משפט פלנימטריה על מקבילה וגזרה.
מחוץ לספרות בשפה הרוסית, משפט תאלס נקרא לפעמים משפט פלנימטריה נוסף, כלומר, האמירה שזווית כתובה המבוססת על קוטר מעגל היא ישרה. גילוי המשפט הזה אכן מיוחס לת'אלס, כפי שמעיד פרוקלוס.
ניסוח [ | ]
אם על אחד משני הקווים הישרים מונחים ברצף כמה קטעים שווים בצד וקווים מקבילים נמשכים בקצותיהם, חותכים את הקו הישר השני, אז הם יחתכו קטעים שווים על הקו הישר השני.
ניסוח כללי יותר, הנקרא גם משפט מקטע פרופורציונלי
קווים מקבילים חותכים קטעים פרופורציונליים בגזרות:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)הערות [ | ]
- משפט תלס הוא מקרה מיוחד של משפט המקטעים הפרופורציונליים, שכן ניתן להתייחס למקטעים שווים למקטעים פרופורציונליים עם מקדם מידתיות השווה ל-1.
הוכחה במקרה של סקאנטים
שקול וריאנט עם זוגות לא מחוברים של קטעים: תן לזווית להיות נחתכת על ידי קווים ישרים A A 1 | | ב ב 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))ובו A B = C D (\displaystyle AB=CD).
הוכחה במקרה של קווים מקבילים
בואו נצייר קו ישר לִפנֵי הַסְפִירָה. פינות א ב גו BCDשווים כצלבים פנימיים השוכנים בקווים מקבילים א.בו CDוסיקור לִפנֵי הַסְפִירָה, והזוויות ACBו CBDשווים כצלבים פנימיים השוכנים בקווים מקבילים ACו BDוסיקור לִפנֵי הַסְפִירָה. לאחר מכן, לפי הקריטריון השני לשוויון המשולשים, המשולשים א ב גו DCBשווים. מכאן נובע מכך AC = BDו א.ב = CD. ■
וריאציות והכללות[ | ]
משפט הפוך[ | ]
אם במשפט תלס מתחילים מקטעים שווים מהקודקוד (נוסח זה משמש לעתים קרובות בספרות בית ספרית), אז גם המשפט ההפוך יתברר כנכון. עבור סקאנטים מצטלבים, הוא מנוסח באופן הבא:
במשפט תלס הפוך, חשוב שקטעים שווים יתחילו מהקודקוד
כך (ראה איור) מהעובדה ש C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), עוקב אחר כך א 1 ב 1 | | א 2 ב 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
אם הססקנטים מקבילים, אז יש צורך לדרוש שוויון של המקטעים בשני הססקנטים בינם לבין עצמם, אחרת הצהרה זו הופכת לא נכונה (דוגמה נגדית היא טרפז הנחתך על ידי קו העובר דרך נקודות האמצע של הבסיסים).
משפט זה משמש בניווט: התנגשות של ספינות הנעות במהירות קבועה היא בלתי נמנעת אם הכיוון מספינה אחת לאחרת נשמר.
הלמה של סולרטינסקי[ | ]
ההצהרה הבאה היא כפולה ללמה של סולרטינסקי:
|
תן f (\displaystyle f)- התכתבות השלכתית בין נקודות הקו l (\displaystyle l)וישיר m (\displaystyle m). אז קבוצת הקווים תהיה קבוצת המשיקים לקטע חרוטי כלשהו (אולי מנוון). |
במקרה של משפט תלס, החרוט יהיה נקודה באינסוף המקבילה לכיוון של ישרים מקבילים.
הצהרה זו, בתורה, היא מקרה מגביל של ההצהרה הבאה:
|
תן f (\displaystyle f)הוא טרנספורמציה השלכתית של חרוט. ואז המעטפה של קבוצת השורות X f (X) (\displaystyle Xf(X))יהיה חרוט (אולי מנוון). | ]שקוראים לו פּרוֹפּוֹרצִיָה. במקביל הם אומרים ש: x 1 קשור ל-x 2 כפי ש-y 1 קשור ל-y 2, היחס בין המספרים x 1 ו- x 2 שווה ליחס של המספרים y 1 ו- y 2, המספרים x 1 ו- x 2 קשורים באותו אופן כמו המספרים y 1 ו- y 2, או לבסוף מספרים x 1 ו-y 1 (!) פרופורציונלי למספרים x 2 ו- y 2(כלומר, המונים פרופורציונליים למכנים). המספרים הכלולים כאן איקס 1 , איקס 2 , y 1 ו y 2 נקראים מונחים של הפרופורציה. בדרך כלל כולם חיוביים, אבל הם לא חייבים להיות. עם זאת, מניחים שאף אחד מהם אינו אפס. שוויון זה קיבל שם מיוחד מהסיבה שהוא מתרחש לעתים קרובות בפתרון בעיות מתמטיות שונות. ניתן לשנות פרופורציות על ידי העברת חברים "מהחלק העליון" של חלק אחד של השוויון "למטה" של החלק השני של השוויון ולהיפך. הליך זה יכול להיות מוצדק בקלות כדלקמן. נניח שאנחנו רוצים להעביר איקס 1 משמאל לימין. כדי לעשות זאת, הכפל את שני הצדדים של הפרופורציה ב-1/ איקס 1: שזה משתנה איקס 1 עבר "באלכסון מלמעלה למטה". כעת נעביר את המשתנה "למעלה שמאלה" y 2. זה מושג על ידי הכפלת שני חלקי השוויון הזה בו. כתוצאה מכך, יש לנו מונים איקס 1 ו y 1 קשורים זה לזה בדיוק באותו אופן כמו המכנים התואמים שלהם איקס 2 ו y 2 . משפט תאלס מוכלל משפט תאלס, שנחשב בפעם הקודמת, מודה בהכללה הבאה. תן שני קווים שרירותיים איקסו yנחתכים על ידי שלושה קווים מקבילים נ 1 , נ 2 ו נ 3 בנקודות איקס 1 , איקס 2 , איקס 3 ו י 1 , י 2 , י 3 כפי שמוצג בתמונה: ואז אורכי הקטעים החתוכים יוצרים את הפרופורציה הבאה הוא מספר רציונלי, כלומר ניתן לבטא אותו כשבר בלתי ניתן לצמצום
איפה או בכמה מספרים טבעיים, א< ב. בואו נחלק את הקטע איקס 1 איקס 3 על בחלקים זהים. (בעוד הנקודה איקס 2 יתברר כאחת מנקודות החלוקה.) הבה נצייר קווים ישרים דרך כל נקודת חלוקה, במקביל ל נ 1 , נ 2 ו נ 3 . (אחת מהשורות הללו תחפוף לקו נ 2 .)
לפי משפט תאלס (בגרסה המקורית שלו), הקטע י 1 י 3 מחולק גם על ידי שורות אלה לתוך בחלקים שווים, מתוכם אחלקים מרכיבים קטע י 1 י 2. כתוצאה מכך,
Q.E.D. זה גם נובע מהבנייה שלנו
באמצעות מאפייני הפרופורציות, ניתן לשכתב את השוויון הללו כשרשרת אחת:
לפיכך, קטעים מנותקים על קו ישר yפרופורציונלי למקטעי הקו המתאימים איקס. תיאורטית, ייתכן גם שהיחס בין האורכים
אינו מספר רציונלי, שכן אורכי הקטעים | איקס 1 איקס 2 | ו | איקס 1 איקס 3 | ניתן, באופן עקרוני, לביטוי במספרים אי-רציונליים. עם זאת, בפועל זה אף פעם לא כך. כדי לקבוע את אורכי הקטעים, אנו תמיד משתמשים במכשיר מדידה כלשהו (למשל, סרגל בית ספר), שנותן רק תוצאות מעוגלות בצורה של שבר עשרוני סופי. תוצאה חשובה תנו קווים לא חופפים איקסו y, שמצטלבים בנקודה O, ועוד שני קווים מקבילים נ 1 ו נ 2 שחותכים את הקו איקסבנקודות איקס 1 ו איקס 2 וישר yבנקודות י 1 ו י 2 כפי שמוצג באיור.
הבה נציג את הסימון: איקס 1 = |שׁוֹר 1 |, איקס 2 = |שׁוֹר 2 |; y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |; ז 1 = |איקס 1 י 1 |, ז 2 = |איקס 2 י 2 |.
אכן, שני השוויון בשרשרת זו נובעים ישירות ממשפט תאלס המוכלל. עבור השוויון הראשון, זה ברור מיד, אבל עבור השני זה הופך ברור לאחר שאנו עוברים דרך הנקודה י 1 צייר קו ישר M, במקביל לקו איקס.
גם ההיפך נכון. תנו לאותה בנייה גיאומטרית וידוע כי ואז הקווים נ 1 ו נ 2 מקבילים. אכן, הבה נעבור דרך הנקודה איקסקו עזר 1 במקביל לקו נ 2. לפי משפט תאלס המוכלל, קו עזר זה עובר דרך הנקודה יאחד . לכן, זה עולה בקנה אחד עם הקו נאחד . לפיכך, הישיר נ 1 מקביל לקו נ 2 . סוּלָם בואו נצא החוצה, ניקח איתנו פיסת נייר ועיפרון. נניח את הגיליון שלנו בצורה אופקית ונשים עליה את נקודה O בערך באמצע. מנקודה זו נשרטט קרניים בכיוון של נקודות מדהימות שונות על הקרקע הנמצאות ברדיוס של כמאה מטר - עצים, עמודים, פינות של מבנים וכדומה. נניח שיש לנו הזדמנות למדוד את המרחקים לנקודות המדהימות הללו. תן, למשל, המרחק לעץ הקרוב ביותר להיות 10 מ'. הבה נניח נפשית בצד מהנקודה Oלכיוון העץ הזה, קטע שאורכו קטן פי 1000 מהמרחק הנתון, וסמנו את מיקום הקצה השני שלו בעיפרון על נייר. קל לחשב את המרחק מהנקודה Oלסימון יהיה 10 מ' / 1000 \u003d 1 ס"מ. באופן דומה, תן למרחק לאובייקט אחר ראוי לציון איקסאחד . הכפלו את המרחק הזה במספר ק, שווה ל-1/1000. מודח מבחינה נפשית מהנקודה Oאורך המקטע איקס 2 =kx 1 לאורך האלומה המכוונת לאובייקט הנתון. במקום על הנייר שבו נמצא הקצה השני של הקטע, סמן בעיפרון. בואו נעשה את ההליך הזה עם כל הנקודות המדהימות על הקרקע, תוך שימוש באותו ערך פרמטר כל הזמן ק. אם כל אחת מהנקודות הללו מחוברת זו לזו באמצעות גדר או חומה או משהו דומה, אז נצייר גם קווים בין הסימנים המתאימים על נייר. כתוצאה מכך, על דף הנייר שלנו אנו מקבלים מפה של האזור. מתוקף משפט תאלס ותכונות הפרופורציות, כל היחסים בין מרחקים על הנייר יהיו בדיוק כמו במציאות. יתרה מכך, כל הקווים על הנייר יהיו מקבילים לקווים המקבילים על הקרקע. ההקבלה הזו, כמובן, תישבר כשניקח את הגיליון שלנו למקום אחר, אבל הזוויות בין השורות יישארו. פָּרָמֶטֶר ק, שבו השתמשנו בבנייה שלנו, נקרא גורם קנה מידהאו בפשטות סוּלָם. כמובן, זה לא חייב להיות שווה ל-1/1000. הוא יכול, באופן עקרוני, לקבל כל ערך, רק חשוב שהערך הזה יישאר ללא שינוי כל הזמן בתהליך בניית המפה. במפות גיאוגרפיות אמיתיות, קנה המידה מצויין בהכרח באגדה, ובדרך כלל משתמשים בנקודתיים במקום פס שבר. לדוגמה, קנה מידה של 1:100,000 אומר שסנטימטר אחד במפה מתאים ל-100,000 סנטימטר (כלומר קילומטר אחד) על הקרקע. שרטוטים טכניים נעשים גם תמיד, כמו שאומרים, בקנה מידה מסוים. קנה מידה 1:1 פירושו שהחלק מצויר בגודל אמיתי. קנה מידה של 10:1 מצביע על כך שהציור נעשה בהגדלה של פי עשרה. הערה לגבי קווים מקבילים קראנו מקבילים קווים לא חופפים כאלה, שהזווית ביניהם שווה לאפס. ציינו שקווים כאלה אינם מצטלבים בשום מקום. כעת אנו מוכיחים שאם הקווים שוכבים באותו מישור ואינם מקבילים (כלומר, הזווית ביניהם שונה מאפס), אז הם בהחלט יצטלבו איפשהו. תנו שני קווים ישרים במישור - איקסו נ. אנו מסמנים עליהם נקודות שרירותיות - Oו י- וצייר קו ישר שלישי דרך הנקודות הללו - y. בהנחה שהזווית בין הקווים איקסו נאינו שווה לאפס, אזי זוויות סמוכות לא חייבות להיות שוות זו לזו. תן לירידות α 1 > α 2 כפי שמוצג באיור.
בוא נעבור דרך הנקודה Oישיר נ 1 מקביל לקו נ. הערה עליו מהצד של הפינה α נקודה שרירותית אחת נ 1 וצייר קו דרך נקודה זו y 1 מקביל לקו y. במקרה זה, נוצרת מקבילית, המצוינת באיור על ידי רקע אפור.
זה אומר שהישיר y 1 חוצה את הגבול נבשלב מסוים, אותו נסמן על ידי נ. יָשָׁר איקס, כניסה ל"טריטוריה" של המקבילית בנקודה Oבטח יצא איפשהו. היא יכולה לעשות את זה גם דרך הקטע YN, או דרך הקטע נ 1 נ. במקרה הראשון, מיד מתברר כי הקו איקסחוצה את הגבול נ. הבה נבחן את המקרה השני. סמן את נקודת החיתוך של הקו איקסוחותכים נ 1 נדרך איקסאחד . בואו נצייר קו ישר דרכו נ 2 במקביל לקו נ. קו זה מפצל את המקבילית עַל 1 ניו יורקלתוך שתי מקביליות חדשות וחוצה את הישר yבשלב מסוים יאחד . הערה על קו ישר איקסנקודה כזו איקס, שעבורו היחס
בוא נעבור דרך הנקודות איקסו יישיר. על פי המסקנה ממשפט תאלס שנחשב לעיל, קו זה מקביל לישר נ 2, כלומר הוא יוצר זווית אפס עם הקו נ. לכן, הקו החדש עולה בקנה אחד עם הקו נ, שבכך חוצה את הקו איקסבנקודה איקס. כעת אנו יכולים לקבוע כי שלושת ההצהרות הבאות על קווים שאינם חופפים או בשוכב באותו מישור אומר בדיוק אותו דבר: (1) זווית בין קווים ישרים או בשווה לאפס. (2) ישר או בלא מצטלבים בשום מקום. (3) ישר או במקבילים. בקורסי גיאומטריה מסורתיים, ההגדרה של מקבילות של ישרים היא משפט 2. לשם כך בחרנו במשפט 1. הרי הרבה יותר קל לקבוע את הזווית בין שני ישרים מאשר לוודא שהם לא מצטלבים בשום מקום לאורך כל הקווים שלהם. אורך אינסופי. תַקצִיר 1. שוויון הטופס איקס 1 /איקס 2 = y 1 /y 2 נקרא פרופורציה. המונים פרופורציונליים למכנים. המונה והמכנה של שבר אחד קשורים באותו אופן כמו המונה והמכנה של שבר אחר. שוויון שווה ערך: איקס 1 /y 1 = איקס 2 /y 2 . 2. משפט תאלס מוכלל. תן שני קווים שרירותיים או בנחתכים על ידי שלושה קווים מקבילים. ואז הקטעים נחתכו על הקו א, הם פרופורציונליים לקטעים המתאימים המנותקים על קו ישר ב. 3. מסקנה 1. הניחו את הצדדים של זווית עם קודקוד בנקודה Oנחתכים על ידי שני קווים מקבילים נ 1 ו נ 2. ואז הקטעים נחתכים על הקווים הישרים נ 1 ו נ 2 , קשורים באותו אופן כמו הקטעים המשויכים משני צדי הזווית מהנקודה Oלנקודות החיתוך המתאימות עם הקווים נ 1 ו נ 2 . 4. תוצאה 2. תנו לקטעים בצדי הפינה להיות מנותקים מהקודקוד בצורה כזו שהקטעים בצד אחד יהיו פרופורציונליים לקטעים בצד השני. ואז הקווים העוברים דרך הקצוות המתאימים של מקטעים אלה מקבילים זה לזה. 5. כל היחסים בין המרחקים וכל הזוויות נשמרים במפה. היחס בין המרחק בין כמה שתי נקודות במפה למרחק בין הנקודות המתאימות על הקרקע אינו תלוי בבחירת הנקודות והוא נקרא קנה המידה. 6. אם הזווית בין שני ישרים השוכנים באותו מישור אינה שווה לאפס, אז ישרים כאלה חייבים להצטלב. נושא השיעורמטרות השיעור
מטרות השיעור
מערך שיעור
התייחסות להיסטוריה
גילויים ויתרונות של מחברוהאם אתה יודע שתאלס ממילטוס היה אחד משבעת החכמים המפורסמים ביותר של יוון באותה תקופה. הוא ייסד את בית הספר היוני. הרעיון שתאלס קידם בבית הספר הזה היה האחדות של כל הדברים. החכם סבר שיש מקור אחד שממנו נבעו כל הדברים. הכשרון הגדול של תאלס ממילטוס הוא יצירת הגיאומטריה המדעית. הוראה גדולה זו הצליחה ליצור גיאומטריה דדוקטיבית מאמנות המדידה המצרית, שבסיסה הוא בסיס משותף. בנוסף לידע הרב שלו בגיאומטריה, תאלס היה בקי גם באסטרונומיה. Em היה הראשון שניבא ליקוי מלא של השמש. אבל זה לא קרה בעולם המודרני, אלא ב-585 הרחוקה, עוד לפני תקופתנו. תלס ממילטוס היה האיש שהבין שניתן לקבוע את הצפון במדויק על ידי קבוצת הכוכבים אורסה מינור. אבל זו לא הייתה התגלית האחרונה שלו, שכן הוא הצליח לקבוע במדויק את אורכה של השנה, לחלק אותה לשלוש מאות שישים וחמישה ימים, וגם לקבוע את זמן ימי השוויון. תאלס היה למעשה אדם מפותח וחכם. בנוסף להיותו מפורסם כמתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום מצוין, הוא גם היה, כמטאורולוג אמיתי, מסוגל לחזות במדויק את מסיק הזיתים. אבל הדבר המדהים ביותר הוא שתאלס מעולם לא הגביל את הידע שלו רק לתחום המדעי והתיאורטי, אלא תמיד ניסה לגבש את העדויות של התיאוריות שלו בפועל. והדבר המעניין ביותר הוא שהחכם הגדול לא התמקד באף תחום אחד של הידע שלו, לעניין שלו היו כיוונים שונים. שמו של תאלס הפך לשם דבר עבור החכם כבר אז. חשיבותו ומשמעותו עבור יוון הייתה גדולה כמו שמו של לומונוסוב עבור רוסיה. כמובן שניתן לפרש את חוכמתו בדרכים שונות. אבל אנחנו בהחלט יכולים לומר שהוא התאפיין הן בכושר המצאה, והן בהמצאה מעשית, ובמידה מסוימת, בניתוק. תאלס ממילטוס היה מתמטיקאי מצוין, פילוסוף, אסטרונום, אהב לטייל, היה סוחר ויזם, עסק במסחר, והיה גם מהנדס טוב, דיפלומט, רואה והשתתף באופן פעיל בחיים הפוליטיים. הוא אפילו הצליח לקבוע את גובה הפירמידה בעזרת מטה וצל. וזה היה ככה. יום שמש נאה אחד, תאלס הניח את המטה שלו על הגבול שבו הסתיים צל הפירמידה. אחר כך המתין עד שאורך הצל של המטה שלו ישתווה לגובהו, ומדד את אורך הצל של הפירמידה. אז נראה שתאלס פשוט קבע את גובה הפירמידה והוכיח שאורכו של צל אחד קשור לאורכו של הצל השני, בדיוק כפי שגובה הפירמידה קשור לגובה המטה. זה היכה את פרעה אמסיס עצמו. הודות לתאלס, כל הידע הידוע באותה תקופה הועבר לתחום העניין המדעי. הוא הצליח להביא את התוצאות לרמה המתאימה לצריכה מדעית, תוך הדגשת קבוצה מסוימת של מושגים. ואולי בעזרתו של תאלס, החלה ההתפתחות שלאחר מכן של הפילוסופיה העתיקה. משפט תאלס ממלא תפקיד חשוב אחד במתמטיקה. זה היה ידוע לא רק במצרים העתיקה ובבבל, אלא גם במדינות אחרות והיה הבסיס להתפתחות המתמטיקה. כן, ובחיי היומיום, בבניית מבנים, מבנים, כבישים וכו', אי אפשר בלי משפט תאלס. משפט תאלס בתרבותמשפט תאלס התפרסם לא רק במתמטיקה, אלא הוא הוצג גם לתרבות. פעם אחת, החבורה המוזיקלית הארגנטינאית Les Luthiers (ספרדית) הגישה לקהל שיר, אותו הקדישו למשפט ידוע. חברי Les Luthiers סיפקו הוכחה למשפט הישיר עבור קטעים פרופורציונליים בווידאו קליפ שלהם במיוחד עבור השיר הזה. שאלות
רשימת מקורות בשימוש
הקבר הזה קטן, אבל התהילה עליו עצומה. כתובת על קברו של תאלס ממילטוס
דמיינו תמונה כזו. 600 לפני הספירה מִצְרַיִם. לפניכם פירמידה מצרית ענקית. כדי להפתיע את פרעה ולהישאר בין האהובים עליו, אתה צריך למדוד את גובה הפירמידה הזו. אין לך... שום דבר לרשותך. אתה יכול ליפול לייאוש, או שאתה יכול לעשות מה תאלס ממילטוס: השתמשו במשפט הדמיון המשולש. כן, מסתבר שהכל די פשוט. תאלס ממילטוס המתין עד שאורך הצל שלו וגובהו יתאימו, ואז, באמצעות משפט הדמיון המשולש, מצא את אורך הצל של הפירמידה, אשר, בהתאם, היה שווה לצל שהטילה הפירמידה. מי זה תאלס ממילטוס? אדם שזכה לתהילה כאחד מ"שבעת החכמים" של העת העתיקה? תאלס ממילטוס הוא פילוסוף יווני עתיק שהצטיין באסטרונומיה, כמו גם במתמטיקה ובפיסיקה. שנות חייו נקבעו רק בקירוב: 625-645 לפני הספירה בין ההוכחות לידע של תאלס באסטרונומיה נמצאת הדוגמה הבאה. 28 במאי 585 לפנה"סהתחזית של ליקוי חמה על ידי מילטוס סייעה לסיים את המלחמה בין לידיה למדיה שנמשכה כבר 6 שנים. תופעה זו כל כך הפחידה את המדים שהם הסכימו לתנאים לא נוחים לכריתת שלום עם הלידים. האגדה המאפיינת את תאלס כאדם בעל תושייה ידועה למדי. תאלס שמע לעתים קרובות הערות לא מחמיאות על העוני שלו. פעם הוא החליט להוכיח שהפילוסופים יכולים, אם ירצו, לחיות בשפע. אפילו בחורף, תאלס, בהתבוננות בכוכבים, קבע שבקיץ יהיה מסיק טוב של זיתים. אחר כך הוא שכר בתי בד במילטוס ובכיוס. זה עלה לו די בזול, מכיוון שבחורף אין כמעט ביקוש אליהם. כשהזיתים נתנו מסיק עשיר, תאלס החל להשכיר את בתי הבד שלו. סכום כסף גדול שנאסף בשיטה זו נחשב כהוכחה לכך שהפילוסופים יכולים להרוויח במוחם, אך ייעודם גבוה מבעיות ארציות כאלה. על האגדה הזו, אגב, חזר אריסטו עצמו. באשר לגיאומטריה, רבים מ"תגליותיו" הושאלו מהמצרים. ובכל זאת העברת ידע זו ליוון נחשבת לאחד היתרונות העיקריים של תאלס ממילטוס. ההישגים של Thales הם הניסוח וההוכחה של הדברים הבאים משפטים:
משפט נוסף נקרא על שם תאלס, שהוא שימושי בפתרון בעיות גיאומטריות. יש את צורתו המוכללת והספציפית, משפט היפוך, הניסוחים עשויים גם הם להשתנות מעט בהתאם למקור, אך המשמעות של כולם נשארת זהה. הבה נשקול את המשפט הזה. אם קווים מקבילים חותכים את צלעות זווית וחותכים קטעים שווים באחת מצלעותיה, אז הם חותכים קטעים שווים בצד השני שלה. נניח שנקודות A 1, A 2, A 3 הן נקודות החיתוך של ישרים מקבילים בצד אחד של הזווית, ו- B 1, B 2, B 3 הן נקודות החיתוך של ישרים מקבילים עם הצד השני של הזווית . יש צורך להוכיח שאם A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, אז B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. צייר קו דרך נקודה B 2 במקביל לקו A 1 A 2. בואו לייעד קו ישר חדש С 1 С 2. שקול את המקביליות A 1 C 1 B 2 A 2 ו-A 2 B 2 C 2 A 3. מאפייני המקבילית מאפשרים לנו לקבוע כי A1A2 = C 1 B 2 ו- A 2 A 3 = B 2 C 2. ומכיוון שלפי מצבנו A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, אז C 1 B 2 \u003d B 2 C 2. ולבסוף, שקול את המשולשים ∆ C 1 B 2 B 1 ו- ∆ C 2 B 2 B 3 . C 1 B 2 = B 2 C 2 (הוכח לעיל). וזה אומר ש- Δ C 1 B 2 B 1 ו- Δ C 2 B 2 B 3 יהיו שווים לפי הסימן השני של שוויון משולשים (לאורך הצלע והזוויות הסמוכות). לפיכך, משפט תאלס מוכח. השימוש במשפט זה יקל ויזרז מאוד את פתרון בעיות גיאומטריות. בהצלחה בשליטה במדע המשעשע הזה של המתמטיקה! blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור. אם קווים מקבילים החותכים את צלעות זווית חותכים קטעים שווים באחת מצלעותיה, אז הם חותכים קטעים שווים בצד השני שלה. הוכחה. תנו ל-A 1, A 2, A 3 להיות נקודות החיתוך של קווים מקבילים באחת מצלעות הזווית ו-A 2 נמצא בין A 1 ל-A 3 (איור 1). תן B 1 B 2 , B 3 להיות נקודות החיתוך המתאימות של קווים אלה עם הצד השני של הזווית. הבה נוכיח שאם А 1 А 2 = A 2 A 3, אז В 1 В 2 = В 2 В 3. הבה נצייר קו EF דרך הנקודה B 2 במקביל לישר A 1 A 3 . לפי המאפיין של מקבילית A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E. ומכיוון A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, אז FB 2 \u003d B 2 E. המשולשים B 2 B 1 F ו-B 2 B 3 E שווים בקריטריון השני. יש להם B 2 F = B 2 E כפי שהוכח. הזוויות בקודקוד B 2 שוות כאנכיות, והזוויות B 2 FB 1 ו-B 2 EB 3 שוות כצלבים פנימיים השוכבים עם מקבילים A 1 B 1 ו-A 3 B 3 ו-Secant EF. משוויון המשולשים נובע שוויון הצלעות: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. המשפט הוכח. באמצעות משפט תאלס, נקבע המשפט הבא. משפט 2. קו האמצע של משולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. קו האמצע של משולש הוא קטע הקו המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעותיו. באיור 2, קטע ED הוא קו האמצע של משולש ABC. ED - קו אמצע של משולש ABC דוגמה 1חלקו את הקטע הזה לארבעה חלקים שווים. פִּתָרוֹן.
תן AB להיות קטע נתון (איור 3), אותו יש לחלק ל-4 חלקים שווים. חלוקת קטע לארבעה חלקים שווים לשם כך, צייר קו חצי שרירותי a דרך הנקודה A ושרטט עליו ארבעה קטעים שווים ברציפות AC, CD, DE, EK. חבר את נקודות B ו-K עם קטע קו. הבה נצייר קווים דרך שאר הנקודות C, D, E, במקביל לישר VC, כך שהם חותכים את הקטע AB. לפי משפט תאלס, הקטע AB מחולק לארבעה חלקים שווים. דוגמה 2האלכסון של המלבן הוא א. מהו ההיקף של מרובע שקודקודיו הם נקודות האמצע של צלעות המלבן? פִּתָרוֹן.
תן לדמות 4 להתאים למצב הבעיה. אז EF הוא קו האמצע של משולש ABC, ולכן, לפי משפט 2, $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$ באופן דומה $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ ולכן, ההיקף של מרובע EFGH הוא 2a. דוגמה 3צלעותיו של משולש הן 2 ס"מ, 3 ס"מ ו-4 ס"מ, וקודקודיו הם נקודות האמצע של צלעותיו של משולש אחר. מצא את היקף המשולש הגדול. פִּתָרוֹן.
תן לדמות 5 להתאים למצב הבעיה. הקטעים AB, BC, AC הם הקווים האמצעיים של המשולש DEF. לכן, לפי משפט 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2)DF $$ או $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ משם $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ ומכאן שהיקף המשולש DEF הוא 18 ס"מ. דוגמה 4במשולש ישר זווית, קווים ישרים נמשכים דרך נקודת האמצע של תחתיתו, במקביל לרגליו. מצא את היקף המלבן שנוצר אם רגלי המשולש הן 10 ס"מ ו-8 ס"מ. פִּתָרוֹן.
במשולש ABC (איור 6) ∠ קו ישר, AB = 10 ס"מ, AC = 8 ס"מ, KD ו-MD הם קווי אמצע של משולש ABC, ומכאן $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 ס"מ. \\ MD = \frac(1 ) (2) AB = 5 ס"מ. $$ היקף המלבן K DMA הוא 18 ס"מ. |
