הבה נפנה לגרף של הפונקציה y \u003d x 3 - 3x 2. שקול את השכונה של הנקודה x = 0, כלומר. מרווח כלשהו המכיל את הנקודה הזו. זה הגיוני שיש שכונה כזו של הנקודה x \u003d 0 שהפונקציה y \u003d x 3 - 3x 2 לוקחת את הערך הגדול ביותר בשכונה זו בנקודה x \u003d 0. לדוגמה, במרווח (- 1; 1) הערך הגדול ביותר השווה ל-0, הפונקציה לוקחת בנקודה x = 0. הנקודה x = 0 נקראת נקודת המקסימום של פונקציה זו.
באופן דומה, הנקודה x \u003d 2 נקראת נקודת המינימום של הפונקציה x 3 - 3x 2, שכן בשלב זה ערך הפונקציה אינו גדול מערכה בנקודה אחרת בקרבת הנקודה x \u003d 2 , למשל, השכונה (1.5; 2.5).
לפיכך, הנקודה x 0 נקראת הנקודה המקסימלית של הפונקציה f (x) אם ישנה שכונה של הנקודה x 0 - כך שאי השוויון f (x) ≤ f (x 0) מתקיים עבור כל x מכאן שְׁכוּנָה.
לדוגמה, הנקודה x 0 \u003d 0 היא הנקודה המקסימלית של הפונקציה f (x) \u003d 1 - x 2, שכן f (0) \u003d 1 ואי השוויון f (x) ≤ 1 נכון עבור כל הערכים של x.
נקודת המינימום של הפונקציה f (x) נקראת הנקודה x 0 אם יש שכונה כזו של הנקודה x 0 שחוסר השוויון f (x) ≥ f (x 0) מתקיים עבור כל x משכונה זו.
לדוגמה, הנקודה x 0 \u003d 2 היא הנקודה המינימלית של הפונקציה f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, שכן f (2) \u003d 3 ו-f (x) ≥ 3 עבור כל x .
נקודות קיצון נקראות נקודות מינימום ומקסימום נקודות.
נפנה לפונקציה f(x), המוגדרת בשכונה כלשהי של הנקודה x 0 ויש לה נגזרת בנקודה זו.
אם x 0 היא נקודת קיצון של פונקציה הניתנת להבדלה f (x), אז f "(x 0) \u003d 0. משפט זה נקרא משפט פרמה.
למשפט פרמה משמעות גיאומטרית ברורה: בנקודת הקיצון, המשיק מקביל לציר ה-x ולכן השיפוע שלו
f "(x 0) הוא אפס.
לדוגמה, לפונקציה f (x) \u003d 1 - 3x 2 יש מקסימום בנקודה x 0 \u003d 0, הנגזרת שלה f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.
לפונקציה f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 יש מינימום בנקודה x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .
שים לב שאם f "(x 0) \u003d 0, אז זה לא מספיק כדי לקבוע ש-x 0 היא בהכרח נקודת הקיצון של הפונקציה f (x).
לדוגמה, אם f (x) \u003d x 3, אז f "(0) \u003d 0. עם זאת, הנקודה x \u003d 0 אינה נקודת קיצון, מכיוון שהפונקציה x 3 גדלה על כל הציר האמיתי.
לכן, יש לחפש את נקודות הקיצון של פונקציה הניתנת להבדלה רק בין שורשי המשוואה
f "(x) \u003d 0, אבל השורש של המשוואה הזו הוא לא תמיד נקודת קיצון.
נקודות נייחות הן נקודות שבהן הנגזרת של פונקציה שווה לאפס.
לפיכך, כדי שהנקודה x 0 תהיה נקודת קיצון, יש צורך שהיא תהיה נקודה נייחת.
שקול תנאים מספיקים כדי שנקודה נייחת תהיה נקודת קיצון, כלומר. תנאים שבהם נקודה נייחת היא נקודת מינימום או מקסימום של פונקציה.
אם הנגזרת משמאל לנקודה הנייחת היא חיובית, ומימין היא שלילית, כלומר. הנגזרת משנה את סימן "+" לסימן "-" כאשר עוברים בנקודה זו, אז הנקודה הנייחת הזו היא הנקודה המקסימלית.
ואכן, במקרה זה, משמאל לנקודה הנייחת, הפונקציה גדלה, ומימין היא יורדת, כלומר. נקודה זו היא נקודת המקסימום.
אם הנגזרת משנה את הסימן "-" לסימן "+" כאשר היא עוברת דרך נקודה נייחת, אזי הנקודה הנייחת הזו היא נקודת מינימום.
אם הנגזרת לא משנה סימן במעבר דרך נקודה נייחת, כלומר. הנגזרת חיובית או שלילית משמאל ומימין לנקודה הנייחת, אז נקודה זו אינה נקודת קיצון.
בואו נבחן את אחת המשימות. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f (x) \u003d x 4 - 4x 3.
פִּתָרוֹן.
1) מצא את הנגזרת: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).
2) מצא נקודות נייחות: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.
3) באמצעות שיטת המרווחים, אנו קובעים שהנגזרת f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) היא חיובית עבור x\u003e 3, שלילית עבור x< 0 и при 0 < х < 3.
4) מכיוון שכאשר עוברים דרך הנקודה x 1 \u003d 0, הסימן של הנגזרת אינו משתנה, נקודה זו אינה נקודת קיצון.
5) הנגזרת משנה את הסימן "-" לסימן "+" כאשר עוברים דרך הנקודה x 2 \u003d 3. לכן, x 2 \u003d 3 היא נקודת המינימום.
אתר, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.
לפני שלומדים כיצד למצוא את הקיצוניות של פונקציה, יש צורך להבין מהו קיצון. ההגדרה הכללית ביותר של קיצון היא שזהו הערך הקטן ביותר או הגדול ביותר של פונקציה המשמשת במתמטיקה על קבוצה מסוימת של קו מספרים או גרף. במקום שבו נמצא המינימום, מופיע קצה המינימום, ובמקום שבו נמצא המקסימום, מופיע קצה המקסימום. גם בדיסציפלינה כמו ניתוח מתמטי, מבחינים בקיצוניות מקומית של פונקציה. עכשיו בואו נסתכל כיצד למצוא קיצוניות.
קיצוניות במתמטיקה הם בין המאפיינים החשובים ביותר של פונקציה, הם מראים את הערך הגדול והקטן ביותר שלה. הקיצוניות נמצאות בעיקר בנקודות הקריטיות של הפונקציות שנמצאו. ראוי לציין כי בנקודת הקיצון הפונקציה משנה את כיוונה באופן קיצוני. אם נחשב את הנגזרת של נקודת הקיצון, אז לפי ההגדרה היא חייבת להיות שווה לאפס או שהיא תיעדר לחלוטין. לפיכך, כדי ללמוד כיצד למצוא את הקצה הקיצוני של פונקציה, עליך לבצע שתי משימות עוקבות:
- מצא את הנגזרת לפונקציה שצריכה להיקבע על ידי המשימה;
- למצוא את שורשי המשוואה.
רצף מציאת הקיצון
- רשום את הפונקציה f(x) הנתונה. מצא את הנגזרת שלו מסדר ראשון f "(x). השווה את הביטוי המתקבל לאפס.
- כעת עליך לפתור את המשוואה שהתבררה. הפתרונות שיתקבלו יהיו שורשי המשוואה, כמו גם הנקודות הקריטיות של הפונקציה המוגדרת.
- כעת אנו קובעים אילו נקודות קריטיות (מקסימום או מינימום) הן השורשים שנמצאו. השלב הבא, לאחר שלמדנו כיצד למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה, הוא למצוא את הנגזרת השנייה של הפונקציה הרצויה f "(x). יהיה צורך להחליף את הערכים של הנקודות הקריטיות שנמצאו לתוך אי שוויון ספציפי ואז לחשב מה קורה.אם זה קורה, שהנגזרת השנייה מתבררת כגדולה מאפס בנקודה הקריטית, אז זו תהיה נקודת המינימום, אחרת היא תהיה נקודת המקסימום.
- נותר לחשב את הערך של הפונקציה הראשונית בנקודות המקסימום והמינימום הנדרשות של הפונקציה. לשם כך, אנו מחליפים את הערכים שהתקבלו בפונקציה ומחשבים. עם זאת, יש לציין שאם הנקודה הקריטית התבררה כמקסימום, אז הקיצון יהיה מקסימום, ואם הוא מינימום, אז הוא יהיה מינימום באנלוגיה.
אלגוריתם למציאת נקודת קיצון
לסיכום הידע שנצבר, בואו נעשה אלגוריתם קצר כיצד למצוא נקודות קיצון.
- אנו מוצאים את תחום הפונקציה הנתונה ואת המרווחים שלה, הקובעים בדיוק באילו מרווחים הפונקציה רציפה.
- נמצא את הנגזרת של הפונקציה f "(x).
- אנו מחשבים את הנקודות הקריטיות של המשוואה y = f (x).
- אנו מנתחים את השינויים בכיוון הפונקציה f (x), כמו גם את הסימן של הנגזרת f "(x) כאשר הנקודות הקריטיות מפרידות בין תחום ההגדרה של פונקציה זו.
- כעת אנו קובעים אם כל נקודה בגרף היא מקסימום או מינימום.
- אנו מוצאים את ערכי הפונקציה באותן נקודות שהן קצוות.
- אנו מתקנים את התוצאה של מחקר זה - אקסטרים ומרווחים של מונוטוניות. זה הכל. עכשיו שקלנו איך למצוא קיצון בכל מרווח. אם אתה צריך למצוא קיצון על מרווח מסוים של פונקציה, אז זה נעשה בצורה דומה, רק הגבולות של המחקר המתבצע נלקחים בחשבון בהכרח.
אז שקלנו איך למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה. בעזרת חישובים פשוטים, כמו גם ידע על מציאת נגזרות, ניתן למצוא כל נקודת קיצון ולחשב אותה, וכן לייעד אותה גרפית. מציאת קיצוניות היא אחד הסעיפים החשובים ביותר במתמטיקה, הן בבית הספר והן במוסד להשכלה גבוהה, לכן, אם תלמדו כיצד לקבוע אותם בצורה נכונה, הלמידה תהפוך להרבה יותר קלה ומעניינת.
שיעור בנושא: "מציאת נקודות קיצון של פונקציות. דוגמאות"
חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, משוב, הצעות! כל החומרים נבדקים על ידי תוכנת אנטי וירוס.
מדריכים וסימולטורים בחנות המקוונת "אינטגרל" לכיתה 10 מ-1C
אנו פותרים בעיות בגיאומטריה. משימות בנייה אינטראקטיביות לכיתות ז'-י'
סביבת תוכנה "1C: בנאי מתמטי 6.1"
מה נלמד:
1. הקדמה.
2. נקודות של מינימום ומקסימום.
4. איך מחשבים נקודות קיצון?
5. דוגמאות.
מבוא לקיצוניות של פונקציות
חבר'ה, בואו נסתכל על הגרף של פונקציה כלשהי:
שימו לב שהתנהגות הפונקציה y=f (x) שלנו נקבעת במידה רבה על ידי שתי הנקודות x1 ו-x2. בואו נסתכל מקרוב על הגרף של הפונקציה בנקודות אלו ומסביב לה. עד לנקודה x2 הפונקציה גדלה, בנקודה x2 יש נטייה ומיד אחרי נקודה זו הפונקציה יורדת לנקודה x1. בנקודה x1, הפונקציה מתכופפת שוב, ולאחר מכן היא גדלה שוב. נקודות x1 ו-x2 ייקראו לעת עתה נקודות פיתול. בואו נצייר משיקים בנקודות אלה:
המשיקים בנקודות שלנו מקבילים לציר ה-x, כלומר השיפוע של המשיק הוא אפס. המשמעות היא שהנגזרת של הפונקציה שלנו בנקודות אלו היא אפס.
בואו נסתכל על הגרף של פונקציה זו:
לא ניתן לצייר טנגנטים בנקודות x2 ו-x1. מכאן שהנגזרת בנקודות אלו אינה קיימת. עכשיו בואו נסתכל שוב על הנקודות שלנו בשני התרשימים. הנקודה x2 היא הנקודה שבה הפונקציה מגיעה לערך המקסימלי שלה באזור כלשהו (ליד הנקודה x2). הנקודה x1 היא הנקודה שבה הפונקציה מגיעה לערך הקטן ביותר שלה באזור כלשהו (ליד הנקודה x1).
נקודות גבוהות ונמוכות
הגדרה: הנקודה x= x0 נקראת נקודת המינימום של הפונקציה y=f(x) אם יש שכונה של הנקודה x0 שבה אי השוויון הבא נכון: f(x) ≥ f(x0).
הגדרה: הנקודה x=x0 נקראת הנקודה המקסימלית של הפונקציה y=f(x) אם יש שכונה של הנקודה x0 שבה אי השוויון הבא נכון: f(x) ≤ f(x0).
חברים, מה זה השכונה?
הַגדָרָה: השכונה של נקודה היא קבוצה של נקודות המכילה את הנקודה שלנו וקרובה אליה.
אנחנו יכולים להגדיר את השכונה בעצמנו. לדוגמה, עבור נקודה x=2, נוכל להגדיר את השכונה כנקודות 1 ו-3.
נחזור לגרפים שלנו, תסתכל על הנקודה x2, היא גדולה יותר מכל שאר הנקודות משכונה כלשהי, ואז בהגדרה זו נקודת מקסימום. עכשיו בואו נסתכל על הנקודה x1, היא פחותה מכל שאר הנקודות משכונה כלשהי, אז בהגדרה זו נקודת מינימום.
חבר'ה, בואו נציג את הסימון:
ימין - נקודת מינימום,
ymax - נקודת מקסימום.
חָשׁוּב!חבר'ה, אל תבלבלו בין נקודות המקסימום והמינימום לבין הערך הקטן והגדול ביותר של הפונקציה. הערכים הקטנים והגדולים ביותר מחפשים בכל תחום ההגדרה של הפונקציה הנתונה, ובאיזושהי שכונה מחפשים את נקודות המינימום והמקסימום.
פונקציות קיצוניות
יש מונח נפוץ לנקודות מינימום ומקסימום - נקודות קיצון.
Extremum (lat. Extremum - קיצוני) - הערך המקסימלי או המינימלי של פונקציה בקבוצה נתונה. הנקודה בה מגיעים לנקודת הקיצון נקראת נקודת הקיצון.
בהתאם לכך, אם מגיעים למינימום, נקודת הקיצון נקראת נקודת המינימום, ואם מגיעים למקסימום, נקודת המקסימום.
איך למצוא קצוות של פונקציה?
בואו נחזור לתרשימים שלנו. בנקודות שלנו, הנגזרת נעלמת (בגרף הראשון) או שאינה קיימת (בגרף השני).
אז נוכל לומר משפט חשוב: אם לפונקציה y= f(x) יש נקודת קיצון בנקודה x=x0, אז בשלב זה הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס או שאינה קיימת.
נקראות הנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס יַצִיב.
נקודות שבהן הנגזרת של פונקציה לא קיימת נקראות קריטי.
איך מחשבים קיצוניים?
חבר'ה, בואו נחזור לגרף הראשון של הפונקציה:
בניתוח הגרף הזה אמרנו: עד לנקודה x2 הפונקציה גדלה, בנקודה x2 יש נטייה, ואחרי נקודה זו הפונקציה יורדת לנקודה x1. בנקודה x1, הפונקציה מתכופפת שוב, ולאחר מכן הפונקציה גדלה שוב.
בהתבסס על נימוק כזה, אנו יכולים להסיק שהפונקציה בנקודות הקיצון משנה את אופי המונוטוניות, ומכאן שפונקציית הנגזרת משנה סימן. נזכיר שאם הפונקציה יורדת, אז הנגזרת קטנה או שווה לאפס, ואם הפונקציה גדלה, אז הנגזרת גדולה או שווה לאפס.
בואו נכליל את הידע שהושג על ידי ההצהרה:
מִשׁפָּט: תנאי קיצון מספיק: תן לפונקציה y=f(x) להיות רציפה במרווח X כלשהו ותהיה לה נקודה נייחת או קריטית x= x0 בתוך המרווח. לאחר מכן:
כדי לפתור בעיות, זכור את הכללים הבאים: אם הסימנים של נגזרות מוגדרים אז:
אלגוריתם לחקר הפונקציה הרציפה y= f(x) עבור מונוטוניות וקיצוניות:
- מצא את הנגזרת y'.
- מצא נקודות נייחות (הנגזרת היא אפס) ונקודות קריטיות (הנגזרת לא קיימת).
- סמן את הנקודות הנייחות והקריטיות על קו המספרים וקבע את סימני הנגזרת במרווחים המתקבלים.
- בהתבסס על ההצהרות לעיל, הסיק מסקנה לגבי אופי נקודות הקיצון.
דוגמאות למציאת נקודות קיצון
1) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את טיבן: y= 7+ 12*x - x 3
פתרון: הפונקציה שלנו רציפה, אז נשתמש באלגוריתם שלנו:
א) y "= 12 - 3x 2,
ב) y"= 0, ב-x= ±2, 
הנקודה x= -2 היא נקודת המינימום של הפונקציה, הנקודה x= 2 היא נקודת המקסימום של הפונקציה.
תשובה: x= -2 - נקודת מינימום של פונקציה, x= 2 - נקודת מקסימום של פונקציה.
2) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את טיבן.
פתרון: הפונקציה שלנו רציפה. בואו נשתמש באלגוריתם שלנו: א)
ב) בנקודה x= 2 הנגזרת לא קיימת, כי לא ניתן לחלק באפס 
תחום פונקציה: , אין קיצון בשלב זה, כי השכונה של הנקודה אינה מוגדרת. בוא נמצא את הערכים שבהם הנגזרת שווה לאפס: 
ג) נסמן את הנקודות הנייחות על הקו האמיתי ונקבע את הסימנים של הנגזרת: 
ד) התבונן באיור שלנו, המציג את הכללים לקביעת נקודות קיצון. הנקודה x= 3 היא נקודת המינימום של הפונקציה.
תשובה: x= 3 - נקודת המינימום של הפונקציה.
3) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה y= x - 2cos(x) וקבע את האופי שלהן, עבור -π ≤ x ≤ π.
פתרון: הפונקציה שלנו רציפה, בואו נשתמש באלגוריתם שלנו:
a) y"= 1 + 2sin(x),
ב) מצא את הערכים שבהם הנגזרת שווה לאפס: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
כי -π ≤ x ≤ π, ואז: x= -π/6, -5π/6,
ג) סמן את הנקודות הנייחות על הקו האמיתי וקבע את הסימנים של הנגזרת: 
ד) התבונן באיור שלנו, המציג את הכללים לקביעת נקודות קיצון.
הנקודה x= -5π/6 היא הנקודה המקסימלית של הפונקציה.
הנקודה x= -π/6 היא נקודת המינימום של הפונקציה.
תשובה: x= -5π/6 - נקודת מקסימום של הפונקציה, x= -π/6 - נקודת מינימום של הפונקציה.
4) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את טיבן:
פתרון: לפונקציה שלנו יש הפסקה רק בנקודה אחת x= 0. בוא נשתמש באלגוריתם: א)
ב) מצא את הערכים שבהם הנגזרת שווה לאפס: y "= 0 עבור x= ±2, ג) סמן את הנקודות הנייחות על הקו האמיתי וקבע את הסימנים של הנגזרת:
ד) התבונן באיור שלנו, המציג את הכללים לקביעת נקודות קיצון.
הנקודה x= -2 היא נקודת המינימום של הפונקציה.
הנקודה x= 2 היא נקודת המינימום של הפונקציה.
בנקודה x=0, הפונקציה לא קיימת.
תשובה: x= ±2 - נקודות מינימום של הפונקציה.
משימות לפתרון עצמאי
א) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את האופי שלהן: y= 5x 3 - 15x - 5.ב) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את טיבן:
ג) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את האופי שלהן: y= 2sin(x) - x עבור π ≤ x ≤ 3π. ד) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את טיבן:
הנקודה x 0 נקראת נקודת מקסימום(מִינִימוּם) של הפונקציה f(х) אם בשכונה כלשהי של הנקודה x 0 מתקיים אי השוויון f(х) ≤f(х 0) (f(х) ≥f(х 0)).
ערך הפונקציה בשלב זה נקרא בהתאם מַקסִימוּםאוֹ מִינִימוּםפונקציות. המקסימום והמינימום של פונקציה משולבים בשם נפוץ קיצוניפונקציות.
הקיצון של פונקציה במובן זה נקרא לעתים קרובות קיצון מקומי, תוך הדגשת העובדה שמושג זה קשור רק לשכונה קטנה מספיק של הנקודה x 0 . באותו מרווח, לפונקציה יכולים להיות כמה מקסימום ומינימום מקומיים, שאינם בהכרח חופפים עם מקסימום גלובליאוֹ מִינִימוּם(כלומר הערך הגדול או הקטן ביותר של הפונקציה על כל המרווח).
תנאי הכרחי לקיצוניות. כדי שלפונקציה תהיה נקודת קיצון בנקודה, יש צורך שהנגזרת שלה באותה נקודה תהיה שווה לאפס או לא קיימת.
עבור פונקציות הניתנות להבדלה, מצב זה נובע ממשפט פרמה. בנוסף, הוא מספק למקרה שבו לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה היא אינה ניתנת להפרדה.
הנקודות שבהן מתקיים התנאי הקיצוני הדרוש נקראות קריטי(אוֹ יַצִיבעבור פונקציה הניתנת להבדלה). נקודות אלו חייבות להיות בגדר הפונקציה.
לפיכך, אם יש קיצון בנקודה כלשהי, אזי נקודה זו היא קריטית (מצב צורך). שימו לב שההיפך אינו נכון. הנקודה הקריטית אינה בהכרח נקודת קיצון, כלומר. התנאי האמור אינו מספיק.
התנאי הראשון המספיק לקיצוניות. אם כאשר עוברים בנקודה מסוימת, הנגזרת של פונקציה ניתנת להבדלה משנה את הסימן שלה מפלוס למינוס, אז זו נקודת המקסימום של הפונקציה, ואם מינוס לפלוס, אז נקודת המינימום.
ההוכחה למצב זה נובעת מתנאי המונוטוניות המספיקה (כאשר סימן הנגזרת משתנה, המעבר מתרחש או מעלייה בפונקציה לירידה, או מירידה לעלייה).
התנאי השני מספיק לקיצוניות. אם הנגזרת הראשונה של פונקציה שניתנת להפרדה היא אפס בנקודה מסוימת, והנגזרת השנייה חיובית באותה נקודה, אזי זו נקודת המינימום של הפונקציה; ואם הנגזרת השנייה שלילית, אז זו נקודת המקסימום.
ההוכחה למצב זה מבוססת גם על תנאי המונוטוניות המספיקה. ואכן, אם הנגזרת השנייה חיובית, אז הנגזרת הראשונה היא פונקציה הולכת וגדלה. מכיוון שהוא שווה לאפס בנקודה הנבדקת, לכן, כאשר עוברים בה, הוא משנה סימן ממינוס לפלוס, מה שמחזיר אותנו לתנאי הראשון המספיק למינימום מקומי. באופן דומה, אם הנגזרת השנייה שלילית, אז הראשונה פוחתת ומשנה סימן מפלוס למינוס, שזה תנאי מספיק למקסימום מקומי.
חקירה של פונקציה עד קיצוןבהתאם למשפטים המנוסחים, הוא כולל את השלבים הבאים:
1. מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה f`(x).
2. בדקו את מילוי התנאי הקיצוני הדרוש, כלומר. מצא נקודות קריטיות של הפונקציה f(x) שבהן הנגזרת f`(x) = 0 או לא קיימת.
3. בדקו את קיום התנאי הקיצוני המספיק, כלומר. או לבחון את הסימן של הנגזרת משמאל ומימין לכל נקודה קריטית, או למצוא את הנגזרת השנייה f``(x) ולקבוע את הסימן שלה בכל נקודה קריטית. עשה מסקנה לגבי נוכחותם של נקודות קיצון של הפונקציה.
4. מצא אקסטרים (ערכים קיצוניים) של הפונקציה.
מציאת המקסימום והמינימום הגלובלי של פונקציהעל מרווח מסוים יש גם חשיבות מעשית רבה. הפתרון של בעיה זו על קטע מבוסס על משפט Weierstrass, לפיו פונקציה רציפה לוקחת את ערכי המקסימום והמינימליים שלה על קטע. ניתן להשיג אותם הן בנקודות קיצון והן בקצות הקטע. לכן, הפתרון כולל את השלבים הבאים:
1. מצא את הנגזרת של הפונקציה f`(x).
2. מצא את הנקודות הקריטיות של הפונקציה f(x) שבהן הנגזרת f`(x) = 0 או לא קיימת.
3. מצא את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ובקצות הקטע ובחר את הגדול והקטן שבהם.
כפי שאתה יכול לראות, סימן זה של הקיצון של הפונקציה מחייב קיום של נגזרת לפחות עד הסדר השני בנקודה .
דוגמא.
מצא את הקיצוניות של הפונקציה.
פִּתָרוֹן.
נתחיל עם ההיקף: 
בואו נבדיל את הפונקציה המקורית: 
x=1, כלומר, זו הנקודה של קיצון אפשרי. נמצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה ונחשב את ערכה ב x=1:
לכן, במצב הקיצוני השני מספיק, x=1- נקודת מקסימום. לאחר מכן 
הוא המקסימום של הפונקציה.
איור גרפי.
תשובה:
התנאי השלישי המספיק לקיצוניות של פונקציה.
תן לתפקד y=f(x)יש נגזרות עד נ-הסדר ב -שכונה של נקודה ונגזרות עד n+1הסדר בנקודה עצמה. תן ו.
דוגמא.
מצא נקודות קיצון של פונקציה 
.
פִּתָרוֹן.
הפונקציה המקורית היא פונקציה רציונלית שלמה, תחום ההגדרה שלה הוא כל קבוצת המספרים הממשיים.
בואו נבדיל את הפונקציה: 
הנגזרת נעלמת כאשר 
, לפיכך, אלו הנקודות של קיצון אפשרי. הבה נשתמש בתנאי המספיק השלישי עבור קיצון.
נמצא את הנגזרת השנייה ונחשב את ערכה בנקודות קיצון אפשרי (נשמיט חישובי ביניים): 
לכן, היא נקודת המקסימום (עבור הסימן השלישי מספיק של הקיצון, יש לנו n=1ו).
כדי להבהיר את מהות הנקודות 
מצא את הנגזרת השלישית וחשב את ערכה בנקודות הבאות: 
לכן, האם נקודת הפיתול של הפונקציה ( n=2ו).
נותר להתמודד עם הנקודה. אנו מוצאים את הנגזרת הרביעית ומחשבים את ערכה בנקודה זו: 
לכן, היא נקודת המינימום של הפונקציה.
איור גרפי.
תשובה:
נקודת המקסימום היא נקודת המינימום של הפונקציה.
10. קצוות של פונקציה הגדרת קיצון
הפונקציה y = f(x) נקראת גָדֵל (פְּגִימָה) במרווח מסוים אם עבור x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
אם פונקציה הניתנת להבדלה y = f(x) בקטע עולה (יורד), אזי הנגזרת שלה בקטע זה f "(x) 0
(f "(x) 0).
נְקוּדָה איקס על אודותשקוראים לו נקודת מקסימום מקומית (מִינִימוּם) של הפונקציה f(x) אם יש שכונה של הנקודה איקס על אודות, עבור כל הנקודות שבהן אי השוויון f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) נכון.
נקודות המקסימום והמינימום נקראות נקודות קיצון, והערכים של הפונקציה בנקודות אלו הם שלה אקסטרים.
נקודות קיצון
תנאים הכרחיים לקיצוניות. אם נקודה איקס על אודותהיא נקודת קיצון של הפונקציה f (x), אז או f "(x o) \u003d 0, או f (x o) לא קיימות. נקודות כאלה נקראות קריטי,כאשר הפונקציה עצמה מוגדרת בנקודה הקריטית. יש לחפש את הקיצוניות של פונקציה בין הנקודות הקריטיות שלה.
התנאי הראשון המספיק.תן איקס על אודות- נקודה קריטית. אם f "(x) בעת מעבר דרך נקודה איקס על אודותמשנה את סימן הפלוס למינוס, ואז בנקודה איקס על אודותלפונקציה יש מקסימום, אחרת יש לה מינימום. אם הנגזרת לא משנה סימן בעת מעבר דרך נקודה קריטית, אז בנקודה איקס על אודותאין קיצון.
התנאי השני מספיק.תן לפונקציה f(x) נגזרת f "(x) בשכונה של הנקודה איקס על אודותוהנגזרת השנייה ממש בנקודה איקס על אודות. אם f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка איקס על אודותהיא נקודת מינימום (מקסימום) מקומית של הפונקציה f(x). אם =0, אז יש להשתמש בתנאי הראשון המספיק או לכלול נגזרות גבוהות יותר.
בקטע, הפונקציה y = f(x) יכולה להגיע לערך המינימלי או המקסימלי שלה בנקודות קריטיות או בקצה הקטע.
דוגמה 3.22.מצא את הקיצוניות של הפונקציה f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
פִּתָרוֹן. מאז f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), אז הנקודות הקריטיות של הפונקציה x 1 \u003d 2 ו-x 2 \u003d 3. נקודות קיצון יכולות להיות רק בנקודות האלה. אז כמו בעת מעבר דרך הנקודה x 1 \u003d 2, הנגזרת משנה את הסימן פלוס למינוס, אז בשלב זה יש לפונקציה מקסימום. כאשר עוברים דרך הנקודה x 2 \u003d 3, הנגזרת משנה את הסימן מינוס לפלוס, לכן, בנקודה x 2 \u003d 3, לפונקציה יש מינימום. לאחר חישוב ערכי הפונקציה בנקודות x 1 = 2 ו- x 2 = 3, אנו מוצאים את נקודות הקיצון של הפונקציה: מקסימום f (2) = 14 ומינימום f (3) = 13.