ידע בטרמינולוגיה, כמו גם ידע בתכונות של צורות גיאומטריות שונות, יסייעו בפתרון בעיות רבות בגיאומטריה. בלימוד קטע כמו פלנימטריה, התלמיד נתקל לעתים קרובות במונח "מצולע". איזו דמות מתאפיינת במושג זה?
מצולע - הגדרה של דמות גיאומטרית
קו שבור סגור, שכל חלקיו שוכנים באותו מישור ואין להם חיתוכים עצמיים, יוצר דמות גיאומטרית הנקראת מצולע. מספר הקישורים של הפוליליין חייב להיות לפחות 3. במילים אחרות, מצולע מוגדר כחלק ממישור שגבולו הוא קו שבור סגור.
במהלך פתרון בעיות הקשורות למצולע, מושגים כגון:
- הצד של המצולע. מונח זה מאפיין קטע (חוליה) של שרשרת שבורה של הדמות הרצויה.
- זווית מצולע (פנימית) - הזווית שנוצרת מ-2 קישורים צמודים של הפוליליין.
- קודקוד מצולע מוגדר כקודקוד מצולע.
- האלכסון של מצולע הוא קטע המחבר בין כל 2 קודקודים (למעט אלה שכנים) של דמות מצולעת.
במקרה זה, מספר הקישורים ומספר הקודקודים של הפוליליין בתוך מצולע אחד תואמים. בהתאם למספר הפינות (או קטעי הקו השבור, בהתאמה), נקבע גם סוג המצולע:
- 3 פינות - משולש.
- 4 פינות - מרובע.
- 5 פינות - מחומש וכו'.
אם לדמות מצולע יש זוויות שוות ובהתאם, צלעות, אז אומרים שהמצולע הזה הוא רגיל.
סוגי מצולעים
כל הצורות הגיאומטריות המצולעות מחולקות ל-2 סוגים - קמור וקעורה.
- אם אחת מהצלעות של המצולע, לאחר המשך קו ישר, אינה יוצרת נקודות חיתוך עם הדמות האמיתית, אז יש לך דמות מצולע קמורה.
- אם לאחר הארכת הצלע (כל שהיא), הקו המתקבל חוצה את המצולע, אנחנו מדברים על מצולע קעור.
מאפייני מצולע
ללא קשר אם הדמות המצולע הנחקרת היא סדירה או לא, יש לה את התכונות הבאות. כך:
- הזוויות הפנימיות שלו נוצרות (p – 2)*π בסך הכל, שם
π הוא מדד הרדיאן של זווית מיושרת, מתאים ל-180°,
p הוא מספר הפינות (קודקודים) של דמות מצולעת (p-gon).
- מספר האלכסונים של כל דמות מצולעת נקבע מהיחס p * (p - 3) / 2, שבו
p הוא מספר הצלעות של ה-p-gon.
מאפייני מצולע
מצולע הוא דמות גיאומטרית, המוגדרת לרוב כפולי-קו סגור ללא חיתוכים עצמיים (מצולע פשוט (איור 1א)), אך לעיתים מותרים חיתוכים עצמיים (ואז המצולע אינו פשוט).
קודקודי הפוליגון נקראים קודקודי המצולע, והקטעים נקראים צלעות המצולע. קודקודי מצולע נקראים שכנים אם הם הקצוות של אחת מצלעיו. קטעי קו המחברים קודקודים לא שכנים של מצולע נקראים אלכסונים.
זווית (או זווית פנימית) של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית שנוצרת מהתכנסות צלעותיו בקודקוד זה, והזווית נחשבת מצלע המצולע. בפרט, הזווית עשויה לעלות על 180° אם המצולע אינו קמור.
הזווית החיצונית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית הסמוכה לזווית הפנימית של המצולע בקודקוד זה. באופן כללי, הזווית החיצונית היא ההבדל בין 180 מעלות לזווית הפנימית. מכל קודקוד של -גון עבור > 3, ישנם - 3 אלכסונים, כך שמספר האלכסונים הכולל של -גון שווה.
מצולע בעל שלושה קודקודים נקרא משולש, עם ארבע - מרובע, עם חמישה - מחומש וכן הלאה.
מצולע עם נ peaks נקרא n-כיכר.
מצולע שטוח הוא דמות המורכבת ממצולע ומהחלק הסופי של השטח התחום בו.
מצולע נקרא קמור אם אחד מהתנאים הבאים (שווים) מתקיים:
- 1. הוא שוכב בצד אחד של כל קו ישר המחבר את הקודקודים השכנים לו. (כלומר, שלוחות צלעותיו של מצולע אינן חותכות את שאר צלעותיו);
- 2. זהו החתך (כלומר חלק משותף) של כמה חצאי מישורים;
- 3. כל קטע עם קצוות בנקודות השייכות למצולע שייך לו כולו.
מצולע קמור נקרא רגיל אם כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות, למשל, משולש שווה צלעות, ריבוע ומחומש.
אומרים שמצולע קמור נרשם סביב מעגל אם כל צלעותיו משיקות למעגל כלשהו
מצולע רגיל הוא מצולע שבו כל הזוויות וכל הצלעות שוות.
מאפייני מצולע:
1 כל אלכסון של -גון קמור, כאשר >3, מפרק אותו לשני מצולעים קמורים.
2 סכום כל הזוויות של -גון קמור שווה ל.
D-in: בואו נוכיח את המשפט בשיטת האינדוקציה המתמטית. עבור = 3 זה ברור. נניח שהמשפט נכון עבור -גון, שבו <, ולהוכיח זאת עבור -גון.
בואו להיות מצולע נתון. צייר אלכסון של מצולע זה. לפי משפט 3, המצולע מפורק למשולש ולגון קמור (איור 5). לפי השערת האינדוקציה. מצד שני, . הוספת השוויון הללו ולוקחת זאת בחשבון (- זווית קרן פנימית ) ו (- זווית קרן פנימית ), אנחנו מקבלים כשאנחנו מקבלים: .
3 בערך כל מצולע רגיל אפשר לתאר מעגל, ויותר מכך, רק אחד.
D-in: תן מצולע רגיל, ו-ו להיות חצויים של הזוויות, ו (איור 150). מאז, לכן, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O.בואו נוכיח את זה O = OA 2 = O =… = OA פ . משולש Oשווה שוקיים, לפיכך O= O. לפי הקריטריון השני לשוויון המשולשים, לפיכך, O = O. באופן דומה, הוכח כי O = Oוכו ' אז הנקודה Oבמרחק שווה מכל קודקודי המצולע, אז המעגל עם המרכז Oרַדִיוּס Oמוקף על מצולע.
הבה נוכיח כעת שיש רק מעגל מוקף אחד. חשבו על שלושה קודקודים של מצולע, למשל, ו 2 , . מכיוון שרק עיגול אחד עובר בנקודות אלו, אז בערך המצולע … אתה לא יכול לתאר יותר ממעגל אחד.
- 4 בכל מצולע רגיל, אתה יכול לרשום מעגל ויותר מכך, רק אחד.
- 5 עיגול הכתוב במצולע רגיל נוגע בצידי המצולע בנקודות האמצע שלהם.
- 6 מרכז המעגל המקיף מצולע רגיל עולה בקנה אחד עם מרכז המעגל החתום באותו מצולע.
- 7 סימטריה:
אומרים שדמות היא סימטרית (סימטרית) אם יש תנועה כזו (לא זהה) שהופכת את הדמות הזו לעצמה.
- 7.1. למשולש כללי אין צירים או מרכזי סימטריה, הוא אינו סימטרי. למשולש שווה שוקיים (אך לא שווה שוקיים) יש ציר סימטריה אחד: החציו הניצב לבסיס.
- 7.2. למשולש שווה צלעות יש שלושה צירים של סימטריה (חצויים מאונכים לצדדים) וסימטריה סיבובית סביב המרכז עם זווית סיבוב של 120°.
7.3 לכל n-גון רגיל יש n צירי סימטריה, שכולם עוברים במרכזו. יש לו גם סימטריה סיבובית על המרכז עם זווית סיבוב.
אֲפִילוּ נצירים מסוימים של סימטריה עוברים דרך קודקודים מנוגדים, אחרים דרך נקודות האמצע של צלעות מנוגדות.
בשביל מוזר נכל ציר עובר דרך הקודקוד ונקודת האמצע של הצד הנגדי.
מרכזו של מצולע רגיל עם מספר זוגי של צלעות הוא מרכז הסימטריה שלו. למצולע רגיל עם מספר אי זוגי של צלעות אין מרכז סימטריה.
8 דמיון:
עם דמיון, ו-גון נכנס לגון, חצי מישור - לחצי מישור, ולכן קמור נ-גון הופך לקמור נ-גון.
משפט: אם הצלעות והזוויות של מצולעים קמורים ומקיימים את השוויון:
איפה מקדם הפודיום
אז המצלעים האלה דומים.
- 8.1 היחס בין היקפים של שני מצולעים דומים שווה למקדם הדמיון.
- 8.2. היחס בין השטחים של שני מצולעים דומים קמורים שווה לריבוע של מקדם הדמיון.
משפט היקף משולש מצולע
משולש, ריבוע, משושה - דמויות אלה ידועות כמעט לכולם. אבל לא כולם יודעים מהו מצולע רגיל. אבל זה הכל אותו מצולע רגיל נקרא זה שיש לו זוויות וצלעות שוות. יש הרבה דמויות כאלה, אבל לכולם אותן תכונות, ואותן נוסחאות חלות עליהן.
מאפיינים של מצולעים רגילים
כל מצולע רגיל, בין אם זה ריבוע או מתומן, ניתן לרשום במעגל. תכונה בסיסית זו משמשת לעתים קרובות בעת בניית דמות. בנוסף, ניתן לרשום עיגול גם במצולע. במקרה זה, מספר נקודות המגע יהיה שווה למספר הצדדים שלה. חשוב שלמעגל החרוט במצולע רגיל יהיה מרכז משותף איתו. דמויות גיאומטריות אלו כפופות לאותם משפטים. כל צלע של n-גון רגיל קשורה לרדיוס R של המעגל המוקף סביבו.לכן, ניתן לחשב אותה באמצעות הנוסחה הבאה: a = 2R ∙ sin180°. דרך אתה יכול למצוא לא רק את הצדדים, אלא גם את היקף המצולע.
כיצד למצוא את מספר הצלעות של מצולע רגיל
כל אחד מורכב ממספר מסוים של מקטעים השווים זה לזה, אשר, כאשר הם מחוברים, יוצרים קו סגור. במקרה זה, לכל הפינות של הדמות שנוצרה יש אותו ערך. מצולעים מחולקים לפשוטים ומורכבים. הקבוצה הראשונה כוללת משולש וריבוע. למצולעים מורכבים יש יותר צדדים. הם כוללים גם דמויות בצורת כוכב. עבור מצולעים רגילים מורכבים, הצלעות נמצאות על ידי רישום שלהן במעגל. בואו נביא הוכחה. צייר מצולע רגיל עם מספר שרירותי של צלעות n. תאר מעגל סביבו. ציין את הרדיוס R. כעת דמיינו שניתן n-גון כלשהו. אם נקודות הזוויות שלו מונחות על מעגל ושוות זו לזו, ניתן למצוא את הצלעות על ידי הנוסחה: a = 2R ∙ sinα: 2.
מציאת מספר הצלעות של משולש ישר זווית רשום
משולש שווה צלעות הוא מצולע רגיל. אותן נוסחאות חלות עליו כמו על הריבוע וה-n-גון. משולש ייחשב לנכון אם יש לו צלעות באורך זהה. במקרה זה, הזוויות הן 60⁰. בנה משולש עם אורך הצלע הנתון a. לדעת החציון והגובה שלו, אתה יכול למצוא את הערך של הצדדים שלו. לשם כך, נשתמש בשיטה של מציאת הנוסחה a \u003d x: cosα, כאשר x הוא החציון או הגובה. מכיוון שכל צלעות המשולש שוות, נקבל a = b = c. אז ההצהרה הבאה נכונה: a = b = c = x: cosα. באופן דומה, אתה יכול למצוא את הערך של הצלעות במשולש שווה שוקיים, אבל x יהיה הגובה הנתון. במקביל, זה צריך להיות מוקרן אך ורק על בסיס הדמות. אז, בהכרת הגובה x, אנו מוצאים את הצלע a של משולש שווה שוקיים באמצעות הנוסחה a \u003d b \u003d x: cosα. לאחר מציאת הערך של a, ניתן לחשב את אורך הבסיס c. בוא ניישם את משפט פיתגורס. נחפש את הערך של מחצית הבסיס c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. ואז c = 2xtanα. בצורה כל כך פשוטה, אתה יכול למצוא את מספר הצלעות של כל מצולע רשום.
חישוב צלעות של ריבוע הכתוב במעגל
כמו כל מצולע רגיל אחר, לריבוע יש צלעות וזוויות שוות. אותן נוסחאות חלות עליו כמו על המשולש. ניתן לחשב את צלעות הריבוע באמצעות ערך האלכסון. הבה נשקול שיטה זו ביתר פירוט. ידוע שהאלכסון חוצה את הזווית. בתחילה, ערכו היה 90 מעלות. כך לאחר החלוקה נוצרים שניים.הזוויות שלהם בבסיס יהיו שוות ל-45 מעלות. בהתאם לכך, כל צלע בריבוע תהיה שווה, כלומר: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, כאשר e הוא האלכסון של הריבוע, או הבסיס של הריבוע. המשולש הימני שנוצר לאחר החלוקה. זו לא הדרך היחידה למצוא את צלעות הריבוע. הבה נרשום את הדמות הזו במעגל. לדעת את הרדיוס של מעגל זה R, אנו מוצאים את הצלע של הריבוע. נחשב אותו באופן הבא: a4 = R√2. הרדיוסים של מצולעים רגילים מחושבים על ידי הנוסחה R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), כאשר a הוא אורך הצלע.
כיצד לחשב את ההיקף של n-גון
ההיקף של n-גון הוא סכום כל צלעותיו. קל לחשב את זה. כדי לעשות זאת, אתה צריך לדעת את הערכים של כל הצדדים. עבור סוגים מסוימים של מצולעים, יש נוסחאות מיוחדות. הם מאפשרים לך למצוא את ההיקף הרבה יותר מהר. ידוע שלכל מצולע רגיל יש צלעות שוות. לכן, כדי לחשב את ההיקף שלו, מספיק להכיר לפחות אחד מהם. הנוסחה תהיה תלויה במספר הצדדים של הדמות. באופן כללי, זה נראה כך: P \u003d an, כאשר a הוא הערך של הצלע, ו-n הוא מספר הזוויות. לדוגמה, כדי למצוא את ההיקף של מתומן רגיל עם צלע של 3 ס"מ, אתה צריך להכפיל אותו ב-8, כלומר, P = 3 ∙ 8 = 24 ס"מ. עבור משושה עם צלע של 5 ס"מ, אנו מחשבים באופן הבא: P = 5 ∙ 6 = 30 ס"מ. וכך עבור כל מצולע.
מציאת ההיקף של מקבילית, ריבוע ומעוין
בהתאם לכמה צלעות יש למצולע רגיל, ההיקף שלו מחושב. זה הופך את המשימה להרבה יותר קלה. ואכן, בניגוד לדמויות אחרות, במקרה זה אין צורך לחפש את כל הצדדים שלה, מספיק רק אחד. על פי אותו עיקרון, אנו מוצאים את ההיקף של מרובעים, כלומר, ריבוע ומעוין. למרות העובדה שמדובר בדמויות שונות, הנוסחה עבורן היא זהה P = 4a, כאשר a היא הצלע. בואו ניקח דוגמה. אם הצלע של מעוין או ריבוע היא 6 ס"מ, אז נמצא את ההיקף באופן הבא: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 ס"מ. מקבילית יש רק צלעות מנוגדות. לכן, ההיקף שלו נמצא בשיטה אחרת. אז, אנחנו צריכים לדעת את האורך a ואת הרוחב b של הדמות. לאחר מכן אנו מיישמים את הנוסחה P \u003d (a + c) ∙ 2. מקבילית, שבה כל הצלעות והזוויות ביניהן שוות, נקראת מעוין.
מציאת היקף של משולש שווה צלעות וישר זווית
ניתן למצוא את ההיקף של הנכון על ידי הנוסחה P \u003d 3a, כאשר a הוא אורך הצלע. אם זה לא ידוע, ניתן למצוא אותו דרך החציון. במשולש ישר זווית, רק שתי צלעות שוות. את הבסיס ניתן למצוא דרך משפט פיתגורס. לאחר שהערכים של שלושת הצדדים נודעו, אנו מחשבים את ההיקף. ניתן למצוא אותו על ידי יישום הנוסחה P \u003d a + b + c, כאשר a ו-b הם צלעות שוות, ו-c הוא הבסיס. זכור שבמשולש שווה שוקיים a \u003d b \u003d a, לכן, a + b \u003d 2a, ואז P \u003d 2a + c. לדוגמה, הצלע של משולש שווה שוקיים היא 4 ס"מ, מצא את הבסיס וההיקף שלו. אנו מחשבים את הערך של התחתון לפי משפט פיתגורס c \u003d √a 2 + ב 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 ס"מ. כעת אנו מחשבים את ההיקף P \u003d \u003d \u003d \u003d 5. u003d 13.65 ס"מ.
כיצד למצוא את הזוויות של מצולע רגיל
מצולע רגיל מתרחש בחיינו כל יום, למשל, ריבוע רגיל, משולש, מתומן. נראה שאין דבר קל יותר מלבנות את הדמות הזו בעצמך. אבל זה רק במבט ראשון. כדי לבנות כל n-גון, אתה צריך לדעת את הערך של הזוויות שלו. אבל איך מוצאים אותם? אפילו מדענים מהעת העתיקה ניסו לבנות מצולעים רגילים. הם ניחשו להתאים אותם למעגלים. ואז סומנו עליו הנקודות הדרושות, מחוברות בקווים ישרים. עבור נתונים פשוטים, בעיית הבנייה נפתרה. התקבלו נוסחאות ומשפטים. לדוגמה, אוקלידס ביצירתו המפורסמת "ההתחלה" עסק בפתרון בעיות עבור 3, 4, 5, 6 ו-15 גונים. הוא מצא דרכים לבנות אותם ולמצוא זוויות. בוא נראה איך עושים את זה עבור 15 גון. ראשית עליך לחשב את סכום הזוויות הפנימיות שלו. יש צורך להשתמש בנוסחה S = 180⁰(n-2). אז, ניתן לנו 15-גון, כלומר המספר n הוא 15. אנו מחליפים את הנתונים שאנו מכירים בנוסחה ומקבלים S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. מצאנו את הסכום של כל הזוויות הפנימיות של 15-גון. עכשיו אנחנו צריכים לקבל את הערך של כל אחד מהם. יש 15 זוויות בסך הכל. אנחנו עושים את החישוב של 2340⁰: 15 = 156⁰. המשמעות היא שכל זווית פנימית היא 156⁰, כעת באמצעות סרגל ומצפן, ניתן לבנות 15-גון רגיל. אבל מה לגבי n-gons מורכבים יותר? במשך מאות שנים, מדענים נאבקו לפתור בעיה זו. הוא נמצא רק במאה ה-18 על ידי קרל פרידריך גאוס. הוא הצליח לבנות 65537-gon. מאז, הבעיה נחשבת רשמית כפתורה לחלוטין.
חישוב זוויות של n-גונים ברדיאנים
כמובן, ישנן מספר דרכים למצוא את הפינות של מצולעים. לרוב הם מחושבים במעלות. אבל אתה יכול גם לבטא אותם ברדיאנים. איך לעשות את זה? יש צורך להמשיך כדלקמן. ראשית, אנו מוצאים את מספר הצלעות של מצולע רגיל, ואז נחסר ממנו 2. לכן, נקבל את הערך: n - 2. נכפיל את ההפרש שנמצא במספר n ("pi" \u003d 3.14). כעת נותר רק לחלק את המכפלה המתקבלת במספר הזוויות ב-n-gon. שקול את החישובים האלה באמצעות הדוגמה של אותו חמישה עשר צדדים. אז, המספר n הוא 15. הבה ניישם את הנוסחה S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. זו כמובן לא הדרך היחידה לחשב זווית ברדיאנים. אתה יכול פשוט לחלק את גודל הזווית במעלות במספר 57.3. אחרי הכל, כל כך הרבה מעלות שוות ערך לרדיאן אחד.
חישוב ערכן של זוויות במעלות
בנוסף למעלות ורדיאנים, אתה יכול לנסות למצוא את ערך הזוויות של מצולע רגיל בדרגות. זה נעשה בדרך הבאה. הפחיתו 2 ממספר הזוויות הכולל, חלקו את ההפרש המתקבל במספר הצלעות של מצולע רגיל. אנו מכפילים את התוצאה שנמצאה ב-200. אגב, יחידת מדידה כזו של זוויות כמעלות אינה משמשת למעשה.
חישוב פינות חיצוניות של n-gons
עבור כל מצולע רגיל, בנוסף לזה הפנימי, ניתן גם לחשב את הזווית החיצונית. ערכו נמצא באותו אופן כמו עבור דמויות אחרות. אז, כדי למצוא את הפינה החיצונית של מצולע רגיל, אתה צריך לדעת את הערך של הפנימי. יתר על כן, אנו יודעים שסכום שתי הזוויות הללו הוא תמיד 180 מעלות. לכן, אנו עושים את החישובים באופן הבא: 180⁰ פחות הערך של הזווית הפנימית. אנחנו מוצאים את ההבדל. הוא יהיה שווה לערך הזווית הסמוכה אליו. לדוגמה, הפינה הפנימית של ריבוע היא 90 מעלות, כך שהזווית החיצונית תהיה 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. כפי שאנו יכולים לראות, לא קשה למצוא אותו. הזווית החיצונית יכולה לקבל ערך מ-+180⁰ עד, בהתאמה, -180⁰.
מצולע הוא דמות גיאומטרית התחום מכל צדדיו בקו שבור סגור. במקרה זה, מספר הקישורים של הפוליליין לא צריך להיות פחות משלושה. לכל זוג מקטעי פולי-ליין יש נקודה משותפת ויוצרים זוויות. מספר הפינות, יחד עם מספר מקטעי הפוליקו, הם המאפיינים העיקריים של מצולע. בכל מצולע, מספר הקישורים של הפוליליין הסגור התוחם זהה למספר הפינות.
צלעות בגיאומטריה נקראות בדרך כלל קישורים של פוליליין המגביל עצם גיאומטרי. קודקודים הם נקודות המגע בין שני צדדים צמודים., לפי מספרם של מצולעים מקבלים את שמם.
אם קו שבור סגור מורכב משלושה קטעים, הוא נקרא משולש; בהתאמה, מארבעה מקטעים - מרובע, מחמישה - מחומש וכו'.
כדי לייעד משולש או מרובע, השתמש באותיות לטיניות גדולות המציינות את קודקודיו. אותיות נקראות לפי הסדר - בכיוון השעון או נגד כיוון השעון.
מושגי יסוד
בעת תיאור ההגדרה של מצולע, יש לקחת בחשבון כמה מושגים גיאומטריים קשורים:
- אם הקודקודים הם קצוות של אותה צד, הם נקראים שכנים.
- אם קטע מחבר קודקודים שאינם שכנים, אז הוא נקרא אלכסון. לא יכול להיות למשולש אלכסונים.
- זווית פנימית היא זווית באחד הקודקודים, שנוצרת משתי צלעותיה מתכנסות בנקודה זו. זה תמיד ממוקם באזור הפנימי של הדמות הגיאומטרית. אם המצולע אינו קמור, גודלו יכול לעלות על 180 מעלות.
- הזווית החיצונית בקודקוד מסוים היא הזווית הסמוכה לזווית הפנימית שבו. במילים אחרות, הזווית החיצונית יכולה להיחשב כהפרש בין 180° לערך הזווית הפנימית.
- סכום הערכים של כל הקטעים נקרא היקף.
- אם כל הצלעות וכל הזוויות שוות, זה נקרא נכון. רק קמורים יכולים להיות נכונים.
כפי שהוזכר לעיל, השמות של גיאומטריות מצולעות מבוססות על מספר הקודקודים. אם לדמות יש n מהם, היא נקראת n-gon:
- מצולע נקרא שטוח אם הוא מגביל את החלק הסופי של המישור. ניתן לרשום דמות גיאומטרית זו במעגל או לתחום סביב מעגל.
- n-gon נקרא קמור אם הוא עומד באחד מהתנאים שלהלן.
- הדמות ממוקמת בצד אחד של קו ישר המחבר בין שני קודקודים סמוכים.
- דמות זו משמשת כחלק משותף או צומת של מספר חצאי מישורים.
- האלכסונים ממוקמים בתוך המצולע.
- אם קצוות הקטע ממוקמים בנקודות השייכות למצולע, הקטע כולו שייך אליו.
- אפשר לקרוא לדמות רגילה אם כל המקטעים וכל הזוויות שלו שוות. דוגמאות הן ריבוע, משולש שווה צלעות או מחומש רגיל.
- אם n-גון אינו קמור, כל צלעותיו וזוויותיו שוות, והקודקודים עולים בקנה אחד עם אלו של n-גון רגיל, הוא נקרא כוכבי. לדמויות כאלה עשויות להיות צמתים עצמיים. דוגמה לכך תהיה פנטגרם או הקסגרמה.
- אומרים שמשולש או מרובע נרשמים במעגל כאשר כל הקודקודים שלו נמצאים בתוך אותו עיגול. אם לצדדים של דמות זו יש נקודות מגע עם המעגל, זהו מצולע המוקף סביב מעגל כלשהו.
כל ניתן לחלק n-גון קמור למשולשים. במקרה זה, מספר המשולשים קטן ממספר הצלעות ב-2.
סוגי דמויות
זהו מצולע עם שלושה קודקודים ושלושה קטעי קו המחברים ביניהם. במקרה זה, נקודות החיבור של הקטעים אינן שוכנות על קו ישר אחד.
נקודות החיבור של הקטעים הן קודקודים משולשים. הקטעים עצמם נקראים צלעות המשולש. הסכום הכולל של הזוויות הפנימיות של כל משולש הוא 180°.
לפי היחסים בין הצלעות, ניתן לחלק את כל המשולשים למספר סוגים:
- שְׁוֵה צְלָעוֹת- שבו אורך כל הקטעים זהה.
- שְׁוֵה שׁוֹקַיִםמשולשים שיש להם שניים מתוך שלושה קטעים שווים.
- מגוון- אם אורך כל הקטעים שונה.
בנוסף, נהוג להבחין בין המשולשים הבאים:
- זווית חדה.
- מַלבֵּנִי.
- קֵהֶה.
מְרוּבָּע
מרובע הוא דמות שטוחה שיש לה 4 קודקודים ו-4 קטעים המחברים אותם בסדרה.
- אם כל הפינות של מרובע הן זוויות ישרות, הדמות נקראת מלבן.
- מלבן שבו כל הצלעות באותו גודל נקרא ריבוע.
- מרובע שכל צלעותיו שוות נקרא מעוין.
שלושה קודקודים של מרובע אינם יכולים לשכב על אותו קו ישר.
וִידֵאוֹ
תוכל למצוא מידע נוסף על מצולעים בסרטון זה.
נושא: "מצולעים. סוגי מצולעים"
כיתה 9
SL №20
מורה: חריטונוביץ' ת.י.מטרת השיעור: חקר סוגי מצולעים.
משימת למידה:לעדכן, להרחיב ולהכליל את הידע של התלמידים במצולעים; ליצור רעיון של "מרכיבים" של מצולע; לערוך מחקר על מספר האלמנטים המרכיבים של מצולעים רגילים (ממשולש ל-n-גון);
משימת פיתוח:לפתח יכולת ניתוח, השוואה, הסקת מסקנות, פיתוח מיומנויות חישוביות, דיבור מתמטי בעל פה ובכתב, זיכרון, וכן עצמאות בחשיבה ופעילויות למידה, יכולת עבודה בזוגות ובקבוצות; לפתח פעילויות מחקר וחינוך;
משימה חינוכית:לטפח עצמאות, פעילות, אחריות למשימה שהוטלה עליה, התמדה בהשגת המטרה.
ציוד: לוח אינטראקטיבי (מצגת)
במהלך השיעורים
הצג מצגת: "מצולעים"
"הטבע מדבר בשפת המתמטיקה, האותיות של השפה הזו... דמויות מתמטיות." ג' גליליי
בתחילת השיעור הכיתה מחולקת לקבוצות עבודה (במקרה שלנו חלוקה ל-3 קבוצות)
1. התקשר לשלב-
א) עדכון הידע של התלמידים בנושא;
ב) התעוררות העניין בנושא הנלמד, המוטיבציה של כל תלמיד לפעילויות למידה.
קבלת פנים: המשחק "האם אתה מאמין ש...", ארגון עבודה עם טקסט.
צורות עבודה: פרונטלית, קבוצתית.
"האם אתה מאמין לזה…."
1. ... המילה "מצולע" מציינת שלכל הדמויות של המשפחה הזו יש "פינות רבות"?
2. …האם משולש שייך למשפחה גדולה של מצולעים הנבדלים ממגוון צורות גיאומטריות במישור?
3. …האם ריבוע הוא מתומן רגיל (ארבע צלעות + ארבע פינות)?
היום בשיעור נדבר על מצולעים. אנו למדים כי נתון זה מוגבל על ידי קו שבור סגור, אשר בתורו יכול להיות פשוט, סגור. בואו נדבר על העובדה שהמצולעים הם שטוחים, רגילים, קמורים. אחד המצלעים השטוחים הוא משולש שאתם מכירים כבר הרבה זמן (אפשר להראות לתלמידים פוסטרים המתארים מצולעים, קו שבור, להראות את סוגיהם השונים, אפשר גם להשתמש ב-TCO).
2. שלב ההבנה
מטרה: השגת מידע חדש, הבנתו, בחירתו.
קבלת פנים: מזגזג.
צורות עבודה: יחיד->זוג->קבוצה.
לכל קבוצה ניתן טקסט על נושא השיעור, והטקסט מעוצב כך שהוא כולל הן מידע שכבר ידוע לתלמידים והן מידע חדש לחלוטין. יחד עם הטקסט מקבלים התלמידים שאלות שאת התשובות עליהן יש למצוא בטקסט זה.
מצולעים. סוגי מצולעים.
מי לא שמע על משולש ברמודה המסתורי, שבו ספינות ומטוסים נעלמים ללא עקבות? אבל המשולש המוכר לנו מילדות רצוף בהרבה דברים מעניינים ומסתוריים.
בנוסף לסוגי המשולשים שכבר ידועים לנו, מחולקים לפי צלעות (סולם, שווה שוקיים, שווי צלעות) וזוויות (חדות זווית, קהה זווית, ישרה זווית), המשולש שייך למשפחה גדולה של מצולעים, המובחנים בין צורות גיאומטריות רבות ושונות במישור.
המילה "מצולע" מציינת שלכל הדמויות של משפחה זו יש "פינות רבות". אבל זה לא מספיק כדי לאפיין את הדמות.
קו שבור A1A2...An הוא דמות המורכבת מנקודות A1,A2,...An ומקטעים A1A2, A2A3,... המחברים ביניהם. הנקודות נקראות הקודקודים של הפוליליין, והקטעים נקראים הקישורים של הפוליליין. (איור 1)
קו שבור נקרא פשוט אם אין לו צמתים עצמיים (איור 2,3).
קו שבור נקרא סגור אם הקצוות שלו חופפים. אורכו של קו שבור הוא סכום אורכי החוליות שלו (איור 4)
קו שבור פשוט סגור נקרא מצולע אם הקישורים הסמוכים לו אינם מונחים על אותו קו ישר (איור 5).
תחליף במילה "מצולע" במקום בחלק "רבים" מספר מסוים, למשל 3. תקבל משולש. או 5. ואז - מחומש. שימו לב שישנן זוויות רבות כמו צלעות, כך שניתן לקרוא לדמויות אלו רב-צדדיות.
קודקודי הפוליגון נקראים קודקודי המצולע, וקישורי הפוליגון נקראים צלעות המצולע.
המצולע מחלק את המישור לשני אזורים: פנימי וחיצוני (איור 6).
מצולע מישור או אזור מצולע הוא חלק סופי של מישור התחום במצולע.
שני קודקודים של מצולע שהם קצוות של אותה צד נקראים שכנים. קודקודים שאינם קצוות של צד אחד אינם סמוכים.
מצולע בעל n קודקודים ולכן n צלעות נקרא n-גון.
אמנם המספר הקטן ביותר של צלעות של מצולע הוא 3. אבל משולשים, המתחברים זה לזה, יכולים ליצור צורות אחרות, שבתורן הן גם מצולעים.
קטעים המחברים קודקודים לא שכנים של מצולע נקראים אלכסונים.
מצולע נקרא קמור אם הוא נמצא בחצי מישור אחד ביחס לכל ישר המכיל את הצלע שלו. במקרה זה, הקו עצמו נחשב כשייך ל-HALF-PLANE
הזווית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית שנוצרת מהתכנסות צלעותיו בקודקוד זה.
בואו נוכיח את המשפט (על סכום הזוויות של n-גון קמור): סכום הזוויות של n-גון קמור שווה ל-1800*(n - 2).
הוכחה. במקרה n=3 המשפט תקף. תן А1А2…А n להיות מצולע קמור נתון ו-n>3. נצייר בו אלכסונים (מקודקוד אחד). מכיוון שהמצולע קמור, האלכסונים הללו מחלקים אותו ל-n - 2 משולשים. סכום הזוויות של המצולע זהה לסכום הזוויות של כל המשולשים הללו. סכום הזוויות של כל משולש הוא 1800, ומספר המשולשים הללו הוא n - 2. לכן, סכום הזוויות של n קמור - זווית A1A2 ... A n הוא 1800 * (n - 2). המשפט הוכח.
הזווית החיצונית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית הסמוכה לזווית הפנימית של המצולע בקודקוד זה.
מצולע קמור נקרא רגיל אם כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות.
אז הריבוע יכול להיקרא אחרת - מרובע רגיל. משולשים שווי צלעות הם גם סדירים. דמויות כאלה כבר מזמן מעניינות את המאסטרים שקישטו את הבניינים. הם הכינו דוגמאות יפות, למשל, על הפרקט. אבל לא כל המצלעים הרגילים יכולים לשמש ליצירת פרקט. לא ניתן ליצור פרקט מתומנים רגילים. העובדה היא שיש להם כל זווית שווה ל-1350. ואם כל נקודה היא הקודקוד של שני מתומנים כאלה, אז יהיו להם 2700, ואין מקום לתומן השלישי להתאים: 3600 - 2700 = 900. אבל עבור ריבוע זה מספיק. לכן אפשר לקפל את הפרקט מתומנים וריבועים רגילים.
הכוכבים נכונים. הכוכב המחומש שלנו הוא כוכב מחומש רגיל. ואם תסובב את הריבוע סביב המרכז ב-450, תקבל כוכב מתומן רגיל.
מה זה קו שבור? הסבירו מהם קודקודים וקישורים של פוליליין.
איזה קו שבור נקרא פשוט?
איזה קו שבור נקרא סגור?
מהו מצולע? איך קוראים לקודקודים של מצולע? מהן צלעותיו של מצולע?
מהו מצולע שטוח? תן דוגמאות למצולעים.
מה זה n-gon?
הסבר אילו קודקודים של המצולע סמוכים ואיזה לא.
מהו האלכסון של מצולע?
מהו מצולע קמור?
הסבר אילו פינות של המצולע הן חיצוניות ואילו הן פנימיות?
מהו מצולע רגיל? תן דוגמאות למצולעים רגילים.
מהו סכום הזוויות של n-גון קמור? הוכח זאת.
התלמידים עובדים עם הטקסט, מחפשים תשובות לשאלות שנשאלו, ולאחר מכן נוצרות קבוצות מומחים, שבהן מתבצעת עבודה על אותם נושאים: התלמידים מדגישים את העיקר, משרטטים תקציר תומך, מציגים מידע באחד מהשאלות. טפסים גרפיים. בתום העבודה התלמידים חוזרים לקבוצות העבודה שלהם.
3. שלב השתקפות -
א) הערכת הידע שלהם, אתגר לשלב הבא של הידע;
ב) הבנה וניכוס של המידע שהתקבל.
קבלת פנים: עבודת מחקר.
צורות עבודה: יחיד->זוג->קבוצה.
קבוצות העבודה מומחים בתשובות לכל אחד מהסעיפים בשאלות המוצעות.
בשובו לקבוצת העבודה, המומחה מציג בפני שאר חברי הקבוצה את התשובות לשאלותיהם. בקבוצה מתקיימים חילופי מידע של כל חברי קבוצת העבודה. כך, בכל קבוצת עבודה, הודות לעבודתם של מומחים, נוצר רעיון כללי על הנושא הנבדק.
עבודת מחקר של תלמידים- מילוי הטבלה.
מצולעים רגילים ציור מספר צלעות מספר קודקודים סכום כל הזוויות הפנימיות מידה של תואר פנימי. זווית מידת מעלות של זווית חיצונית מספר אלכסונים
א) משולש
ב) מרובע
ב) חמישה חורים
ד) משושה
ה) נ-גון
פתרון בעיות מעניינות בנושא השיעור.
1) כמה צלעות יש למצולע רגיל, שכל אחת מהזוויות הפנימיות שלו שווה ל-1350?
2) במצולע מסוים, כל הזוויות הפנימיות שוות זו לזו. האם סכום הזוויות הפנימיות של המצולע הזה יכול להיות: 3600, 3800?
3) האם ניתן לבנות מחומש עם זוויות של 100,103,110,110,116 מעלות?
מסכם את השיעור.
הקלטת שיעורי בית: STR66-72 מס' 15,17 ובעיה: במרובע, צייר ישיר כך שהיא תחלק אותו לשלושה משולשים.
השתקפות בצורת מבחנים (על לוח אינטראקטיבי)