הבעיות הפשוטות ביותר עם קו ישר במטוס. סידור קווים הדדי. זווית בין השורות

בחומר של מאמר זה, ננתח את שאלת מציאת המרחק בין שני קווים מקבילים, בפרט בשיטת הקואורדינטות. ניתוח של דוגמאות טיפוסיות יעזור לגבש את הידע התיאורטי שנצבר.

Yandex.RTB R-A-339285-1 הגדרה 1

מרחק בין שני קווים מקביליםהוא המרחק מנקודה שרירותית כלשהי באחד מהקווים המקבילים לישר השני.

להלן המחשה לצורך הבהירות:

הציור מציג שני קווים מקבילים. או ב. נקודה M 1 שייכת לישר a, מאונך לישר נשמט ממנה ב. הקטע המתקבל M 1 H 1 הוא המרחק בין שני קווים מקבילים או ב.

ההגדרה המצוינת של המרחק בין שני קווים מקבילים תקפה הן במישור והן לגבי קווים במרחב תלת מימדי. יתרה מכך, הגדרה זו קשורה למשפט הבא.

מִשׁפָּט

כאשר שני ישרים מקבילים, כל הנקודות של אחד מהם נמצאות במרחק שווה מהישר השני.

הוכחה

תנו לנו שני קווים מקבילים או ב. נקבע על קו ישר אנקודות M 1 ו- M 2, אנו מפילים מהם אנכים אל הקו ב, המציינים את הבסיסים שלהם, בהתאמה, כ-H 1 ו-H 2. M 1 H 1 הוא המרחק בין שני ישרים מקבילים בהגדרה, ועלינו להוכיח ש | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

שיהיה גם איזה גזרה שחותכת שני קווים מקבילים נתונים. תנאי ההקבלה של קווים, שנחשב במאמר המקביל, נותן לנו את הזכות לטעון שבמקרה זה, הזוויות הצולבות הפנימיות שנוצרות במפגש הקטע של הקווים הנתונים שוות: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1. הקו M 2 H 2 מאונך לישר b בבנייה, וכמובן מאונך לישר a. המשולשים המתקבלים M 1 H 1 H 2 ו-M 2 M 1 H 2 הם מלבניים ושווים זה לזה מבחינת התחתון והזווית החדה: M 1 H 2 הוא התחתון המשותף, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . על סמך שוויון המשולשים ניתן לדבר על שוויון הצלעות שלהם, כלומר: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . המשפט הוכח.

שימו לב שהמרחק בין שני קווים מקבילים הוא הקטן מבין המרחקים מנקודות על קו אחד לנקודות על השני.

מציאת המרחק בין קווים מקבילים

כבר גילינו שלמעשה, כדי למצוא את המרחק בין שני קווים מקבילים, יש צורך לקבוע את אורך האנך שנפל מנקודה מסוימת על ישר אחד לאחר. ישנן מספר דרכים לעשות זאת. בבעיות מסוימות נוח להשתמש במשפט פיתגורס; אחרים כוללים שימוש בסימני שוויון או דמיון של משולשים וכו'. במקרים בהם ניתנים קווים במערכת קואורדינטות מלבנית, ניתן לחשב את המרחק בין שני ישרים מקבילים בשיטת הקואורדינטות. בואו נשקול את זה ביתר פירוט.

בואו נקבע את התנאים. נניח קבועה מערכת קואורדינטות מלבנית, שבה ניתנים שני ישרים מקבילים a ו-b. יש צורך לקבוע את המרחק בין השורות הנתונות.

נבנה את פתרון הבעיה על קביעת המרחק בין קווים מקבילים: כדי למצוא את המרחק בין שני קווים מקבילים נתונים, יש צורך:

מצא את הקואורדינטות של איזו נקודה M 1 השייכת לאחד מהקווים הנתונים;

חשב את המרחק מנקודה M 1 לקו ישר נתון שאליו נקודה זו אינה שייכת.

בהתבסס על מיומנויות העבודה עם משוואות של קו ישר במישור או במרחב, קל לקבוע את הקואורדינטות של הנקודה M 1. כשמוצאים את המרחק מנקודה M 1 לישר, החומר של המאמר על מציאת המרחק מנקודה לישר שימושי.

נחזור לדוגמא. יש לתאר את הישר a במשוואה הכללית A x + B y + C 1 = 0 , ואת הישר b יתואר במשוואה A x + B y + C 2 = 0 . לאחר מכן ניתן לחשב את המרחק בין שני קווים מקבילים נתונים באמצעות הנוסחה:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

בואו נגזר את הנוסחה הזו.

אנו משתמשים באיזו נקודה М 1 (x 1 , y 1) השייכת לקו a . במקרה זה, הקואורדינטות של הנקודה M 1 יעמדו במשוואה A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. לפיכך, השוויון הוגן: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; ממנו נקבל: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

כאשר C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

כאשר C 2 ≥ 0, המשוואה הרגילה של הישר b תיראה כך:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

ואז למקרים שבהם C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

ועבור C 2 ≥ 0, המרחק הרצוי נקבע על ידי הנוסחה M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

לפיכך, עבור כל ערך של המספר C 2, אורך הקטע | M 1 H 1 | (מנקודה M 1 לקו b) מחושב על ידי הנוסחה: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

למעלה קיבלנו: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, ואז נוכל להפוך את הנוסחה: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 +B2. אז למעשה, קיבלנו את הנוסחה שצוינה באלגוריתם של שיטת הקואורדינטות.

בואו ננתח את התיאוריה עם דוגמאות.

דוגמה 1

נתון שני ישרים מקבילים y = 2 3 x - 1 ו- x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . יש צורך לקבוע את המרחק ביניהם.

פִּתָרוֹן

המשוואות הפרמטריות הראשוניות מאפשרות לקבוע את הקואורדינטות של הנקודה שדרכה עובר הישר, המתוארות על ידי המשוואות הפרמטריות. לפיכך, אנו מקבלים את הנקודה M 1 (4, - 5) . המרחק הנדרש הוא המרחק בין הנקודה M 1 (4, - 5) לקו הישר y = 2 3 x - 1, בוא נחשב אותו.

המשוואה הנתונה של ישר עם שיפוע y = 2 3 x - 1 מומרת למשוואה נורמלית של ישר. לשם כך, אנו מבצעים תחילה את המעבר למשוואה הכללית של ישר:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

בוא נחשב את גורם המנרמל: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . נכפיל בו את שני חלקי המשוואה האחרונה ולבסוף, נקבל את ההזדמנות לכתוב את המשוואה הרגילה של הישר: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

עבור x = 4, ו-y = - 5, אנו מחשבים את המרחק הרצוי כמודולוס הערך של השוויון הקיצוני:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

תשובה: 20 13 .

דוגמה 2

במערכת קואורדינטות מלבנית קבועה O x y ניתנים שני קווים מקבילים, המוגדרים על ידי המשוואות x - 3 = 0 ו-x + 5 0 = y - 1 1 . יש צורך למצוא את המרחק בין הקווים המקבילים הנתונים.

פִּתָרוֹן

תנאי הבעיה מגדירים משוואה כללית אחת, הניתנת על ידי אחת מהשורות המקוריות: x-3=0. בואו נהפוך את המשוואה הקנונית המקורית למשוואה כללית: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . עבור המשתנה x, המקדמים בשתי המשוואות שווים (שווים גם עבור y - אפס), ולכן יש לנו הזדמנות ליישם את הנוסחה למציאת המרחק בין ישרים מקבילים:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

תשובה: 8 .

לבסוף, שקול את הבעיה של מציאת המרחק בין שני קווים מקבילים במרחב התלת מימדי.

דוגמה 3

במערכת קואורדינטות מלבנית O x y z ניתנים שני ישרים מקבילים, המתוארים על ידי המשוואות הקנוניות של ישר במרחב: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 ו-x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . מצא את המרחק בין הקווים הללו.

פִּתָרוֹן

מהמשוואה x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, ניתן לקבוע בקלות את הקואורדינטות של הנקודה שדרכה עובר הישר, המתוארות במשוואה זו: M 1 (3, 0, - 2) ). בואו לחשב את המרחק | M 1 H 1 | מנקודה M 1 לקו x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

הקו הישר x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 עובר דרך הנקודה M 2 (- 5, 1, 2). נכתוב את וקטור הכיוון של הישר x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 כמו b → עם קואורדינטות (1 , - 1 , 4) . הבה נקבע את הקואורדינטות של הווקטור M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

בואו נחשב את המכפלה הצולבת של וקטורים:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( ​​8, 36 , 7)

הבה ניישם את הנוסחה לחישוב המרחק מנקודה לישר במרחב:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

תשובה: 1409 3 2 .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

מֶרְחָק

נקודה לקו

מרחק בין קווים מקבילים

גיאומטריה, כיתה ז'

לספר הלימוד מאת L.S. Atanasyan

מורה למתמטיקה מהקטגוריה הגבוהה ביותר

MOU "בית ספר מקיף בסיסי באופשינסקי"

מחוז אורשה של הרפובליקה של מרי אל

אורך מאונך נמשך מנקודה לקו, שקוראים לו מֶרְחָק מנקודה זו ועד יָשָׁר.

AN ⏊ א

M є א, M שונה מ-H

אֲנָכִי נמשך מנקודה לקו, פָּחוּת כל אֲלַכסוֹנִי נמשך מאותה נקודה לקו זה.

AM – אֲלַכסוֹנִי, נמשך מנקודה א' לקו א'

AN AM

AN - אֲלַכסוֹנִי

AN AN

AN AK

AK - אֲלַכסוֹנִי

מרחק מנקודה לקו

M

המרחק מנקודה M לישר ג' הוא ...

נ

המרחק מנקודה N לישר ג' הוא ...

עם

המרחק מנקודה K לישר c הוא ...

ק

המרחק מנקודה F לישר ג' הוא ...

ו

מרחק מנקודה לקו

AN ⏊ א

AN= 5.2 ס"מ

VC ⏊ א

VC= 2.8 ס"מ

מִשׁפָּט.

כל הנקודות של כל אחד משני ישרים מקבילים נמצאים במרחק שווה מהקו השני

נתון: א ǁ ב

A є a, B є a,

הוכח: המרחקים מנקודות A ו-B לקו a שווים.

AN ⏊ ב, ב.ק ⏊ ב,

הוכח: AH = BK

Δ ANC = ΔVKA(למה?)

משוויון המשולשים נובע AN = VK

המרחק מנקודה שרירותית של אחד מהקווים המקבילים לישר אחר נקרא המרחק בין הקווים הללו.

משפט הפוך.

כל הנקודות של מישור שנמצאות באותו צד של ישר נתון ונמצאות במרחק שווה ממנו שוכנות על ישר מקביל לישר הנתון.

AN ⏊ ב, ב.ק ⏊ ב,

AH = BK

הוכח: א.ב ǁ ב

Δ ANC = ΔKVA(למה?)

מתוך שוויון המשולשים נובע … , אבל אלו הן זוויות מוצלבות פנימיות שנוצרו על ידי … , אז AB ǁ NK

מהו המרחק בין קווים b ו-c אם המרחק בין קווים או-b הוא 4, ובין השורות או-c הוא 5?

א ǁ ב ǁ ג

מה המרחק בין קווים b ל-a אם המרחק בין קווים b ל-c הוא 7, ובין קווים או-c הוא 2?

מה המרחק בין השורות או-c, אם המרחק בין שורות b ו-c הוא 10, ובין קווים בו אשווה ל-6?

מהי קבוצת כל הנקודות במישור הנמצא במרחק שווה משני ישרים מקבילים נתונים?

א ǁ ב

תשובה: ישר מקביל לקווים הנתונים ובמרחקים שווים מהם.

מהו קבוצת כל הנקודות במישור במרחק נתון מישר נתון?

תשובה: שני קווים מקבילים לישר נתון וממוקמים במרחק נתון בצדדים מנוגדים שלו.

אוי-אוי-אוי-אוי... ובכן, זה פח, כאילו קראת לעצמך את המשפט =) עם זאת, אז הרפיה תעזור, במיוחד שקניתי היום אביזרים מתאימים. לכן, בואו נמשיך לחלק הראשון, אני מקווה, עד סוף המאמר אשמור על מצב רוח עליז.

סידור הדדי של שני קווים ישרים

המקרה שבו האולם שר יחד במקהלה. שני קווים יכולים:

1) התאמה;

2) להיות מקביל: ;

3) או להצטלב בנקודה אחת:.

עזרה לבובות : אנא זכור את הסימן המתמטי של הצומת, הוא יתרחש לעתים קרובות מאוד. משמעות הערך היא שהקו מצטלב עם הקו בנקודה.

כיצד לקבוע את המיקום היחסי של שני קווים?

נתחיל מהמקרה הראשון:

שני קווים חופפים אם ורק אם המקדמים בהתאמה הם פרופורציונליים, כלומר יש מספר כזה "למבדה" שהשוויון

הבה נשקול קווים ישרים ונרכיב שלוש משוואות מהמקדמים המתאימים: . מכל משוואה עולה כי, לפיכך, קווים אלו חופפים.

אכן, אם כל המקדמים של המשוואה להכפיל ב-1 (שנה סימנים), ואת כל המקדמים של המשוואה הפחת ב-2, אתה מקבל את אותה משוואה: .

המקרה השני כאשר הקווים מקבילים:

שני קווים מקבילים אם ורק אם המקדמים שלהם במשתנים הם פרופורציונליים: , אבל.

כדוגמה, שקול שני קווים ישרים. אנו בודקים את המידתיות של המקדמים המתאימים עבור המשתנים:

עם זאת, ברור ש.

והמקרה השלישי, כשהקווים מצטלבים:

שני קווים מצטלבים אם ורק אם מקדמי המשתנים שלהם אינם פרופורציונלייםכלומר, אין ערך כזה של "למבדה" שהשוויון יתממש

אז, עבור קווים ישרים נרכיב מערכת:

מהמשוואה הראשונה עולה כי , ומהמשוואה השנייה: , ומכאן, המערכת לא עקבית(אין פתרונות). לפיכך, המקדמים במשתנים אינם פרופורציונליים.

מסקנה: קווים מצטלבים

בבעיות מעשיות, ניתן להשתמש בסכימת הפתרון שזה עתה נשקללה. אגב, זה מאוד דומה לאלגוריתם לבדיקת וקטורים לקולינאריות, עליו שקלנו בשיעור. המושג של תלות ליניארית (לא) של וקטורים. בסיס וקטור. אבל יש חבילה מתורבתת יותר:

דוגמה 1

גלה את המיקום היחסי של הקווים:

פִּתָרוֹןמבוסס על מחקר של כיוון וקטורים של קווים ישרים:

א) מהמשוואות נמצא את וקטורי הכיוון של הישרים: .

, כך שהווקטורים אינם קולינאריים והקווים מצטלבים.

ליתר בטחון, אני אשים אבן עם מצביעים על פרשת דרכים:

השאר קופצים מעל האבן וממשיכים, ישר לקשצ'י חסר המוות =)

ב) מצא את וקטורי הכיוון של הקווים:

לקווים יש אותו וקטור כיוון, כלומר הם מקבילים או זהים. כאן הקובע אינו הכרחי.

ברור, המקדמים של הלא ידועים הם פרופורציונליים, בעוד .

בואו לגלות אם השוויון נכון:

בדרך זו,

ג) מצא את וקטורי הכיוון של הקווים:

הבה נחשב את הקובע, המורכב מהקואורדינטות של הוקטורים הללו:
לכן, וקטורי הכיוון הם קולינאריים. הקווים הם מקבילים או חופפים.

קל לראות את גורם המידתיות "למבדה" ישירות מהיחס בין וקטורי הכיוון הקולינארי. עם זאת, ניתן למצוא אותו גם דרך המקדמים של המשוואות עצמן: .

עכשיו בואו נגלה אם השוויון נכון. שני התנאים החופשיים הם אפס, אז:

הערך המתקבל עונה על המשוואה הזו (כל מספר בדרך כלל עומד בה).

לפיכך, הקווים חופפים.

תשובה:

בקרוב מאוד תלמדו (או אפילו כבר למדתם) לפתור את הבעיה הנחשבת מילולית תוך שניות ספורות. בהקשר זה, אני לא רואה סיבה להציע משהו לפתרון עצמאי, עדיף להניח לבנה חשובה נוספת בבסיס הגיאומטרי:

איך לצייר קו מקביל לקו נתון?

בגלל בורות במשימה הפשוטה ביותר הזו, הזמיר השודד מעניש בחומרה.

דוגמה 2

הקו הישר ניתן על ידי המשוואה. כתבו משוואה לישר מקביל שעובר דרך הנקודה.

פִּתָרוֹן: סמן את השורה הלא ידועה באות . מה אומר התנאי על כך? הקו עובר דרך הנקודה. ואם הקווים מקבילים, אז ברור שהווקטור המכוון של הישר "ce" מתאים גם לבניית הקו "te".

נוציא את וקטור הכיוון מהמשוואה:

תשובה:

הגיאומטריה של הדוגמה נראית פשוטה:

אימות אנליטי מורכב מהשלבים הבאים:

1) נבדוק שלקווים יש אותו וקטור כיוון (אם משוואת הישר לא מפושטת כראוי, אז הוקטורים יהיו קולינאריים).

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה שהתקבלה.

אימות אנליטי ברוב המקרים קל לביצוע מילולית. הסתכלו על שתי המשוואות ורבים מכם יבינו במהירות כיצד הקווים מקבילים ללא כל ציור.

דוגמאות לפתרון עצמי היום יהיו יצירתיות. כי אתה עדיין צריך להתחרות עם באבא יאגה, והיא, אתה יודע, חובבת כל מיני חידות.

דוגמה 3

כתוב משוואה לישר העובר דרך נקודה מקבילה לישר אם

יש דרך רציונלית ולא רציונלית במיוחד לפתור. הדרך הקצרה ביותר היא בסוף השיעור.

עשינו עבודה קטנה עם קווים מקבילים ונחזור אליהם בהמשך. המקרה של קווים חופפים אינו מעניין במיוחד, אז הבה נבחן בעיה המוכרת לך היטב מתוכנית הלימודים בבית הספר:

איך למצוא את נקודת החיתוך של שני קווים?

אם ישר מצטלבים בנקודה , אז הקואורדינטות שלו הן הפתרון מערכות של משוואות ליניאריות

איך למצוא את נקודת החיתוך של קווים? פתור את המערכת.

לחייך משמעות גיאומטרית של מערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועיםהם שני קווים ישרים מצטלבים (לרוב) במישור.

דוגמה 4

מצא את נקודת החיתוך של קווים

פִּתָרוֹן: ישנן שתי דרכים לפתור - גרפית ואנליטית.

הדרך הגרפית היא פשוט לצייר את הקווים הנתונים ולגלות את נקודת החיתוך ישירות מהציור:

הנה הנקודה שלנו: . כדי לבדוק, עליך להחליף את הקואורדינטות שלו בכל משוואה של קו ישר, הן צריכות להתאים גם שם וגם שם. במילים אחרות, הקואורדינטות של נקודה הן הפתרון של המערכת. למעשה, שקלנו דרך גרפית לפתרון מערכות של משוואות ליניאריותעם שתי משוואות, שני לא ידועים.

השיטה הגרפית, כמובן, לא רעה, אבל יש חסרונות בולטים. לא, העניין הוא לא שתלמידי כיתה ז' מחליטים כך, העניין הוא שיקח זמן לעשות ציור נכון ומדויק. בנוסף, יש קווים שלא כל כך קל לבנות, ונקודת ההצטלבות עצמה יכולה להיות איפשהו בממלכה השלושים מחוץ לגיליון המחברת.

לכן, כדאי יותר לחפש את נקודת ההצטלבות בשיטה האנליטית. בואו נפתור את המערכת:

כדי לפתור את המערכת, נעשה שימוש בשיטה של ​​חיבור מונחי של משוואות. כדי לפתח את המיומנויות הרלוונטיות, בקר בשיעור איך פותרים מערכת משוואות?

תשובה:

האימות הוא טריוויאלי - הקואורדינטות של נקודת החיתוך חייבות לעמוד בכל משוואה של המערכת.

דוגמה 5

מצא את נקודת החיתוך של הקווים אם הם נחתכים.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. ניתן לחלק את המשימה בצורה נוחה למספר שלבים. ניתוח המצב מצביע על כך שזה הכרחי:
1) כתוב את המשוואה של ישר.
2) כתוב את המשוואה של ישר.
3) גלה את המיקום היחסי של הקווים.
4) אם הקווים מצטלבים, אז מצא את נקודת החיתוך.

פיתוח של אלגוריתם פעולה אופייני לבעיות גיאומטריות רבות, ואני אתמקד בזה שוב ושוב.

פתרון מלא ותשובה בסוף המדריך:

זוג נעליים עדיין לא נשחקו, כשהגענו לחלק השני של השיעור:

קווים מאונכים. המרחק מנקודה לקו.
זווית בין השורות

נתחיל במשימה טיפוסית וחשובה מאוד. בחלק הראשון, למדנו איך לבנות קו ישר במקביל לקו הנתון, ועכשיו הצריף על רגלי תרנגולת יפנה 90 מעלות:

איך לצייר קו מאונך לקו נתון?

דוגמה 6

הקו הישר ניתן על ידי המשוואה. כתבו משוואה לישר מאונך העובר בנקודה.

פִּתָרוֹן: ידוע בהנחה ש. זה יהיה נחמד למצוא את וקטור הכיוון של הקו הישר. מכיוון שהקווים מאונכים, הטריק הוא פשוט:

מהמשוואה אנו "מסירים" את הווקטור הנורמלי: , שיהיה הווקטור המכוון של הישר.

אנו מרכיבים את המשוואה של ישר על ידי נקודה ווקטור מכוון:

תשובה:

בואו נפרוש את הסקיצה הגיאומטרית:

הממ... שמיים כתומים, ים כתום, גמל כתום.

אימות אנליטי של הפתרון:

1) חלץ את וקטורי הכיוון מהמשוואות ועם העזרה מכפלת נקודה של וקטוריםאנו מסיקים שהקווים אכן מאונכים: .

אגב, אפשר להשתמש בוקטורים רגילים, זה אפילו יותר קל.

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה שהתקבלה .

אימות, שוב, קל לביצוע מילולית.

דוגמה 7

מצא את נקודת החיתוך של קווים מאונכים, אם המשוואה ידועה ונקודה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. במשימה יש מספר פעולות ולכן נוח לסדר את הפתרון נקודה אחר נקודה.

המסע המרגש שלנו ממשיך:

מרחק מנקודה לקו

לפנינו רצועה ישרה של הנהר ומשימתנו היא להגיע אליו בדרך הקצרה ביותר. אין מכשולים, והמסלול האופטימלי ביותר יהיה תנועה לאורך הניצב. כלומר, המרחק מנקודה לישר הוא אורך הקטע הניצב.

המרחק בגיאומטריה מסומן באופן מסורתי באות היוונית "ro", למשל: - המרחק מהנקודה "em" לקו הישר "de".

מרחק מנקודה לקו מתבטא בנוסחה

דוגמה 8

מצא את המרחק מנקודה לישר

פִּתָרוֹן: כל מה שאתה צריך הוא להחליף בזהירות את המספרים בנוסחה ולבצע את החישובים:

תשובה:

בוא נבצע את הציור:

המרחק שנמצא מהנקודה לישר הוא בדיוק אורך הקטע האדום. אם אתה עושה ציור על נייר משובץ בקנה מידה של 1 יחידה. \u003d 1 ס"מ (2 תאים), אז ניתן למדוד את המרחק עם סרגל רגיל.

שקול משימה אחרת לפי אותו ציור:

המשימה היא למצוא את הקואורדינטות של הנקודה, שהיא סימטרית לנקודה ביחס לישר. . אני מציע לבצע את הפעולות בעצמך, עם זאת, אתאר את אלגוריתם הפתרון עם תוצאות ביניים:

1) מצא קו מאונך לישר.

2) מצא את נקודת החיתוך של הקווים: .

שתי הפעולות נדונות בפירוט בשיעור זה.

3) הנקודה היא נקודת האמצע של הקטע. אנחנו יודעים את הקואורדינטות של האמצע ואחד הקצוות. על ידי נוסחאות לקואורדינטות של אמצע הקטעלמצוא .

לא יהיה מיותר לבדוק שגם המרחק שווה ל-2.2 יחידות.

קשיים כאן עשויים להתעורר בחישובים, אבל במגדל מיקרו מחשבון עוזר מאוד, ומאפשר לך לספור שברים רגילים. ייעצתי פעמים רבות ואמליץ שוב.

כיצד למצוא את המרחק בין שני קווים מקבילים?

דוגמה 9

מצא את המרחק בין שני קווים מקבילים

זוהי דוגמה נוספת לפתרון עצמאי. רמז קטן: יש אינסוף דרכים לפתור. תחקיר בסוף השיעור, אבל מוטב שתנסה לנחש בעצמך, אני חושב שהצלחת לפזר היטב את כושר ההמצאה שלך.

זווית בין שני קווים

לא משנה מה הפינה, אז המשקוף:


בגיאומטריה, הזווית בין שני קווים ישרים נלקחת בתור הזווית SMALLER, שממנה נובע אוטומטית שהיא לא יכולה להיות קהה. באיור, הזווית המצוינת על ידי הקשת האדומה אינה נחשבת לזווית בין קווים מצטלבים. והשכן ה"ירוק" שלו או בכיוון הפוךפינת ארגמן.

אם הקווים מאונכים, ניתן לקחת כל אחת מארבע הזוויות בתור הזווית ביניהן.

במה זוויות שונות? נטייה. ראשית, כיוון ה"גלילה" בפינה חשוב מהותית. שנית, זווית בעלת אוריינטציה שלילית נכתבת עם סימן מינוס, למשל, אם .

למה אמרתי את זה? נראה שאפשר להסתדר עם הקונספט הרגיל של זווית. העובדה היא שבנוסחאות שלפיהן נמצא את הזוויות, ניתן בקלות לקבל תוצאה שלילית, וזה לא אמור להפתיע אותך. זווית עם סימן מינוס אינה גרועה יותר, ויש לה משמעות גיאומטרית מאוד ספציפית. בציור עבור זווית שלילית, חובה לציין את הכיוון שלה (בכיוון השעון) עם חץ.

איך למצוא את הזווית בין שני קווים?ישנן שתי נוסחאות עבודה:

דוגמה 10

מצא את הזווית בין השורות

פִּתָרוֹןו שיטה ראשונה

שקול שני ישרים שניתנו על ידי משוואות בצורה כללית:

אם ישר לא מאונך, לאחר מכן מכווןניתן לחשב את הזווית ביניהם באמצעות הנוסחה:

בואו נשים לב היטב למכנה – זה בדיוק מוצר סקלריוקטורי כיוון של קווים ישרים:

אם , אז המכנה של הנוסחה נעלם, והווקטורים יהיו אורתוגונליים והקווים יהיו מאונכים. לכן ניתנה הסתייגות על אי-ניצבות הקווים בניסוח.

בהתבסס על האמור לעיל, הפתרון מנוסח בצורה נוחה בשני שלבים:

1) חשב את המכפלה הסקלרית של הכוונת וקטורים של קווים ישרים:
כך שהקווים אינם מאונכים.

2) נמצא את הזווית בין הקווים לפי הנוסחה:

באמצעות הפונקציה ההפוכה, קל למצוא את הזווית עצמה. במקרה זה, אנו משתמשים במוזרות של משיק הקשת (ראה איור. גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות):

תשובה:

בתשובה, אנו מציינים את הערך המדויק, וכן את הערך המשוער (רצוי הן במעלות והן ברדיאנים), המחושבים באמצעות מחשבון.

ובכן, מינוס, אז מינוס, זה בסדר. הנה איור גיאומטרי:

אין זה מפתיע שהזווית התבררה כבעלת כיוון שלילי, מכיוון שבמצב הבעיה המספר הראשון הוא קו ישר וה"פיתול" של הזווית התחיל בדיוק ממנו.

אם אתה באמת רוצה לקבל זווית חיובית, אתה צריך להחליף את הקווים הישרים, כלומר לקחת את המקדמים מהמשוואה השנייה , ולקחת את המקדמים מהמשוואה הראשונה . בקיצור, אתה צריך להתחיל עם ישיר .

מקבילית היא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות, כלומר הן שוכנות על קווים מקבילים (איור 1).

משפט 1. על מאפייני הצלעות והזוויות של מקבילית.במקבילית, צלעות נגדיות שוות, זוויות נגדיות שוות, וסכום הזוויות הסמוכות לצלע אחת של המקבילית הוא 180°.

הוכחה. במקבילית זו ABCD, צייר אלכסון AC וקבל שני משולשים ABC ו-ADC (איור 2).

משולשים אלו שווים, שכן ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (זוויות מוצלבות בקווים מקבילים), והצלע AC היא משותפת. מהשוויון Δ ABC = Δ ADC נובע ש-AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. סכום הזוויות הסמוכות לצד אחד, למשל, זוויות A ו-D, שווה ל-180° כאחת -צדדים עם קווים מקבילים. המשפט הוכח.

תגובה. השוויון של הצלעות הנגדיות של מקבילית פירושו שהקטעים של המקבילים המנותקים על ידי המקבילים שווים.

מסקנה 1. אם שני ישרים מקבילים, אז כל הנקודות של ישר אחד נמצאות באותו מרחק מהישר השני.

הוכחה. אכן, תן || ב (איור 3).

הבה נצייר משתי נקודות B ו-C של הישר b את הניצבים BA ו-CD לישר a. מאז AB || CD, אז הדמות ABCD היא מקבילית, ולכן AB = CD.

המרחק בין שני קווים מקבילים הוא המרחק מנקודה שרירותית באחד מהקווים לישר השני.

לפי מה שהוכח, הוא שווה לאורכו של האנך הנמשך מנקודה כלשהי של אחד מהקווים המקבילים לישר השני.

דוגמה 1היקף המקבילית 122 ס"מ. אחת מצלעותיה ארוכה מהשנייה ב-25 ס"מ. מצא את צלעות המקבילה.

פִּתָרוֹן. לפי משפט 1, הצלעות הנגדיות של מקבילית שוות. נסמן צד אחד של המקבילית כ-x, את השני כ-y. ואז לפי תנאי $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ בפתרון המערכת הזו, נקבל x = 43, y = 18. לפיכך, צלעות המקבילה הן 18, 43, 18 ו-43 ס"מ.

דוגמה 2

פִּתָרוֹן. תן לדמות 4 להתאים למצב הבעיה.

סמן את AB ב-x ו-BC ב-y. לפי תנאי, היקף המקבילית הוא 10 ס"מ, כלומר 2(x + y) = 10, או x + y = 5. היקף המשולש ABD הוא 8 ס"מ. ומכיוון ש-AB + AD = x + y = 5 , ואז BD = 8 - 5 = 3 . אז BD = 3 ס"מ.

דוגמה 3מצא את הזוויות של המקבילית, בידיעה שאחת מהן גדולה ב-50 מעלות מהשנייה.

פִּתָרוֹן. תן לדמות 5 להתאים למצב הבעיה.

הבה נסמן את מידת המעלות של זווית A בתור x. אז מידת המעלות של זווית D היא x + 50°.

זוויות BAD ו-ADC הן חד-צדדיות פנימיות עם קווים מקבילים AB ו-DC וחותך AD. אז סכום הזוויות הנקובות הללו יהיה 180°, כלומר.
x + x + 50° = 180°, או x = 65°. לפיכך, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

דוגמה 4הצדדים של המקבילית הם 4.5 ד"מ ו-1.2 ד"מ. חוצה נמשכת מקודקוד זווית חדה. לאילו חלקים הוא מחלק את הצד הארוך של המקבילית?

פִּתָרוֹן. תן לדמות 6 להתאים למצב הבעיה.

AE הוא החציקטור של הזווית החדה של המקבילית. לכן, ∠ 1 = ∠ 2.

במאמר זה, תשומת הלב מתמקדת במציאת המרחק בין קווי הטיה בשיטת הקואורדינטות. ראשית, ניתנת ההגדרה של המרחק בין קווי הטיה. לאחר מכן, מתקבל אלגוריתם המאפשר למצוא את המרחק בין קווי הטיה. לסיכום, הפתרון של הדוגמה מנותח בפירוט.

ניווט בדף.

המרחק בין קווי הטיה הוא הגדרה.

לפני שניתן הגדרה של המרחק בין קווי הטיה, נזכור את ההגדרה של קווי הטיה ומוכיחים משפט הקשור לקווי הטיה.

הַגדָרָה.

הוא המרחק בין אחד מהקווים המצטלבים למישור המקביל לו העובר דרך הקו השני.

בתורו, המרחק בין קו למישור המקביל לו הוא המרחק מנקודה כלשהי על הקו למישור. אז הניסוח הבא של הגדרת המרחק בין קווי הטיה תקף.

הַגדָרָה.

מרחק בין קווים מצטלביםהוא המרחק מנקודה כלשהי של אחד מקווי ההטיה למישור העובר דרך הקו השני המקביל לישר הראשון.

שקול את מפגש בין קווים a ו-b. נסמן נקודה מסויימת M 1 על הישר a, דרך הישר b נשרטט מישור מקביל לישר a, ומהנקודה M 1 נשמט אל המישור את הניצב M 1 H 1. אורכו של הניצב M 1 H 1 הוא המרחק בין הקווים מצטלבים a ו-b.

מציאת המרחק בין חציית קווים - תיאוריה, דוגמאות, פתרונות.

כאשר מוצאים את המרחק בין קווים מצטלבים, הקושי העיקרי טמון לרוב בראייה או בניית קטע שאורכו שווה למרחק הנדרש. אם נבנה קטע כזה, אזי, בהתאם לתנאי הבעיה, ניתן למצוא את אורכו באמצעות משפט פיתגורס, סימני שוויון או דמיון של משולשים וכו'. זה מה שאנחנו עושים כשמוצאים את המרחק בין קווים מצטלבים בשיעורי גיאומטריה בכיתות י'-יא'.

אם Oxyz מוכנס במרחב התלת מימדי וניתנים בו קווי הטיה a ו-b, אזי שיטת הקואורדינטות מאפשרת להתמודד עם משימת חישוב המרחק בין קווי ההטיה הנתונים. בואו ננתח את זה בפירוט.

נהיה מישור העובר דרך קו b, מקביל לישר a. אז המרחק הרצוי בין הקווים a ו-b המצטלבים, בהגדרה, שווה למרחק מנקודה כלשהי M 1 השוכנת על קו a למישור. לפיכך, אם נקבע את הקואורדינטות של איזו נקודה M 1 השוכנת על הישר a, ונקבל את המשוואה הרגילה של המישור בצורה, אז נוכל לחשב את המרחק מהנקודה למישור לפי הנוסחה (נוסחה זו התקבלה במאמר מציאת המרחק מנקודה למישור). והמרחק הזה שווה למרחק הרצוי בין קווי ההטיה.

עכשיו בפירוט.

המשימה מצטמצמת להשגת הקואורדינטות של הנקודה M 1 השוכנת על קו a, ולמציאת המשוואה הנורמלית של המישור.

אין קשיים בקביעת הקואורדינטות של הנקודה M 1 אם אתה מכיר היטב את הסוגים העיקריים של משוואות ישר במרחב. אבל כדאי להתעכב על השגת משוואת המטוס ביתר פירוט.

אם נקבע את הקואורדינטות של איזו נקודה M 2 שדרכה עובר המישור, ונקבל גם את הווקטור הנורמלי של המישור בצורה , אז נוכל לכתוב את המשוואה הכללית של המישור כ .

כנקודה M 2, אתה יכול לקחת כל נקודה השוכבת על קו b, שכן המטוס עובר דרך קו b. לפיכך, הקואורדינטות של הנקודה M 2 יכולות להיחשב נמצאות.

נותר לקבל את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור. בוא נעשה את זה.

המישור עובר דרך קו b ומקביל לקו a. לכן, הווקטור הנורמלי של המישור מאונך הן לווקטור המכוון של הישר a (בואו נסמן אותו) והן לווקטור המכוון של הישר b (בואו נסמן אותו). אז נוכל לקחת וכווקטור, כלומר, . לאחר קביעת הקואורדינטות ווקטורי הכיוון של ישרים a ו-b וחישוב , נמצא את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של המישור .

אז יש לנו את המשוואה הכללית של המישור: .

נותר רק להביא את המשוואה הכללית של המישור לצורה נורמלית ולחשב את המרחק הרצוי בין הקווים a ו-b המצטלבים באמצעות הנוסחה.

בדרך זו, כדי למצוא את המרחק בין הקווים הצטלבים a ו-b אתה צריך:

בואו נסתכל על דוגמה לפתרון.

דוגמא.

במרחב תלת מימדי במערכת קואורדינטות מלבנית ניתנים Oxyz שני קווים ישרים מצטלבים a ו-b. הקו a מוגדר