פתרון משוואות שברים. משוואות שברים-רציונליות. אלגוריתם פתרון

"משוואות רציונליות עם פולינומים" הוא אחד הנושאים הנפוצים ביותר במבחני USE במתמטיקה. מסיבה זו, יש לתת תשומת לב מיוחדת לחזרה שלהם. תלמידים רבים מתמודדים עם הבעיה של מציאת המבדיל, העברת מחוונים מצד ימין לצד שמאל והבאת המשוואה למכנה משותף, המקשה על ביצוע מטלות כאלה. פתרון משוואות רציונליות לקראת הבחינה באתר שלנו יעזור לך להתמודד במהירות עם משימות בכל מורכבות ולעבור את המבחן בצורה מושלמת.

בחרו בפורטל החינוכי "שקולקובו" להכנה מוצלחת לבחינה המאוחדת במתמטיקה!

כדי לדעת את הכללים לחישוב לא ידועים ולקבל בקלות את התוצאות הנכונות, השתמש בשירות המקוון שלנו. פורטל שקולקובו הוא פלטפורמה מיוחדת במינה בה נאספים החומרים הדרושים להכנה לבחינה. המורים שלנו ערכו שיטתיות והציגו בצורה מובנת את כל הכללים המתמטיים. בנוסף, אנו מזמינים את תלמידי בית הספר לנסות את כוחם בפתרון משוואות רציונליות טיפוסיות, שבסיסן מתעדכן ומשלים כל הזמן.

להכנה יעילה יותר לבדיקה, אנו ממליצים לפעול לפי השיטה המיוחדת שלנו ולהתחיל בחזרה על הכללים ובפתרון בעיות פשוטות, ובהדרגה עוברים למורכבות יותר. כך יוכל הבוגר להדגיש לעצמו את הנושאים הקשים ביותר ולהתמקד בלימודם.

התחילו להתכונן לבדיקה הסופית עם שקולקובו עוד היום, והתוצאה לא תמשיך לחכות! בחר את הדוגמה הקלה ביותר מבין אלה שניתנו. אם שלטת במהירות בביטוי, המשך למשימה קשה יותר. כך שתוכל לשפר את הידע שלך עד לפתרון משימות USE במתמטיקה ברמת הפרופיל.

השכלה זמינה לא רק לבוגרים ממוסקבה, אלא גם לתלמידי בתי ספר מערים אחרות. הקדישו כמה שעות ביום ללימוד בפורטל שלנו, למשל, ובקרוב מאוד תוכלו להתמודד עם משוואות בכל מורכבות!

המכנה המשותף הכי פחות משמש כדי לפשט את המשוואה הזו.שיטה זו משמשת כאשר אינך יכול לכתוב את המשוואה הנתונה עם ביטוי רציונלי אחד בכל צד של המשוואה (והשתמש בשיטת הכפל הצלב). שיטה זו משמשת כאשר ניתנת לך משוואה רציונלית עם 3 שברים או יותר (במקרה של שני שברים, כפל צולב עדיף).

מצא את המכנה המשותף הפחות משותף של שברים (או כפולה משותפת לפחות). NOZ הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק באופן שווה בכל מכנה.

• לפעמים NOZ הוא מספר ברור. לדוגמה, אם המשוואה ניתנת: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, אז ברור שהכפולה הפחות משותפת של המספרים 3, 2 ו-6 תהיה 6.
• אם ה-NOD אינו ברור, רשום את הכפולות של המכנה הגדול ביותר ומצא ביניהם אחד שהוא גם כפולה של המכנהים האחרים. לעתים קרובות אתה יכול למצוא את ה-NOD פשוט על ידי הכפלת שני מכנים יחד. לדוגמה, אם ניתנת המשוואה x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, אז NOZ = 8*9 = 72.
• אם מכנה אחד או יותר מכיל משתנה, אז התהליך קצת יותר מסובך (אך לא בלתי אפשרי). במקרה זה, ה-NOZ הוא ביטוי (המכיל משתנה) המתחלק בכל מכנה. לדוגמה, במשוואה 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), מכיוון שהביטוי הזה מתחלק בכל מכנה: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

הכפל את המונה והמכנה של כל שבר במספר השווה לתוצאה של חלוקת ה-NOZ במכנה המתאים של כל שבר. מכיוון שאתה מכפיל את המונה והמכנה באותו מספר, אתה למעשה מכפיל שבר ב-1 (לדוגמה, 2/2 = 1 או 3/3 = 1).

• אז בדוגמה שלנו, הכפלו את x/3 ב-2/2 כדי לקבל 2x/6, והכפילו 1/2 ב-3/3 כדי לקבל 3/6 (אין צורך להכפיל 3x + 1/6 כי המכנה הוא 6).
• המשך באופן דומה כאשר המשתנה נמצא במכנה. בדוגמה השנייה שלנו NOZ = 3x(x-1), כך ש-5/(x-1) כפול (3x)/(3x) הוא 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x כפול 3(x-1)/3(x-1) כדי לקבל 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) תכפילו ב-(x-1)/(x-1) ותקבלו 2(x-1)/3x(x-1).

מצא את x.כעת, לאחר שצמצמת את השברים למכנה משותף, תוכל להיפטר מהמכנה. כדי לעשות זאת, הכפל כל צד של המשוואה במכנה משותף. לאחר מכן פתור את המשוואה שהתקבלה, כלומר, מצא "x". כדי לעשות זאת, יש לבודד את המשתנה בצד אחד של המשוואה.

• בדוגמה שלנו: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. אתה יכול להוסיף 2 שברים עם אותו מכנה, אז כתוב את המשוואה כך: (2x+3)/6=(3x+1)/6. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב-6 והיפטר מהמכנים: 2x+3 = 3x +1. פתור וקבל x = 2.
• בדוגמה השנייה שלנו (עם משתנה במכנה), המשוואה נראית כך (לאחר הפחתה למכנה משותף): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). על ידי הכפלת שני הצדדים של המשוואה ב-NOZ, אתה נפטר מהמכנה ומקבל: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), או 15x = 3x - 3 + 2x -2, או 15x = x - 5 פתור וקבל: x = -5/14.

מטרות השיעור:

הדרכה:

• היווצרות המושג של משוואות רציונליות שברים;
• לשקול דרכים שונות לפתרון משוואות רציונליות שברים;
• לשקול אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שברים, כולל התנאי שהשבר שווה לאפס;
• ללמד את הפתרון של משוואות רציונליות שבריות לפי האלגוריתם;
• בדיקת רמת ההטמעה של הנושא על ידי ביצוע עבודת מבחן.

מתפתח:

• פיתוח היכולת לפעול נכון עם הידע הנרכש, לחשוב בהיגיון;
• פיתוח מיומנויות אינטלקטואליות ופעולות מנטליות - ניתוח, סינתזה, השוואה והכללה;
• פיתוח יוזמה, יכולת לקבל החלטות, לא לעצור שם;
• פיתוח חשיבה ביקורתית;
• פיתוח מיומנויות מחקר.

טיפוח:

• חינוך לעניין קוגניטיבי בנושא;
• חינוך לעצמאות בפתרון בעיות חינוכיות;
• חינוך של רצון והתמדה להשגת התוצאות הסופיות.

סוג שיעור: שיעור - הסבר על חומר חדש.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני.

היי ח'ברה! משוואות כתובות על הלוח, הסתכלו עליהן היטב. האם אתה יכול לפתור את כל המשוואות הללו? אילו מהם לא ומדוע?

משוואות שבהן הצד השמאלי והימני הם ביטויים רציונליים שברים נקראות משוואות רציונליות שברים. מה לדעתך נלמד היום בשיעור? נסחו את נושא השיעור. אז, אנו פותחים מחברות ורושמים את נושא השיעור "פתרון משוואות רציונליות שבריריות".

2. מימוש ידע. סקר פרונטלי, עבודה בעל פה עם הכיתה.

ועכשיו נחזור על החומר התיאורטי העיקרי שאנו צריכים כדי ללמוד נושא חדש. אנא ענו על השאלות הבאות:

1. מהי משוואה? ( שוויון עם משתנה או משתנים.)
2. איך קוראים למשוואה מס' 1? ( ליניארי.) שיטה לפתרון משוואות ליניאריות. ( הזיזו כל דבר עם הלא נודע לצד שמאל של המשוואה, כל המספרים ימינה. תביא מונחים דומים. מצא את המכפיל הלא ידוע).
3. איך קוראים למשוואה 3? ( כיכר.) שיטות לפתרון משוואות ריבועיות. ( בחירת הריבוע המלא, לפי נוסחאות, תוך שימוש במשפט Vieta והשלכותיו.)
4. מה זה פרופורציה? ( שוויון בין שני יחסים.) התכונה העיקרית של פרופורציה. ( אם הפרופורציה נכונה, אז המכפלה של האיברים הקיצוניים שלו שווה למכפלת האיברים האמצעיים.)
5. אילו תכונות משמשות לפתרון משוואות? ( 1. אם במשוואה נעביר את האיבר מחלק אחד למשנהו, משנים את הסימן שלו, אז נקבל משוואה שווה ערך לנתון. 2. אם שני חלקי המשוואה מוכפלים או מחולקים באותו מספר שאינו אפס, אזי תתקבל משוואה ששווה לנתון.)
6. מתי שבר שווה לאפס? ( שבר הוא אפס כאשר המונה הוא אפס והמכנה אינו אפס.)

3. הסבר על חומר חדש.

פתרו משוואה מס' 2 במחברות ובלוח.

תשובה: 10.

איזו משוואה רציונלית שברית אתה יכול לנסות לפתור באמצעות התכונה הבסיסית של פרופורציה? (מס' 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

פתרו משוואה מס' 4 במחברות ובלוח.

תשובה: 1,5.

איזו משוואה רציונלית שברית אתה יכול לנסות לפתור על ידי הכפלת שני הצדדים של המשוואה במכנה? (מס' 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

תשובה: 3;4.

כעת נסו לפתור את משוואה מס' 7 באחת הדרכים.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
תשובה: 0;5;-2.			תשובה: 5;-2.

תסביר למה זה קרה? מדוע ישנם שלושה שורשים במקרה אחד ושניים במקרה השני? אילו מספרים הם השורשים של המשוואה הרציונלית השברית הזו?

עד עכשיו התלמידים לא פגשו את המושג של שורש זר, באמת קשה להם מאוד להבין למה זה קרה. אם אף אחד בכיתה לא יכול לתת הסבר ברור למצב זה, אז המורה שואל שאלות מובילות.

• במה שונות משוואות מס' 2 ו-4 ממשוואות מס' 5,6,7? ( במשוואות מס' 2 ו-4 במכנה המספר מס' 5-7 - ביטויים עם משתנה.)
• מהו שורש המשוואה? ( הערך של המשתנה שבו המשוואה הופכת לשוויון אמיתי.)
• איך לגלות אם מספר הוא השורש של משוואה? ( תעשה בדיקה.)

בעת ביצוע מבחן, חלק מהתלמידים שמים לב שעליהם לחלק באפס. הם מסיקים שהמספרים 0 ו-5 אינם שורשי המשוואה הזו. נשאלת השאלה: האם יש דרך לפתור משוואות רציונליות שבריות שמבטלת את השגיאה הזו? כן, שיטה זו מבוססת על התנאי שהשבר שווה לאפס.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

אם x=5, אז x(x-5)=0, אז 5 הוא שורש חיצוני.

אם x=-2, אז x(x-5)≠0.

תשובה: -2.

בואו ננסה לנסח אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שבריות בדרך זו. ילדים מנסחים בעצמם את האלגוריתם.

אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שברים:

1. הזיזו הכל שמאלה.
2. הביאו שברים למכנה משותף.
3. הרכיבו מערכת: שבר הוא אפס כאשר המונה הוא אפס והמכנה אינו אפס.
4. פתור את המשוואה.
5. בדוק את אי השוויון כדי להוציא שורשים זרים.
6. רשום את התשובה.

דיון: כיצד לנסח את הפתרון אם משתמשים בתכונה הבסיסית של פרופורציה ומכפלת שני הצדדים של המשוואה במכנה משותף. (השלים את הפתרון: להוציא משורשיו את אלה שהופכים את המכנה המשותף לאפס).

4. הבנה ראשונית של חומר חדש.

עבודה בזוגות. התלמידים בוחרים כיצד לפתור את המשוואה בעצמם, בהתאם לסוג המשוואה. משימות מתוך ספר הלימוד "אלגברה 8", יו.נ. מקאריצ'ב, 2007: מס' 600 (ב, ג, א); מס' 601(א, ה, ז). המורה שולט בביצוע המשימה, עונה על השאלות שעלו ומעניק סיוע לתלמידים בעלי ביצועים גרועים. מבחן עצמי: התשובות כתובות על הלוח.

ב) 2 הוא שורש חיצוני. תשובה: 3.

ג) 2 הוא שורש חיצוני. תשובה: 1.5.

א) תשובה: -12.5.

ז) תשובה: 1; 1.5.

5. הצהרת שיעורי בית.

1. קראו את פריט 25 מתוך ספר הלימוד, נתחו דוגמאות 1-3.
2. למד את האלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שברים.
3. פתור במחברות מס' 600 (א, ד, ה); מס' 601 (ג, ח).
4. נסה לפתור את #696(א) (אופציונלי).

6. מילוי משימת הבקרה בנושא הנלמד.

העבודה נעשית על סדינים.

דוגמא לתפקיד:

א) אילו מהמשוואות הן רציונליות שברים?

ב) שבר הוא אפס כאשר המונה הוא ___________ והמכנה הוא _______________________.

ש) האם המספר -3 הוא השורש של משוואה מס' 6?

ד) פתרו משוואה מס' 7.

קריטריונים להערכת משימה:

• "5" ניתן אם התלמיד סיים יותר מ-90% מהמשימה בצורה נכונה.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" ניתן לתלמיד שסיים פחות מ-50% מהמשימה.
• כיתה 2 לא מופיעה ביומן, 3 היא אופציונלית.

7. השתקפות.

על העלונים עם עבודה עצמאית, שים:

• 1 - אם השיעור היה מעניין ומובן עבורך;
• 2 - מעניין, אבל לא ברור;
• 3 - לא מעניין, אבל מובן;
• 4 - לא מעניין, לא ברור.

8. סיכום השיעור.

אז היום בשיעור התוודענו למשוואות רציונליות שבריריות, למדנו איך לפתור את המשוואות הללו בדרכים שונות, בדקנו את הידע שלנו בעזרת עבודה עצמאית חינוכית. את התוצאות של עבודה עצמאית תלמדו בשיעור הבא, בבית תהיה לכם הזדמנות לגבש את הידע שנצבר.

איזו שיטה לפתרון משוואות רציונליות שבריות, לדעתך, קלה יותר, נגישה יותר, רציונלית יותר? בלי קשר לשיטת פתרון משוואות רציונליות שבריות, מה אסור לשכוח? מהי ה"ערמומיות" של משוואות רציונליות שברים?

תודה לכולם, השיעור הסתיים.

במאמר זה אראה לכם אלגוריתמים לפתרון שבעה סוגים של משוואות רציונליות, שמצטמצמים לריבועים באמצעות שינוי משתנים. ברוב המקרים, התמורות המובילות להחלפה הן מאוד לא טריוויאליות, ודי קשה לנחש אותן בעצמך.

לכל סוג משוואה אסביר כיצד לבצע בה שינוי משתנה, ולאחר מכן אראה פתרון מפורט בסרטון ההדרכה המתאים.

יש לך הזדמנות להמשיך ולפתור את המשוואות בעצמך, ולאחר מכן לבדוק את הפתרון שלך עם מדריך הווידאו.

אז בואו נתחיל.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

שימו לב שהמכפלה של ארבע סוגריים נמצא בצד שמאל של המשוואה, והמספר נמצא בצד ימין.

1. נקבץ את הסוגריים בשניים כך שסכום האיברים החופשיים יהיה זהה.

2. הכפל אותם.

3. הבה נציג שינוי של משתנה.

במשוואה שלנו, אנו מקבצים את הסוגר הראשון עם השלישי, והשני עם הרביעי, שכן (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

בשלב זה, השינוי המשתנה הופך ברור:

אנחנו מקבלים את המשוואה

תשובה:

2 .

משוואה מסוג זה דומה לקודמתה בהבדל אחד: בצד ימין של המשוואה מופיע מכפלה של מספר ב. וזה נפתר בצורה אחרת לגמרי:

1. אנו מקבצים את הסוגריים בשניים כך שהמכפלה של המונחים החופשיים יהיה זהה.

2. נכפיל כל זוג סוגריים.

3. מכל גורם נוציא את x מהסוגר.

4. מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב.

5. אנו מציגים שינוי של משתנה.

במשוואה זו, אנו מקבצים את הסוגר הראשון עם הרביעי, והשני עם השלישי, שכן:

שים לב שבכל סוגר המקדם ב והמונח החופשי זהים. בוא נוציא את המכפיל מכל סוגר:

מכיוון ש-x=0 אינו השורש של המשוואה המקורית, אנו מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב-. אנחנו מקבלים:

נקבל את המשוואה:

תשובה:

3 .

שימו לב שהמכנים של שני השברים הם טרינומים מרובעים, שבהם המקדם המוביל והאיבר החופשי זהים. אנחנו מוציאים, כמו במשוואה של הסוג השני, את x מהסוגר. אנחנו מקבלים:

מחלקים את המונה והמכנה של כל שבר ב-x:

כעת אנו יכולים להציג שינוי של משתנה:

נקבל את המשוואה עבור המשתנה t:

4 .

שימו לב שהמקדמים של המשוואה הם סימטריים ביחס למרכזית. משוואה כזו נקראת ניתן להחזרה .

כדי לפתור את זה

1. מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב-(אנו יכולים לעשות זאת מכיוון ש-x=0 אינו שורש המשוואה.) נקבל:

2. קבץ את המונחים בצורה זו:

3. בכל קבוצה אנו מוציאים את הגורם המשותף:

4. בואו נציג תחליף:

5. בואו נבטא את הביטוי במונחים של t:

מכאן

נקבל את המשוואה עבור t:

תשובה:

5. משוואות הומוגניות.

ניתן להיתקל במשוואות בעלות מבנה הומוגני בעת פתרון משוואות אקספוננציאליות, לוגריתמיות וטריגונומטריות, אז אתה צריך להיות מסוגל לזהות אותן.

למשוואות הומוגניות יש את המבנה הבא:

בשוויון זה, A, B ו-C הם מספרים, ואותם ביטויים מסומנים בריבוע ועיגול. כלומר, בצד שמאל של המשוואה ההומוגנית נמצא סכום המונומיאלים בעלי אותה מידה (במקרה זה, מידת המונומיות היא 2), ואין מונח חופשי.

כדי לפתור את המשוואה ההומוגנית, נחלק את שני הצדדים ב

תשומת הלב! כאשר מחלקים את הצד הימני והשמאלי של המשוואה בביטוי המכיל לא ידוע, אתה יכול לאבד את השורשים. לכן יש לבדוק האם שורשי הביטוי שלפיו אנו מחלקים את שני חלקי המשוואה הם שורשי המשוואה המקורית.

בוא נלך בדרך הראשונה. נקבל את המשוואה:

כעת אנו מציגים החלפת משתנה:

פשט את הביטוי וקבל משוואה בי-ריבועית עבור t:

תשובה:אוֹ

7 .

למשוואה זו יש את המבנה הבא:

כדי לפתור אותה, עליך לבחור את הריבוע המלא בצד שמאל של המשוואה.

כדי לבחור ריבוע מלא, עליך להוסיף או להחסיר את המכפלה הכפולה. אז נקבל את ריבוע הסכום או ההפרש. זה קריטי להחלפת משתנה מוצלחת.

נתחיל במציאת המוצר הכפול. זה יהיה המפתח להחליף את המשתנה. במשוואה שלנו, המכפלה הכפולה היא

עכשיו בואו נבין מה יותר נוח לנו - ריבוע הסכום או ההפרש. שקול, בתור התחלה, את סכום הביטויים:

מְעוּלֶה! ביטוי זה שווה בדיוק לכפול מכפלה. לאחר מכן, כדי לקבל את ריבוע הסכום בסוגריים, עליך להוסיף ולחסיר את המכפלה הכפולה:

אנחנו ממשיכים לדבר על פתרון משוואות. במאמר זה נתמקד משוואות רציונליותועקרונות לפתרון משוואות רציונליות עם משתנה אחד. ראשית, בואו נבין איזה סוג של משוואות נקראות רציונליות, ניתן הגדרה של משוואות רציונליות רציונליות ושבריות, וניתן דוגמאות. בהמשך, נשיג אלגוריתמים לפתרון משוואות רציונליות, וכמובן נשקול את הפתרונות של דוגמאות טיפוסיות עם כל ההסברים הדרושים.

ניווט בדף.

בהתבסס על ההגדרות המושמעות, אנו נותנים מספר דוגמאות של משוואות רציונליות. לדוגמה, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , הן כולן משוואות רציונליות.

מהדוגמאות המוצגות ניתן לראות שמשוואות רציונליות, כמו גם משוואות מסוגים אחרים, יכולות להיות עם משתנה אחד, או עם שניים, שלושה וכו'. משתנים. בפסקאות הבאות נדבר על פתרון משוואות רציונליות במשתנה אחד. פתרון משוואות עם שני משתניםומספרם הגדול ראוי לתשומת לב מיוחדת.

בנוסף לחלוקת המשוואות הרציונליות במספר המשתנים הלא ידועים, הן מחולקות גם למספר שלם ושבר. הבה ניתן את ההגדרות המתאימות.

הַגדָרָה.

המשוואה הרציונלית נקראת כֹּל, אם גם החלק השמאלי והימני שלו הם ביטויים רציונליים שלמים.

הַגדָרָה.

אם לפחות אחד מהחלקים של משוואה רציונלית הוא ביטוי שבר, אז משוואה כזו נקראת רציונלי חלקית(או רציונל חלקי).

ברור שמשוואות שלמים אינן מכילות חלוקה במשתנה, להיפך, משוואות רציונליות שבריות מכילות בהכרח חלוקה במשתנה (או משתנה במכנה). אז 3 x+2=0 ו (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5הן משוואות רציונליות שלמות, שני חלקיהן הם ביטויים שלמים. A ו-x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 הן דוגמאות למשוואות רציונליות שבריות.

לסיום פסקה זו, הבה נשים לב לעובדה שמשוואות לינאריות ומשוואות ריבועיות ידועות ברגע זה הן משוואות רציונליות שלמות.

פתרון משוואות שלמות

אחת הגישות העיקריות לפתרון משוואות שלמות היא הפחתתן לשווה ערך משוואות אלגבריות. זה תמיד יכול להיעשות על ידי ביצוע הטרנספורמציות השקולות הבאות של המשוואה:

• ראשית, הביטוי מהצד הימני של משוואת המספרים השלמים המקורית מועבר לצד השמאלי עם הסימן ההפוך כדי לקבל אפס בצד ימין;
• לאחר מכן, בצד שמאל של המשוואה, הטופס הסטנדרטי שנוצר.

התוצאה היא משוואה אלגברית המקבילה לכל המשוואה המקורית. כך שבמקרים הפשוטים ביותר, הפתרון של משוואות שלמות מצטמצם לפתרון משוואות ליניאריות או ריבועיות, ובמקרה הכללי - לפתרון משוואה אלגברית בדרגה n. למען הבהירות, בואו ננתח את הפתרון של הדוגמה.

דוגמא.

מצא את השורשים של המשוואה כולה 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

פִּתָרוֹן.

הבה נצמצם את הפתרון של כל המשוואה הזו לפתרון של משוואה אלגברית שווה ערך. לשם כך, ראשית, נעביר את הביטוי מצד ימין לשמאל, וכתוצאה מכך אנו מגיעים למשוואה 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. ושנית, אנו הופכים את הביטוי שנוצר בצד שמאל לפולינום של הצורה הסטנדרטית על ידי ביצוע הפעולות הנדרשות: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. לפיכך, הפתרון של משוואת השלם המקורית מצטמצם לפתרון המשוואה הריבועית x 2 −5·x−6=0 .

חשב את המבחין שלו D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, הוא חיובי, כלומר למשוואה יש שני שורשים ממשיים, אותם אנו מוצאים בנוסחת השורשים של המשוואה הריבועית:

כדי להיות בטוחים לגמרי, בואו נעשה בדיקת השורשים שנמצאו של המשוואה. ראשית, אנו בודקים את השורש 6, מחליפים אותו במקום המשתנה x במשוואה השלם המקורית: 3 (6+1) (6-3)=6 (2 6-1)-3, שהוא זהה, 63=63 . זוהי משוואה מספרית תקפה, כך ש-x=6 הוא אכן שורש המשוואה. כעת אנו בודקים את השורש −1, יש לנו 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, ומכאן, 0=0 . עבור x=−1, המשוואה המקורית הפכה גם היא לשוויון מספרי אמיתי, לכן, x=−1 הוא גם השורש של המשוואה.

תשובה:

6 , −1 .

כאן יש לציין גם שהמונח "כוח של משוואה שלמה" קשור לייצוג של משוואה שלמה בצורה של משוואה אלגברית. אנו נותנים את ההגדרה המתאימה:

הַגדָרָה.

מידת המשוואה כולהקרא לדרגה של משוואה אלגברית שווה ערך לה.

לפי הגדרה זו, לכל המשוואה מהדוגמה הקודמת יש את התואר השני.

על זה אפשר היה לסיים עם פתרון של משוואות רציונליות שלמות, אם לא אחת אבל .... כידוע, פתרון משוואות אלגבריות בדרגה גבוהה מהשנייה קשור בקשיים משמעותיים, ולמשוואות בדרגה גבוהה מהרביעית אין כלל נוסחאות כלליות לשורשים. לכן, כדי לפתור משוואות שלמות מהמעלה השלישית, הרביעית והגבוהה יותר, צריך פעמים רבות להיעזר בשיטות פתרון אחרות.

במקרים כאלה, לפעמים הגישה לפתרון משוואות רציונליות שלמות על סמך שיטת הפירוק לגורמים. במקביל, מתבצע מעקב אחר האלגוריתם הבא:

• ראשית הם מבקשים לקבל אפס בצד ימין של המשוואה, לשם כך הם מעבירים את הביטוי מהצד הימני של המשוואה כולה לשמאל;
• לאחר מכן, הביטוי המתקבל בצד שמאל מוצג כמכפלה של מספר גורמים, מה שמאפשר לך לעבור לקבוצה של מספר משוואות פשוטות יותר.

האלגוריתם לעיל לפתרון המשוואה כולה באמצעות פירוק לגורמים דורש הסבר מפורט באמצעות דוגמה.

דוגמא.

פתור את כל המשוואה (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

פִּתָרוֹן.

ראשית, כרגיל, אנו מעבירים את הביטוי מצד ימין לצד שמאל של המשוואה, לא שוכחים לשנות את הסימן, נקבל (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . זה די ברור כאן שלא כדאי להפוך את הצד השמאלי של המשוואה המתקבלת לפולינום של הצורה הסטנדרטית, שכן זה ייתן משוואה אלגברית מהמעלה הרביעית של הצורה. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, שהפתרון שלו קשה.

מצד שני, ברור שניתן למצוא את x 2 −10·x+13 בצד שמאל של המשוואה המתקבלת, ובכך לייצג אותה כמכפלה. יש לנו (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. המשוואה המתקבלת שווה ערך למשוואה המקורית שלמה, והיא, בתורה, יכולה להיות מוחלפת בקבוצה של שתי משוואות ריבועיות x 2 −10·x+13=0 ו-x 2 −2·x−1=0 . מציאת השורשים שלהם באמצעות נוסחאות השורש המוכרות דרך המבחין אינה קשה, השורשים שווים. הם השורשים הרצויים של המשוואה המקורית.

תשובה:

זה גם שימושי לפתרון משוואות רציונליות שלמות. שיטה להכנסת משתנה חדש. במקרים מסוימים, הוא מאפשר לעבור למשוואות שהדרגה שלהן נמוכה מהדרגה של משוואת השלם המקורית.

דוגמא.

מצא את השורשים האמיתיים של משוואה רציונלית (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

פִּתָרוֹן.

לצמצם את כל המשוואה הרציונלית הזו למשוואה אלגברית זה, בלשון המעטה, לא רעיון טוב במיוחד, שכן במקרה זה נגיע לצורך לפתור משוואה מדרגה רביעית שאין לה שורשים רציונליים. לכן, תצטרך לחפש פתרון אחר.

קל לראות כאן שאתה יכול להציג משתנה חדש y ולהחליף בו את הביטוי x 2 +3 x. החלפה כזו מובילה אותנו למשוואה כולה (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , אשר לאחר העברת הביטוי −2 (y−4) לצד שמאל והתמרה לאחר מכן של הביטוי שנוצר שם , מפחית למשוואה y 2 +4 y+3=0 . שורשי המשוואה הזו y=−1 ו-y=−3 קלים למצוא, למשל, ניתן למצוא אותם בהתבסס על המשפט ההפוך של משפט וייטה.

כעת נעבור לחלק השני של שיטת הכנסת משתנה חדש, כלומר לביצוע החלפה הפוכה. לאחר ביצוע ההחלפה ההפוכה, נקבל שתי משוואות x 2 +3 x=−1 ו-x 2 +3 x=−3 , אותן ניתן לכתוב מחדש כ-x 2 +3 x+1=0 ו-x 2 +3 x+3 =0 . לפי נוסחת שורשי המשוואה הריבועית, נמצא את שורשי המשוואה הראשונה. ולמשוואה הריבועית השנייה אין שורשים ממשיים, שכן המבחין שלה הוא שלילי (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

תשובה:

באופן כללי, כאשר אנו עוסקים במשוואות שלמות בדרגות גבוהות, עלינו להיות מוכנים תמיד לחפש שיטה לא סטנדרטית או טכניקה מלאכותית לפתרונן.

פתרון של משוואות רציונליות חלקיות

ראשית, זה יהיה שימושי להבין כיצד לפתור משוואות רציונליות שבריות של הצורה, כאשר p(x) ו-q(x) הם ביטויים שלמים רציונליים. ואז נראה כיצד לצמצם את הפתרון של המשוואות הרציונליות השבריות הנותרות לפתרון של משוואות מהצורה המצוינת.

אחת הגישות לפתרון המשוואה מבוססת על המשפט הבא: השבר המספרי u/v, שבו v הוא מספר שאינו אפס (אחרת נפגוש, שאינו מוגדר), שווה לאפס אם ורק אם המונה שלו שווה לאפס, אז הוא, אם ורק אם u=0 . מכוח משפט זה, פתרון המשוואה מצטמצם למילוי שני תנאים p(x)=0 ו-q(x)≠0.

מסקנה זו עולה בקנה אחד עם הדברים הבאים אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית חלקית. כדי לפתור משוואה רציונלית שברית של הצורה

• לפתור את כל המשוואה הרציונלית p(x)=0;
• ולבדוק האם התנאי q(x)≠0 מתקיים עבור כל שורש שנמצא, בעוד
• אם זה נכון, אז השורש הזה הוא השורש של המשוואה המקורית;
• אם לא, אז השורש הזה הוא חוץ, כלומר, הוא לא השורש של המשוואה המקורית.

בואו ננתח דוגמה לשימוש באלגוריתם הקול בעת פתרון משוואה רציונלית שברית.

דוגמא.

מצא את שורשי המשוואה.

פִּתָרוֹן.

זוהי משוואה רציונלית חלקית של הצורה , שבה p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

לפי האלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות חלקיות מסוג זה, עלינו לפתור תחילה את המשוואה 3·x−2=0 . זוהי משוואה לינארית שהשורש שלה הוא x=2/3.

נותר לבדוק את השורש הזה, כלומר לבדוק האם הוא עומד בתנאי 5·x 2 −2≠0 . נחליף את המספר 2/3 במקום x בביטוי 5 x 2 −2, נקבל . התנאי מתקיים, אז x=2/3 הוא השורש של המשוואה המקורית.

תשובה:

2/3 .

ניתן לגשת לפתרון של משוואה רציונלית שברית מעמדה שונה במקצת. משוואה זו מקבילה לכל המשוואה p(x)=0 על המשתנה x של המשוואה המקורית. כלומר, אתה יכול לעקוב אחר זה אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית חלקית :

• לפתור את המשוואה p(x)=0 ;
• מצא משתנה ODZ x ;
• קח את השורשים השייכים לאזור הערכים הקבילים - הם השורשים הרצויים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית.

לדוגמה, בואו נפתור משוואה רציונלית שברית באמצעות אלגוריתם זה.

דוגמא.

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.

ראשית, נפתור את המשוואה הריבועית x 2 −2·x−11=0 . ניתן לחשב את השורשים שלו באמצעות נוסחת השורש עבור מקדם שני שווה, יש לנו D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, ו .

שנית, אנו מוצאים את ה-ODZ של המשתנה x עבור המשוואה המקורית. הוא מורכב מכל המספרים שעבורם x 2 +3 x≠0 , שזה אותו x (x+3)≠0 , ומכאן x≠0 , x≠−3 .

נותר לבדוק אם השורשים שנמצאו בשלב הראשון כלולים ב-ODZ. כמובן שכן. לכן, למשוואה הרציונלית השברית המקורית יש שני שורשים.

תשובה:

שימו לב שגישה זו רווחית יותר מהראשונה אם ה-ODZ נמצא בקלות, והיא מועילה במיוחד אם שורשי המשוואה p(x)=0 הם לא רציונליים, למשל, או רציונליים, אבל עם ערך די גדול מונה ו/או מכנה, למשל, 127/1101 ו -31/59 . זאת בשל העובדה שבמקרים כאלה, בדיקת התנאי q(x)≠0 תדרוש מאמצים חישוביים משמעותיים, וקל יותר להוציא שורשים זרים מה-ODZ.

במקרים אחרים, כאשר פותרים את המשוואה, במיוחד כאשר שורשי המשוואה p(x)=0 הם מספרים שלמים, כדאי יותר להשתמש באלגוריתמים הראשונים שלעיל. כלומר, רצוי למצוא מיד את השורשים של כל המשוואה p(x)=0, ולאחר מכן לבדוק האם התנאי q(x)≠0 מתקיים עבורם, ולא למצוא את ה-ODZ, ואז לפתור את המשוואה. p(x)=0 ב-ODZ הזה. זאת בשל העובדה שבמקרים כאלה בדרך כלל קל יותר לבצע בדיקה מאשר למצוא את ה-ODZ.

שקול את הפתרון של שתי דוגמאות כדי להמחיש את הניואנסים שנקבעו.

דוגמא.

מצא את שורשי המשוואה.

פִּתָרוֹן.

ראשית נמצא את השורשים של המשוואה כולה (2 x-1) (x-6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, הידור באמצעות המונה של השבר. הצד השמאלי של משוואה זו הוא מכפלה, והצד הימני הוא אפס, לכן, לפי שיטת פתרון משוואות באמצעות פירוק לגורמים, משוואה זו שוות ערך לקבוצת ארבע המשוואות 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . שלוש מהמשוואות הללו הן ליניאריות ואחת היא ריבועית, נוכל לפתור אותן. מהמשוואה הראשונה נמצא x=1/2, מהשנייה - x=6, מהשלישית - x=7, x=−2, מהרביעית - x=−1.

עם השורשים שנמצאו, די קל לבדוק אותם כדי לראות אם המכנה של השבר הממוקם בצד שמאל של המשוואה המקורית לא נעלם, ולא כל כך קל לקבוע את ה-ODZ, שכן זה יצטרך לפתור משוואה אלגברית מהמעלה החמישית. לכן, נסרב למצוא את ה-ODZ לטובת בדיקת השורשים. לשם כך, נחליף אותם בתורו במקום במשתנה x בביטוי x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, מתקבלים לאחר החלפה, והשוו אותם עם אפס: (1/2) 5 -15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

לפיכך, 1/2, 6 ו-2 הם השורשים הרצויים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית, ו-7 ו-1 הם שורשים זרים.

תשובה:

1/2 , 6 , −2 .

דוגמא.

מצא את השורשים של משוואה רציונלית שברית.

פִּתָרוֹן.

ראשית נמצא את שורשי המשוואה (5x2 −7x−1)(x−2)=0. משוואה זו מקבילה לקבוצה של שתי משוואות: הריבוע 5·x 2 −7·x−1=0 והלינארית x−2=0 . לפי נוסחת השורשים של המשוואה הריבועית נמצא שני שורשים, ומהמשוואה השנייה יש לנו x=2.

בדיקה אם המכנה לא נעלם בערכים שנמצאו של x היא די לא נעימה. וכדי לקבוע את טווח הערכים המקובלים של המשתנה x במשוואה המקורית זה די פשוט. לפיכך, נפעל באמצעות ה-ODZ.

במקרה שלנו, ה-ODZ של המשתנה x של המשוואה הרציונלית השברית המקורית מורכבת מכל המספרים, למעט אלו שעבורם מתקיים התנאי x 2 +5·x−14=0. השורשים של המשוואה הריבועית הזו הם x=−7 ו-x=2, מהם אנו מסיקים לגבי ה-ODZ: הוא מורכב מכל x כך ש.

נותר לבדוק האם השורשים שנמצאו ו-x=2 שייכים לאזור הערכים הקבילים. השורשים - שייכים, לכן, הם השורשים של המשוואה המקורית, ו-x=2 לא שייך, לכן, זה שורש חיצוני.

תשובה:

זה יהיה שימושי גם להתעכב בנפרד על מקרים שבהם משוואה רציונלית שברית של הצורה מכילה מספר במונה, כלומר, כאשר p (x) מיוצג על ידי מספר כלשהו. איפה

• אם מספר זה שונה מאפס, אז למשוואה אין שורשים, שכן השבר הוא אפס אם ורק אם המונה שלו הוא אפס;
• אם המספר הזה הוא אפס, אז השורש של המשוואה הוא כל מספר מה-ODZ.

דוגמא.

פִּתָרוֹן.

מכיוון שיש מספר שאינו אפס במונה השבר בצד שמאל של המשוואה, עבור שום x לא יכול הערך של השבר הזה להיות שווה לאפס. לכן, למשוואה זו אין שורשים.

תשובה:

ללא שורשים.

דוגמא.

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.

המונה של השבר בצד שמאל של המשוואה הרציונלית השברית הזו הוא אפס, ולכן הערך של השבר הזה הוא אפס עבור כל x שהוא הגיוני עבורו. במילים אחרות, הפתרון למשוואה זו הוא כל ערך של x מ-DPV של משתנה זה.

נותר לקבוע טווח זה של ערכים מקובלים. זה כולל את כל הערכים x שעבורם x 4 +5 x 3 ≠0. הפתרונות של המשוואה x 4 +5 x 3 \u003d 0 הם 0 ו-5, מכיוון שמשוואה זו שווה ערך למשוואה x 3 (x + 5) \u003d 0, והיא, בתורה, שווה ערך לצירוף של שתי משוואות x 3 \u003d 0 ו-x +5=0 , מהמקום שבו השורשים האלה נראים. לכן, הטווח הרצוי של ערכים מקובלים הוא כל x , למעט x=0 ו-x=−5 .

לפיכך, למשוואה רציונלית שברית יש אינסוף פתרונות, שהם כל מספר מלבד אפס ומינוס חמש.

תשובה:

לבסוף, הגיע הזמן לדבר על פתרון משוואות רציונליות שבריריות שרירותיות. ניתן לכתוב אותם כ-r(x)=s(x) , כאשר r(x) ו-s(x) הם ביטויים רציונליים, ולפחות אחד מהם הוא חלקי. במבט קדימה, אנו אומרים שהפתרון שלהם מצטמצם לפתרון משוואות מהצורה שכבר מוכרת לנו.

ידוע שהעברת איבר מחלק אחד של המשוואה לאחר עם הסימן ההפוך מובילה למשוואה שווה ערך, ולכן המשוואה r(x)=s(x) שווה ערך למשוואה r(x)−s (x)=0 .

אנו גם יודעים שכל אחד יכול להיות שווה לביטוי זה. לפיכך, אנו תמיד יכולים להפוך את הביטוי הרציונלי בצד השמאלי של המשוואה r(x)−s(x)=0 לשבר רציונלי שווה זהה של הצורה.

אז אנחנו עוברים מהמשוואה הרציונלית השברית המקורית r(x)=s(x) למשוואה, והפתרון שלה, כפי שגילינו למעלה, מפחית לפתרון המשוואה p(x)=0.

אבל כאן יש צורך לקחת בחשבון את העובדה שכאשר מחליפים את r(x)−s(x)=0 ב-, ולאחר מכן ב-p(x)=0, טווח הערכים המותרים של המשתנה x עשוי להתרחב .

לכן, ייתכן שהמשוואה המקורית r(x)=s(x) והמשוואה p(x)=0, אליה הגענו, אינן שוות ערך, ועל ידי פתרון המשוואה p(x)=0 נוכל לקבל שורשים שיהיו שורשים זרים של המשוואה המקורית r(x)=s(x) . אפשר לזהות ולא לכלול שורשים זרים בתשובה, אם על ידי בדיקה, או על ידי בדיקת השתייכותם ל-ODZ של המשוואה המקורית.

אנו מסכמים מידע זה ב אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית שברית r(x)=s(x). כדי לפתור את המשוואה הרציונלית השברית r(x)=s(x) , חייבים

• קבל אפס מימין על ידי הזזת הביטוי מצד ימין עם הסימן ההפוך.
• בצע פעולות עם שברים ופולינומים בצד שמאל של המשוואה, ובכך המרת אותה לשבר רציונלי של הצורה.
• פתרו את המשוואה p(x)=0 .
• זיהוי והחרגה של שורשים זרים, מה שנעשה על ידי החלפתם במשוואה המקורית או על ידי בדיקת השתייכותם ל-ODZ של המשוואה המקורית.

לבהירות רבה יותר, נציג את כל השרשרת של פתרון משוואות רציונליות שברים:
.

נעבור על הפתרונות של מספר דוגמאות עם הסבר מפורט על הפתרון על מנת להבהיר את גוש המידע הנתון.

דוגמא.

פתור משוואה רציונלית שברית.

פִּתָרוֹן.

אנו נפעל בהתאם לאלגוריתם הפתרון שהושג זה עתה. וקודם כל נעביר את האיברים מהצד הימני של המשוואה לצד השמאלי, וכתוצאה מכך נעבור למשוואה .

בשלב השני, עלינו להמיר את הביטוי הרציונלי השבר בצד שמאל של המשוואה המתקבלת לצורה של שבר. לשם כך, אנו מבצעים הפחתת שברים רציונליים למכנה משותף ומפשטים את הביטוי המתקבל: . אז אנחנו מגיעים למשוואה.

בשלב הבא, עלינו לפתור את המשוואה −2·x−1=0 . מצא את x=−1/2 .

נותר לבדוק אם המספר שנמצא −1/2 הוא שורש חיצוני של המשוואה המקורית. כדי לעשות זאת, אתה יכול לבדוק או למצוא את המשתנה ODZ x של המשוואה המקורית. בואו נדגים את שתי הגישות.

נתחיל בצ'ק. נחליף את המספר −1/2 במקום המשתנה x במשוואה המקורית, נקבל , שהוא זהה, −1=−1. ההחלפה נותנת את השוויון המספרי הנכון, לכן, x=−1/2 הוא השורש של המשוואה המקורית.

כעת נראה כיצד השלב האחרון של האלגוריתם מתבצע דרך ה-ODZ. טווח הערכים הקבילים של המשוואה המקורית הוא קבוצת כל המספרים מלבד −1 ו-0 (כאשר x=−1 ו-x=0, המכנים של השברים נעלמים). השורש x=−1/2 שנמצא בשלב הקודם שייך ל-ODZ, לכן, x=−1/2 הוא השורש של המשוואה המקורית.

תשובה:

−1/2 .

הבה נבחן דוגמה נוספת.

דוגמא.

מצא את שורשי המשוואה.

פִּתָרוֹן.

אנחנו צריכים לפתור משוואה רציונלית חלקית, בואו נעבור על כל השלבים של האלגוריתם.

ראשית, נעביר את המונח מצד ימין לשמאל, נקבל .

שנית, אנו הופכים את הביטוי שנוצר בצד שמאל: . כתוצאה מכך, אנו מגיעים למשוואה x=0 .

השורש שלו ברור - הוא אפס.

בשלב הרביעי, נותר לברר אם השורש שנמצא אינו חיצוני עבור המשוואה הרציונלית השברית המקורית. כאשר הוא מוחלף לתוך המשוואה המקורית, הביטוי מתקבל. ברור שזה לא הגיוני, מכיוון שהוא מכיל חלוקה באפס. מכאן אנו מסיקים ש-0 הוא שורש חיצוני. לכן, למשוואה המקורית אין שורשים.

7, שמוביל למשוואה. מכאן נוכל להסיק שהביטוי במכנה של צד שמאל חייב להיות שווה מצד ימין, כלומר. כעת אנו מפחיתים משני חלקי המשולש: . באנלוגיה, מאיפה והלאה.

הבדיקה מראה ששני השורשים שנמצאו הם השורשים של המשוואה הרציונלית השברית המקורית.

תשובה:

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד עבור 8 תאים. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ' : חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ח'. בשעה 14:00 חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך / א.ג. מורדקוביץ'. - מהדורה 11, נמחקה. - מ.: מנמוזינה, 2009. - 215 עמ': חולה. ISBN 978-5-346-01155-2.
• אַלגֶבּרָה:כיתה ט': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ' : חינוך, 2009. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-021134-5.