סימנים, יסודות מרכיבים ותכונות של משולש שווה שוקיים

ההיסטוריונים הראשונים של הציוויליזציה שלנו - היוונים הקדמונים - מזכירים את מצרים כמקום הולדתה של הגיאומטריה. קשה לא להסכים איתם, לדעת באיזה דיוק מדהים הוקמו קברי הענק של הפרעונים. הסידור ההדדי של מישורי הפירמידות, הפרופורציות שלהם, הכיוון לנקודות הקרדינליות - לא יעלה על הדעת להשיג שלמות כזו מבלי לדעת את יסודות הגיאומטריה.

את עצם המילה "גיאומטריה" ניתן לתרגם כ"מדידה של כדור הארץ". יתרה מכך, המילה "אדמה" מופיעה לא ככוכב לכת - חלק ממערכת השמש, אלא כמישור. סימון אזורים לחקלאות, ככל הנראה, הוא הבסיס המקורי מאוד של המדע של צורות גיאומטריות, סוגיהן ותכונותיהן.

משולש הוא הדמות המרחבית הפשוטה ביותר של הפלנימטריה, המכילה רק שלוש נקודות - קודקודים (אין פחות). הבסיס של היסודות, אולי, הוא הסיבה לכך שמשהו מסתורי ועתיק נראה בו. העין הרואה כל בתוך משולש היא אחד הסימנים הנסתר המוקדמים ביותר הידועים, והגיאוגרפיה של תפוצתה ומסגרת הזמן שלה פשוט מדהימים. מתרבויות מצריות עתיקות, שומריות, אצטקיות ואחרות ועד לקהילות מודרניות יותר של אוהבי נסתר הפזורות ברחבי העולם.

מה זה משולשים

משולש בקנה מידה רגיל הוא דמות גיאומטרית סגורה, המורכבת משלושה מקטעים באורכים שונים ושלוש זוויות, שאף אחת מהן אינה ישרה. בנוסף לכך, ישנם מספר סוגים מיוחדים.

למשולש חד יש את כל הזוויות הנמוכות מ-90 מעלות. במילים אחרות, כל הזוויות של משולש כזה הן חדות.

למשולש ישר זווית, שתלמידי בית הספר בכו מעליו כל הזמן בגלל שפע המשפטים, יש זווית אחת עם ערך של 90 מעלות, או, כפי שהיא מכונה גם, ישרה.

משולש קהה נבדל בעובדה שאחת מהזוויות שלו היא קהה, כלומר ערכו הוא יותר מ-90 מעלות.

למשולש שווה צלעות יש שלוש צלעות באורך זהה. באיור כזה, גם כל הזוויות שוות.

ולבסוף, במשולש שווה שוקיים של שלוש צלעות, שתיים שוות זו לזו.

תכונות ייחודיות

התכונות של משולש שווה שוקיים קובעות גם את ההבדל העיקרי והעיקרי שלו - השוויון של שתי הצלעות. צדדים שווים אלה נקראים בדרך כלל הירכיים (או, לעתים קרובות יותר, הצדדים), אך הצד השלישי נקרא "הבסיס".

באיור הנדון, a = b.

הסימן השני של משולש שווה שוקיים נובע ממשפט הסינוס. מכיוון שהצלעות a ו-b שוות, גם הסינוסים של הזוויות ההפוכות שלהן שווים:

a/sin γ = b/sin α, משם יש לנו: sin γ = sin α.

משוויון הסינוסים נובע שוויון הזוויות: γ = α.

אז, הסימן השני של משולש שווה שוקיים הוא השוויון של שתי זוויות הסמוכות לבסיס.

סימן שלישי. במשולש, אלמנטים כמו גובה, חוצה וחציון מובחנים.

אם בתהליך פתרון הבעיה יתברר שבמשולש הנדון, כל שניים מהאלמנטים הללו עולים בקנה אחד: הגובה עם חצויה; חוצה עם חציון; חציון עם גובה - אנחנו בהחלט יכולים להסיק שהמשולש הוא שווה שוקיים.

תכונות גיאומטריות של דמות

1. תכונות של משולש שווה שוקיים. אחת התכונות הייחודיות של הדמות היא שוויון הזוויות הסמוכות לבסיס:

<ВАС = <ВСА.

2. תכונה נוספת שנידונה לעיל: החציון, החציו והגובה במשולש שווה שוקיים זהים אם הם בנויים מהחלק העליון שלו ועד הבסיס.

3. השוויון של חצויים הנמשכים מהקודקודים בבסיס:

אם AE הוא חוצה של זווית BAC ו-CD הוא חוצה של זווית BCA, אז: AE = DC.

4. התכונות של משולש שווה שוקיים מספקות גם את שוויון הגבהים הנמשכים מהקודקודים בבסיס.

אם נבנה את הגבהים של המשולש ABC (כאשר AB = BC) מהקודקודים A ו-C, אז הקטעים שיתקבלו CD ו-AE יהיו שווים.

5. גם החציונים הנמשכים מהפינות בבסיס יתבררו כשווים.

אז אם AE ו-DC הם חציונים, כלומר AD ​​= DB, ו-BE = EC, אז AE = DC.

גובה משולש שווה שוקיים

השוויון של הצלעות והזוויות בהן מציג כמה תכונות בחישוב אורכי האלמנטים של הדמות המדוברת.

הגובה במשולש שווה שוקיים מחלק את הדמות ל-2 משולשים ישרי זווית סימטריים, שהתחתונים שבהם הם הצלעות. הגובה במקרה זה נקבע על פי משפט פיתגורס, כרגל.

משולש יכול להיות כל שלוש הצלעות שוות, ואז הוא ייקרא שווי צלעות. הגובה במשולש שווה צלעות נקבע באופן דומה, רק לחישובים מספיק לדעת רק ערך אחד - אורך הצלע של משולש זה.

אתה יכול לקבוע את הגובה בדרך אחרת, למשל, לדעת את הבסיס ואת הזווית הסמוכה אליו.

חציון של משולש שווה שוקיים

סוג המשולש הנדון, בשל תכונות גיאומטריות, נפתר בפשטות על ידי סט מינימלי של נתונים ראשוניים. מכיוון שהחציון במשולש שווה שוקיים שווה הן לגובהו והן לחציו שלו, האלגוריתם לקביעתו אינו שונה מהסדר שבו מחושבים האלמנטים הללו.

לדוגמה, אתה יכול לקבוע את אורך החציון לפי הצלע הצדדית הידועה וערך הזווית בקודקוד.

כיצד לקבוע את ההיקף

מכיוון שלדמות הפלנימטרית הנבדקת יש שתי צלעות שוות תמיד, כדי לקבוע את ההיקף מספיק לדעת את אורך הבסיס ואורך אחת הצלעות.

שקול דוגמה כאשר אתה צריך לקבוע את ההיקף של משולש בהינתן הבסיס והגובה הידועים.

ההיקף שווה לסכום הבסיס וכפול מאורך הצלע. הצלע הצדדית, בתורה, נקבעת באמצעות משפט פיתגורס בתור התחתון של משולש ישר זווית. אורכו שווה לשורש הריבועי של סכום ריבוע הגובה וריבוע מחצית הבסיס.

שטח של משולש שווה שוקיים

אינו גורם, ככלל, לקשיים וחישוב השטח של משולש שווה שוקיים. הכלל האוניברסלי לקביעת שטחו של משולש כמחצית מכפלת הבסיס וגובהו ישים, כמובן, במקרה שלנו. עם זאת, התכונות של משולש שווה שוקיים שוב הופכות את המשימה לקלה יותר.

נניח שאנו יודעים את הגובה ואת הזווית הסמוכה לבסיס. אתה צריך לקבוע את השטח של הדמות. אתה יכול לעשות את זה בדרך זו.

מכיוון שסכום הזוויות של כל משולש הוא 180 מעלות, לא קשה לקבוע את גודל הזווית. יתרה מכך, באמצעות הפרופורציה שנקבעה על פי משפט הסינוס, נקבע אורך בסיס המשולש. הכל, בסיס וגובה - מספיק נתונים כדי לקבוע את השטח - זמינים.

תכונות אחרות של משולש שווה שוקיים

מיקום מרכז המעגל המוקף סביב משולש שווה שוקיים תלוי בזווית הקודקוד. לכן, אם משולש שווה שוקיים הוא בעל זווית חדה, מרכז המעגל ממוקם בתוך הדמות.

מרכז המעגל המוקף סביב משולש שווה שוקיים קהה נמצא מחוץ לו. ולבסוף, אם הזווית בקודקוד היא 90 מעלות, המרכז נמצא בדיוק באמצע הבסיס, וקוטר המעגל עובר דרך הבסיס עצמו.

כדי לקבוע את רדיוס מעגל המוקף על משולש שווה שוקיים, מספיק לחלק את אורך הצלע הצדדית בכפול הקוסינוס של חצי הזווית בקודקוד.

נושא השיעור

משולש שווה שוקיים

מטרת השיעור

הציגו לתלמידים את המשולש שווה שוקיים;
המשך ליצור את המיומנויות של בניית משולשים ישרים;
להרחיב את הידע של תלמידי בית הספר על תכונותיהם של משולשים שווה שוקיים;
לגבש ידע תיאורטי בפתרון בעיות.

מטרות השיעור

להיות מסוגל לנסח, להוכיח ולהשתמש במשפט על תכונות משולש שווה שוקיים בתהליך פתרון בעיות;
המשך פיתוח של תפיסה מודעת של חומר חינוכי, חשיבה לוגית, שליטה עצמית ומיומנויות הערכה עצמית;
לעורר עניין קוגניטיבי בשיעורי מתמטיקה;
לטפח פעילות, סקרנות וארגון.

מערך שיעור

1. מושגים והגדרות כלליים לגבי משולש שווה שוקיים.
2. תכונות של משולש שווה שוקיים.
3. סימנים של משולש שווה שוקיים.
4. שאלות ומשימות.

משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש לו שתי צלעות שוות, הנקראות צלעות של משולש שווה שוקיים, והצלע השלישית שלו נקראת בסיס.

החלק העליון של הדמות הזו הוא זה שנמצא מול הבסיס שלו.

הזווית שנמצאת מול הבסיס נקראת הזווית בקודקוד המשולש הזה, ושתי הזוויות האחרות נקראות הזוויות בבסיס המשולש שווה שוקיים.

סוגי משולשים שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים, כמו צורות אחרות, יכולים להיות סוגים שונים. משולשים שווה שוקיים כוללים משולשים חדים, ישרים, קהים ושווים צלעות.

למשולש חד יש את כל הזוויות החדות.
למשולש ישר זווית יש זווית בקודקוד שלו וזוויות חדות בבסיסו.
לקהות יש זווית קהה בקודקוד, וזוויות חדות בבסיסו.
לשווי צלעות כל הזוויות והצלעות שוות.

תכונות של משולש שווה שוקיים

זוויות מנוגדות ביחס לצלעות השוות של משולש שווה שוקיים שוות זו לזו;

חצויים, חציונים וגבהים הנמשכים מזוויות מול צלעות שוות של משולש שווים זה לזה.

החציון, החציון והגובה, מכוונים ונמשכים לבסיס המשולש, חופפים זה לזה.

המרכזים של העיגולים הכתובים והמוקפים נמצאים בגובה, חוצה וחציון, (הם חופפים) נמשכים לבסיס.

הזוויות מול הצלעות השוות של משולש שווה שוקיים הן תמיד חדות.

תכונות אלו של משולש שווה שוקיים משמשות בפתרון בעיות.

שיעורי בית

1. הגדירו משולש שווה שוקיים.
2. מהי הייחודיות של המשולש הזה?
3. מה ההבדל בין משולש שווה שוקיים למשולש ישר זווית?
4. תן שם למאפיינים של משולש שווה שוקיים המוכרים לך.
5. האם לדעתך ניתן בפועל לבדוק את שוויון הזוויות בבסיס ואיך עושים זאת?

המשימה

ועכשיו בואו נערוך חידון קצר ונגלה כיצד למדתם את החומר החדש.

הקשיבו היטב לשאלות וענו האם המשפט הבא נכון:

1. האם משולש יכול להיחשב שווה שוקיים אם שתי צלעותיו שוות?
2. חוצה הוא קטע המחבר את קודקוד המשולש עם נקודת האמצע של הצלע הנגדית?
3. האם חוצה הוא קטע המחלק את הזווית החוצה קודקוד עם נקודה בצד הנגדי?

טיפים לפתרון בעיות משולשים שווה שוקיים:

1. כדי לקבוע את היקף משולש שווה שוקיים, מספיק להכפיל את אורך הצלע ב-2 ולהוסיף את המכפלה הזו לאורך בסיס המשולש.
2. אם ההיקף ואורך הבסיס של משולש שווה שוקיים ידועים בבעיה, אז כדי למצוא את אורך הצלע הצדדית, מספיק להחסיר את אורך הבסיס מההיקף ולחלק את ההפרש שנמצא ב- 2.
3. וכדי למצוא את אורך הבסיס של משולש שווה שוקיים, לדעת גם את היקף הצלע וגם את אורך הצלע, צריך רק להכפיל את הצלע בשניים ולהחסיר את המכפלה הזו מהיקף המשולש שלנו.

משימות:

1. בין המשולשים באיור, קבע אחד נוסף והסבר את בחירתך:

2. קבעו אילו מהמשולשים המוצגים באיור הם שווה שוקיים, תנו שמות של הבסיסים והצלעות שלהם, וכן חשבו את ההיקף שלהם.

3. היקף משולש שווה שוקיים הוא 21 ס"מ. מצא את הצלעות של משולש זה אם אחת מהן גדולה ב-3 ס"מ. כמה פתרונות יכולים להיות לבעיה זו?

4. ידוע שאם הצלע הצדדית והזווית הפוכה לבסיס של משולש שווה שוקיים אחד שוות לצלע הצדדית ולזווית של השני, אז המשולשים הללו יהיו שווים. תוכיח את האמירה הזו.

5. חשבו ותגידו, האם כל משולש שווה שוקיים הוא שווה צלעות? והאם כל משולש שווה שוקיים יהיה שווה שוקיים?

6. אם צלעותיו של משולש שווה שוקיים הן 4 מ' ו-5 מ', אז מה יהיה היקפו? כמה פתרונות יכולים להיות לבעיה הזו?

7. אם אחת מהזוויות של משולש שווה שוקיים שווה ל-91 מעלות, אז למה שוות שאר הזוויות?

8. חשבו וענו, אילו זוויות צריכות להיות למשולש כדי שיהיה גם מלבני וגם שווה שוקיים בו זמנית?

האם אתה יודע מהו המשולש של פסקל? המשולש של פסקל מתבקש לעתים קרובות לבדוק מיומנויות תכנות בסיסיות. באופן כללי, המשולש של פסקל מתייחס לקומבינטוריקה ולתורת ההסתברות. אז מה זה המשולש הזה?

המשולש של פסקל הוא משולש אריתמטי אינסופי או טבלה בצורת משולש שנוצרת באמצעות מקדמים בינומיים. במילים פשוטות, הקודקוד והצלעות של המשולש הזה הם יחידות, והוא מלא בסכומים של שני המספרים שנמצאים מעל. אפשר להוסיף משולש כזה עד אינסוף, אבל אם מתווים אותו, אז נקבל משולש שווה שוקיים עם קווים סימטריים על הציר האנכי שלו.

תחשוב איפה בחיי היומיום היית צריך לפגוש משולשים שווה שוקיים? האין זה נכון שגגות בתים ומבנים אדריכליים עתיקים מזכירים אותם מאוד? וזכרו, מהו הבסיס של הפירמידות המצריות? איפה עוד ראית משולשים שווה שוקיים?

משולשים שווה שוקיים מימי קדם עזרו ליוונים ולמצרים בקביעת מרחקים וגבהים. כך, למשל, היוונים הקדמונים השתמשו בו כדי לקבוע מרחוק את המרחק לספינה בים. והמצרים הקדמונים קבעו את גובה הפירמידות שלהם בשל אורך הצל המוטל, כי. זה היה משולש שווה שוקיים.

מאז ימי קדם, אנשים כבר העריכו את היופי והמעשיות של דמות זו, שכן צורות המשולשים מקיפות אותנו בכל מקום. עוברים דרך כפרים שונים, אנו רואים גגות של בתים ומבנים אחרים שמזכירים לנו משולש שווה שוקיים, נכנסים לחנות, רואים אריזות מזון ומיצים בצורת משולש, ואפילו כמה פנים אנושיות יש צורה של משולש. הדמות הזו כל כך פופולרית שאפשר למצוא אותה בכל פינה.

מקצועות > מתמטיקה > מתמטיקה כיתה ז'

אופציה 1

1. משולש נקרא scalene ...

2. הבסיס של משולש שווה שוקיים נקרא ...

4. משולש UVW-שְׁוֵה שׁוֹקַיִם, וו-הבסיס שלו, אז הזוויות שוות...

5. במשולש שווה שוקיים, חוט הקצה נמשך לבסיס, ...

6. אם במשולש שתי זוויות שוות, אז ...

אפשרות 2

1. המשולש נקרא שווה שוקיים ...

2. הצלעות של משולש שווה שוקיים נקראות ...

3. המשולש נקרא שווה צלעות ...

4. משולש RST- שווה שוקיים, RSו רחוב-הצדדים שלו, אז הזוויות שוות...

5. במשולש שווה שוקיים, הזוויות בבסיס ...

6. הגובה ירד לבסיס משולש שווה שוקיים, ...

הסימן השלישי לשוויון משולשים

אופציה 1

1. הסימן השני לשוויון המשולשים הוא ש...

2. המשולש נקרא שווה שוקיים ...

3. הסימן של משולש שווה שוקיים הוא ש...

4. במשולש האלכסונים...

5. קורה שונה מקו ישר בכך ש...

6. כדי להוכיח שוויון של שני משולשים שווה שוקיים לפי הקריטריון השלישי לשוויון משולשים, צריך לבדוק ...

אפשרות 2

1. הסימן הראשון לשוויון משולשים הוא ש...

2. הסימן השלישי לשוויון המשולשים הוא ש...

3. המשולש נקרא ישר ...

4. ברבע האלכסונים ...

5. קרן שונה מקטע בכך ש...

6. כדי להוכיח שוויון של שני משולשים שווי צלעות לפי הקריטריון השלישי לשוויון משולשים, צריך לבדוק ...

מערכת יחסים בין הצדדים

ופינות המשולש

אופציה 1

1. שתי זוויות נקראות אנכי...

2. הזווית החיצונית של משולש נקראת ...

3. למשולש יש זוויות פנימיות...

4. פינה חיצונית של משולש שרירותי ...

5. במשולש שרירותי כנגד זווית גדולה יותר ...

אפשרות 2

1. שתי זוויות נקראות סמוכות ...

2. הזווית הפנימית של משולש נקראת ...

3. למשולש יש פינות חיצוניות...

4. במשולש שרירותי כנגד הצלע הגדולה יותר ...

5. במשולש שרירותי כנגד זווית קטנה יותר ...

5. אם במשולש שלוש זוויות שוות, אז המשולש ...

מערכת יחסים בין הצדדים

משולש

אופציה 1

1. כל צד של המשולש ...

2. אורך הקטע המחבר את קצוות הקו השבור, ...

3. במשולש שרירותי כנגד הצלע הגדולה יותר ...

4. במשולש שרירותי מול זווית קטנה יותר ...

5. המשפט "במשולש שווה שוקיים, הזוויות בבסיס שוות" היא ...

אפשרות 2

1. אי השוויון במשולש הוא ש...

2. במצולע, כל צד ...

3. במשולש שרירותי כנגד זווית גדולה יותר ...

4. במשולש שרירותי כנגד הצלע הקטנה יותר ...

5. המשפט "אם שתי זוויות שוות במשולש, אז הוא שווה שוקיים" הוא ...

התכונות של משולש שווה שוקיים מבטאות את המשפטים הבאים.

משפט 1. במשולש שווה שוקיים, הזוויות בבסיס שוות.

משפט 2. במשולש שווה שוקיים, החציון הנמשך לבסיס הוא החציון והגובה.

משפט 3. במשולש שווה שוקיים, החציון הנמשך לבסיס הוא חוצה וגובה.

משפט 4. במשולש שווה שוקיים, הגובה הנמשך לבסיס הוא החציון והחציון.

הבה נוכיח אחד מהם, למשל, משפט 2.5.

הוכחה. חשבו על משולש שווה שוקיים ABC עם בסיס BC והוכיחו כי ∠ B = ∠ C. תנו ל-AD להיות חוצה משולש ABC (איור 1). משולשים ABD ו-ACD שווים לפי הסימן הראשון של שוויון משולשים (AB = AC לפי תנאי, AD היא הצלע המשותפת, ∠ 1 = ∠ 2, מכיוון ש- AD ​​הוא חוצה). מהשוויון של המשולשים הללו עולה כי ∠ B = ∠ C. המשפט מוכח.

בעזרת משפט 1, אנו קובעים את המשפט הבא.

משפט 5. הקריטריון השלישי לשוויון משולשים. אם שלוש צלעות של משולש אחד שוות בהתאמה לשלוש צלעות של משולש אחר, אז משולשים כאלה שווים (איור 2).

תגובה. המשפטים שנקבעו בדוגמאות 1 ו-2 מבטאים את המאפיינים של חוצה הניצב לקטע. מהצעות אלו עולה כי חצויים הניצבים של צלעות משולש חותכים בנקודה אחת.

דוגמה 1הוכח שנקודת המישור שנמצאת במרחק שווה מקצות הקטע נמצאת על חוצה הניצב לקטע זה.

הַחְלָטָה. תן לנקודה M להיות במרחק שווה מקצוות הקטע AB (איור 3), כלומר AM = VM.

אז ΔAMV הוא שווה שוקיים. הבה נצייר קו p דרך הנקודה M ונקודת האמצע O של הקטע AB. לפי הבנייה, הקטע MO הוא החציון של המשולש שווה שוקיים AMB, ולכן (משפט 3), והגובה, כלומר הישר MO, הוא החציו הניצב לקטע AB.

דוגמה 2הוכח שכל נקודה של חוצה הניצב של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו.

הַחְלָטָה. תנו ל-p להיות החציו הניצב לקטע AB ונקודה O תהיה נקודת האמצע של הקטע AB (ראה איור 3).

שקול נקודה שרירותית M המונחת על הקו ע. בואו נצייר קטעים AM ו-VM. המשולשים AOM ו-VOM שווים, מכיוון שהזוויות שלהם בקודקוד O ישרות, הרגל OM משותפת, והרגל OA שווה לרגל OB לפי תנאי. משוויון המשולשים AOM ו-BOM יוצא ש-AM = BM.

דוגמה 3במשולש ABC (ראה איור 4) AB \u003d 10 ס"מ, BC \u003d 9 ס"מ, AC \u003d 7 ס"מ; במשולש DEF DE = 7 ס"מ, EF = 10 ס"מ, FD = 9 ס"מ.

השוו בין משולשים ABC ו-DEF. מצא זוויות שוות בהתאם.

הַחְלָטָה. משולשים אלו שווים בקריטריון השלישי. בהתאם לכך, זוויות שוות: A ו-E (הן נמצאות מול הצלעות השוות BC ו-FD), B ו-F (הן נמצאות מול הצלעות השוות AC ו-DE), C ו-D (הן נמצאות מול הצלעות השוות AB ו-EF).

דוגמה 4באיור 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

מצא זווית D.

הַחְלָטָה. שקול את המשולשים ABC ו-ADC. הם שווים בתכונה השלישית (AB = DC, BC = AD לפי תנאי והצד AC שכיח). מהשוויון של המשולשים הללו עולה ש- ∠ B = ∠ D, אך הזווית B היא 100°, ומכאן שזווית D היא 100°.

דוגמה 5במשולש שווה שוקיים ABC עם בסיס AC, הזווית החיצונית בקודקוד C היא 123°. מצא את הזווית ABC. תן את תשובתך במעלות.

פתרון וידאו.