זווית ישרה, קהה, חדה ומפותחת

קוד הבלוג:

ANGLE (שטוח), דמות גיאומטרית הנוצרת משתי קרניים (צלעות של זווית) היוצאות מנקודה אחת (קודקוד זווית). כל זווית עם קודקוד במרכז מעגל כלשהו (זווית מרכזית) מגדירה קשת AB על המעגל התחום על ידי נקודות החיתוך של המעגל עם צלעות הזווית. זה מאפשר לך לצמצם את מדידת הזווית למדידת הקשתות המתאימות. זוויות נמדדות במעלות או ברדיאנים.

הזווית שנוצרת מהמשך הצלעות של זווית נתונה נקראת אנכית לנתונה; הזווית שנוצרת מאחת מצלעות הזווית הנתונה והמשך הצלע השנייה הסמוכה לה. הזווית של שתי עקומות המצטלבות בנקודה מסוימת היא הזווית שנוצרת על ידי המשיקים לעיקולים באותה נקודה.

איך זה יראה:

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

במקרה שהדבר נחוץ - בהתאם לחוק, לצו שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות ציבוריות מגופים ממלכתיים בשטח הפדרציה הרוסית - חשפו את המידע האישי שלכם. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה מסיבות אבטחה, אכיפת חוק או אינטרס ציבורי אחר.
במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

הסמל π, ככלל, אינו משמש למטרה זו. האותיות ω ו-Ω משמשות לעתים קרובות לציון זוויות מוצקות (ראה להלן).

מקובל גם לייצג זווית עם שלושה סמלי נקודות, למשל ∠ א ב ג . (\displaystyle \angle ABC.)בתקליט כזה B (\displaystyle B)- למעלה, ו A (\displaystyle A)ו C (\displaystyle C)הן נקודות בצדדים שונים של הזווית. בהקשר לבחירה במתמטיקה בכיוון ספירת הזוויות נגד כיוון השעון, נהוג למנות את הנקודות המונחות על הצדדים בייעוד הזווית גם נגד כיוון השעון. מוסכמה זו מאפשרת חד-משמעיות בהבחנה בין שתי פינות שטוחות עם צדדים משותפים אך אזורים פנימיים שונים. במקרים בהם הבחירה בשטח הפנים של פינה שטוחה ברורה מההקשר, או מצוינת בדרך אחרת, עלולה להפר אמנה זו. ס"מ. .

הסימון של קווים ישרים היוצרים את הצדדים של זווית פחות נפוץ. לדוגמה, ∠ (b c) (\displaystyle \angle (bc))- כאן מניחים שאנו מתכוונים לזווית הפנימית של המשולש ∠ B A C (\displaystyle \angle BAC), α , שיש לסמן ∠ (c b) (\displaystyle \angle (cb)).

אז, עבור הדמות מימין, הערכים γ , ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB)ו ∠ (b a) (\displaystyle \angle (ba))מתכוון לאותה זווית.

לפעמים משתמשים באותיות לטיניות קטנות לציון זוויות ( א ב ג,...) ומספרים.

בציורים, פינות מסומנות באזיקים קטנים בודדים, כפולים או משולשים העוברים לאורך החלק הפנימי של הפינה במרכז בקודקוד הפינה. שוויון הזוויות יכול להיות מסומן על ידי אותו ריבוי של הקשתות או על ידי אותו מספר של משיכות רוחביות על הקשת. אם יש צורך לציין את כיוון קריאת הזווית, זה מסומן עם חץ על הקשת. זוויות ישרות מסומנות לא על ידי קשתות, אלא על ידי שני קטעים שווים מחוברים המסודרים בצורה כזו שיחד עם הצלעות הן יוצרות ריבוע קטן, שאחד מקודקודיו חופף לקודקוד הזווית.

מדידת זווית

ניתן להציג מידה זוויתית המאפשרת השוואת זוויות מישוריות כדלקמן. שתי הפינות השטוחות נקראות שווה(אוֹ חוֹפֵף) אם ניתן לשלב אותם כך שקודקודיהם ושני הצדדים יתאימו. מכל קרן במישור בכיוון נתון, ניתן להניח בצד זווית בודדת השווה לזווית הנתונה. אם ניתן למקם פינה אחת לגמרי בתוך פינה אחרת בצורה כזו שהקודקוד ואחת מהצדדים של הפינות הללו עולים בקנה אחד, אז הפינה הראשונה קטנה מהשנייה. בואו נתקשר סמוךשתי פינות הממוקמות כך שהצד של האחד חופף לצד השני (ומכאן הקודקודים חופפים), אבל האזורים הפנימיים שלהם אינם מצטלבים. זווית המורכבת מצלעות לא חופפות של שתי זוויות סמוכות נקראת מְקוּפָּלמהפינות הללו. לכל זווית ניתן להקצות מספר (מידה זוויתית) באופן כזה:

זוויות שוות מתאימות למידה זוויתית שווה;
זווית קטנה יותר תואמת מידה זוויתית קטנה יותר;
בזווית שצלעותיה חופפות (זווית אפס), המידה הזוויתית היא אפס (הדבר נכון גם לזווית בין ישרים מקבילים);
לכל זווית שאינה אפס יש מידה זווית מסוימת גדולה מאפס;
(additivity) המידה הזוויתית של זווית שווה לסכום המידות הזוויתיות של הזוויות אליהן היא מחולקת על ידי כל קרן העוברת בין צלעותיה.

במערכות סימון מסוימות, אם יש צורך להבחין בין זווית למידה שלה, הסימון משמש לזווית (דמות גיאומטרית) ∠ A B C , (\displaystyle \angle ABC,)ולערך מידת המדידה של זווית זו - הייעוד א ב ג ^ . (\displaystyle (\widehat (ABC)).)

מדידת הזוויות במעלות חוזרת לבבל העתיקה, שם נעשה שימוש במערכת המספרים הסקסגסימלית, שעקבותיה נשתמרו אצלנו בחלוקת הזמן והזוויות.

סיבוב אחד = 2π רדיאנים = 360° = 400 מעלות.

בטרמינולוגיה ימית, זוויות נמדדות בנקודות. 1 ramb שווה ל 1 ⁄ 32 מהמעגל המלא (360 מעלות) של המצפן, כלומר 11.25 מעלות, או 11°15′.

בהקשרים מסוימים, כמו זיהוי נקודה בקואורדינטות קוטביות או תיאור הכיוון של עצם בשני ממדים ביחס לכיוון הבסיס שלו, זוויות הנבדלות במספר שלם של סיבובים מלאים שוות ערך למעשה. לדוגמה, במקרים כאלה, הזוויות 15° ו-360015° (= 15° + 360°×1000) יכולות להיחשב שוות ערך. בהקשרים אחרים, כגון זיהוי נקודה על עקומה ספירלית, או תיאור סיבוב מצטבר של אובייקט בשני ממדים לגבי הכיוון הראשוני שלו, זוויות הנבדלות במספר שלם שאינו אפס של סיבובים שלמים אינן שוות ערך.

לחלק מהפינות השטוחות יש שמות מיוחדים. בנוסף ליחידות המדידה הנ"ל (רדיאן, מרובע, תואר וכו'), אלה כוללות:

רביע (זווית ישרה, 1 ⁄ 4 מעגלים);
סקסטנט ( 1 ⁄ 6 מעגלים);
אוקטנט ( 1 ⁄ 8 עיגולים; בנוסף, בסטריאומטריה, אוקטנט הוא זווית תלת-תדרלית שנוצרת משלושה מישורים מאונכים זה לזה),

כיוון זוויות

החץ מציג את כיוון ספירת הזוויות

זווית חדה

הכללה של זווית מישור לסטריאומטריה היא זווית מוצקה - חלק מהמרחב שהוא האיחוד של כל הקרניים הנובעות מנקודה נתונה ( פסגותפינה) וחוצה משטח כלשהו (שנקרא משטח, הידוקנתון זווית מוצקה).

זוויות מוצקות נמדדות בסטרדיאנים (אחת מיחידות ה-SI הבסיסיות), וכן ביחידות מחוץ למערכת - בחלקים של כדור מלא (כלומר, זווית מוצקה מלאה של 4π סטרדיאנים), במעלות ריבועיות, דקות ריבועיות ו שניות מרובעות.

זוויות מוצקות הן, במיוחד, הגופים הגיאומטריים הבאים:

זווית דיהדרלית - חלק מהמרחב התחום על ידי שני מישורים מצטלבים;
זווית תלת-תדרלית - חלק מהמרחב התחום בשלושה מישורים מצטלבים;
זווית polyhedral - חלק מהמרחב התחום על ידי מספר מישורים המצטלבים בנקודה אחת.

ניתן לאפיין זווית דו-הדרלית הן בזווית לינארית (הזווית בין המישורים היוצרים אותה) והן בזווית מוצקה (ניתן לבחור כל נקודה עליה כקודקוד). קָצֶה- ההצטלבות הישירה של פניו). אם הזווית הליניארית של זווית דו-הדרלית (ברדיאנים) היא φ, אזי הזווית המוצקה שלה (בסטרדיאנים) היא 2φ.

זווית בין עקומות

הן בפלנימטריה והן בגיאומטריה מוצקה, כמו גם במספר גיאומטריות אחרות, ניתן לקבוע את הזווית בין עקומות חלקות בנקודת החיתוך: בהגדרה, ערכה שווה לזווית בין המשיקים לעיקולים ב- נקודת צומת.

מוצר זווית ונקודה

ניתן להגדיר את המושג זווית עבור מרחבים ליניאריים בעלי אופי שרירותי (ושרירותי, כולל מימד אינסופי), שעליהם מוצג באופן אקסיומטי תוצר סקלרי מוגדר חיובי. (x , y) (\displaystyle (x,y))בין שני מרכיבי חלל x (\displaystyle x)ו y . (\displaystyle y.)המוצר הסקלרי גם מאפשר לך להגדיר את מה שנקרא נורמה (אורך) של אלמנט כשורש הריבועי של מכפלת היסוד ושל עצמו | | x | | = (x , x) . (\displaystyle ||x||=(\sqrt ((x,x))).)מתוך האקסיומות של המוצר הסקלרי, אי השוויון של Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) נובע עבור המוצר הסקלרי: | (x, y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , (\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,)מכאן נובע שהערך מקבל ערכים מ-1 עד 1, והערכים הקיצוניים מגיעים אם ורק אם האלמנטים פרופורציונליים (קולינאריים) זה לזה (באופן גיאומטרי, הכיוונים שלהם חופפים או מנוגדים). זה מאפשר לנו לפרש את הקשר (x, y) | | x | | ⋅ | | y | | (\displaystyle (\frac ((x,y))(||x||\cdot ||y||))))כקוסינוס הזווית בין האלמנטים x (\displaystyle x)ו y . (\displaystyle y.)בפרט, אומרים שאלמנטים הם אורתוגונליים אם תוצר הנקודה (או הקוסינוס של זווית) הוא אפס.

בפרט, אפשר להציג את הרעיון של הזווית בין רציף על מרווח כלשהו [a, b] (\displaystyle)מתפקד אם נציג את המוצר הסקלרי הסטנדרטי (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , (\displaystyle (f,g)=\int _(a)^(b)f(x)g(x)dx,)אז הנורמות של הפונקציות מוגדרות כ | | ו | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . (\displaystyle ||f||^(2)=\int _(a)^(b)f^(2)(x)dx.)אז הקוסינוס של זווית מוגדר בצורה סטנדרטית כיחס בין המכפלה הסקלרית של פונקציות לנורמות שלהן. ניתן לקרוא לפונקציות גם אורתוגונליות אם תוצר הנקודה שלהן (האינטגרל של המכפלה שלהן) הוא אפס.

בגיאומטריה רימנית, ניתן להגדיר באופן דומה את הזווית בין וקטורים משיקים באמצעות הטנזור המטרי g i j. (\displaystyle g_(ij).)מכפלת נקודה של וקטורים משיקים u (\displaystyle u)ו v (\displaystyle v)בתווי טנסור ייראה כך: (u , v) = g i j u i v j , (\displaystyle (u,v)=g_(ij)u^(i)v^(j),)בהתאמה, הנורמות של הוקטורים - | | u | | = | g i j u i u j | (\displaystyle ||u||=(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|))))ו | | v | | = | g i j v i v j | . (\displaystyle ||v||=(\sqrt (|g_(ij)v^(i)v^(j)|)).)לכן, הקוסינוס של הזווית ייקבע על ידי הנוסחה הסטנדרטית עבור היחס בין התוצר הסקלרי שצוין לנורמות של וקטורים: cos ⁡ θ = (u, v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . (\displaystyle \cos \theta =(\frac ((u,v))(||u||\cdot ||v||))=(\frac (g_(ij)u^(i)v^( j))(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|\cdot |g_(ij)v^(i)v^(j)|))).)

זווית במרחב המטרי

ישנן גם מספר עבודות שבהן מוצג המושג של זווית בין אלמנטים של מרחב מטרי.

תן (X , ρ) (\displaystyle (X,\rho))- מרחב מטרי. תן עוד x , y , z (\displaystyle x,y,z)- אלמנטים של החלל הזה.

ק' מנגר הציג את המושג זווית בין קודקודים y (\displaystyle y)ו z (\displaystyle z)עם למעלה בנקודה x (\displaystyle x) כמספר לא שלילי y x z ^ (\displaystyle (\widehat(yxz))), המקיים שלוש אקסיומות:

בשנת 1932, וילסון התייחס לביטוי הבא כזווית:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) (\displaystyle (\widehat ( yxz))_(w)=\arccos (\frac (\rho ^(2)(x,y)+\rho ^(2)(x,z)-\rho ^(2)(y,z)) (2\rho (x,y)\rho (x,z))))

קל לראות שהביטוי המובא תמיד הגיוני ומקיים את שלוש האקסיומות של מנגר.

בנוסף, לזווית ווילסון יש את התכונה שבמרחב האוקלידי היא שווה ערך לזווית בין היסודות y − x (\displaystyle y-x)ו z−x (\displaystyle z-x)במובן של מרחב אוקלידי.

מדידת זווית

אחד הכלים הנפוצים ביותר לבנייה ולמדידה של זוויות הוא מד זווית (וגם סרגל - ראה להלן); ככלל, הוא משמש לבניית זווית בסדר גודל מסוים. כלים רבים פותחו למדידת זוויות בצורה מדויקת יותר או פחות:

גוניומטר - מכשיר למדידת זוויות במעבדה;
kipregel - מכשיר גוניומטרי גיאודטי.

מרחק זוויתי(או פשוט הזווית) בין שני עצמים עבור הצופה נקראת מידת הזווית שבראשה נמצא הצופה, והעצמים שוכבים על הצדדים. ניתן להשתמש ביד כדי להעריך באופן גס את הזוויות בין שני עצמים מרוחקים. באורך הזרוע, מרחק זוויתי של מעלה אחת (1°) מתאים לרוחב הזרת (ראה גם להלן; רוחב הזוויתי של האצבע האמצעית באורך הזרוע הוא בערך 2°), זווית של 10 מעלות - רוחב אגרוף קמוץ הממוקם אופקית (או כף היד בקוטר), זווית של 20 מעלות (או בערך 15° ÷ 17° ÷ 20°) - המרחק בין קצות האגודל והאצבע המורה (

במאמר זה ננתח באופן מקיף את אחת הצורות הגיאומטריות העיקריות - הזווית. נתחיל במושגי עזר והגדרות שיובילו אותנו להגדרת זווית. לאחר מכן, אנו נותנים את השיטות המקובלות לייעוד זוויות. לאחר מכן, נעסוק בהרחבה בתהליך מדידת זוויות. לסיכום, נראה כיצד ניתן לסמן את הפינות בשרטוט. סיפקנו את כל התיאוריה עם הציורים והאיורים הגרפיים הדרושים לשינון טוב יותר של החומר.

ניווט בדף.

הגדרת זווית.

זווית היא אחת הדמויות החשובות ביותר בגיאומטריה. ההגדרה של זווית ניתנת דרך ההגדרה של קרן. בתורו, לא ניתן להשיג את הרעיון של קרן ללא ידע על דמויות גיאומטריות כמו נקודה, קו ישר ומישור. לכן, לפני היכרות עם הגדרת הזווית, אנו ממליצים לרענן את התיאוריה מסעיפים ו.

אז, נתחיל מהמושגים של נקודה, קו ישר במישור ומישור.

תחילה ניתן את ההגדרה של קרן.

תנו לנו לקבל איזה קו ישר במטוס. נסמן את זה באות א. תן O להיות נקודה כלשהי של הקו א. הנקודה O מחלקת את הישר a לשני חלקים. כל אחד מהחלקים הללו יחד עם הנקודה O נקראים קֶרֶן, והנקודה O נקראת תחילת הקורה. אפשר גם לשמוע שהקרן נקראת ישיר למחצה.

למען הקיצור והנוחות, הוצג הסימון הבא לקרניים: קרן מסומנת או באות לטינית קטנה (לדוגמה, ray p או ray k), או בשתי אותיות לטיניות גדולות, שהראשונה שבהן מתאימה להתחלה של הקרן, והשנייה מציינת נקודה כלשהי של הקרן הזו (לדוגמה, קרן OA או קרן CD). בואו נראה את התמונה והייעוד של הקרניים בציור.

כעת נוכל לתת את ההגדרה הראשונה של זווית.

הַגדָרָה.

פינה- זוהי דמות גיאומטרית שטוחה (כלומר, שוכבת כולה במישור מסוים), המורכבת משתי קרניים לא תואמות בעלות מוצא משותף. כל אחת מהקרניים נקראת צד פינתי, ההתחלה המשותפת של צלעות הזווית נקראת הפינה העליונה.

יתכן שצלעות זווית יוצרות קו ישר. לזווית הזו יש שם משלה.

הַגדָרָה.

אם שני הצדדים של זווית שוכנים על אותו קו, אז הזווית נקראת נפרס.

אנו מביאים לידיעתך איור גרפי של זווית מפותחת.

סמל זווית משמש לציון זווית. אם צלעות הזווית מסומנות באותיות לטיניות קטנות (לדוגמה, צד אחד של הזווית הוא k, והשני הוא h), אזי כדי לציין זווית זו, לאחר סימן הזווית, כתובות אותיות המתאימות לצלעות. שורה, וסדר ההקלטה לא משנה (כלומר, או). אם צלעות הזווית מסומנות בשתי אותיות לטיניות גדולות (לדוגמה, צד אחד של הזווית OA, והצד השני של הזווית OB), אזי הזווית מסומנת באופן הבא: אחרי סימן הזווית, שלוש אותיות הן כתובים המשתתפים בייעוד צלעות הזווית, והאות המתאימה לקודקוד הזווית, הממוקמת באמצע (במקרה שלנו, הזווית תצוין כ- או ). אם קודקוד זווית אינו קודקוד של זווית אחרת, אזי זווית כזו יכולה להיות מסומנת באות המתאימה לקודקוד הזווית (לדוגמה, ). לפעמים ניתן לראות שהפינות בציורים מסומנות במספרים (1, 2 וכו'), פינות אלו מסומנות כמו וכן הלאה. לשם הבהירות, אנו מציגים דמות שבה הפינות מוצגות ומצוינות.

כל זווית מחלקת את המטוס לשני חלקים. יתר על כן, אם הזווית לא מפותחת, אז חלק אחד של המטוס נקרא אזור פינתי פנימי, והאחר אזור פינתי חיצוני. התמונה הבאה מסבירה איזה חלק של המטוס מתאים לחלק הפנימי של הפינה ואיזה חלק לחוץ.

כל אחד משני החלקים שלתוכם זווית פחוסה מחלקת מישור יכול להיחשב כאזור פנימי של הזווית הפחוסה.

ההגדרה של פנים זווית מובילה אותנו להגדרה השנייה של זווית.

הַגדָרָה.

פינה- זוהי דמות גיאומטרית, המורכבת משתי קרניים לא תואמות בעלות מוצא משותף והאזור הפנימי המתאים של הזווית.

יש לציין כי ההגדרה השנייה של הזווית מחמירה מהראשונה, שכן היא מכילה יותר תנאים. עם זאת, אין לפסול את ההגדרה הראשונה של הזווית, ואין לשקול את ההגדרה הראשונה והשנייה של הזווית בנפרד. בואו נסביר את הנקודה הזו. כאשר מדובר בזווית כדמות גיאומטרית, אזי זווית מובנת כדמות המורכבת משתי קרניים בעלות מוצא משותף. אם יש צורך לבצע פעולות כלשהן עם זווית זו (לדוגמה, מדידת זווית), אזי זווית כבר צריכה להיות מובנת כשתי קרניים בעלות מקור משותף ואזור פנימי (אחרת ייווצר מצב כפול עקב הנוכחות של אזור פנימי וחיצוני של הזווית כאחד).

הבה ניתן הגדרות נוספות של זוויות סמוכות ואנכיות.

הַגדָרָה.

פינות צמודות- אלו שתי זוויות שבהן צלע אחת משותפת, ושתי האחרות יוצרות זווית ישרה.

מההגדרה עולה שזוויות סמוכות משלימות זו את זו עד לזווית ישרה.

הַגדָרָה.

זוויות אנכיותהן שתי זוויות שבהן צלעות זווית אחת הן שלוחות של צלעות האחרת.

האיור מציג זוויות אנכיות.

ברור ששני קווים מצטלבים יוצרים ארבעה זוגות של זוויות סמוכות ושני זוגות של זוויות אנכיות.

השוואת זוויות.

בפסקה זו של המאמר נעסוק בהגדרות של זוויות שוות ולא שוות, וגם במקרה של זוויות לא שוות נסביר איזו זווית נחשבת גדולה ואיזו קטנה יותר.

נזכיר ששתי דמויות גיאומטריות נקראות שוות אם ניתן להצמיד אותן.

תנו לנו שתי זוויות. הבה נביא נימוקים שיעזרו לנו לקבל תשובה לשאלה: "האם שתי הזוויות הללו שוות או לא"?

ברור שתמיד נוכל להתאים את הקודקודים של שתי פינות, כמו גם צד אחד של הפינה הראשונה עם כל אחד מהצדדים של הפינה השנייה. בואו נשלב את הצד של הפינה הראשונה עם הצד הזה של הפינה השנייה כך ששאר הצדדים של הפינות יהיו באותו צד של הקו הישר שעליו מונחות הצדדים המשולבים של הפינות. לאחר מכן, אם שני הצדדים האחרים של הפינות מיושרים, אז הפינות נקראות שווה.

אם שתי הצלעות האחרות של הזוויות אינן תואמות, זוויות נקראות לא שוויוני, ו קטן יותרהזווית נחשבת לחלק מאחרת ( גָדוֹלהיא הזווית המכילה לחלוטין זווית אחרת).

ברור ששתי הזוויות הישרות שוות. ברור גם שזווית מפותחת גדולה יותר מכל זווית לא מפותחת.

מדידת זווית.

מדידת זווית מבוססת על השוואת הזווית הנמדדת עם הזווית שנלקחה כיחידת המידה. תהליך מדידת הזוויות נראה כך: החל מאחד הצדדים של הזווית הנמדדת, השטח הפנימי שלה ממולא ברצף בזוויות בודדות, ועורם אותן בחוזקה אחת לשנייה. במקביל זוכרים את מספר הפינות המוערמות, מה שנותן את מידת הזווית הנמדדת.

למעשה, ניתן לקחת כל זווית כיחידת המידה לזוויות. עם זאת, יש הרבה יחידות מקובלות למדידת זוויות הקשורות לתחומים שונים של מדע וטכנולוגיה, הן קיבלו שמות מיוחדים.

אחת מהיחידות למדידת זוויות היא תוֹאַר.

הַגדָרָה.

תואר אחדהיא זווית השווה למאה שמונים מזווית מיושרת.

תואר מסומן על ידי הסמל "," ולכן, מעלה אחת מסומנת כ.

כך, בזווית מפותחת, נוכל להתאים 180 זוויות למעלה אחת. זה ייראה כמו חצי פשטידה עגולה חתוכה ל-180 חתיכות שוות. חשוב מאוד: "חתיכות העוגה" משתלבות היטב זו בזו (כלומר, דפנות הפינות מיושרות), כשהצד של הפינה הראשונה מיושר לצד אחד של הפינה המשוטחת, והצד של פינת היחידה האחרונה. עלה בקנה אחד עם הצד השני של הפינה הפחוסה.

בעת מדידת זוויות, מגלים כמה פעמים מעלה (או יחידת מדידה אחרת של זוויות) מתאימה לזווית הנמדדת עד שהשטח הפנימי של הזווית הנמדדת מכוסה לחלוטין. כפי שכבר ראינו, בזווית מפותחת, התואר מתאים בדיוק פי 180. להלן דוגמאות לזוויות שבהן זווית של מעלה אחת מתאימה בדיוק פי 30 (זווית כזו היא שישית מזווית מיושרת) ובדיוק פי 90 (חצי זווית מיושרת).

כדי למדוד זוויות פחות ממעלה אחת (או יחידת מדידה אחרת של זוויות) ובמקרים בהם לא ניתן למדוד את הזווית במספר שלם של מעלות (יחידות נלקחות), יש להשתמש בחלקים של מעלה (חלקים של יחידות שנלקחו של מדידה). חלקים מסוימים של התואר קיבלו שמות מיוחדים. הנפוצים ביותר הם מה שנקרא דקות ושניות.

הַגדָרָה.

דַקָההוא אחד שישים מהתואר.

הַגדָרָה.

שְׁנִיָההוא אחד שישים הדקה.

במילים אחרות, יש שישים שניות בדקה, ושישים דקות (3600 שניות) במעלה. הסמל "" משמש לציון דקות, והסמל "" משמש לציון שניות (אין לבלבל עם הסימנים של הנגזרת והנגזרת השנייה). לאחר מכן, עם ההגדרות והסימונים שהוצגו, יש לנו , וניתן לציין את הזווית שבה מתאימות 17 מעלות 3 דקות ו-59 שניות.

הַגדָרָה.

מדידת מעלות של זוויתנקרא מספר חיובי, שמראה כמה פעמים מעלה וחלקיה מתאימים לזווית נתונה.

לדוגמה, מידת המעלות של זווית מיושרת היא מאה ושמונים, ומידת המעלות של זווית היא .

למדידת זוויות יש מכשירי מדידה מיוחדים שהמפורסם שבהם הוא מד זווית.

אם הן ייעוד הזווית (לדוגמה,) והן מידת המעלות שלה (תנו 110) ידועים, השתמשו בסימון קצר של הצורה ואומר: "הזווית AOB היא מאה ועשר מעלות".

מהגדרות הזווית ומידת המעלות של הזווית עולה שבגיאומטריה מידת הזווית במעלות באה לידי ביטוי במספר ממשי מהמרווח (0, 180] (בטריגונומטריה, זוויות בעלות מידה שרירותית של מעלות נחשבים, הם נקראים). לזווית של תשעים מעלות יש שם מיוחד, זה נקרא זווית נכונה. זווית פחות מ-90 מעלות נקראת זוית חדה. זווית גדולה מתשעים מעלות נקראת זווית קהה. אז, המידה של זווית חדה במעלות מתבטאת במספר מהמרווח (0, 90), המידה של זווית קהה - לפי מספר מהמרווח (90, 180), זווית ישרה שווה לתשעים מעלות. להלן איורים של זווית חדה, זווית קהה וזווית ישרה.

מעיקרון מדידת הזוויות נובע שמידות המעלות של זוויות שוות זהות, מידת המעלות של זווית גדולה יותר ממידת המעלות של זוית קטנה יותר, ומידת המעלות של זווית המורכבת מכמה זוויות היא שווה לסכום מדדי המעלות של זוויות המרכיבים. האיור שלהלן מציג את הזווית AOB, המורכבת מהזוויות AOC, COD ו-DOB, בעוד .

בדרך זו, סכום הזוויות הסמוכות הוא מאה ושמונים מעלות, שכן הם יוצרים זווית ישרה.

מקביעה זו עולה כי . ואכן, אם הזוויות AOB ו-COD הן אנכיות, אזי הזוויות AOB ו-BOC סמוכות וגם הזוויות COD ו-BOC צמודות, לכן, השוויון ותקפות, שמהן נובע השוויון.

יחד עם התואר נקראת יחידה נוחה למדידת זוויות רדיאן. מדד הרדיאן נמצא בשימוש נרחב בטריגונומטריה. בואו נגדיר רדיאן.

הַגדָרָה.

זווית רדיאן אחת- זה פינה מרכזית, המתאים לאורך הקשת, שווה לאורך רדיוס המעגל המקביל.

בוא ניתן המחשה גרפית של זווית של רדיאן אחד. בשרטוט, אורך הרדיוס OA (כמו גם הרדיוס OB ) שווה לאורך הקשת AB , לכן, בהגדרה, הזווית AOB שווה לרדיאן אחד.

הקיצור "רד" משמש לציון רדיאנים. לדוגמה, כתיבת 5 ראד פירושה 5 רדיאנים. עם זאת, בכתב, לרוב מושמט הכינוי "רד". לדוגמה, כאשר כתוב שהזווית שווה ל-pi, הכוונה היא ל-pi rad.

יש לציין בנפרד שערך הזווית, מבוטא ברדיאנים, אינו תלוי באורך רדיוס המעגל. זאת בשל העובדה שהדמויות התחום בזווית נתונה וקשת מעגל שמרכזה בקודקוד של זווית נתונה דומות זו לזו.

מדידת זוויות ברדיאנים יכולה להתבצע באותו אופן כמו מדידת זוויות במעלות: גלה כמה פעמים זווית של רדיאן אחד (וחלקיו) מתאימה לזווית נתונה. ואתה יכול לחשב את אורך הקשת של הזווית המרכזית המתאימה, ולאחר מכן לחלק אותה באורך הרדיוס.

לצורכי התרגול, כדאי לדעת כיצד מדדי התואר והרדיאן קשורים זה לזה, שכן יש לבצע חלק לא קטן. במאמר זה נוצר קשר בין המידה למידת הרדיאן של זווית, וניתנות דוגמאות להמרת מעלות לרדיאנים ולהיפך.

ייעוד פינות בשרטוט.

בציורים, לנוחות ובהירות, ניתן לסמן פינות בקשתות, שלרוב מצוירות באזור הפנימי של הפינה מצד אחד של הפינה לצד השני. זוויות שוות מסומנות באותו מספר של קשתות, זוויות לא שוות עם מספר שונה של קשתות. זוויות ישרות בציור מסומנות בסמל של הצורה "", המתוארת באזור הפנימי של הזווית הישרה מצד אחד של הפינה לצד השני.

אם אתה צריך לסמן זוויות רבות ושונות בשרטוט (בדרך כלל יותר משלוש), אז בעת ייעוד זוויות, בנוסף לקשתות רגילות, מותר להשתמש בקשתות מסוג מיוחד. לדוגמה, אתה יכול לתאר קשתות משוננות, או משהו דומה.

יש לציין כי אין להיסחף עם ייעוד הזוויות בציורים ואל תבלבל את השרטוטים. אנו ממליצים לסמן רק את הזוויות הנחוצות בתהליך הפתרון או ההוכחה.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. גֵאוֹמֶטרִיָה. כיתות ז' - ט': ספר לימוד למוסדות חינוך.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. גֵאוֹמֶטרִיָה. ספר לימוד לכיתות י'-י"א בתיכון.
Pogorelov A.V., גיאומטריה. ספר לימוד לכיתות ז'-יא' של מוסדות חינוך.

מדידת זווית

הזווית ב נמדדת במעלות (מעלה, דקה, שנייה), בסיבובים - היחס בין אורך הקשת s להיקף L, ברדיאנים - היחס בין אורך הקשת s לרדיוס r; מבחינה היסטורית, נעשה שימוש גם במדידת הברד למדידת זוויות; כיום כמעט ולא נעשה בה שימוש.

סיבוב אחד = 2π רדיאנים = 360° = 400 מעלות.

בטרמינולוגיה ימית, זוויות מסומנות בנקודות.

סוגי פינות

זוויות סמוכות הן חדות (א) וקהות (ב). זווית הפוכה (ג)

בנוסף, נחשבת הזווית בין עקומות חלקות בנקודת המשיק: בהגדרה, ערכה שווה לזווית בין המשיקים לעיקולים.

קרן ויקימדיה. 2010 .

ראה מה זה "זווית שטוחה" במילונים אחרים:

פינה שטוחה- 2.2 זווית שטוחה: זווית שנוצרת משתי קרניים (צלעות של זווית) היוצאות מהמרכז הגיאומטרי של חדר (מבנה). מקור… מילון-ספר עיון במונחים של תיעוד נורמטיבי וטכני

פינה שטוחה- plokščiasis kampas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kampas tarp dviejų viename taške susikertančių pustiesių, išreiškiamas apskritimo (su centru tame taške) apimamojo lanki spini ilgio. Matavimo vienetas… Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

פינה שטוחה- plokščiasis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. זווית מטוס vok. ebener Winkel, m rus. פינה שטוחה, m pranc. תוכנית זווית, מ ... Fizikos terminų žodynas ספר עזר מילון של מונחים של תיעוד נורמטיבי וטכני

שטוח, אפילו, כאילו משוטח, לחוץ למטה; שכיבה בשכבה, לפי המפלס; שאין בהם לא גבנונים ולא בורות; נמוך, רדוד, לא מרומם ולא עמוק. אדמה שטוחה, מקום, משטח רגיל, ישר. גג שטוח, מפולס לחלוטין, ... ... מילון ההסבר של דאל

זווית קרינה של פולט המוליך למחצה- זווית קרינה e זווית מישורית המכילה את הציר האופטי של פולט מוליכים למחצה ונוצרת מכיוונים שבהם עוצמת הקרינה גדולה או שווה למחצית מערכו המרבי. [GOST 27299 87] נושאי מוליכים למחצה ... ...

זווית קרינה של מחוון סינתזה של הסימנים- זווית קרינה (אינדיקטור סינתזה של סימנים) θ זווית שטוחה במישור האנכי או האופקי המכילה את הציר האופטי של מחוון סינתזת הסימנים הפעיל ונוצרת על ידי כיוונים שבהם עוצמת הקרינה גדולה או ... מדריך מתרגם טכני