיע לדעה משותפת לגבי מהות הפרדוקסים ... ניתוח מתמטי, תורת הקבוצות, גישות פיזיקליות ופילוסופיות חדשות היו מעורבות בחקר הנושא ; אף אחד מהם לא הפך לפתרון מקובל לבעיה..."[ויקיפדיה", האפוריות של זינו "]. כולם מבינים שמטעים אותם, אבל אף אחד לא מבין מהי ההונאה.
מנקודת המבט של המתמטיקה, זנון באפוריה שלו הדגים בבירור את המעבר מהערך ל. מעבר זה מרמז על יישום במקום קבועים. עד כמה שהבנתי, המנגנון המתמטי להחלת יחידות מדידה משתנות או שעדיין לא פותח, או שהוא לא הוחל על האפוריה של זנון. יישום ההיגיון הרגיל שלנו מוביל אותנו למלכודת. אנו, על ידי האינרציה של החשיבה, מיישמים יחידות זמן קבועות על ההדדיות. מנקודת מבט פיזית, זה נראה כאילו הזמן מאט עד לעצירה מוחלטת ברגע שבו אכילס משיג את הצב. אם הזמן עוצר, אכילס כבר לא יכול לעקוף את הצב.
אם נהפוך את ההיגיון אליו אנו רגילים, הכל יסתדר. אכילס רץ במהירות קבועה. כל קטע עוקב של הנתיב שלו קצר פי עשרה מהקודם. בהתאם לכך, הזמן המושקע בהתגברות עליו קטן פי עשרה מהקודם. אם ניישם את המושג "אינסוף" במצב זה, אז נכון יהיה לומר "אכילס יעקוף את הצב במהירות אינסופית".
איך להימנע מהמלכודת ההגיונית הזו? הישאר ביחידות זמן קבועות ואל תעבור לערכים הדדיים. בשפתו של זינו, זה נראה כך:
בזמן שלוקח לאכילס לרוץ אלף צעדים, הצב זוחל מאה צעדים באותו כיוון. במהלך מרווח הזמן הבא, שווה לראשון, אכילס ירוץ עוד אלף צעדים, והצב יזחל מאה צעדים. כעת אכילס מקדים את הצב בשמונה מאות צעדים.
גישה זו מתארת בצורה נאותה את המציאות ללא כל פרדוקסים לוגיים. אבל זה לא פתרון מלא לבעיה. האמירה של איינשטיין על הבלתי עבירות של מהירות האור דומה מאוד לאפוריה של זנון "אכילס והצב". טרם למדנו, לחשוב מחדש ולפתור את הבעיה הזו. ואת הפתרון יש לחפש לא במספרים גדולים לאין שיעור, אלא ביחידות מדידה.
אפוריה מעניינת נוספת של זינו מספרת על חץ מעופף:
חץ מעופף הוא ללא תנועה, שכן בכל רגע של זמן הוא במנוחה, ומכיוון שהוא במנוחה בכל רגע של זמן, הוא תמיד במנוחה.
באפוריה זו מתגברים על הפרדוקס הלוגי בפשטות רבה - מספיק להבהיר שבכל רגע של זמן החץ המעופף נח בנקודות שונות במרחב, שהיא, למעשה, תנועה. יש כאן נקודה נוספת שצריך לציין. מתצלום אחד של מכונית על הכביש, אי אפשר לקבוע לא את עובדת תנועתה ולא את המרחק אליה. כדי לקבוע את עובדת תנועת המכונית, יש צורך בשני תצלומים שצולמו מאותה נקודה בנקודות זמן שונות, אך לא ניתן להשתמש בהם כדי לקבוע את המרחק. כדי לקבוע את המרחק למכונית, אתה צריך שני תמונות שצולמו מנקודות שונות בחלל בו זמנית, אבל אתה לא יכול לקבוע את עובדת התנועה מהם (מטבע הדברים, אתה עדיין צריך נתונים נוספים לחישובים, טריגונומטריה תעזור לך). מה שאני רוצה לציין במיוחד הוא ששתי נקודות זמן ושתי נקודות במרחב הן שני דברים שונים שאסור להתבלבל בהם מכיוון שהם מספקים הזדמנויות שונות לחקר.
יום רביעי, 4 ביולי, 2018
טוב מאוד ההבדלים בין קבוצה למולטי-ערכה מתוארים בויקיפדיה. אנחנו מסתכלים.
כפי שניתן לראות, "לסט לא יכולים להיות שני אלמנטים זהים", אבל אם יש אלמנטים זהים בסט, קבוצה כזו נקראת "רב-ערכה". יצורים סבירים לעולם לא יבינו היגיון אבסורד שכזה. זו הרמה של תוכים מדברים וקופים מאומנים, שבה הנפש נעדרת מהמילה "לגמרי". מתמטיקאים פועלים כמאמנים רגילים, ומטיפים לנו את הרעיונות האבסורדיים שלהם.
פעם, המהנדסים שבנו את הגשר היו בסירה מתחת לגשר במהלך בדיקות הגשר. אם הגשר קרס, המהנדס הבינוני מת מתחת להריסות יצירתו. אם הגשר היה יכול לעמוד בעומס, המהנדס המוכשר בנה גשרים אחרים.
לא משנה איך מתמטיקאים מסתתרים מאחורי המשפט "תזכור לי, אני בבית", או ליתר דיוק "מתמטיקה חוקרת מושגים מופשטים", יש חבל טבור אחד שמקשר אותם באופן בלתי נפרד עם המציאות. חבל הטבור הזה הוא כסף. הבה ניישם את תורת הקבוצות המתמטית על המתמטיקאים עצמם.
למדנו מתמטיקה טוב מאוד ועכשיו אנחנו יושבים ליד הקופה ומשלמים משכורות. כאן בא אלינו מתמטיקאי בשביל הכסף שלו. אנחנו סופרים לו את כל הסכום ופורסים אותו על שולחננו לערימות שונות, שבהן שמים שטרות מאותה ערך. אחר כך אנחנו לוקחים שטר אחד מכל ערימה ונותנים למתמטיקאי את "ערכת השכר המתמטית" שלו. אנו מסבירים את המתמטיקה שהוא יקבל את שאר השטרות רק כאשר יוכיח שהקבוצה ללא יסודות זהים אינה שווה לקבוצה עם יסודות זהים. כאן מתחיל הכיף.
קודם כל, ההיגיון של הצירים יעבוד: "אתה יכול להחיל את זה על אחרים, אבל לא עליי!" יתרה מכך, יתחילו הבטחות שישנם מספרי שטרות שונים על שטרות מאותה ערכה, מה שאומר שהם לא יכולים להיחשב אלמנטים זהים. ובכן, אנחנו סופרים את השכר במטבעות - אין מספרים על המטבעות. כאן המתמטיקאי יזכור בטירוף פיזיקה: למטבעות שונים יש כמויות שונות של לכלוך, מבנה הגביש וסידור האטומים לכל מטבע הוא ייחודי ...
ועכשיו יש לי את השאלה הכי מעניינת: איפה הגבול שמעבר לו הופכים אלמנטים של קבוצה למרכיבים של קבוצה ולהיפך? קו כזה לא קיים - הכל נקבע על ידי שמאנים, המדע כאן אפילו לא קרוב.
תסתכל כאן. אנו בוחרים אצטדיוני כדורגל עם אותו שטח מגרש. שטח השדות זהה, מה שאומר שיש לנו ריבוי ערכות. אבל אם ניקח בחשבון את השמות של אותם אצטדיונים, נקבל הרבה, כי השמות שונים. כפי שאתה יכול לראות, אותה קבוצה של אלמנטים היא גם קבוצה וגם קבוצה מרובת בו-זמנית. כמה נכון? והנה המתמטיקאי-שמאן-שולר מוציא אס מנצח מהשרוול שלו ומתחיל לספר לנו או על סט או על רב-סט. בכל מקרה הוא ישכנע אותנו שהוא צודק.
כדי להבין כיצד שמאנים מודרניים פועלים עם תורת הקבוצות, קושרים אותה למציאות, מספיק לענות על שאלה אחת: במה שונים האלמנטים של קבוצה אחת מהאלמנטים של קבוצה אחרת? אני אראה לך, בלי שום "מתקבל על הדעת כמכלול אחד" או "אינו מתקבל על הדעת כמכלול אחד".
יום ראשון, 18 במרץ, 2018
סכום הספרות של מספר הוא ריקוד של שמאנים עם טמבורין, שאין לו שום קשר למתמטיקה. כן, בשיעורי מתמטיקה מלמדים אותנו למצוא את סכום הספרות של מספר ולהשתמש בו, אבל בשביל זה הם שמאנים, כדי ללמד את צאצאיהם את כישוריהם וחוכמתם, אחרת השמאנים פשוט ימותו.
אתה צריך הוכחה? פתח את ויקיפדיה ונסה למצוא את הדף "סכום ספרות של מספר". היא לא קיימת. אין נוסחה במתמטיקה לפיה ניתן למצוא את סכום הספרות של כל מספר. הרי מספרים הם סמלים גרפיים איתם אנו כותבים מספרים, ובשפת המתמטיקה המשימה נשמעת כך: "מצא את סכום הסמלים הגרפיים המייצגים מספר כלשהו". מתמטיקאים לא יכולים לפתור בעיה זו, אבל שמאנים יכולים לעשות זאת באופן יסודי.
בואו נבין מה ואיך אנחנו עושים כדי למצוא את סכום הספרות של מספר נתון. וכך, נניח שיש לנו את המספר 12345. מה צריך לעשות כדי למצוא את סכום הספרות של המספר הזה? הבה נשקול את כל השלבים לפי הסדר.
1. רשמו את המספר על פיסת נייר. מה עשינו? המרנו את המספר לסמל גרפי של מספר. זו לא פעולה מתמטית.
2. חתכנו תמונה אחת שהתקבלה למספר תמונות המכילות מספרים נפרדים. חיתוך תמונה אינו פעולה מתמטית.
3. המר תווים גרפיים בודדים למספרים. זו לא פעולה מתמטית.
4. חבר את המספרים המתקבלים. עכשיו זה מתמטיקה.
סכום הספרות של המספר 12345 הוא 15. אלו הם "קורסי הגזירה והתפירה" משמאנים שבהם השתמשו מתמטיקאים. אבל זה לא הכל.
מנקודת מבט של מתמטיקה, אין זה משנה באיזו מערכת מספרים נכתוב את המספר. לכן, במערכות מספרים שונות, סכום הספרות של אותו מספר יהיה שונה. במתמטיקה, מערכת המספרים מצוינת כמנוי מימין למספר. עם מספר גדול של 12345, אני לא רוצה לשטות בראש, קחו בחשבון את המספר 26 מהמאמר על. בוא נכתוב את המספר הזה במערכות מספרים בינאריות, אוקטליות, עשרוניות והקסדצימליות. לא נשקול כל שלב במיקרוסקופ, כבר עשינו את זה. בואו נסתכל על התוצאה.
כפי שניתן לראות, במערכות מספרים שונות, סכום הספרות של אותו מספר שונה. לתוצאה הזו אין שום קשר למתמטיקה. זה כמו למצוא את השטח של מלבן במטרים ובסנטימטרים ייתן לך תוצאות שונות לחלוטין.
אפס בכל מערכות המספרים נראה אותו הדבר ואין לו סכום ספרות. זוהי טענה נוספת בעד העובדה ש. שאלה למתמטיקאים: איך זה מסומן במתמטיקה מה שאינו מספר? מה, עבור מתמטיקאים, לא קיים דבר מלבד מספרים? עבור שמאנים, אני יכול לאפשר זאת, אבל עבור מדענים, לא. המציאות היא לא רק מספרים.
יש לראות בתוצאה המתקבלת כהוכחה לכך שמערכות מספרים הן יחידות מדידה של מספרים. אחרי הכל, אנחנו לא יכולים להשוות מספרים עם יחידות מדידה שונות. אם אותן פעולות עם יחידות מדידה שונות של אותה כמות מביאות לתוצאות שונות לאחר השוואה ביניהן, אז אין לזה שום קשר למתמטיקה.
מהי מתמטיקה אמיתית? זאת כאשר התוצאה של פעולה מתמטית אינה תלויה בערך המספר, יחידת המידה בה משתמשים ובמי שמבצע פעולה זו.
שלט על הדלת אאוץ! זה לא שירות הנשים?
- אישה צעירה! זוהי מעבדה ללימוד קדושת הנשמות הבלתי מוגבלת עם עליית השמים! נימבוס למעלה וחץ למעלה. איזה עוד שירותים?נקבה... הילה למעלה וחץ למטה הוא זכר.
אם יש לך יצירת אומנות עיצובית כזו מהבהבת לנגד עיניך מספר פעמים ביום,
אז זה לא מפתיע שפתאום אתה מוצא אייקון מוזר במכונית שלך:
באופן אישי, אני עושה מאמץ על עצמי לראות מינוס ארבע מעלות באדם עושה קקי (תמונה אחת) (הרכב של מספר תמונות: סימן מינוס, מספר ארבע, ציון מעלות). ואני לא מחשיב את הבחורה הזאת כטיפשה שלא יודעת פיזיקה. יש לה פשוט סטריאוטיפ קשת של תפיסה של תמונות גרפיות. ומתמטיקאים מלמדים אותנו את זה כל הזמן. הנה דוגמה.
1A אינו "מינוס ארבע מעלות" או "א אחת". זה "אדם עושה קקי" או המספר "עשרים ושש" במערכת המספרים ההקסדצימליים. אותם אנשים שעובדים כל הזמן במערכת המספרים הזו תופסים אוטומטית את המספר והאות כסמל גרפי אחד.
טבלה של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות עבור זוויות 0, 30, 45, 60, 90, ... מעלות
מההגדרות הטריגונומטריות של הפונקציות $\sin$, $\cos$, $\tan$ ו-$\cot$, אפשר למצוא את הערכים שלהן עבור זוויות $0$ ו-$90$ מעלות:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ לא מוגדר;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ אינו מוגדר.
בקורס גיאומטריה בבית הספר, כאשר לומדים משולשים ישרים, נמצאות הפונקציות הטריגונומטריות של הזוויות $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ ו-$90°$.
הערכים שנמצאו של פונקציות טריגונומטריות עבור הזוויות שצוינו במעלות וברדיאנים בהתאמה ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) לצורך קלות שינון ושימוש מוזנים בטבלה הנקראת טבלה טריגונומטרית, טבלת ערכים בסיסיים של פונקציות טריגונומטריותוכו '
בעת שימוש בנוסחאות הפחתה, ניתן להרחיב את הטבלה הטריגונומטרית לזווית של $360°$ ו-$2\pi$ רדיאנים בהתאמה:
בהחלת מאפייני המחזוריות של פונקציות טריגונומטריות, כל זווית השונה מזו המוכרת כבר ב-$360°$ ניתנת לחישוב ולתעד בטבלה. לדוגמה, לפונקציה הטריגונומטרית לזווית $0°$ יהיה אותו ערך עבור הזווית $0°+360°$, ועבור הזווית $0°+2 \cdot 360°$, ועבור הזווית $0°+3 \ cdot 360°$ וכו'.
באמצעות טבלה טריגונומטרית, אתה יכול לקבוע את הערכים של כל הזוויות של מעגל יחידה.
בקורס גיאומטריה בית ספרי, הוא אמור לשנן את הערכים הבסיסיים של פונקציות טריגונומטריות שנאספו בטבלה טריגונומטרית לנוחות פתרון בעיות טריגונומטריות.
שימוש בטבלה
בטבלה, מספיק למצוא את הפונקציה הטריגונומטרית הדרושה ואת ערך הזווית או הרדיאן שעבורם יש לחשב פונקציה זו. בהצטלבות השורה עם הפונקציה והעמודה עם הערך, נקבל את הערך הרצוי של הפונקציה הטריגונומטרית של הארגומנט הנתון.
באיור ניתן לראות כיצד למצוא את הערך $\cos60°$ השווה ל$\frac(1)(2)$.
הטבלה הטריגונומטרית המורחבת משמשת באופן דומה. היתרון בשימוש בו הוא, כאמור, חישוב הפונקציה הטריגונומטרית של כמעט כל זווית. לדוגמה, אתה יכול למצוא בקלות את הערך $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
טבלאות ברדיס של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות
היכולת לחשב את הפונקציה הטריגונומטרית של כל ערך זווית לחלוטין עבור ערך שלם של מעלות וערך שלם של דקות נותנת שימוש בטבלאות Bradis. לדוגמה, מצא את הערך $\cos34°7"$. הטבלאות מחולקות לשני חלקים: טבלת ערכי $\sin$ ו-$\cos$ והטבלה של $\tan$ ו-$\ ערכי $ cot.
טבלאות ברדיס מאפשרות לקבל ערך משוער של פונקציות טריגונומטריות בדיוק של עד 4 מקומות עשרוניים.
שימוש בטבלאות Bradis
באמצעות הטבלאות של Bradys עבור סינוסים, אנו מוצאים $\sin17°42"$. לשם כך, בעמודה משמאל לטבלת הסינוסים והקוסינוסים אנו מוצאים את הערך של מעלות - $17°$, וב בשורה העליונה נמצא את ערך הדקות - $42"$. בצומת שלהם, נקבל את הערך הרצוי:
$\sin17°42"=0.304$.
כדי למצוא את הערך של $\sin17°44"$, עליך להשתמש בתיקון בצד ימין של הטבלה. במקרה זה, לערך $42"$, שנמצא בטבלה, עליך להוסיף את התיקון עבור $2"$, השווה ל-$0.0006$. נקבל:
$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$.
כדי למצוא את הערך של $\sin17°47"$, אנו משתמשים גם בתיקון בצד ימין של הטבלה, רק שבמקרה זה אנו לוקחים את הערך של $\sin17°48"$ כבסיס ונחסיר את התיקון עבור $1"$:
$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.
בעת חישוב הקוסינוס, אנו מבצעים פעולות דומות, אך אנו מסתכלים על המעלות בעמודה הימנית, והדקות בעמודה התחתונה של הטבלה. לדוגמה, $\cos20°=0.9397$.
אין תיקונים לערכי משיק של עד $90°$ וקוטננטי זווית קטנה. לדוגמה, בואו נמצא $\tan 78°37"$, שלפי הטבלה הוא $4,967$.