פתרון של שטח אינטגרלים מוגדר. אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות

כעת נפנה לבחינת יישומים של החשבון האינטגרלי. בשיעור זה ננתח משימה טיפוסית ונפוצה ביותר. חישוב השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר. לבסוף, כל אלה שמחפשים משמעות במתמטיקה גבוהה יותר - שימצאו אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך קוטג' קיץ עם פונקציות אלמנטריות ולמצוא את השטח שלו באמצעות אינטגרל מסוים.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) הבן את האינטגרל הבלתי מוגדר לפחות ברמת ביניים. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית שרטוטלכן, גם הידע שלך וכישורי הציור יהיו נושא דחוף. לכל הפחות צריך להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה.

נתחיל עם טרפז עקום. טרפז עקום הוא דמות שטוחה התחום על ידי הגרף של פונקציה כלשהי y = ו(איקס), ציר שׁוֹרוקווים איקס = א; איקס = ב.

השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מסוים

לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בכיתה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרנו שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא ה-AREA. זה, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות כלשהי. שקול את האינטגרל המובהק

אינטגרנד

מגדיר עקומה במישור (ניתן לצייר אותה אם תרצה), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.

דוגמה 1

, , , .

זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הנקודה החשובה ביותר של ההחלטה היא בניית שרטוט. יתר על כן, יש לבנות את השרטוט ימין.

בעת בניית תוכנית, אני ממליץ על הסדר הבא: ראשוןעדיף לבנות את כל הקווים (אם יש) ורק לאחר- פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. ניתן למצוא את טכניקת הבנייה הנקודתית בחומר העזר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד ביחס לשיעור שלנו – איך לבנות פרבולה במהירות.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.

בואו נעשה ציור (שימו לב שהמשוואה y= 0 מציין את הציר שׁוֹר):

לא נבקע את הטרפז העקום, ברור על איזה אזור אנחנו מדברים כאן. הפתרון ממשיך כך:

על המרווח [-2; 1] גרף פונקציות y = איקס 2 + 2 ממוקם מעל צירשׁוֹר, בגלל זה:

תשובה: .

מי מתקשה לחשב את האינטגרל המובהק וליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ

עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את השטח של דמות התחום בקווים xy = 4, איקס = 2, איקס= 4 וציר שׁוֹר.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרןשׁוֹר?

דוגמה 3

חשב את השטח של דמות התחום בקווים y = לְשֶׁעָבַר, איקס= 1 וצירי קואורדינטות.

פתרון: בואו נעשה ציור:

אם טרפז עקום לגמרי מתחת לסרן שׁוֹר , אז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:

במקרה הזה:

תשומת הלב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא יכול להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנחשבה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר, אנו עוברים לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y = 2איקס – איקס 2 , y = -איקס.

פתרון: ראשית אתה צריך לעשות ציור. כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה y = 2איקס – איקס 2 וישר y = -איקס. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

אז הגבול התחתון של האינטגרציה א= 0, גבול עליון של אינטגרציה ב= 3. לרוב רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "בעצמם". עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). אנו חוזרים למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות תחילה קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה ציור:

אנו חוזרים על כך שבבנייה נקודתית, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".

ועכשיו נוסחת העבודה:

אם על הקטע [ א; ב] פונקציה רציפה כלשהי ו(איקס) גדול או שווהפונקציה רציפה כלשהי ז(איקס), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה על ידי הנוסחה:

כאן כבר אין צורך לחשוב היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, אלא זה משנה איזה תרשים נמצא למעלה(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל הקו הישר, ולכן מ-2 איקס – איקסיש לגרוע 2 - איקס.

השלמת הפתרון עשויה להיראות כך:

הנתון הרצוי מוגבל על ידי פרבולה y = 2איקס – איקס 2 עליונים וישרים y = -איקסמלמטה.

על קטע 2 איקס – איקס 2 ≥ -איקס. לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: .

למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה

מאז הציר שׁוֹרניתן על ידי המשוואה y= 0, והגרף של הפונקציה ז(איקס) ממוקם מתחת לציר שׁוֹר, לאחר מכן

ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון עצמאי

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של דמות התחום בקווים

במהלך פתרון בעיות לחישוב השטח באמצעות אינטגרל מסוים, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. הציור נעשה בצורה נכונה, החישובים היו נכונים, אבל, בגלל חוסר תשומת לב, ... מצא את השטח של הדמות הלא נכונה.

דוגמה 7

בוא נצייר קודם:

הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול.(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, הם מחליטים לעתים קרובות שהם צריכים למצוא את השטח של הדמות המוצלת בירוק!

דוגמה זו שימושית גם בכך שבה מחושב השטח של הדמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע [-1; 1] מעל הסרן שׁוֹרהגרף ישר y = איקס+1;

2) על הקטע שמעל הציר שׁוֹרגרף ההיפרבולה נמצא y = (2/איקס).

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תשובה:

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

נציג את המשוואות בצורת "בית ספר".

ותעשה את ציור הקו:

ניתן לראות מהציור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב": ב = 1.

אבל מה הגבול התחתון? ברור שזה לא מספר שלם, אלא מה?

אולי, א=(-1/3)? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, יכול בהחלט להתברר שכן א=(-1/4). מה אם לא נבין את הגרף בכלל?

במקרים כאלה, יש להשקיע זמן נוסף ולחדד את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

מצא את נקודות החיתוך של הגרפים

לשם כך נפתור את המשוואה:

כתוצאה מכך, א=(-1/3).

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי. העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים. החישובים כאן הם לא הכי קלים. על הקטע

, ,

לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

לסיכום השיעור, נשקול שתי משימות קשות יותר.

דוגמה 9

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

פתרון: צייר את הדמות הזו בציור.

כדי לצייר ציור נקודה אחר נקודה, אתה צריך לדעת את המראה של הסינוסואיד. באופן כללי, כדאי לדעת את הגרפים של כל הפונקציות היסודיות, כמו גם כמה ערכים של הסינוס. ניתן למצוא אותם בטבלת הערכים פונקציות טריגונומטריות. במקרים מסוימים (למשל במקרה זה), מותר לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג גרפים ומגבלות אינטגרציה באופן עקרוני בצורה נכונה.

אין בעיות עם מגבלות האינטגרציה כאן, הן נובעות ישירות מהתנאי:

- "x" משתנה מאפס ל-"pi". אנו מקבלים החלטה נוספת:

על הקטע, הגרף של הפונקציה y= חטא 3 איקסממוקם מעל הציר שׁוֹר, בגלל זה:

(1) ניתן לראות כיצד סינוסים וקוסינוסים משולבים בחזקות אי-זוגיות בשיעור אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות. אנחנו צובטים סינוס אחד.

(2) אנו משתמשים בזהות הטריגונומטרית הבסיסית בטופס

(3) הבה נשנה את המשתנה ט= cos איקס, אז: ממוקם מעל הציר , אז:

פתק:שימו לב כיצד נלקח האינטגרל של המשיק בקובייה, כאן נעשה שימוש בתוצאה של הזהות הטריגונומטרית הבסיסית

משימה מספר 3. צרו ציור וחשבו את השטח של הדמות התחום בקווים

יישום האינטגרל לפתרון בעיות יישומיות

חישוב שטח

האינטגרל המוגדר של פונקציה לא שלילית רציפה f(x) שווה מספרית להשטח של טרפז עקום התחום על ידי העקומה y \u003d f (x), ציר O x והקווים הישרים x \u003d a ו-x \u003d b. בהתאם לכך, נוסחת השטח כתובה כך:

שקול כמה דוגמאות לחישוב השטחים של דמויות מישוריות.

משימה מספר 1. חשב את השטח התחום על ידי הקווים y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

הַחְלָטָה.בואו נבנה דמות שאת שטחה נצטרך לחשב.

y \u003d x 2 + 1 היא פרבולה שהענפים שלה מכוונים כלפי מעלה, והפרבולה מוזזת כלפי מעלה ביחידה אחת ביחס לציר O y (איור 1).

איור 1. גרף של הפונקציה y = x 2 + 1

משימה מספר 2. חשב את השטח התחום על ידי הקווים y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 בטווח שבין 0 ל-1.

הַחְלָטָה.הגרף של פונקציה זו הוא הפרבולה של הענף, המופנית כלפי מעלה, והפרבולה מוזזת למטה ביחידה אחת ביחס לציר O y (איור 2).

איור 2. גרף של הפונקציה y \u003d x 2 - 1

משימה מספר 3. צרו ציור וחשבו את השטח של הדמות התחום בקווים

y = 8 + 2x - x 2 ו-y = 2x - 4.

הַחְלָטָה.הראשון מבין שני הקווים הללו הוא פרבולה עם ענפים המצביעים כלפי מטה, מכיוון שהמקדם ב-x 2 הוא שלילי, והקו השני הוא ישר החוצה את שני צירי הקואורדינטות.

כדי לבנות פרבולה, בואו נמצא את הקואורדינטות של הקודקוד שלה: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - אבסקיסה קודקודית; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 הוא הקודקוד שלו, N(1;9) הוא הקודקוד שלו.

כעת אנו מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה והישר על ידי פתרון מערכת המשוואות:

השוואת צלעות ימין של משוואה שצלעותיה השמאליות שוות.

נקבל 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 או x 2 - 12 \u003d 0, מאיפה .

אז, הנקודות הן נקודות החיתוך של הפרבולה והקו הישר (איור 1).

איור 3 גרפים של פונקציות y = 8 + 2x – x 2 ו- y = 2x – 4

נבנה קו ישר y = 2x - 4. הוא עובר דרך הנקודות (0;-4), (2; 0) על צירי הקואורדינטות.

כדי לבנות פרבולה, אתה יכול גם לקבל את נקודות החיתוך שלה עם ציר 0x, כלומר, שורשי המשוואה 8 + 2x - x 2 = 0 או x 2 - 2x - 8 = 0. לפי משפט Vieta, זה קל למצוא את השורשים שלו: x 1 = 2, x 2 = 4.

איור 3 מציג דמות (קטע פרבולי M 1 N M 2) התחום בקווים אלה.

החלק השני של הבעיה הוא למצוא את השטח של הדמות הזו. ניתן למצוא את שטחו באמצעות אינטגרל מוגדר באמצעות הנוסחה .

לגבי מצב זה, אנו מקבלים את האינטגרל:

2 חישוב נפח גוף המהפכה

נפח הגוף המתקבל מסיבוב העקומה y \u003d f (x) סביב ציר O x מחושב על ידי הנוסחה:

כאשר מסתובבים סביב ציר O y, הנוסחה נראית כך:

משימה מספר 4. קבע את נפח הגוף המתקבל מסיבוב של טרפז עקום התחום בקווים ישרים x \u003d 0 x \u003d 3 ועקומה y \u003d סביב ציר O x.

הַחְלָטָה.בואו נבנה ציור (איור 4).

איור 4. גרף של הפונקציה y =

הנפח הרצוי שווה ל

משימה מספר 5. חשב את נפח הגוף המתקבל מסיבוב של טרפז עקום התחום על ידי עקומה y = x 2 וקווים ישרים y = 0 ו- y = 4 סביב הציר O y .

הַחְלָטָה.יש לנו:

סקור שאלות

א)

הַחְלָטָה.

הרגע הראשון והחשוב ביותר של ההחלטה הוא בניית שרטוט.

בואו נעשה ציור:

המשוואה y=0 קובע את ציר ה-x;

- x=-2 ו x=1 - ישר, מקביל לציר OU;

- y \u003d x 2 +2 - פרבולה שענפיה מופנים כלפי מעלה, עם קודקוד בנקודה (0;2).

תגובה.כדי לבנות פרבולה, מספיק למצוא את נקודות החיתוך שלה עם צירי הקואורדינטות, כלומר. לשים x=0 למצוא את הצומת עם הציר OU ופתרון המשוואה הריבועית המתאימה, מצא את החתך עם הציר אה .

ניתן למצוא את הקודקוד של פרבולה באמצעות הנוסחאות:

אתה יכול לצייר קווים ונקודה אחר נקודה.

על המרווח [-2;1] הגרף של הפונקציה y=x 2 +2 ממוקם מעל ציר שׁוֹר , בגלל זה:

תשובה: ס \u003d 9 יחידות מרובעות

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים בעליל לא מתאימים לדמות המדוברת, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרן אה?

ב)חשב את השטח של דמות התחום בקווים y=-e x , x=1 ולתאם צירים.

הַחְלָטָה.

בואו נעשה ציור.

אם טרפז עקום לגמרי מתחת לסרן אה , ואז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:

תשובה: S=(e-1) יחידת מ"ר" 1.72 יחידת מ"ר

תשומת הלב! אל תבלבלו בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא יכול להיות שלילי.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת במישור החצי העליון והתחתון כאחד.

עם)מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

הַחְלָטָה.

ראשית אתה צריך לעשות ציור. באופן כללי, כאשר בונים שרטוט בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה וישיר ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית.

נפתור את המשוואה:

אז הגבול התחתון של האינטגרציה a=0 , הגבול העליון של האינטגרציה b=3 .

אנו בונים את הקווים הנתונים: 1. פרבולה - קודקוד בנקודה (1;1); צומת ציר אה -נקודות(0;0) ו-(0;2). 2. קו ישר - חצויה של זוויות הקואורדינטות ה-2 וה-4. ועכשיו שימו לב! אם במרווח [ א;ב] פונקציה רציפה כלשהי f(x)גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי g(x), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה על ידי הנוסחה: .

וזה לא משנה היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, אבל חשוב איזה תרשים הוא HIGHER (ביחס לתרשים אחר), ואיזה הוא BELOW. בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

אפשר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "מעצמם". עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים).

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מלמעלה וקו ישר מלמטה.

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה: ס \u003d 4.5 יחידות מ"ר

אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות

כעת נפנה לבחינת יישומים של החשבון האינטגרלי. בשיעור זה ננתח משימה טיפוסית ונפוצה ביותר. כיצד להשתמש באינטגרל מוגדר כדי לחשב את השטח של דמות מישור. לבסוף, מי שמחפש משמעות במתמטיקה גבוהה יותר - שימצאו אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך קוטג' קיץ עם פונקציות אלמנטריות ולמצוא את השטח שלו באמצעות אינטגרל מסוים.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) הבן את האינטגרל הבלתי מוגדר לפחות ברמת ביניים. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות.

למעשה, כדי למצוא את שטח הדמות, אתה לא צריך כל כך הרבה ידע על האינטגרל הבלתי מוגדר והמוגדר. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית שרטוט, כך שהידע שלך וכישורי הציור יהיו נושא רלוונטי הרבה יותר. בהקשר זה, כדאי לרענן את הזיכרון של הגרפים של הפונקציות היסודיות העיקריות, ולכל הפחות, להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה. ניתן לעשות זאת (רבים זקוקים לכך) בעזרת חומר מתודולוגי ומאמר על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים.

למעשה, כולם מכירים את הבעיה של מציאת השטח באמצעות אינטגרל מובהק מאז בית הספר, ואנחנו נקדים מעט את תוכנית הלימודים בבית הספר. המאמר הזה אולי לא קיים בכלל, אבל העובדה היא שהבעיה מתרחשת ב-99 מקרים מתוך 100, כאשר תלמיד מתייסר על ידי מגדל שנוא בהתלהבות בשליטה בקורס במתמטיקה גבוהה יותר.

החומרים של סדנה זו מוצגים בפשטות, בפירוט ובמינימום תיאוריה.

נתחיל עם טרפז עקום.

טרפז עקוםנקרא דמות שטוחה התחום על ידי הציר, קווים ישרים וגרף של פונקציה רציפה על קטע שאינו משנה סימן במרווח זה. תן לדמות הזו להיות ממוקם לא פחותאבשיסה:

לאחר מכן השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מסוים. לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בכיתה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרתי שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא ה-AREA.

זה, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות כלשהי. לדוגמה, שקול את האינטגרל המובהק . האינטגרנד מגדיר עקומה במישור שנמצאת מעל הציר (מי שרוצה יכול להשלים את הציור), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.

דוגמה 1

זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הרגע הראשון והחשוב ביותר של ההחלטה הוא בניית שרטוט. יתר על כן, יש לבנות את השרטוט ימין.

בעת בניית תוכנית, אני ממליץ על הסדר הבא: ראשוןעדיף לבנות את כל הקווים (אם יש) ורק לאחר- פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. גרפי פונקציות משתלם יותר לבנות נקודה אחר נקודה, עם הטכניקה של בנייה נקודתית ניתן למצוא בחומר העזר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד ביחס לשיעור שלנו – איך לבנות פרבולה במהירות.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.
בואו נעשה ציור (שימו לב שהמשוואה מגדירה את הציר):

אני לא אבקע טרפז עקום, ברור על איזה אזור אנחנו מדברים כאן. הפתרון ממשיך כך:

על הקטע, גרף הפונקציה ממוקם מעל ציר, בגלל זה:

תשובה:

מי מתקשה לחשב את האינטגרל המובהק וליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ , עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות.

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, "לפי העין" אנו סופרים את מספר התאים בציור - ובכן, בערך 9 יוקלדו, נראה שזה נכון. די ברור שאם הייתה לנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התברר שהתשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים , , והציר

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם הטרפז העקמומי ממוקם מתחת לסרן?

דוגמה 3

חשב את שטח הדמות התחום בקווים ובצירי קואורדינטות.

הַחְלָטָה: בוא נעשה ציור:

אם הטרפז העקום ממוקם מתחת לסרן(או לפחות לא גבוה יותרציר נתון), אז ניתן למצוא את השטח שלו על ידי הנוסחה:
במקרה הזה:

תשומת הלב! אל תבלבלו בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור רק אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא יכול להיות שלילי.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים, .

הַחְלָטָה: ראשית עליך להשלים את הציור. באופן כללי, כאשר בונים שרטוט בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. בוא נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה והקו. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

מכאן, הגבול התחתון של האינטגרציה, הגבול העליון של האינטגרציה.
עדיף לא להשתמש בשיטה זו אם אפשר..

הרבה יותר רווחי ומהיר יותר לבנות את הקווים נקודה אחר נקודה, בעוד שגבולות האינטגרציה מתגלים כאילו "מעצמם". טכניקת הבנייה הנקודתית של תרשימים שונים נדונה בפירוט בעזרה גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. עם זאת, עדיין יש להשתמש בשיטה האנליטית של מציאת הגבולות אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהמבנה המושחל לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). וגם נשקול דוגמה כזו.

אנו חוזרים למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות תחילה קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה ציור:

אני חוזר על כך שבבנייה נקודתית, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".

ועכשיו נוסחת העבודה: אם ישנה פונקציה רציפה כלשהי במרווח גדול או שווהפונקציה רציפה כלשהי, ואז את שטח הדמות התחום על ידי הגרפים של הפונקציות והקווים הישרים, ניתן למצוא על ידי הנוסחה:

כאן כבר אין צורך לחשוב היכן ממוקמת הדמות - מעל הציר או מתחת לציר, ובאופן גס, זה משנה איזה תרשים נמצא למעלה(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

השלמת הפתרון עשויה להיראות כך:

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מלמעלה וקו ישר מלמטה.
על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה פשוטה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה . מכיוון שהציר ניתן על ידי המשוואה , והגרף של הפונקציה נמצא לא גבוה יותרצירים, אם כן

ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון עצמאי

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של הדמות המוקפת בקווים, .

במהלך פתרון בעיות לחישוב השטח באמצעות אינטגרל מסוים, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. הציור נעשה נכון, החישובים היו נכונים, אבל בגלל חוסר תשומת לב ... מצא את השטח של הדמות הלא נכונה, כך פישל המשרת הצייתן שלך כמה פעמים. הנה מקרה מהחיים האמיתיים:

דוגמה 7

חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים , , , .

הַחְלָטָה: בוא נעשה ציור קודם:

...אה, הציור יצא שטויות, אבל הכל נראה קריא.

הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול.(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, מתרחשת לעתים קרובות "תקלה" שאתה צריך למצוא את השטח של הדמות המוצלל בירוק!

דוגמה זו שימושית גם בכך שבה מחושב השטח של הדמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע שמעל הציר יש גרף קו ישר;

2) על הקטע שמעל הציר נמצא גרף היפרבולה.

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תשובה:

בואו נעבור למשימה משמעותית נוספת.

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים,
בואו נציג את המשוואות בצורה "בית ספר", ונבצע ציור נקודתי:

ניתן לראות מהציור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב":.
אבל מה הגבול התחתון? ברור שזה לא מספר שלם, אלא מה? אולי ? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, יכול בהחלט להתברר שכן. או שורש. מה אם לא נבין את הגרף בכלל?

במקרים כאלה, יש להשקיע זמן נוסף ולחדד את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

בוא נמצא את נקודות החיתוך של הישר והפרבולה.
לשם כך נפתור את המשוואה:

,

באמת, .

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי, העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים, החישובים כאן לא הכי קלים.

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

ובכן, לסיכום השיעור, נשקול שתי משימות קשות יותר.

דוגמה 9

חשב את שטח הדמות התחום בקווים , ,

הַחְלָטָה: צייר את הדמות הזו בציור.

לעזאזל, שכחתי לחתום על לוח הזמנים, ולעשות מחדש את התמונה, סליחה, לא הוץ. לא ציור, בקיצור, היום זה היום =)

לבנייה נקודתית, יש צורך לדעת את מראה הסינוסואיד (ובאופן כללי כדאי לדעת גרפים של כל הפונקציות היסודיות), כמו גם כמה ערכי סינוס, ניתן למצוא אותם ב טבלה טריגונומטרית. במקרים מסוימים (כמו במקרה זה), מותר לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג גרפים ומגבלות אינטגרציה באופן עקרוני בצורה נכונה.

אין כאן בעיות עם מגבלות האינטגרציה, הן נובעות ישירות מהתנאי: - "x" משתנה מאפס ל-"pi". אנו מקבלים החלטה נוספת:

על הקטע, הגרף של הפונקציה ממוקם מעל הציר, לכן: