הוכחת זהויות. יש הרבה מושגים במתמטיקה. אחד מהם הוא זהות.
- זהות היא שוויון המתקיים עבור כל ערכי המשתנים הכלולים בה.
אנחנו כבר יודעים כמה מהזהויות. לדוגמה, כל נוסחאות הכפל המקוצר הן זהויות.
להוכיח זהות- זה אומר לקבוע שלכל ערך קביל של המשתנים, הצד השמאלי שלו שווה לצד הימני.
ישנן מספר דרכים שונות להוכחת זהויות באלגברה.
דרכים להוכחת זהויות
- הצד השמאלי של הזהות.אם בסופו של דבר נקבל את הצד הנכון, אז הזהות נחשבת מוכחת.
- בצע טרנספורמציות שוות הצד הימני של הזהות.אם בסופו של דבר נקבל את הצד השמאלי, אז הזהות נחשבת מוכחת.
- בצע טרנספורמציות שוות צד שמאל וימין של הזהות.אם נקבל את אותה תוצאה כתוצאה מכך, אזי הזהות נחשבת מוכחת.
- הורידו את הצד השמאלי מהצד הימני של הזהות.
- הורידו את הצד הימני מהצד השמאלי של הזהות.אנו מבצעים טרנספורמציות שוות על ההבדל. ואם בסוף נקבל אפס, אז הזהות נחשבת מוכחת.
יש לזכור גם שהזהות תקפה רק עבור ערכים קבילים של משתנים.
כפי שאתה יכול לראות, יש הרבה דרכים. איזו דרך לבחור במקרה הספציפי הזה תלויה בזהות שאתה צריך להוכיח. ככל שתוכיחו זהויות שונות, יבוא ניסיון בבחירת שיטת ההוכחה.
בואו נסתכל על כמה דוגמאות פשוטות
דוגמה 1
הוכח את הזהות x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).
הַחְלָטָה.
מכיוון שיש ביטוי קטן בצד ימין, בואו ננסה לשנות את הצד השמאלי של השוויון.
- x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.
אנו מציגים מונחים דומים ומוציאים את הגורם המשותף מהסוגר.
- x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).
הגענו לכך שהצד השמאלי לאחר שהטרנספורמציות הפך להיות זהה לצד הימני. לכן, השוויון הזה הוא זהות.
דוגמה 2
הוכח את הזהות a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).
הַחְלָטָה.
בדוגמה זו, אתה יכול לעשות את הפעולות הבאות. בואו נפתח את הסוגריים בצד ימין של השוויון.
- (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.
אנו רואים שאחרי התמורות, הצד הימני של השוויון הפך להיות זהה לצד השמאלי של השוויון. לכן, השוויון הזה הוא זהות.
הרצאה מס' 3 הוכחת זהויות
מטרה: 1. לחזור על ההגדרות של זהות וביטויים שווים זהים.
2.הצג את המושג טרנספורמציה זהה של ביטויים.
3. הכפלה של פולינום בפולינום.
4. פירוק פולינום לגורמים בשיטת הקיבוץ.
מאי כל יום ובכל שעה
נקבל משהו חדש
תן למוח שלנו להיות טוב
והלב יהיה חכם!
יש הרבה מושגים במתמטיקה. אחד מהם הוא זהות.
זהות היא שוויון המתקיים עבור כל ערכי המשתנים הכלולים בה.אנחנו כבר יודעים כמה מהזהויות.
למשל, כולם נוסחאות כפל מקוצרתהם זהויות.
נוסחאות כפל מקוצרת
1. (א ± ב)2 = א 2 ± 2 אב + ב 2,
2. (א ± ב)3 = א 3 ± 3 א 2ב + 3אב 2 ± ב 3,
3. א 2 - ב 2 = (א - ב)(א + ב),
4. א 3 ± ב 3 = (א ± ב)(א 2 אב + ב 2).
להוכיח זהות- זה אומר לקבוע שלכל ערך קביל של המשתנים, הצד השמאלי שלו שווה לצד הימני.
ישנן מספר דרכים שונות להוכחת זהויות באלגברה.
דרכים להוכחת זהויות
- בצע טרנספורמציות שוות הצד השמאלי של הזהות.אם בסופו של דבר נקבל את הצד הנכון, אז הזהות נחשבת מוכחת. בצע טרנספורמציות שוות הצד הימני של הזהות.אם בסופו של דבר נקבל את הצד השמאלי, אז הזהות נחשבת מוכחת. בצע טרנספורמציות שוות צד שמאל וימין של הזהות.אם נקבל את אותה תוצאה כתוצאה מכך, אזי הזהות נחשבת מוכחת. הורידו את הצד השמאלי מהצד הימני של הזהות.אנו מבצעים טרנספורמציות שוות על ההבדל. ואם בסוף נקבל אפס, אז הזהות נחשבת מוכחת. הורידו את הצד הימני מהצד השמאלי של הזהות.אנו מבצעים טרנספורמציות שוות על ההבדל. ואם בסוף נקבל אפס, אז הזהות נחשבת מוכחת.
יש לזכור גם שהזהות תקפה רק עבור ערכים קבילים של משתנים.
כפי שאתה יכול לראות, יש הרבה דרכים. איזו דרך לבחור במקרה הספציפי הזה תלויה בזהות שאתה צריך להוכיח. ככל שתוכיחו זהויות שונות, יבוא ניסיון בבחירת שיטת ההוכחה.
זהות היא משוואה שמתמלאת באופן זהה, כלומר, היא תקפה לכל ערכים קבילים של המשתנים המרכיבים אותה. להוכיח זהות פירושו לקבוע כי עבור כל הערכים הקבילים של המשתנים, החלק השמאלי והימני שלו שווים.
דרכים להוכחת זהות:
1. הפוך את הצד השמאלי וקבל את הצד הימני כתוצאה מכך.
2. לבצע טרנספורמציות בצד ימין ולבסוף לקבל את הצד השמאלי.
3. בנפרד, החלק הימני והשמאלי עובר טרנספורמציה ומתקבל אותו ביטוי במקרה הראשון והשני.
4. חברו את ההבדל בין החלק השמאלי והימני וכתוצאה מהשינויים שלו, קבל אפס.
בואו נסתכל על כמה דוגמאות פשוטות
דוגמה 1להוכיח זהות x (a + b) + a (b-x) = b (a + x).
הַחְלָטָה.
מכיוון שיש ביטוי קטן בצד ימין, בואו ננסה לשנות את הצד השמאלי של השוויון.
x (a + b) + a (b-x) = x a + x b + a b - a x.
אנו מציגים מונחים דומים ומוציאים את הגורם המשותף מהסוגר.
x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).
הגענו לכך שהצד השמאלי לאחר שהטרנספורמציות הפך להיות זהה לצד הימני. לכן, השוויון הזה הוא זהות.
דוגמה 2הוכח את הזהות: א² + 7א + 10 = (א+5)(א+2).
הַחְלָטָה:
בדוגמה זו, אתה יכול לעשות את הפעולות הבאות. בואו נפתח את הסוגריים בצד ימין של השוויון.
(a+5) (a+2) = (a²) + 5 a +2 a +10 = a² + 7 a + 10.
אנו רואים שאחרי התמורות, הצד הימני של השוויון הפך להיות זהה לצד השמאלי של השוויון. לכן, השוויון הזה הוא זהות.
"החלפה של ביטוי אחד באחר שווה לו זהה נקראת טרנספורמציה זהה של הביטוי"
גלה איזה שוויון הוא זהות:
1. - (א - ג) \u003d - a - c;
2. 2 (x + 4) = 2x - 4;
3. (x - 5) (-3) \u003d - 3x + 15.
4. pxy (- p2 x2 y) = - p3 x3 y3.
"כדי להוכיח ששוויון כלשהו הוא זהות, או, כמו שאומרים, כדי להוכיח זהות, משתמשים בטרנספורמציות זהות של ביטויים"
השוויון נכון לכל ערכים של המשתנים, הנקראים זהות.להוכיח ששוויון כלשהו הוא זהות, או, כפי שאומרים אחרת, ל להוכיח זהות, השתמשו בטרנספורמציות זהות של ביטויים.
בואו נוכיח את הזהות:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 כתוצאה מכך שינוי זהותהצד השמאלי של הפולינום, השגנו את הצד הימני שלו וכך הוכחנו שהשוויון הזה הוא זהות.
ל הוכחות זהותלהפוך את הצד השמאלי שלו לצד ימין או את הצד הימני שלו לצד שמאל, או להראות שהצד השמאלי והימני של השוויון המקורי שווים באופן זהה לאותו ביטוי.
הכפלה של פולינום בפולינום
בוא נכפיל את הפולינום א+בלפולינום c + d. אנו מרכיבים את המכפלה של פולינומים אלה:
(א+ב)(ג+ד).
סמן את הבינומי א+במִכְתָב איקסולהפוך את המכפלה המתקבלת לפי כלל הכפלה של מונום בפולינום:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
בהבעה xc + xd.תחליף במקום איקספולינום א+בושוב השתמשו בכלל להכפלת מונום בפולינום:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
כך: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
תוצר של פולינומים א+בו c + dהצגנו בצורה של פולינום ac+bc+ad+bd. פולינום זה הוא סכום כל המונומים המתקבלים על ידי הכפלת כל איבר של הפולינום א+בעבור כל איבר בפולינום c + d.
תְפוּקָה:
המכפלה של כל שני פולינומים יכולה להיות מיוצגת כפולינום.
כְּלָל:
כדי להכפיל פולינום בפולינום, עליך להכפיל כל איבר של פולינום אחד בכל איבר של הפולינום השני ולהוסיף את התוצרים המתקבלים.
שימו לב שכאשר מכפילים פולינום המכיל Mמונחים על פולינום המכיל נחברים במוצר, לפני הפחתת חברים דומים, זה אמור להתברר מנחברים. זה יכול לשמש לשליטה.
פירוק פולינום לגורמים בשיטת הקיבוץ:
קודם לכן, הכרנו את הפירוק של פולינום לגורמים על ידי הוצאת הגורם המשותף מסוגריים. לפעמים אפשר לחלק פולינום לגורמים באמצעות שיטה אחרת - קיבוץ חבריו.
הפקטורון של הפולינום
ab - 2b + 3a - 6
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) לכל איבר של הביטוי המתקבל יש גורם משותף (a - 2). הבה נוציא את הגורם המשותף הזה בין סוגריים:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b + 3)(a - 2) כתוצאה מכך, חילקנו את הפולינום המקורי:
ab - 2b + 3a - 6 = (b + 3)(a - 2) השיטה שבה השתמשנו לחלוקת פולינום לגורמים נקראת דרך קיבוץ.
פירוק פולינום ab - 2b + 3a - 6ניתן להכפיל על ידי קיבוץ המונחים שלו בצורה שונה:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)
חזור:
1. דרכים להוכחת זהויות.
2. מה שנקרא טרנספורמציה זהה של ביטוי.
3. כפל פולינום בפולינום.
4. פקטוריזציה של פולינום בשיטת הקיבוץ
משוואות
איך פותרים משוואות?
בחלק זה, ניזכר (או נלמד - כמו שכל אחד אוהב) את המשוואות היסודיות ביותר. אז מהי משוואה? אם מדברים במונחים אנושיים, זהו סוג של ביטוי מתמטי, שבו יש סימן שווה ולא ידוע. מה שמסומן בדרך כלל באות "איקס". פתור את המשוואההוא למצוא ערכי x כאלה שכאשר מחליפים לתוך מְקוֹרִיביטוי, ייתן לנו את הזהות הנכונה. הרשו לי להזכיר לכם שזהות היא ביטוי שאינו מעורר ספקות אפילו לאדם שידע מתמטי אינו עמוס עליו לחלוטין. כמו 2=2, 0=0, ab=ab וכו'. אז איך פותרים משוואות?בוא נבין את זה.
יש כל מיני משוואות (הופתעתי, נכון?). אבל את כל המגוון האינסופי שלהם ניתן לחלק לארבעה סוגים בלבד.
4. אַחֵר.)
כל השאר, כמובן, יותר מכל, כן...) זה כולל מעוקב, ואקספוננציאלי, ולוגריתמי, וטריגונומטרי, ועוד כל מיני אחרים. נעבוד איתם בשיתוף פעולה הדוק בסעיפים הרלוונטיים.
אני חייב לומר מיד שלפעמים המשוואות של שלושת הסוגים הראשונים כל כך מפותלות עד שאתה לא מזהה אותן... כלום. נלמד איך לפרוק אותם.
ולמה אנחנו צריכים את ארבעת הסוגים האלה? ואז מה משוואות ליניאריותנפתר בדרך אחת כיכראחרים רציונל שבר - השלישי,א מנוחהלא נפתרה בכלל! ובכן, זה לא שהם לא מחליטים בכלל, פגעתי במתמטיקה לשווא.) פשוט יש להם טכניקות ושיטות מיוחדות משלהם.
אבל לכל אחד (אני חוזר - בשביל כל!) משוואות הן בסיס אמין וללא בעיות לפתרון. עובד בכל מקום ותמיד. הבסיס הזה - נשמע מפחיד, אבל העניין מאוד פשוט. ומאוד (מאוד!)חָשׁוּב.
למעשה, הפתרון של המשוואה מורכב מאותן טרנספורמציות. ב-99%. תענה לשאלות: " איך פותרים משוואות?" שקרים, רק בטרנספורמציות האלה. האם הרמז ברור?)
טרנספורמציות זהות של משוואות.
בְּ משוואות כלשהןכדי למצוא את הלא נודע, יש צורך לשנות ולפשט את הדוגמה המקורית. יתרה מכך, כך שכאשר משנים את המראה מהות המשוואה לא השתנתה.טרנספורמציות כאלה נקראות זֵהֶהאו שווה ערך.
שימו לב שהשינויים האלה הם רק בשביל המשוואות.במתמטיקה עדיין יש טרנספורמציות זהות ביטויים.זה נושא אחר.
כעת נחזור על הכל-הכל-הכל בסיסי טרנספורמציות זהות של משוואות.
בסיסי כי ניתן ליישם אותם כלמשוואות - ליניאריות, ריבועיות, חלקיות, טריגונומטריות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות וכו'. וכו '
טרנספורמציה זהה ראשונה: ניתן להוסיף (לחסר) את שני הצדדים של כל משוואה כל(אבל אותו דבר!) מספר או ביטוי (כולל ביטוי עם לא ידוע!). מהות המשוואה לא משתנה.
אגב, השתמשת כל הזמן בטרנספורמציה הזו, רק חשבת שאתה מעביר כמה מונחים מחלק אחד של המשוואה לאחר עם שינוי סימן. סוּג:
העניין מוכר, אנו מזיזים את הצמד ימינה ומקבלים:
בעצם אתה נלקחמשני הצדדים של המשוואה deuce. התוצאה זהה:
x+2 - 2 = 3 - 2
העברת המונחים לשמאל-ימין עם שינוי סימן היא פשוט גרסה מקוצרת של השינוי הזהה הראשון. ולמה אנחנו צריכים ידע כל כך עמוק? - אתה שואל. שום דבר במשוואות. תזיז את זה, למען השם. רק אל תשכח לשנות את השלט. אבל באי-שוויון, הרגל ההעברה יכול להוביל למבוי סתום....
שינוי זהות שני: ניתן להכפיל (לחלק) את שני הצדדים של המשוואה באותו לא אפסמספר או ביטוי. כבר מופיעה כאן מגבלה מובנת: זה טיפשי להכפיל באפס, אבל אי אפשר לחלק בכלל. זה השינוי שבו אתה משתמש כשאתה מחליט משהו מגניב כמו
מובן, איקס= 2. אבל איך מצאת את זה? בְּחִירָה? או סתם נדלק? כדי לא להרים ולחכות לתובנה, אתה צריך להבין שאתה צודק מחלקים את שני הצדדים של המשוואהב-5. כאשר מחלקים את הצד השמאלי (5x), החמישה צומצמו, והותירו X טהור. וזה מה שהיינו צריכים. וכאשר מחלקים את הצד הימני של (10) בחמש, זה התברר, כמובן, דוס.
זה הכל.
זה מצחיק, אבל שתי התמורות הזהות (רק שתיים!) הללו עומדות בבסיס הפתרון כל המשוואות של המתמטיקה.אֵיך! הגיוני להסתכל על דוגמאות של מה ואיך, נכון?)
דוגמאות לטרנספורמציות זהות של משוואות. בעיות עיקריות.
בוא נתחיל עם ראשוןטרנספורמציה זהה. זז שמאלה-ימין.
דוגמה לקטנטנים.)
נניח שעלינו לפתור את המשוואה הבאה:
3-2x=5-3x
בואו נזכור את הכישוף: "עם X - לשמאל, בלי X - לימין!"לחש זה הוא הוראה ליישום הטרנספורמציה של הזהות הראשונה.) מהו הביטוי עם האיקס בצד ימין? 3x? התשובה שגויה! מימיננו - 3x! מִינוּסשלושה x! לכן, במעבר שמאלה, השלט ישתנה לפלוס. לקבל:
3-2x+3x=5
אז, ה-X חוברו יחד. בוא נעשה את המספרים. שלושה משמאל. איזה שלט? התשובה "באין" לא מתקבלת!) מול המשולש, אכן לא מצויר כלום. וזה אומר שלפני המשולש הוא ועוד.אז המתמטיקאים הסכימו. לא כתוב כלום, אז ועוד.לכן, הטריפל יועבר לצד ימין עם מינוס.אנחנו מקבלים:
-2x+3x=5-3
נותרו חללים ריקים. משמאל - תן דומים, מימין - סופרים. התשובה היא מיד:
בדוגמה זו, די היה בטרנספורמציה אחת זהה. השני לא היה נחוץ. טוב בסדר.)
דוגמה לזקנים.)
אם אתה אוהב את האתר הזה...
אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)
אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)
אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.
§ 2. ביטויי זהות, זהות. שינוי זהות של ביטוי. הוכחות זהות
בואו נמצא את הערכים של הביטויים 2(x - 1) 2x - 2 עבור הערכים הנתונים של המשתנה x. נכתוב את התוצאות בטבלה:
ניתן להסיק שהערכים של הביטויים 2(x - 1) 2x - 2 עבור כל ערך נתון של המשתנה x שווים זה לזה. לפי התכונה החלוקה של הכפל ביחס לחיסור 2(x - 1) = 2x - 2. לכן, עבור כל ערך אחר של המשתנה x, גם הערך של הביטוי 2(x - 1) 2x - 2 יהיה שווים זה לזה. ביטויים כאלה נקראים שווים זהים.
לדוגמה, הביטויים 2x + 3x ו-5x הם מילים נרדפות, שכן עבור כל ערך של המשתנה x, ביטויים אלה מקבלים את אותם ערכים (זה נובע מהתכונה החלוקתית של הכפל ביחס לחיבור, שכן 2x + 3x \u003d 5x).
שקול כעת את הביטויים 3x + 2y ו-5xy. אם x \u003d 1 ו-b \u003d 1, אז הערכים המתאימים של ביטויים אלה שווים זה לזה:
3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
עם זאת, אתה יכול לציין ערכי x ו-y שעבורם הערכים של ביטויים אלה לא יהיו שווים זה לזה. לדוגמה, אם x = 2; y = 0, אם כן
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
כתוצאה מכך, ישנם ערכים כאלה של המשתנים שעבורם הערכים התואמים של הביטויים 3x + 2y ו-5xy אינם שווים זה לזה. לכן, הביטויים 3x + 2y ו-5xy אינם שווים זהים.
בהתבסס על האמור לעיל, זהויות, בפרט, הן שוויון: 2(x - 1) = 2x - 2 ו-2x + 3x = 5x.
זהות היא כל שוויון שמתעד תכונות ידועות של פעולות על מספרים. לדוגמה,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;
ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.
יש גם שוויון כמו זהויות:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
אם נצמצם מונחים דומים בביטוי -5x + 2x - 9, נקבל ש-5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. במקרה זה, הם אומרים שהביטוי 5x + 2x - 9 הוחלף בביטוי 7x - 9, שזהה לו.
טרנספורמציות זהות של ביטויים עם משתנים מבוצעות על ידי החלת תכונות של פעולות על מספרים. בפרט, טרנספורמציות זהות עם פתיחת סוגריים, בניית מונחים דומים וכדומה.
יש לבצע טרנספורמציות זהות בעת פישוט הביטוי, כלומר החלפת ביטוי כלשהו בביטוי השווה לו באופן זהה, שאמור להיות קצר יותר.
דוגמה 1. פשט את הביטוי:
1) -0.3 מ' ∙ 5n;
2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);
3) 2 + 5a - (א - 2ב) + (3ב - א).
1) -0.3 m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5 mn;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 איקס - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5א - א + 2 ב + 3 ב - א= 3a + 5b + 2.
כדי להוכיח ששוויון הוא זהות (במילים אחרות, כדי להוכיח זהות, משתמשים בטרנספורמציות זהות של ביטויים.
אתה יכול להוכיח את הזהות באחת מהדרכים הבאות:
- לבצע טרנספורמציות זהות של הצד השמאלי שלו, ובכך לצמצם אותו לצורת הצד הימני;
- לבצע טרנספורמציות זהות של הצד הימני שלו, ובכך לצמצם אותו לצורת הצד השמאלי;
- לבצע טרנספורמציות זהות של שני חלקיו, ובכך להעלות את שני החלקים לאותם ביטויים.
דוגמה 2. הוכח את הזהות:
1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;
2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.
התפתחות
1) בואו נשנה את הצד השמאלי של השוויון הזה:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - איקס- 5 - 11 = x - 16.
על ידי תמורות זהות הצטמצם הביטוי בצד שמאל של השוויון לצורת צד ימין ובכך הוכיח ששוויון זה הוא זהות.
2) בואו נשנה את הצד הימני של השוויון הזה:
5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10א - 15 ב - 14א + 35 ב= 20b - 4a.
על ידי תמורות זהות הצטמצם הצד הימני של השוויון לצורת הצד השמאלי ובכך הוכיח ששוויון זה הוא זהות.
3) במקרה זה, נוח לפשט את החלק השמאלי והימני של השוויון ולהשוות את התוצאות:
2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + פי 20- 28 \u003d 26x - 44;
13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.
על ידי טרנספורמציות זהות, הצטמצמו החלק השמאלי והימני של השוויון לאותה צורה: 26x - 44. לכן, שוויון זה הוא זהות.
אילו ביטויים נקראים זהים? תן דוגמה לביטויים זהים. איזה שוויון נקרא זהות? תן דוגמה לזהות. מה נקרא שינוי זהות של ביטוי? איך מוכיחים זהות?
- (בעל פה) או שיש ביטויים שווים זהים:
1) 2a + a ו-3a;
2) 7x + 6 ו-6 + 7x;
3) x + x + x ו-x 3;
4) 2(x - 2) ו-2x - 4;
5) m - n ו-n - m;
6) 2a ∙ r ו-2p ∙ a?
- האם הביטויים זהים זהים:
1) 7x - 2x ו-5x;
2) 5a - 4 ו-4 - 5a;
3) 4m + n ו-n + 4m;
4) a + a ו- a 2;
5) 3(א - 4) ו-3א - 12;
6) 5m ∙ n ו-5m + n?
- (מילולית) האם זהות השוויון:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7r - 1 = -1 + 7r;
3) 3(x - y) = 3x - 5y?
- סוגריים פתוחים:
- סוגריים פתוחים:
- צמצם מונחים כמו:
- ציין מספר ביטויים זהים לביטויים 2a + 3a.
- פשט את הביטוי באמצעות המאפיינים המתמירים והחיבורים של הכפל:
1) -2.5 x ∙ 4;
2) 4p ∙ (-1.5);
3) 0.2 x ∙ (0.3 גרם);
4)- x ∙<-7у).
- פשט את הביטוי:
1) -2p ∙ 3.5;
2) 7a ∙ (-1.2);
3) 0.2 x ∙ (-3y);
4) - 1 מ' ∙ (-3n).
- (מילולית) פשט את הביטוי:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a ∙ (-2b).
- צמצם מונחים כמו:
1) 56 - 8א + 4ב - א;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1.8 א + 1.9 ב + 2.8 א - 2.9 ב;
4) 5 - 7 שניות + 1.9 גרם + 6.9 שניות - 1.7 גרם.
1) 4(5x - 7) + 3x + 13;
2) 2(7 - 9א) - (4 - 18א);
3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- פתחו את הסוגריים והקטינו מונחים דומים:
1) 3(8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2(3p - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5 מ' - 7) - (15 מ' - 2).
1) 0.6x + 0.4(x - 20) אם x = 2.4;
2) 1.3 (2a - 1) - 16.4 אם a = 10;
3) 1.2 (מ - 5) - 1.8 (10 - מ'), אם m = -3.7;
4) 2x - 3(x + y) + 4y אם x = -1, y = 1.
- פשט את הביטוי ומצא את ערכו:
1) 0.7 x + 0.3(x - 4) אם x = -0.7;
2) 1.7 (y - 11) - 16.3, אם v \u003d 20;
3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1), אם a = -1;
4) 5(m - n) - 4m + 7n אם m = 1.8; n = -0.9.
- הוכח את הזהות:
1) - (2x - y) \u003d y - 2x;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) s - 2 = 5(s + 2) - 4(s + 3).
- הוכח את הזהות:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);
4) 4(מ' - 3) + 3(מ' + 3) = 7מ' - 3.
- אורכה של אחת מצלעות המשולש הוא ס"מ, ואורך כל אחת משתי הצלעות האחרות גדול ממנה ב-2 ס"מ. כתבו את היקף המשולש כביטוי ופשטו את הביטוי.
- רוחב המלבן הוא x ס"מ והאורך גדול ב-3 ס"מ מהרוחב. כתבו את היקף המלבן כביטוי ופשטו את הביטוי.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - מ') + 3n);
3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6а - ב) - (4 א - 33ב);
6) - (2.7 מ' - 1.5 נ') + (2 נ' - 0.48 מ').
- הרחב את הסוגריים ופשט את הביטוי:
1) א - (א - (3א - 1));
2) 12מ - ((א - מ') + 12א);
3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));
6) (2.1 א - 2.8 ב) - (1 א - 1 ב).
- הוכח את הזהות:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - גרם);
3) 3(א - ב - ג) + 5(א - ב) + 3ג = 8(א - ב).
- הוכח את הזהות:
1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);
2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- הוכח כי הערך של הביטוי
1.8(מ - 2) + 1.4(2 - מ') + 0.2(1.7 - 2 מ') אינו תלוי בערך המשתנה.
- הוכיחו שלכל ערך של המשתנה, הערך של הביטוי
a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)
הוא אותו מספר.
- הוכח שהסכום של שלושה מספרים זוגיים רצופים מתחלק ב-6.
- הוכח שאם n הוא מספר טבעי, אז הערך של הביטוי -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) הוא מספר זוגי.
תרגילים לחזור עליהם
- סגסוגת במשקל 1.6 ק"ג מכילה 15% נחושת. כמה ק"ג נחושת מכיל סגסוגת זו?
- כמה אחוז הוא המספר 20 שלו:
1) ריבוע;
- התייר הלך 2 שעות ורכב על אופניים 3 שעות. בסך הכל עבר התייר 56 ק"מ. מצא את המהירות שבה רכב התייר על אופניים אם היא 12 קמ"ש יותר מהמהירות שבה הלך.
משימות מעניינות לתלמידים עצלנים
- 11 קבוצות משתתפות באליפות העיר בכדורגל. כל קבוצה משחקת משחק אחד עם האחרות. תוכיח שבכל רגע של התחרות יש קבוצה ששיחקה מספר זוגי של משחקים או שעדיין לא שיחקה.
מטרת למידה:
לחזור על הגדרות המשוואה, זהויות;
ללמוד להבחין בין מושגי משוואה וזהות;
לזהות דרכים להוכחת זהויות;
חזור על השיטות של הבאת מונום לצורה סטנדרטית, הוספת פולינומים, הכפלת מונום בפולינום בעת הוכחת זהויות.
יעד פיתוח:
לפתח דיבור מתמטי מוכשר של תלמידים (להעשיר ולסבך את אוצר המילים בעת שימוש במונחים מתמטיים מיוחדים),
לפתח חשיבה: היכולת להשוות, לנתח, לצייר אנלוגיות, לחזות, להסיק מסקנות (בעת בחירת דרכים להוכחת זהויות);
לפתח את היכולת החינוכית והקוגניטיבית של התלמידים.
מטרה חינוכית:
לפתח את היכולת לעבוד בקבוצה, לתאם את פעילותם עם משתתפים אחרים בתהליך החינוכי;
לטפח סובלנות.
סוג שיעור: יישום מורכב של ידע.
שלבי השיעור: הכנה, יישום ידע, תוצאה.
גבול הידע - בורות:
יכול ליישם את הפעולות של הפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית;
חיבור פולינומים, כפל פולינום בפולינום.
להבחין בין מושגי משוואה וזהות;
לבצע את הוכחת הזהויות;
לבחור באופן רציונלי וליישם שיטות להוכחת זהויות.
עבודה קדמית
מילולי
חָזוּתִי
יישום ידע (הבטחת הטמעת ידע ושיטות פעולה חדשות ברמת היישום במצב למידה שונה)
מבוסס על הטרנספורמציות של החלק השמאלי והימני של הנתון
שוויון מתמטי, לזהות דרכים להוכחת זהויות;
זהה דרך רציונלית מהמוצעות וקבע את בחירת הפתרון הרציונלי לפי תנאי נתון של זהויות
עבודה קבוצתית
עבודה עצמאית
לחפש
מַעֲשִׂי
תוצאה (ניתוח והערכה של הצלחת השגת המטרה)
סיכום העבודה בשיעור בביצוע עבודה פרטנית, כאשר מוצע לבחור זהות מתוך השוויון המוצג ולהוכיח אותה בכל אחת מהדרכים המוצעות (רצוי רציונלית);
לאחר מכן התלמידים מעריכים בעצמם את עבודתם בשיעור לפי הקריטריונים שצוינו (מתחילת השיעור).
חֲזִיתִי
מילולי
מתווה שיעור (בקצרה):
1. שלב (הכנה)
שקול את הסימון המתמטי: (עבודה קדמית)
תלמידי כיתה ז', ככלל, מאמינים שזו משוואה, ובפתרונם הם מקבלים משוואה לינארית בצורה: 0 x \u003d 0, נכון עבור כל x.
לאחר מכן, המורה מראה עבודה של כיתה אחרת, והילדים עומדים בפני סתירה – בעבודה של כיתה אחרת התלמידים מוכיחים שזה אותו דבר.
תְפוּקָה: יש לשים לב לעובדה שאותו שוויון יכול להיחשב זהות וכמשוואה. זה תלוי בתנאי לעבודה הנתונה: אם נדרש לקבוע באיזה ערך של המשתנה מתקיים השוויון, אז זה- המשוואה. ואם אתה רוצה להוכיח שמתקיים שוויון עבור כל ערכים של המשתנים -זהות.
2. שלב (יישום)
מציאת דרכים להוכחת זהויות: (עבודה קבוצתית)
ביטוי שנכתב:
משימה מעשית בקבוצות לזיהוי דרכים להוכחת זהויות:
הקפידו על כללי העבודה בקבוצות (הם מודפסים על השלטים שמציב המורה במקומות העבודה של התלמידים)
על נייר Whatman, בעבודה משותפת, לבצע כמה טרנספורמציות לפי טכנולוגיה מסוימת המצוינת במשימה עבור הקבוצה ולהוכיח שהביטוי הנתון אינו תלוי בערכי המשתנים, כלומר מדובר בזהות;
ערכו הסבר על העבודה שנעשתה וסכמו: מהי השיטה הזו להוכחת זהויות;
קבוצה משימה 1:
העבר את הצד הימני של המשוואה לצד שמאל. הוכח שביטוי זה אינו תלוי בערך המשתנים.
קבוצת משימה 2:
הפוך את הצד השמאלי של המשוואה. הוכיחו שהוא שווה לימין, מה שאומר שביטוי זה אינו תלוי בערך המשתנים.
קבוצת משימה 3:
הפוך את הצד השמאלי והימני של המשוואה בו-זמנית. הוכח שהשוויון הזה אינו תלוי בערך המשתנים.
כאשר בוחנים את העבודה שנעשתה על ידי החבר'ה כדי להוכיח את הזהות, זה נוח לתאר את תוצאות השיטות המיושמות בצורה של דיאגרמות על גיליונות נייר נפרדים, עם מחוון מספר, כך שבעתיד, דיאגרמות אלה יכולות להיות משמש לא רק בזה, אלא גם בשיעורי אלגברה אחרים.
3. שלב (תוצאה)
א) זהויות לבחירת פתרון רציונלי: (עבודה קדמית)
5)
