I. משוואות דיפרנציאליות רגילות

1.1. מושגי יסוד והגדרות

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המתייחסת למשתנה בלתי תלוי איקס, הפונקציה הרצויה yוהנגזרות או ההפרשים שלה.

באופן סמלי, המשוואה הדיפרנציאלית כתובה כך:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

משוואת דיפרנציאלית נקראת רגילה אם הפונקציה הרצויה תלויה במשתנה בלתי תלוי אחד.

על ידי פתרון המשוואה הדיפרנציאליתנקראת פונקציה כזו שהופכת את המשוואה הזו לזהות.

סדר המשוואה הדיפרנציאליתהוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה זו

דוגמאות.

1. שקול את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון

הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה y = 5 ln x. אכן, על ידי החלפה y"לתוך המשוואה, אנו מקבלים - זהות.

וזה אומר שהפונקציה y = 5 ln x– היא הפתרון של משוואת דיפרנציאלית זו.

2. שקול את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני y" - 5y" + 6y = 0. הפונקציה היא הפתרון למשוואה זו.

באמת, .

החלפת הביטויים הללו במשוואה, נקבל: , - זהות.

וזה אומר שהפונקציה היא הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הזו.

אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליותהוא תהליך מציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאליתנקרא פונקציה של הצורה , הכולל קבועים שרירותיים בלתי תלויים כמו סדר המשוואה.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאליתנקרא הפתרון המתקבל מהפתרון הכללי עבור ערכים מספריים שונים של קבועים שרירותיים. הערכים של קבועים שרירותיים נמצאים בערכים ראשוניים מסוימים של הארגומנט והפונקציה.

הגרף של פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית נקרא עקומה אינטגרלית.

דוגמאות

1. מצא פתרון מסוים למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון

xdx + ydy = 0, אם y= 4 ב איקס = 3.

פִּתָרוֹן. שילוב שני הצדדים של המשוואה, נקבל

תגובה. קבוע C שרירותי המתקבל כתוצאה מאינטגרציה יכול להיות מיוצג בכל צורה הנוחה לטרנספורמציות נוספות. במקרה זה, תוך התחשבות במשוואה הקנונית של המעגל, נוח לייצג קבוע שרירותי С בצורה .

הוא הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון מסוים של משוואה שעונה על התנאים ההתחלתיים y = 4 ב איקס = 3 נמצא מהכלל על ידי החלפת התנאים ההתחלתיים בפתרון הכללי: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

החלפת C=5 בפתרון הכללי, נקבל x2+y2 = 5 2 .

זהו פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת מהפתרון הכללי בתנאים התחלתיים נתונים.

2. מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית

הפתרון של משוואה זו הוא כל פונקציה של הצורה , כאשר C הוא קבוע שרירותי. ואכן, החלפה לתוך המשוואות, נקבל: , .

לכן, למשוואה דיפרנציאלית זו יש אינסוף פתרונות, שכן עבור ערכים שונים של הקבוע C, השוויון קובע פתרונות שונים של המשוואה.

לדוגמה, על ידי החלפה ישירה, אפשר לוודא שהפונקציות הם פתרונות של המשוואה.

בעיה שבה נדרש למצוא פתרון מסוים למשוואה y" = f(x, y)עמידה בתנאי ההתחלה y(x0) = y0, נקראת בעיית Cauchy.

פתרון משוואות y" = f(x, y), עמידה בתנאי ההתחלתי, y(x0) = y0, נקרא פתרון לבעיית Cauchy.

לפתרון בעיית קאוצ'י יש משמעות גיאומטרית פשוטה. אכן, לפי הגדרות אלו, לפתור את בעיית קאוצ'י y" = f(x, y)בתנאי y(x0) = y0, פירושו למצוא את העקומה האינטגרלית של המשוואה y" = f(x, y)שעובר דרך נקודה נתונה M0 (x0,y 0).

II. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

2.1. מושגי יסוד

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון היא משוואה של הצורה F(x,y,y") = 0.

המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון כוללת את הנגזרת הראשונה ואינה כוללת נגזרות מסדר גבוה יותר.

המשוואה y" = f(x, y)נקרא משוואה מסדר ראשון שנפתרה ביחס לנגזרת.

פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון הוא פונקציה של הצורה , המכילה קבוע שרירותי אחד.

דוגמא.שקול משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשון.

הפתרון למשוואה זו הוא הפונקציה.

ואכן, החלפה במשוואה זו בערכה, אנו מקבלים

זה 3x=3x

לכן, הפונקציה היא פתרון כללי של המשוואה לכל קבוע C.

מצא פתרון מסוים של המשוואה הזו שעונה על התנאי ההתחלתי y(1)=1החלפת תנאים ראשוניים x=1, y=1לתוך הפתרון הכללי של המשוואה, נקבל מאיפה C=0.

לפיכך, אנו מקבלים פתרון מסוים מהכלל על ידי החלפת הערך המתקבל במשוואה זו C=0היא החלטה פרטית.

2.2. משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה

משוואה דיפרנציאלית עם משתנים הניתנים להפרדה היא משוואה בצורה: y"=f(x)g(y)או דרך דיפרנציאלים, איפה f(x)ו g(y)מקבלים פונקציות.

לאלה y, עבורו , המשוואה y"=f(x)g(y)שווה ערך למשוואה שבו המשתנה yקיים רק בצד שמאל, והמשתנה x קיים רק בצד ימין. הם אומרים, "במשוואה y"=f(x)g(yהפרדת המשתנים.

סוג משוואה נקרא משוואת משתנה מופרד.

לאחר שילוב שני חלקי המשוואה עַל איקס, אנחנו מקבלים G(y) = F(x) + Cהוא הפתרון הכללי של המשוואה, איפה G(y)ו F(x)הם כמה נגזרות אנטי, בהתאמה, של פונקציות ו f(x), גקבוע שרירותי.

אלגוריתם לפתרון משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון עם משתנים הניתנים להפרדה

דוגמה 1

פתור את המשוואה y" = xy

פִּתָרוֹן. נגזרת של פונקציה y"להחליף ב

אנחנו מפרידים את המשתנים

בואו נשלב את שני חלקי השוויון:

דוגמה 2

2yy" = 1- 3x 2, אם y 0 = 3בְּ- x0 = 1

זוהי משוואת משתנה מופרדת. בואו נציג את זה בהפרשים. לשם כך, נכתוב מחדש את המשוואה הזו בטופס מכאן

אנו מוצאים שילוב של שני החלקים של השוויון האחרון

החלפת ערכים ראשוניים x 0 = 1, y 0 = 3למצוא מ 9=1-1+ג, כלומר C = 9.

לכן, האינטגרל החלקי הרצוי יהיה אוֹ

דוגמה 3

כתבו משוואה לעקומה העוברת דרך נקודה M(2;-3)ובעל משיק עם שיפוע

פִּתָרוֹן. לפי התנאי

זוהי משוואת משתנה הניתן להפרדה. מחלקים את המשתנים, נקבל:

שילוב שני חלקי המשוואה, נקבל:

תוך שימוש בתנאים ההתחלתיים, x=2ו y=-3למצוא ג:

לכן, למשוואה הרצויה יש את הצורה

2.3. משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון

משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון היא משוואה של הצורה y" = f(x)y + g(x)

איפה f(x)ו g(x)- כמה פונקציות נתונות.

אם g(x)=0אז המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית נקראת הומוגנית ויש לה את הצורה: y" = f(x)y

אם אז המשוואה y" = f(x)y + g(x)שנקרא הטרוגני.

פתרון כללי של משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית y" = f(x)yנתון על ידי הנוסחה: איפה מהוא קבוע שרירותי.

בפרט, אם C \u003d 0,אז הפתרון הוא y=0אם למשוואה ההומוגנית הליניארית יש את הצורה y" = kyאיפה קהוא קבוע כלשהו, ​​אז לפתרון הכללי שלו יש את הצורה: .

פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית y" = f(x)y + g(x)נתון על ידי הנוסחה ,

הָהֵן. שווה לסכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית הליניארית המתאימה והפתרון המסוים של משוואה זו.

עבור משוואה לא הומוגנית ליניארית של הצורה y" = kx + b,

איפה קו ב- מספרים מסוימים ופתרון מסוים יהיו פונקציה קבועה. לכן, לפתרון הכללי יש את הצורה .

דוגמא. פתור את המשוואה y" + 2y +3 = 0

פִּתָרוֹן. אנו מייצגים את המשוואה בצורה y" = -2y - 3איפה k=-2, b=-3הפתרון הכללי ניתן על ידי הנוסחה.

לכן, כאשר C הוא קבוע שרירותי.

2.4. פתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות מהסדר הראשון בשיטת ברנולי

מציאת פתרון כללי למשוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון y" = f(x)y + g(x)מפחית לפתרון שתי משוואות דיפרנציאליות עם משתנים מופרדים באמצעות ההחלפה y=uv, איפה uו v- פונקציות לא ידועות מ איקס. שיטת פתרון זו נקראת שיטת ברנולי.

אלגוריתם לפתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון

y" = f(x)y + g(x)

1. הזן תחליף y=uv.

2. להבדיל את השוויון הזה y"=u"v + uv"

3. מחליף yו y"לתוך המשוואה הזו: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)אוֹ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. קבץ את מונחי המשוואה כך uתוציא את זה מהסוגריים:

5. מהסוגר, משווה אותו לאפס, מצא את הפונקציה

זוהי משוואה ניתנת להפרדה:

חלק את המשתנים וקבל:

איפה . .

6. החלף את הערך שהתקבל vלתוך המשוואה (מתוך פריט 4):

ומצא את הפונקציה זוהי משוואה ניתנת להפרדה:

7. כתבו את הפתרון הכללי בטופס: , כלומר .

דוגמה 1

מצא פתרון מסוים למשוואה y" = -2y +3 = 0אם y=1בְּ- x=0

פִּתָרוֹן. בוא נפתור את זה עם החלפה y=uv,.y"=u"v + uv"

מחליף yו y"לתוך המשוואה הזו, אנחנו מקבלים

מקבץ את האיברים השני והשלישי בצד שמאל של המשוואה, אנו מוציאים את הגורם המשותף u מחוץ לסוגריים

נשווה את הביטוי בסוגריים לאפס ולאחר שפתרנו את המשוואה שהתקבלה, נמצא את הפונקציה v = v(x)

קיבלנו משוואה עם משתנים מופרדים. אנו משלבים את שני החלקים של המשוואה הזו: מצא את הפונקציה v:

החלף את הערך המתקבל vלתוך המשוואה נקבל:

זוהי משוואת משתנה מופרדת. אנו משלבים את שני חלקי המשוואה: בוא נמצא את הפונקציה u = u(x,c) בוא נמצא פתרון כללי: הבה נמצא פתרון מסוים של המשוואה שעונה על התנאים ההתחלתיים y=1בְּ- x=0:

III. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה יותר

3.1. מושגי יסוד והגדרות

משוואה דיפרנציאלית מסדר שני היא משוואה המכילה נגזרות שאינן גבוהות מהסדר השני. במקרה הכללי, המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני כתובה כך: F(x,y,y",y") = 0

הפתרון הכללי של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני הוא פונקציה של הצורה , הכוללת שני קבועים שרירותיים C1ו C2.

פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית מסדר שני הוא פתרון המתקבל מהכללי עבור כמה ערכים של קבועים שרירותיים C1ו C2.

3.2. משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות מהסדר השני עם יחסים קבועים.

משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית מהסדר השני עם מקדמים קבועיםנקרא משוואה של הצורה y" + py" + qy = 0, איפה עו שהם ערכים קבועים.

אלגוריתם לפתרון משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים

1. כתוב את המשוואה הדיפרנציאלית בצורה: y" + py" + qy = 0.

2. חבר את המשוואה האופיינית שלו, מציין y"דרך r2, y"דרך ר, yב-1: r2 + pr +q = 0

משוואת דיפרנציאלית רגילה נקרא משוואה המחברת בין משתנה בלתי תלוי, פונקציה לא ידועה של משתנה זה ונגזרותיו (או ההפרשים) מסדרים שונים.

סדר המשוואה הדיפרנציאלית הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר הכלולה בו.

בנוסף לאלה הרגילים, נלמדות גם משוואות דיפרנציאליות חלקיות. אלו הן משוואות המתייחסות למשתנים בלתי תלויים, פונקציה לא ידועה של משתנים אלו ונגזרותיהם החלקיות ביחס לאותם משתנים. אבל נשקול רק משוואות דיפרנציאליות רגילות ולכן נשמיט את המילה "רגיל" לקיצור.

דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

משוואה (1) היא מהסדר הרביעי, משוואה (2) היא מהסדר השלישי, משוואות (3) ו- (4) הן מהסדר השני, משוואה (5) היא מהסדר הראשון.

משוואה דיפרנציאלית נ order לא חייב להכיל במפורש פונקציה, את כל הנגזרות שלה מהראשון ועד נסדר ומשתנה בלתי תלוי. ייתכן שהוא לא יכיל במפורש נגזרות של סדרים מסוימים, פונקציה, משתנה בלתי תלוי.

לדוגמה, במשוואה (1) ברור שאין נגזרות מהסדר השלישי והשני, כמו גם פונקציות; במשוואה (2) - נגזרת ופונקציה מסדר שני; במשוואה (4) - משתנה בלתי תלוי; במשוואה (5) - פונקציות. רק משוואה (3) מכילה במפורש את כל הנגזרות, הפונקציה והמשתנה הבלתי תלוי.

על ידי פתרון המשוואה הדיפרנציאלית כל פונקציה נקראת y = f(x), כשהוא מחליף את זה לתוך המשוואה, זה הופך לזהות.

תהליך מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית נקרא שלו שילוב.

דוגמה 1מצא פתרון למשוואת הדיפרנציאל.

פִּתָרוֹן. אנו כותבים את המשוואה הזו בטופס. הפתרון הוא למצוא את הפונקציה לפי הנגזרת שלה. הפונקציה המקורית, כידוע מהחשבון האינטגרלי, היא האנטי-נגזרת עבור, כלומר.

זה מה שזה פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה . משתנה בו ג, נקבל פתרונות שונים. גילינו שיש אינסוף פתרונות למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון.

פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית נהסדר הוא הפתרון שלו מבוטא במפורש ביחס לפונקציה הלא ידועה והמכילה נקבועים שרירותיים בלתי תלויים, כלומר.

הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית בדוגמה 1 הוא כללי.

פתרון חלקי של המשוואה הדיפרנציאלית הפתרון שלו נקרא, שבו ערכים מספריים ספציפיים מוקצים לקבועים שרירותיים.

דוגמה 2מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית ופתרון מסוים עבור .

פִּתָרוֹן. אנו משלבים את שני חלקי המשוואה כל כך מספר פעמים שסדר המשוואה הדיפרנציאלית שווה.

,

.

כתוצאה מכך, קיבלנו את הפתרון הכללי -

בהינתן משוואה דיפרנציאלית מסדר שלישי.

עכשיו בואו נמצא פתרון מסוים בתנאים שצוינו. לשם כך, אנו מחליפים את הערכים שלהם במקום מקדמים שרירותיים ומשיגים

.

אם, בנוסף למשוואת הדיפרנציאלית, התנאי ההתחלתי ניתן בצורה , אז בעיה כזו נקראת בעיה קוצנית . הערכים ומוחלפים בפתרון הכללי של המשוואה ונמצא ערכו של קבוע שרירותי ג, ולאחר מכן פתרון מסוים של המשוואה עבור הערך שנמצא ג. זה הפתרון לבעיית קאוצ'י.

דוגמה 3פתרו את בעיית Cauchy עבור משוואת הדיפרנציאל מדוגמה 1 בתנאי.

פִּתָרוֹן. אנו מחליפים לפתרון הכללי את הערכים מהמצב ההתחלתי y = 3, איקס= 1. אנחנו מקבלים

נכתוב את הפתרון של בעיית קאוצ'י עבור משוואת הדיפרנציאל הנתונה מהסדר הראשון:

פתרון משוואות דיפרנציאליות, אפילו הפשוטות ביותר, דורש מיומנויות טובות בשילוב ולקיחת נגזרות, כולל פונקציות מורכבות. ניתן לראות זאת בדוגמה הבאה.

דוגמה 4מצא את הפתרון הכללי של משוואת הדיפרנציאל.

פִּתָרוֹן. המשוואה כתובה בצורה כזו שניתן לשלב את שני הצדדים באופן מיידי.

.

אנו מיישמים את שיטת האינטגרציה על ידי שינוי המשתנה (החלפה). תן, אז.

חובה לקחת dxועכשיו - תשומת לב - אנו עושים זאת על פי כללי הבידול של פונקציה מורכבת, שכן איקסוישנה פונקציה מורכבת ("תפוח" - חילוץ השורש הריבועי או, שהוא זהה - העלאה לחזק "שנייה אחת", ו"בשר טחון" - הביטוי עצמו מתחת לשורש):

אנו מוצאים את האינטגרל:

חוזרים למשתנה איקס, אנחנו מקבלים:

.

זהו הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית זו מהמעלה הראשונה.

לא רק מיומנויות מהחלקים הקודמים של מתמטיקה גבוהה יידרשו בפתרון משוואות דיפרנציאליות, אלא גם מיומנויות מהיסודי, כלומר מתמטיקה בית ספרית. כפי שכבר צוין, במשוואה דיפרנציאלית בכל סדר יתכן שלא יהיה משתנה בלתי תלוי, כלומר משתנה איקס. הידע על פרופורציות שלא נשכח (עם זאת, לכל אחד יש את זה כמו) מספסל הלימודים יעזור לפתור את הבעיה הזו. זו הדוגמה הבאה.

או שכבר נפתרו ביחס לנגזרת, או שניתן לפתור אותם ביחס לנגזרת .

פתרון כללי של משוואות דיפרנציאליות מהסוג על המרווח איקס, אשר ניתן, ניתן למצוא על ידי לקיחת האינטגרל של שני הצדדים של השוויון הזה.

לקבל .

אם נסתכל על המאפיינים של האינטגרל הבלתי מוגדר, נמצא את הפתרון הכללי הרצוי:

y = F(x) + C,

איפה F(x)- אחת מהנגזרים של הפונקציה f(x)בין לבין איקס, א מהוא קבוע שרירותי.

שימו לב שברוב המשימות המרווח איקסלא לציין. זה אומר שצריך למצוא פתרון לכולם. איקס, עבור אשר והפונקציה הרצויה y, והמשוואה המקורית הגיונית.

אם אתה צריך לחשב פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי y(x0) = y0, ואז לאחר חישוב האינטגרל הכללי y = F(x) + C, עדיין יש צורך לקבוע את ערכו של הקבוע C=C0באמצעות התנאי ההתחלתי. כלומר, קבוע C=C0נקבע מתוך המשוואה F(x 0) + C = y 0, והפתרון הספציפי הרצוי של המשוואה הדיפרנציאלית יקבל את הצורה:

y = F(x) + C0.

שקול דוגמה:

מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית, בדוק את נכונות התוצאה. בואו נמצא פתרון מסוים של המשוואה הזו שיעמוד בתנאי ההתחלתי .

פִּתָרוֹן:

לאחר ששילבנו את המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה, נקבל:

.

אנו לוקחים את האינטגרל הזה בשיטת האינטגרציה לפי חלקים:

זֶה., הוא פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

בוא נבדוק כדי לוודא שהתוצאה נכונה. לשם כך, נחליף את הפתרון שמצאנו במשוואה הנתונה:

.

כלומר, ב המשוואה המקורית הופכת לזהות:

לכן, הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית נקבע בצורה נכונה.

הפתרון שמצאנו הוא הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית לכל ערך אמיתי של הטיעון איקס.

נותר לחשב פתרון מסוים של ה-ODE שיעמוד בתנאי ההתחלתי. במילים אחרות, יש צורך לחשב את ערך הקבוע מ, שבו השוויון יהיה נכון:

.

.

לאחר מכן, מחליף C = 2לתוך הפתרון הכללי של ה-ODE, נקבל פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי:

.

משוואת דיפרנציאלית רגילה ניתן לפתור ביחס לנגזרת על ידי חלוקת 2 חלקי המשוואה ב f(x). טרנספורמציה זו תהיה שווה ערך אם f(x)לא הולך לאפס עבור אף אחד איקסממרווח האינטגרציה של המשוואה הדיפרנציאלית איקס.

מצבים סבירים כאשר, עבור כמה ערכים של הטיעון איקס ∈ איקספונקציות f(x)ו g(x)הופכים לאפס באותו זמן. לערכים דומים איקסהפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הוא כל פונקציה y, המוגדר בהם, כי .

אם לכמה ערכים של הטיעון איקס ∈ איקסהתנאי מתקיים, מה שאומר שבמקרה זה ל-ODE אין פתרונות.

לכל השאר איקסמאינטרוול איקסהפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית נקבע מתוך המשוואה שעברה טרנספורמציה.

בואו נסתכל על דוגמאות:

דוגמה 1

הבה נמצא את הפתרון הכללי של ה-ODE: .

פִּתָרוֹן.

מהמאפיינים של הפונקציות היסודיות הבסיסיות, ברור שפונקציית הלוגריתם הטבעית מוגדרת עבור ערכים לא שליליים של הארגומנט, לכן, תחום הביטוי log(x+3)יש מרווח איקס > -3 . לפיכך, המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה הגיונית עבור איקס > -3 . עם הערכים האלה של הטיעון, הביטוי x + 3לא נעלם, אז אפשר לפתור את ה-ODE ביחס לנגזרת על ידי חלוקת 2 החלקים ב x + 3.

אנחנו מקבלים .

לאחר מכן, אנו משלבים את המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת, שנפתרה ביחס לנגזרת: . כדי לקחת את האינטגרל הזה, אנו משתמשים בשיטת ההפחתה תחת סימן ההפרש.

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. דוגמאות לפתרונות.
משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה

משוואות דיפרנציאליות (DE). שתי המילים האלה בדרך כלל מפחידות את הדיוט הממוצע. נראה שמשוואות דיפרנציאליות הן משהו שערורייתי וקשה לשלוט בו עבור תלמידים רבים. Uuuuuu... משוואות דיפרנציאליות, איך אני אשרוד את כל זה?!

דעה כזו וגישה כזו שגויה מיסודה, כי בעצם משוואות דיפרנציאליות הן פשוטות ואפילו מהנות. מה אתה צריך לדעת ולהיות מסוגל ללמוד לפתור משוואות דיפרנציאליות? כדי ללמוד בהצלחה דיפרורים, עליך להיות טוב בשילוב ובידול. ככל שהנושאים נלמדים טוב יותר נגזרת של פונקציה של משתנה אחדו אינטגרל בלתי מוגבל, כך יהיה קל יותר להבין משוואות דיפרנציאליות. אני אגיד יותר, אם יש לך כישורי אינטגרציה הגונים יותר או פחות, אז הנושא הוא שליטה מעשית! ככל שתוכלו לפתור יותר אינטגרלים מסוגים שונים, כך ייטב. למה? צריך להשתלב הרבה. ולהבדיל. גַם ממליץ בחוםללמוד למצוא.

ב-95% מהמקרים, ישנם 3 סוגים של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון בעבודות מבחן: משוואות הניתנות להפרדה, שעליו נעסוק בשיעור זה; משוואות הומוגניותו משוואות לא הומוגניות ליניאריות. למתחילים ללמוד מפזרים, אני ממליץ לכם לקרוא את השיעורים ברצף זה, ולאחר לימוד שני המאמרים הראשונים, לא יזיק לגבש את כישוריכם בסדנה נוספת - משוואות שמצטמצמות להומוגניות.

ישנם סוגים נדירים אף יותר של משוואות דיפרנציאליות: משוואות בהפרשים הכוללים, משוואות ברנולי ועוד כמה. מבין שני הסוגים האחרונים, החשובים ביותר הם משוואות בהפרשים הכוללים, מכיוון שבנוסף ל-DE הזה, אני שוקל חומר חדש - אינטגרציה חלקית.

אם נשאר לך רק יום או יומיים, לאחר מכן להכנה מהירה במיוחדיש קורס בליץבפורמט pdf.

אז, ציוני הדרך מוגדרים - בוא נלך:

נזכיר תחילה את המשוואות האלגבריות הרגילות. הם מכילים משתנים ומספרים. הדוגמה הפשוטה ביותר: . מה זה אומר לפתור משוואה רגילה? זה אומר למצוא קבוצה של מספריםשעונים על המשוואה הזו. קל לראות שלמשוואת הילדים יש שורש בודד: . בשביל הכיף, בוא נעשה בדיקה, נחליף את השורש שנמצא במשוואה שלנו:

- מתקבל השוויון הנכון, כלומר הפתרון נמצא נכון.

דיפוזים מסודרים כמעט באותו אופן!

משוואה דיפרנציאלית הזמנה ראשונהבכללי מכיל:
1) משתנה בלתי תלוי;
2) משתנה תלוי (פונקציה);
3) הנגזרת הראשונה של הפונקציה:.

במשוואות מסוימות מהסדר הראשון, ייתכן שאין "x" או (ו) "y", אבל זה לא חיוני - חָשׁוּבכך שב-DU היהנגזרת ראשונה, ו לא היה לינגזרות מסדרים גבוהים יותר - וכו'.

מה אומר?לפתור משוואת דיפרנציאלית פירושו למצוא סט של כל הפונקציותשעונים על המשוואה הזו. לקבוצה כזו של פונקציות יש לעתים קרובות את הצורה ( הוא קבוע שרירותי), שנקראת פתרון כללי של המשוואה הדיפרנציאלית.

דוגמה 1

לפתור משוואת דיפרנציאלית

תחמושת מלאה. איפה להתחיל פִּתָרוֹן?

קודם כל, אתה צריך לשכתב את הנגזרת בצורה קצת שונה. אנו זוכרים את הסימון המסורבל, שרבים מכם בטח חשבו שהוא מגוחך ומיותר. זה שולט במפזרים!

בשלב השני, בואו נראה אם ​​זה אפשרי פיצול משתנים?מה המשמעות של הפרדת משתנים? באופן כללי, בצד השמאליאנחנו צריכים לעזוב רק "משחקים", א בצד ימיןלְאַרגֵן רק X. הפרדת משתנים מתבצעת בעזרת מניפולציות "בית ספריות": סוגריים, העברת מונחים מחלק לחלק בשינוי סימן, העברת גורמים מחלק לחלק לפי כלל הפרופורציה וכו'.

דיפרנציאלים ומהווים מכפילים מלאים ומשתתפים פעילים בפעולות איבה. בדוגמה זו, המשתנים מופרדים בקלות על ידי היפוך גורמים לפי כלל הפרופורציה:

משתנים מופרדים. בצד שמאל - רק "משחק", בצד ימין - רק "X".

שלב הבא - אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליות. זה פשוט, אנו תולים אינטגרלים על שני החלקים:

כמובן שיש לקחת אינטגרלים. במקרה זה, הם טבלה:

כזכור, קבוע מוקצה לכל נגזרת אנטי. יש כאן שני אינטגרלים, אבל מספיק לכתוב את הקבוע פעם אחת (כי קבוע + קבוע עדיין שווה לקבוע אחר). ברוב המקרים, הוא ממוקם בצד ימין.

באופן קפדני, לאחר לקיחת האינטגרלים, המשוואה הדיפרנציאלית נחשבת כפתורה. הדבר היחיד הוא שה"y" שלנו לא מתבטא דרך "x", כלומר הפתרון מוצג במרומזטופס. הפתרון המרומז של משוואת דיפרנציאלית נקרא אינטגרל כללי של המשוואה הדיפרנציאלית. כלומר, הוא האינטגרל הכללי.

תשובה בצורה זו היא די מקובלת, אבל האם יש אפשרות טובה יותר? בואו ננסה להשיג החלטה משותפת.

אנא, זכור את הטכניקה הראשונה, הוא נפוץ מאוד ומשמש לעתים קרובות במשימות מעשיות: אם לוגריתם מופיע בצד ימין לאחר האינטגרציה, אז במקרים רבים (אך לא תמיד!) רצוי גם לכתוב את הקבוע מתחת ללוגריתם.

זה, במקוםרשומות נכתבות בדרך כלל .

למה זה נחוץ? ועל מנת להקל על ביטוי "י". אנו משתמשים בתכונה של לוגריתמים . במקרה הזה:

כעת ניתן להסיר לוגריתמים ומודולים:

הפונקציה מוצגת במפורש. זה הפתרון הכללי.

תשובה: החלטה משותפת: .

די קל לבדוק את התשובות למשוואות דיפרנציאליות רבות. במקרה שלנו, זה נעשה די פשוט, אנחנו לוקחים את הפתרון שנמצא ומבדילים אותו:

ואז נחליף את הנגזרת במשוואה המקורית:

- מתקבל השוויון הנכון, כלומר הפתרון הכללי עונה על המשוואה שנדרשה לבדוק.

על ידי מתן ערכים שונים קבועים, אתה יכול לקבל מספר אינסופי של החלטות פרטיותמשוואה דיפרנציאלית. ברור שכל אחת מהפונקציות , וכו'. עונה על המשוואה הדיפרנציאלית.

לפעמים קוראים לפתרון הכללי משפחת פונקציות. בדוגמה זו, הפתרון הכללי היא משפחה של פונקציות ליניאריות, או ליתר דיוק, משפחה של פרופורציות ישירות.

לאחר דיון מפורט בדוגמה הראשונה, ראוי לענות על כמה שאלות תמימות לגבי משוואות דיפרנציאליות:

1)בדוגמה זו, הצלחנו להפריד בין המשתנים. האם תמיד אפשר לעשות את זה?לא לא תמיד. ולעתים קרובות יותר לא ניתן להפריד את המשתנים. לדוגמה, ב משוואות הומוגניות מסדר ראשוןיש להחליף תחילה. בסוגים אחרים של משוואות, למשל, במשוואה לינארית לא הומוגנית מהסדר הראשון, צריך להשתמש בטריקים ובשיטות שונות כדי למצוא פתרון כללי. משוואות המשתנים הניתנים להפרדה שאנו רואים בשיעור הראשון הן הסוג הפשוט ביותר של משוואות דיפרנציאליות.

2) האם תמיד אפשר לשלב משוואת דיפרנציאלית?לא לא תמיד. קל מאוד להמציא משוואה "מהודרת" שאי אפשר לשלב, בנוסף יש אינטגרלים שאי אפשר לקחת. אבל DEs כאלה ניתן לפתור בערך באמצעות שיטות מיוחדות. ד'אלמברט וקוצ'י מבטיחים... ...איכס, lurkmore. כשקראתי הרבה עכשיו, כמעט הוספתי "מהעולם האחר".

3) בדוגמה זו, השגנו פתרון בצורה של אינטגרל כללי . האם תמיד אפשר למצוא פתרון כללי מהאינטגרל הכללי, כלומר לבטא "y" בצורה מפורשת?לא לא תמיד. לדוגמה: . ובכן, איך אני יכול לבטא "y" כאן?! במקרים כאלה, יש לכתוב את התשובה כאינטגרל כללי. בנוסף, לפעמים אפשר למצוא פתרון כללי, אבל הוא כתוב בצורה כל כך מסורבלת ומסורבלת שעדיף להשאיר את התשובה בצורת אינטגרל כללי

4) ...אולי מספיק לעת עתה. בדוגמה הראשונה, נפגשנו עוד נקודה חשובה, אבל כדי לא לכסות את ה"בובות" במפולת של מידע חדש, אשאיר זאת עד לשיעור הבא.

בואו לא נמהר. עוד שלט רחוק פשוט ועוד פתרון טיפוסי:

דוגמה 2

מצא פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי

פִּתָרוֹן: לפי המצב שהוא נדרש למצוא פתרון פרטי DE המקיים תנאי התחלתי נתון. סוג זה של תשאול נקרא גם בעיה קוצנית.

ראשית, אנו מוצאים פתרון כללי. אין משתנה "x" במשוואה, אבל זה לא צריך להיות מביך, העיקר שיש לו את הנגזרת הראשונה.

אנו משכתבים את הנגזרת בצורה הנדרשת:

ברור שניתן לחלק את המשתנים, בנים משמאל, בנות מימין:

אנו משלבים את המשוואה:

מתקבל האינטגרל הכללי. כאן ציירתי קבוע עם כוכב מבטא, העובדה היא שבקרוב הוא יהפוך לעוד קבוע.

כעת אנו מנסים להמיר את האינטגרל הכללי לפתרון כללי (הבעו "y" במפורש). אנו זוכרים את בית הספר הישן והטוב: . במקרה הזה:

הקבוע במחוון נראה איכשהו לא כשר, ולכן בדרך כלל מורידים אותו משמים לארץ. בפירוט, זה קורה ככה. בעזרת המאפיין של מעלות, נכתוב מחדש את הפונקציה באופן הבא:

אם הוא קבוע, אז הוא גם קבוע כלשהו, ​​קבע אותו מחדש באות:

זכור את ה"הריסה" של קבוע הוא טכניקה שנייה, אשר משמש לעתים קרובות במהלך פתרון משוואות דיפרנציאליות.

אז הפתרון הכללי הוא: משפחה כל כך נחמדה של פונקציות אקספוננציאליות.

בשלב הסופי, אתה צריך למצוא פתרון מסוים שעומד בתנאי ההתחלתי הנתון. זה גם פשוט.

מהי המשימה? צריך להרים כגוןהערך של הקבוע כדי לעמוד בתנאי.

אתה יכול לסדר את זה בדרכים שונות, אבל המובן ביותר, אולי, יהיה ככה. בפתרון הכללי, במקום "x", נחליף אפס, ובמקום "y", שניים:



זה,

גרסת עיצוב סטנדרטית:

כעת נחליף את הערך המצוי של הקבוע בפתרון הכללי:
- זה הפתרון המסוים שאנחנו צריכים.

תשובה: פתרון פרטי:

בוא נעשה בדיקה. אימות של פתרון מסוים כולל שני שלבים:

ראשית, יש לבדוק האם הפתרון המסוים שנמצא באמת עומד בתנאי ההתחלתי? במקום "x" נחליף אפס ונראה מה קורה:
- כן, אכן, הושג דווק, כלומר מתקיים התנאי ההתחלתי.

השלב השני כבר מוכר. ניקח את הפתרון המסוים שנוצר ונמצא את הנגזרת:

תחליף במשוואה המקורית:

- מתקבל השוויון הנכון.

מסקנה: הפתרון המסוים נמצא נכון.

בואו נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 3

לפתור משוואת דיפרנציאלית

פִּתָרוֹן:נכתוב מחדש את הנגזרת בצורה שאנו צריכים:

הערכה האם ניתן להפריד משתנים? פחית. אנו מעבירים את המונח השני לצד ימין עם שינוי סימן:

ואנו הופכים את הגורמים לפי כלל הפרופורציה:

המשתנים מופרדים, בואו נשלב את שני החלקים:

אני חייב להזהיר אותך, יום הדין מגיע. אם לא למדת טוב אינטגרלים בלתי מוגדרים, פתרו כמה דוגמאות, אז אין לאן ללכת - אתה צריך לשלוט בהן עכשיו.

קל למצוא את האינטגרל של הצד השמאלי, עם האינטגרל של הקוטנגנט אנחנו עוסקים בטכניקה הסטנדרטית שחשבנו עליה בשיעור אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריותבשנה האחרונה:

בצד ימין, יש לנו לוגריתם, ולפי ההמלצה הטכנית הראשונה שלי, הקבוע צריך להיכתב גם מתחת ללוגריתם.

כעת ננסה לפשט את האינטגרל הכללי. מכיוון שיש לנו רק לוגריתמים, בהחלט אפשרי (והכרחי) להיפטר מהם. על ידי שימוש ב מאפיינים ידועים"לארוז" בצורה מקסימלית את הלוגריתמים. אכתוב בפירוט רב:

האריזה הושלמה להיות מרופטת באופן ברברי:

האם ניתן לבטא "y"? פחית. שני החלקים חייבים להיות בריבוע.

אבל אתה לא חייב.

טיפ טכנולוגי שלישי:אם כדי להשיג פתרון כללי אתה צריך להעלות לכוח או להשתרש, אז ברוב המקריםעליך להימנע מפעולות אלו ולהשאיר את התשובה בצורה של אינטגרל כללי. העובדה היא שהפתרון הכללי ייראה פשוט נורא - עם שורשים גדולים, שלטים ואשפה אחרת.

לכן, אנו כותבים את התשובה כאינטגרל כללי. זה נחשב צורה טובה להציג אותו בצורה, כלומר, בצד ימין, אם אפשר, להשאיר רק קבוע. זה לא הכרחי לעשות את זה, אבל זה תמיד מועיל לרצות את הפרופסור ;-)

תשובה:אינטגרל כללי:

! הערה: ניתן לכתוב את האינטגרל הכללי של כל משוואה ביותר מדרך אחת. לפיכך, אם התוצאה שלך לא עלתה בקנה אחד עם תשובה ידועה קודם לכן, אז זה לא אומר שפתרת את המשוואה בצורה לא נכונה.

גם האינטגרל הכללי נבדק די בקלות, העיקר להיות מסוגל למצוא נגזרת של פונקציה המוגדרת באופן מרומז. בואו נבדיל את התשובה:

אנו מכפילים את שני המונחים ב:

ואנחנו מחלקים לפי:

המשוואה הדיפרנציאלית המקורית התקבלה בדיוק, מה שאומר שהאינטגרל הכללי נמצא נכון.

דוגמה 4

מצא פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית שעונה על התנאי ההתחלתי. הפעל בדיקה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

אני מזכיר לך שהאלגוריתם מורכב משני שלבים:
1) מציאת פתרון כללי;
2) מציאת הפתרון הספציפי הנדרש.

הבדיקה מתבצעת גם בשני שלבים (ראה דוגמה בדוגמה מס' 2), אתה צריך:
1) לוודא שהפתרון המסוים שנמצא עומד בתנאי ההתחלתי;
2) בדוק שפתרון מסוים עומד בדרך כלל במשוואה הדיפרנציאלית.

פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

דוגמה 5

מצא פתרון מסוים של משוואת דיפרנציאלית , עמידה בתנאי ההתחלתי . הפעל בדיקה.

פִּתָרוֹן:ראשית, בואו נמצא פתרון כללי, משוואה זו כבר מכילה דיפרנציאלים מוכנים ו-, כלומר הפתרון מפושט. הפרדת משתנים:

אנו משלבים את המשוואה:

האינטגרל משמאל הוא טבלאי, האינטגרל מימין נלקח שיטת סיכום הפונקציה בסימן ההפרש:

הושג האינטגרל הכללי, האם ניתן לבטא בהצלחה את הפתרון הכללי? פחית. אנו תולים לוגריתמים משני הצדדים. מכיוון שהם חיוביים, סימני המודולו מיותרים:

(אני מקווה שכולם מבינים את השינוי, דברים כאלה כבר צריכים להיות ידועים)

אז הפתרון הכללי הוא:

הבה נמצא פתרון מסוים המתאים למצב ההתחלתי הנתון.
בפתרון הכללי, במקום "x", נחליף אפס, ובמקום "y", הלוגריתם של שניים:

עיצוב מוכר יותר:

אנו מחליפים את הערך המצוי של הקבוע בפתרון הכללי.

תשובה:פתרון פרטי:

בדוק: ראשית, בדוק אם התנאי הראשוני מתקיים:
- הכל טוב.

כעת נבדוק האם הפתרון המסוים שנמצא בכלל עונה על משוואת הדיפרנציאל. אנו מוצאים את הנגזרת:

בואו נסתכל על המשוואה המקורית: - הוא מוצג בהפרשים. יש שתי דרכים לבדוק. אפשר לבטא את ההפרש מהנגזרת שנמצאה:

אנו מחליפים את הפתרון המסוים שנמצא ואת ההפרש המתקבל במשוואה המקורית :

אנו משתמשים בזהות הלוגריתמית הבסיסית:

מתקבל השוויון הנכון, כלומר הפתרון המסוים נמצא נכון.

דרך הבדיקה השנייה היא שיקוף ומוכר יותר: מהמשוואה לבטא את הנגזרת, לשם כך אנו מחלקים את כל החלקים ב:

וב-DE שעבר טרנספורמציה אנו מחליפים את הפתרון המסוים שהושג ואת הנגזרת שנמצאה. כתוצאה מהפשטות, יש להשיג גם את השוויון הנכון.

דוגמה 6

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית. הביעו את התשובה כאינטגרל כללי.

זוהי דוגמה לפתרון עצמי, פתרון מלא ומענה בסוף השיעור.

אילו קשיים מחכים בפתרון משוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה?

1) לא תמיד ברור (במיוחד לקומקום) שניתן להפריד משתנים. שקול דוגמה מותנית: . כאן אתה צריך להוציא את הגורמים מסוגריים: ולהפריד את השורשים:. איך להמשיך הלאה ברור.

2) קשיים באינטגרציה עצמה. אינטגרלים מתעוררים לעתים קרובות לא הכי פשוטים, ואם יש פגמים במיומנויות למצוא אינטגרל בלתי מוגבל, אז זה יהיה קשה עם מפזרים רבים. בנוסף, המהדרים של אוספים ומדריכים פופולריים עם ההיגיון "מכיוון שהמשוואה הדיפרנציאלית פשוטה, אז לפחות האינטגרלים יהיו מסובכים יותר."

3) טרנספורמציות עם קבוע. כפי שכולם שמו לב, ניתן לטפל בקבוע במשוואות דיפרנציאליות בצורה די חופשית, וכמה טרנספורמציות לא תמיד ברורות למתחילים. בואו נסתכל על דוגמה היפותטית נוספת: . בה, רצוי להכפיל את כל האיברים ב-2: . הקבוע המתקבל הוא גם סוג של קבוע, אותו ניתן לסמן ב: . כן, ומכיוון שיש לוגריתם בצד ימין, רצוי לשכתב את הקבוע כקבוע נוסף: .

הצרה היא שלעתים קרובות הם לא מתעסקים במדדים ומשתמשים באותה אות. כתוצאה מכך, רשומת ההחלטה לובשת את הטופס הבא:

איזו כפירה? הנה השגיאות! למהדרין, כן. עם זאת, מבחינה מהותית אין טעויות, כי כתוצאה מהתמרה של קבוע משתנה, עדיין מתקבל קבוע משתנה.

או דוגמה אחרת, נניח שבמהלך פתרון המשוואה מתקבל אינטגרל כללי. תשובה זו נראית מכוערת, לכן מומלץ לשנות את הסימן של כל מונח: . פורמלית, יש שוב שגיאה - בצד ימין, זה צריך להיות כתוב . אבל משתמע באופן לא רשמי ש"מינוס ce" הוא עדיין קבוע ( שמקבלת באותה מידה כל ערך!), אז לשים "מינוס" לא הגיוני ואתה יכול להשתמש באותה אות.

אנסה להימנע מגישה רשלנית, ועדיין לשים אינדקסים שונים לקבועים בעת המרתם.

דוגמה 7

פתור את המשוואה הדיפרנציאלית. הפעל בדיקה.

פִּתָרוֹן:משוואה זו מאפשרת הפרדה של משתנים. הפרדת משתנים:

אנו משלבים:

הקבוע כאן לא חייב להיות מוגדר תחת הלוגריתם, כי שום דבר טוב לא ייצא ממנו.

תשובה:אינטגרל כללי:

בדוק: הבדיל את התשובה (פונקציה מרומזת):

אנו נפטרים משברים, לשם כך נכפיל את שני האיברים ב:

התקבלה המשוואה הדיפרנציאלית המקורית, מה שאומר שהאינטגרל הכללי נמצא נכון.

דוגמה 8

מצא פתרון מסוים של DE.
,

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. הרמז היחיד הוא שכאן אתה מקבל אינטגרל כללי, ויותר נכון, אתה צריך להתאמץ כדי למצוא לא פתרון מסוים, אלא אינטגרל פרטי. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

6.1. מושגים והגדרות בסיסיות

כאשר פותרים בעיות שונות של מתמטיקה ופיזיקה, ביולוגיה ורפואה, לעתים קרובות לא ניתן לקבוע מיד תלות תפקודית בצורה של נוסחה המקשרת בין המשתנים המתארים את התהליך הנחקר. בדרך כלל, יש להשתמש במשוואות המכילות, בנוסף למשתנה הבלתי תלוי והפונקציה הלא ידועה, גם את הנגזרות שלו.

הַגדָרָה.משוואה המתייחסת למשתנה בלתי תלוי, פונקציה לא ידועה ונגזרותיה מסדרים שונים נקראת דִיפֵרֶנציִאָלִי.

הפונקציה הלא ידועה מסומנת בדרך כלל y(x)או בפשטות י,ונגזרותיו הן y", y"וכו '

אפשר גם סימונים אחרים, למשל: אם y= x(t), אז x"(t), x""(t)הם נגזרותיו, ו טהוא משתנה בלתי תלוי.

הַגדָרָה.אם הפונקציה תלויה במשתנה אחד, אז המשוואה הדיפרנציאלית נקראת רגילה. טופס כללי משוואת דיפרנציאלית רגילה:

אוֹ

פונקציות וו ואולי לא מכיל טיעונים מסוימים, אבל כדי שהמשוואות יהיו דיפרנציאליות, נוכחות של נגזרת חיונית.

הַגדָרָה.סדר המשוואה הדיפרנציאליתהוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר הכלולה בו.

לדוגמה, x 2 y"- y= 0, y" + sin איקס= 0 הן משוואות מסדר ראשון, ו y"+ 2 y"+ 5 y= איקסהיא משוואה מסדר שני.

בעת פתרון משוואות דיפרנציאליות, נעשה שימוש בפעולת האינטגרציה, הקשורה להופעת קבוע שרירותי. אם פעולת האינטגרציה מופעלת נפעמים, אז, ברור, הפתרון יכיל נקבועים שרירותיים.

6.2. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

טופס כללי משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשוןמוגדר על ידי הביטוי

ייתכן שהמשוואה אינה מכילה במפורש איקסו י,אבל בהכרח מכיל y".

אם ניתן לכתוב את המשוואה כ

אז נקבל משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון שנפתרה ביחס לנגזרת.

הַגדָרָה.הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון (6.3) (או (6.4)) הוא קבוצת הפתרונות , איפה מהוא קבוע שרירותי.

הגרף לפתרון משוואת דיפרנציאלית נקרא עקומה אינטגרלית.

מתן קבוע שרירותי מערכים שונים, אפשר להשיג פתרונות מסוימים. על פני השטח xOyהפתרון הכללי הוא משפחה של עקומות אינטגרליות התואמות לכל פתרון מסוים.

אם אתה קובע נקודה A(x0, y0),שדרכו העקומה האינטגרלית חייבת לעבור, אם כן, ככלל, ממכלול הפונקציות אפשר לייחד אחד מהם - פתרון מסוים.

הַגדָרָה.החלטה פרטיתשל משוואה דיפרנציאלית הוא הפתרון שלה שאינו מכיל קבועים שרירותיים.

אם הוא פתרון כללי, אז מהתנאי

אתה יכול למצוא קבוע מ.התנאי נקרא מצב התחלתי.

הבעיה של מציאת פתרון מסוים של משוואה דיפרנציאלית (6.3) או (6.4) המקיימת את התנאי ההתחלתי בְּ- שקוראים לו בעיית קאוצ'י.האם לבעיה הזו תמיד יש פתרון? התשובה נמצאת במשפט הבא.

משפט קאוצ'י(משפט הקיום והייחודיות של הפתרון). הכניסו את המשוואה הדיפרנציאלית y"= f(x, y)פוּנקצִיָה f(x, y)והיא

נגזרת חלקית מוגדר ומתמשך בחלקם

אזורים ד,המכיל נקודה ואז באזור דקיים

הפתרון היחיד למשוואה שעונה על התנאי ההתחלתי בְּ-

משפט קאוצ'י קובע שבתנאים מסוימים קיימת עקומה אינטגרלית ייחודית y= f(x),עובר דרך נקודה נקודות שבהן לא מתקיימים תנאי המשפט

קוראים לחתולים מיוחד.הפסקות בנקודות אלו ו(x, y) או.

או שמספר עקומות אינטגרליות עוברות דרך נקודה יחידה, או אף אחת.

הַגדָרָה.אם הפתרון (6.3), (6.4) נמצא בטופס ו(x, y, ג)= 0 אסור ביחס ל-y, אז זה נקרא אינטגרל משותףמשוואה דיפרנציאלית.

המשפט של קאוצ'י רק מבטיח שקיים פתרון. מכיוון שאין שיטה אחת למציאת פתרון, נשקול רק כמה סוגים של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון המשתלבות ב ריבועים.

הַגדָרָה.המשוואה הדיפרנציאלית נקראת ניתן לשילוב בריבועים,אם החיפוש אחר הפתרון שלו מצטמצם לשילוב פונקציות.

6.2.1. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון עם משתנים הניתנים להפרדה

הַגדָרָה.משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת משוואה עם משתנים הניתנים להפרדה,

הצד הימני של המשוואה (6.5) הוא מכפלה של שתי פונקציות, שכל אחת מהן תלויה במשתנה אחד בלבד.

למשל, המשוואה היא משוואה עם הפרדה

משתנים עוברים
והמשוואה

לא ניתן לייצוג בטופס (6.5).

בהתחשב בכך ש , אנו משכתבים (6.5) כ

ממשוואה זו נקבל משוואה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים, שבה ההפרשים מכילים פונקציות התלויות רק במשתנה המתאים:

שילוב מונח אחר מונח, יש לנו

כאשר C= C 2 - C 1 הוא קבוע שרירותי. ביטוי (6.6) הוא האינטגרל הכללי של המשוואה (6.5).

מחלקים את שני חלקי המשוואה (6.5) ב-, נוכל לאבד את הפתרונות שעבורם, אכן, אם בְּ-

לאחר מכן הוא ללא ספק פתרון של משוואה (6.5).

דוגמה 1מצא פתרון למשוואה המספקת

מַצָב: y= 6 ב איקס= 2 (י(2) = 6).

פִּתָרוֹן.בואו נחליף בְּ"עבור אז . תכפיל את שני הצדדים ב

dx,שכן בשילוב נוסף אי אפשר לעזוב dxבמכנה:

ואז מחלקים את שני החלקים ב אנחנו מקבלים את המשוואה,

שניתן לשלב. אנו משלבים:

לאחר מכן ; פוטנציאל, נקבל y = C . (x + 1) - ob-

פִּתָרוֹן.

בהתבסס על הנתונים הראשוניים, אנו קובעים קבוע שרירותי על ידי החלפתם בפתרון הכללי

סוף סוף אנחנו מקבלים y= 2(x + 1) הוא פתרון מסוים. שקול עוד כמה דוגמאות לפתרון משוואות עם משתנים הניתנים להפרדה.

דוגמה 2מצא פתרון למשוואה

פִּתָרוֹן.בהתחשב בכך ש , אנחנו מקבלים .

שילוב שני הצדדים של המשוואה, יש לנו

איפה

דוגמה 3מצא פתרון למשוואה פִּתָרוֹן.אנו מחלקים את שני חלקי המשוואה באותם גורמים התלויים במשתנה שאינו עולה בקנה אחד עם המשתנה תחת הסימן הדיפרנציאלי, כלומר לפי ולשלב. ואז אנחנו מקבלים

ולבסוף

דוגמה 4מצא פתרון למשוואה

פִּתָרוֹן.לדעת מה נקבל. סָעִיף-

משתנים lim. לאחר מכן

שילוב, אנחנו מקבלים

תגובה.בדוגמאות 1 ו-2, הפונקציה הרצויה yמתבטא במפורש (פתרון כללי). בדוגמאות 3 ו-4 - במרומז (אינטגרל כללי). בעתיד לא יפורט צורת ההחלטה.

דוגמה 5מצא פתרון למשוואה פִּתָרוֹן.

דוגמה 6מצא פתרון למשוואה מספק

מַצָב אתם)= 1.

פִּתָרוֹן.נכתוב את המשוואה בטופס

הכפלת שני הצדדים של המשוואה ב dxוהלאה, אנחנו מקבלים

שילוב שני הצדדים של המשוואה (האינטגרל בצד ימין נלקח על ידי חלקים), נקבל

אבל לפי תנאי y= 1 ב איקס= ה. לאחר מכן

החלף את הערכים שנמצאו מלפתרון כללי:

הביטוי המתקבל נקרא פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית.

6.2.2. משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מהסדר הראשון

הַגדָרָה.המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת הוֹמוֹגֵנִיאם ניתן לייצג אותו כ

אנו מציגים אלגוריתם לפתרון משוואה הומוגנית.

1. במקום זאת yהצג פונקציה חדשה ואז ולכן

2. מבחינת תפקוד uהמשוואה (6.7) מקבלת את הצורה

כלומר, ההחלפה מפחיתה את המשוואה ההומוגנית למשוואה עם משתנים שניתנים להפרדה.

3. פותרים את המשוואה (6.8), תחילה נמצא את u, ולאחר מכן y= ux.

דוגמה 1פתור את המשוואה פִּתָרוֹן.נכתוב את המשוואה בטופס

אנחנו עושים החלפה:
לאחר מכן

בואו נחליף

הכפל ב-dx: מחולק ב איקסוהלאה לאחר מכן

שילוב שני חלקי המשוואה ביחס למשתנים המתאימים, יש לנו

או, אם נחזור למשתנים הישנים, סוף סוף נקבל

דוגמה 2פתור את המשוואה פִּתָרוֹן.תן לאחר מכן

מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב x2: בואו נפתח את הסוגריים ונסדר מחדש את המונחים:

נעבור למשתנים הישנים, אנו מגיעים לתוצאה הסופית:

דוגמה 3מצא פתרון למשוואה בתנאי

פִּתָרוֹן.ביצוע החלפה רגילה אנחנו מקבלים

אוֹ

אוֹ

אז לפתרון המסוים יש את הצורה דוגמה 4מצא פתרון למשוואה

פִּתָרוֹן.

דוגמה 5מצא פתרון למשוואה פִּתָרוֹן.

עבודה עצמאית

מצא פתרון למשוואות דיפרנציאליות עם משתנים הניתנים להפרדה (1-9).

מצא פתרון למשוואות דיפרנציאליות הומוגניות (9-18).

6.2.3. כמה יישומים של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

הבעיה של ריקבון רדיואקטיבי

קצב ההתפרקות של Ra (רדיום) בכל רגע של זמן הוא פרופורציונלי למסה הזמינה שלו. מצא את חוק ההתפרקות הרדיואקטיבית של Ra אם ידוע שברגע הראשוני היה Ra וזמן מחצית החיים של Ra הוא 1590 שנים.

פִּתָרוֹן.תן כרגע המונית Ra להיות איקס= x(t) g, ו אז קצב ההתפרקות של Ra הוא

לפי המשימה

איפה ק

הפרדת המשתנים במשוואה האחרונה ואינטגרציה, נקבל

איפה

לשם קביעה גאנו משתמשים בתנאי ההתחלתי: .

לאחר מכן ולכן,

גורם מידתיות קנקבע מהתנאי הנוסף:

יש לנו

מכאן והנוסחה הרצויה

בעיית קצב ההתרבות של החיידקים

קצב ההתרבות של החיידקים הוא פרופורציונלי למספרם. ברגע הראשון היו 100 חיידקים. תוך 3 שעות מספרם הוכפל. מצא את התלות של מספר החיידקים בזמן. כמה פעמים יגדל מספר החיידקים תוך 9 שעות?

פִּתָרוֹן.תן איקס- מספר החיידקים כרגע ט.ואז, לפי התנאי,

איפה ק- מקדם מידתיות.

מכאן ידוע מהתנאי ש . אומר,

מהתנאי הנוסף . לאחר מכן

פונקציה נדרשת:

אז, ב ט= 9 איקס= 800, כלומר תוך 9 שעות מספר החיידקים גדל פי 8.

המשימה להגדיל את כמות האנזים

בתרבית של שמרי בירה, קצב הגדילה של האנזים הפעיל הוא פרופורציונלי לכמותו הראשונית. איקס.כמות התחלתית של אנזים אהוכפל תוך שעה. מצא תלות

x(t).

פִּתָרוֹן.לפי תנאי, למשוואה הדיפרנציאלית של התהליך יש את הצורה

מכאן

אבל . אומר, ג= אואז

זה גם ידוע

כתוצאה מכך,

6.3. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני

6.3.1. מושגי יסוד

הַגדָרָה.משוואת דיפרנציאלית מסדר שנינקרא היחס המחבר בין המשתנה הבלתי תלוי, הפונקציה הרצויה והנגזרת הראשונה והשנייה שלו.

במקרים מיוחדים, x עשוי להיעדר במשוואה, בְּ-או y". עם זאת, המשוואה מסדר שני חייבת להכיל בהכרח y". במקרה הכללי, המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני כתובה כך:

או, אם אפשר, בצורה המותרת לנגזרת השנייה:

כמו במקרה של משוואה מסדר ראשון, למשוואה מסדר שני יכולה להיות פתרון כללי ופרטני. הפתרון הכללי נראה כך:

מציאת פתרון פרטי

בתנאים ראשוניים - נתון

מספר) נקרא בעיית קאוצ'י.מבחינה גיאומטרית, זה אומר שנדרש למצוא את העקומה האינטגרלית בְּ-= y(x),עובר דרך נקודה נתונה ובעל משיק בנקודה זו, שהיא בערך

מזלגות עם כיוון ציר חיובי שׁוֹרזווית נתונה. ה. (איור 6.1). לבעיית Cauchy יש פתרון ייחודי אם הצד הימני של המשוואה (6.10), לא לפני-

הוא בלתי רציף ויש לו נגזרות חלקיות רציפות ביחס ל אתה, אתה"בשכונה כלשהי של נקודת ההתחלה

למצוא קבוע כלול בפתרון מסוים, יש צורך לאפשר את המערכת

אורז. 6.1.עקומה אינטגרלית