הנוסחה לחישוב התוחלת המתמטית של משתנה מקרי בדיד. תוחלת מתמטית (ממוצע אוכלוסייה) היא

התוחלת המתמטית היא התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי

תוחלת מתמטית, הגדרה, תוחלת מתמטית של משתנים אקראיים דיסקרטיים ומתמשכים, ציפייה סלקטיבית, מותנית, חישוב, מאפיינים, משימות, אומדן תוחלת, שונות, פונקציית התפלגות, נוסחאות, דוגמאות חישוב

הרחב את התוכן

כווץ תוכן

הציפייה המתמטית היא, ההגדרה

אחד המושגים החשובים ביותר בסטטיסטיקה מתמטית ובתורת ההסתברות, המאפיין את התפלגות הערכים או ההסתברויות של משתנה מקרי. מבוטא בדרך כלל כממוצע משוקלל של כל הפרמטרים האפשריים של משתנה אקראי. הוא נמצא בשימוש נרחב בניתוח טכני, חקר סדרות מספרים, חקר תהליכים מתמשכים וארוכי טווח. הוא חשוב בהערכת סיכונים, חיזוי אינדיקטורים של מחירים בעת מסחר בשווקים פיננסיים, ומשמש בפיתוח אסטרטגיות ושיטות של טקטיקות משחק בתורת ההימורים.

הציפייה המתמטית היאהערך הממוצע של משתנה מקרי, התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי נחשבת בתורת ההסתברות.

הציפייה המתמטית היאמדד לערך הממוצע של משתנה מקרי בתורת ההסתברות. ציפייה מתמטית למשתנה מקרי איקסמסומן M(x).

הציפייה המתמטית היא

הציפייה המתמטית היאבתורת ההסתברות, הממוצע המשוקלל של כל הערכים האפשריים שהמשתנה האקראי הזה יכול לקחת.

הציפייה המתמטית היאסכום התוצרים של כל הערכים האפשריים של משתנה אקראי לפי ההסתברויות של ערכים אלה.

הציפייה המתמטית היאהתועלת הממוצעת מהחלטה מסוימת, בתנאי שניתן לשקול החלטה כזו במסגרת התיאוריה של מספרים גדולים ומרחק רב.

הציפייה המתמטית היאבתורת ההימורים, כמות הזכיות ששחקן יכול להרוויח או להפסיד, בממוצע, עבור כל הימור. בשפת המהמרים, זה נקרא לפעמים "יתרון גיימר" (אם חיובי לשחקן) או "יתרון בית" (אם שלילי לשחקן).

הציפייה המתמטית היאאחוז הרווח לזכייה כפול הרווח הממוצע פחות ההסתברות להפסד כפול ההפסד הממוצע.

ציפייה מתמטית למשתנה אקראי בתיאוריה המתמטית

אחד המאפיינים המספריים החשובים של משתנה מקרי הוא הציפייה המתמטית. הבה נציג את הרעיון של מערכת של משתנים אקראיים. שקול קבוצה של משתנים אקראיים שהם תוצאות של אותו ניסוי אקראי. אם הוא אחד הערכים האפשריים של המערכת, אז האירוע מתאים להסתברות מסוימת שעונה על אקסיומות קולמוגורוב. פונקציה המוגדרת עבור כל ערכים אפשריים של משתנים אקראיים נקראת חוק התפלגות משותפת. פונקציה זו מאפשרת לך לחשב את ההסתברויות של אירועים כלשהם. בפרט, החוק המשותף של התפלגות של משתנים אקראיים ו, ​​אשר לוקחים ערכים מהקבוצה ו, ניתן על ידי הסתברויות.

המונח "ציפייה" הוצג על ידי פייר סימון מרקיז דה לפלס (1795) ומקורו במושג "הערך הצפוי של התמורה", שהופיע לראשונה במאה ה-17 בתורת ההימורים ביצירותיהם של בלייז פסקל וכריסטיאן הויגנס. . עם זאת, ההבנה וההערכה התיאורטית המלאה הראשונה של מושג זה ניתנה על ידי פאפניטי לבוביץ' צ'בישב (אמצע המאה ה-19).

חוק ההתפלגות של משתנים מספריים אקראיים (פונקציית ההתפלגות וסדרת ההתפלגות או צפיפות ההסתברות) מתארים לחלוטין את התנהגותו של משתנה אקראי. אבל במספר בעיות מספיק לדעת כמה מאפיינים מספריים של הכמות הנחקרת (למשל, ערכה הממוצע וסטייה אפשרית ממנה) כדי לענות על השאלה הנשאלת. המאפיינים המספריים העיקריים של משתנים אקראיים הם התוחלת המתמטית, השונות, המצב והחציון.

הציפייה המתמטית של משתנה מקרי בדיד היא סכום התוצרים של ערכיו האפשריים וההסתברויות המתאימות להם. לפעמים התוחלת המתמטית נקראת ממוצע משוקלל, מכיוון שהיא שווה בערך לממוצע האריתמטי של הערכים הנצפים של משתנה אקראי על פני מספר רב של ניסויים. מההגדרה של תוחלת מתמטית עולה שערכה אינו קטן מהערך הקטן ביותר האפשרי של משתנה מקרי ולא יותר מהגדול ביותר. התוחלת המתמטית של משתנה מקרי היא משתנה לא אקראי (קבוע).

לציפייה המתמטית יש משמעות פיזיקלית פשוטה: אם מסה יחידה ממוקמת על קו ישר, הצבת מסה מסוימת בנקודות מסוימות (עבור התפלגות בדידה), או "מריחה" אותה בצפיפות מסוימת (עבור התפלגות רציפה לחלוטין), אז הנקודה המתאימה לתוחלת המתמטית תהיה קואורדינטת "מרכז הכובד" הישר.

הערך הממוצע של משתנה אקראי הוא מספר מסוים, שהוא, כביכול, ה"מייצג" שלו ומחליף אותו בחישובים משוערים גסים. כאשר אנו אומרים: "זמן פעולת המנורה הממוצע הוא 100 שעות" או "נקודת הפגיעה הממוצעת מוזזת ביחס למטרה ב-2 מ' ימינה", אנו מציינים בכך מאפיין מספרי מסוים של משתנה אקראי המתאר את מיקום על הציר המספרי, כלומר. תיאור התפקיד.

מבין המאפיינים של עמדה בתורת ההסתברות, את התפקיד החשוב ביותר ממלאת הציפייה המתמטית של משתנה אקראי, הנקראת לפעמים פשוט הערך הממוצע של משתנה מקרי.

שקול משתנה אקראי איקס, שיש לו ערכים אפשריים x1, x2, …, xnעם הסתברויות p1, p2, …, pn. עלינו לאפיין במספר כלשהו את המיקום של ערכי המשתנה האקראי על ציר ה-x, תוך התחשבות בעובדה שלערכים אלה יש הסתברויות שונות. לצורך כך, טבעי להשתמש במה שנקרא "ממוצע משוקלל" של הערכים xi, וכל ערך xi במהלך מיצוע צריך להילקח בחשבון עם "משקל" פרופורציונלי להסתברות של ערך זה. לפיכך, נחשב את הממוצע של המשתנה המקרי איקס, אשר נסמן M|X|:

ממוצע משוקלל זה נקרא התוחלת המתמטית של המשתנה המקרי. לפיכך, הצגנו בחשבון את אחד המושגים החשובים ביותר של תורת ההסתברות - מושג הציפייה המתמטית. התוחלת המתמטית של משתנה מקרי היא סכום התוצרים של כל הערכים האפשריים של משתנה מקרי וההסתברויות של ערכים אלה.

איקסבשל תלות מוזרה עם הממוצע האריתמטי של הערכים הנצפים של משתנה אקראי עם מספר רב של ניסויים. תלות זו היא מאותו סוג של התלות בין תדירות להסתברות, כלומר: עם מספר רב של ניסויים, הממוצע האריתמטי של הערכים הנצפים של משתנה אקראי מתקרב (מתכנס בהסתברות) לתוחלת המתמטית שלו. מקיומו של קשר בין תדירות להסתברות, ניתן להסיק כתוצאה מכך קיומו של קשר דומה בין הממוצע האריתמטי לתוחלת מתמטית. אכן, שקול משתנה אקראי איקס, מאופיין בסדרה של הפצות:

תן לזה להיות מיוצר נניסויים עצמאיים, שבכל אחד מהם הערך איקסמקבל ערך מסוים. נניח שהערך x1הופיע m1פעמים, ערך x2הופיע m2פעמים, משמעות כללית xiהופיע כמה פעמים. הבה נחשב את הממוצע האריתמטי של הערכים הנצפים של X, שבניגוד לציפיות המתמטיות M|X|נסמן M*|X|:

עם עלייה במספר הניסויים נתדרים פאייתקרב (יתכנס בהסתברות) להסתברויות המתאימות. לכן, הממוצע האריתמטי של הערכים הנצפים של המשתנה המקרי M|X|עם עלייה במספר הניסויים, הוא יתקרב (יתכנס בהסתברות) לציפיות המתמטיות שלו. הקשר בין הממוצע האריתמטי לתוחלת המתמטית שנוסחה לעיל מהווה את תוכנה של אחת מצורות חוק המספרים הגדולים.

אנחנו כבר יודעים שכל הצורות של חוק המספרים הגדולים קובעות את העובדה שממוצעים מסוימים יציבים על פני מספר רב של ניסויים. כאן אנחנו מדברים על יציבות הממוצע האריתמטי מסדרה של תצפיות באותו ערך. עם מספר קטן של ניסויים, הממוצע האריתמטי של תוצאותיהם הוא אקראי; עם עלייה מספקת במספר הניסויים הוא הופך ל"כמעט לא אקראי" ומתייצב מתקרב לערך קבוע - הציפייה המתמטית.

קל לאמת בניסוי את תכונת היציבות של ממוצעים עבור מספר רב של ניסויים. למשל, שקילה של כל גוף במעבדה על מאזניים מדויקים, כתוצאה מהשקילה אנו מקבלים בכל פעם ערך חדש; כדי להפחית את טעות התצפית, אנו שוקלים את הגוף מספר פעמים ומשתמשים בממוצע האריתמטי של הערכים שהתקבלו. קל לראות שעם עלייה נוספת במספר הניסויים (השקילות), הממוצע האריתמטי מגיב לעלייה הזו פחות ופחות, ועם מספר מספיק גדול של ניסויים הוא למעשה מפסיק להשתנות.

יש לציין כי המאפיין החשוב ביותר של מיקומו של משתנה מקרי - התוחלת המתמטית - אינו קיים עבור כל המשתנים האקראיים. אפשר לעשות דוגמאות למשתנים אקראיים כאלה שהציפייה המתמטית לגביהם לא קיימת, שכן הסכום או האינטגרל המתאים מתפצלים. עם זאת, לתרגול, מקרים כאלה אינם בעלי עניין משמעותי. בדרך כלל, למשתנים האקראיים שאנו עוסקים בהם יש טווח מוגבל של ערכים אפשריים, וכמובן, יש להם ציפייה.

בנוסף למאפיינים החשובים ביותר של מיקומו של משתנה מקרי - התוחלת המתמטית, לעיתים נעשה שימוש במאפייני מיקום נוספים בפועל, בפרט, האופן והחציון של המשתנה המקרי.

מצבו של משתנה אקראי הוא הערך הסביר ביותר שלו. המונח "ערך סביר ביותר", למהדרין, חל רק על כמויות לא רציפות; עבור כמות רציפה, המצב הוא הערך שבו צפיפות ההסתברות היא מקסימלית. האיורים מציגים את המצב של משתנים אקראיים בלתי רציפים ורציפים, בהתאמה.

אם למצולע ההתפלגות (עקומת ההתפלגות) יש יותר ממקסימום אחד, נאמר שההתפלגות היא "פולימודאלית".

לפעמים יש התפלגויות שיש בהן באמצע לא מקסימום, אלא מינימום. הפצות כאלה נקראות "אנטי-מודאליות".

במקרה הכללי, המצב והתוחלת המתמטית של משתנה מקרי אינם חופפים. במקרה מסוים, כאשר ההתפלגות היא סימטרית ומודאלית (כלומר יש לה מצב) ויש ציפייה מתמטית, אז היא עולה בקנה אחד עם המצב ומרכז הסימטריה של ההתפלגות.

מאפיין נוסף של המיקום משמש לעתים קרובות - מה שנקרא חציון של משתנה אקראי. מאפיין זה משמש בדרך כלל רק עבור משתנים אקראיים רציפים, אם כי ניתן להגדיר אותו רשמית גם עבור משתנה בלתי רציף. מבחינה גיאומטרית, החציון הוא האבססיס של הנקודה שבה נחצה השטח התחום על ידי עקומת ההתפלגות.

במקרה של התפלגות מודאלית סימטרית, החציון עולה בקנה אחד עם הממוצע והמוד.

תוחלת מתמטית היא הערך הממוצע של משתנה מקרי - מאפיין מספרי של התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי. באופן הכללי ביותר, הציפייה המתמטית למשתנה מקרי X(w)מוגדר כאינטגרל לבג ביחס למדד ההסתברות רבמרחב ההסתברות המקורי:

ניתן לחשב את התוחלת המתמטית גם כאינטגרל לבגס של איקסלפי התפלגות הסתברות פיקסליםכמיות איקס:

באופן טבעי, אפשר להגדיר את המושג משתנה אקראי עם ציפייה מתמטית אינסופית. דוגמה טיפוסית היא זמני החזרה בחלק מהליכות אקראיות.

בעזרת ציפייה מתמטית, מאפיינים מספריים ופונקציונליים רבים של ההתפלגות נקבעים (כתוחלת מתמטית של הפונקציות המתאימות של משתנה אקראי), למשל, יצירת פונקציה, פונקציה אופיינית, רגעים מכל סדר, בפרט פיזור , שיתופיות.

תוחלת מתמטית היא מאפיין של מיקום הערכים של משתנה אקראי (הערך הממוצע של התפלגותו). בתפקיד זה, הציפייה המתמטית משמשת כפרמטר התפלגות "טיפוסי" כלשהו ותפקידה דומה לתפקיד המומנט הסטטי - קואורדינטת מרכז הכובד של התפלגות המסה - במכניקה. ממאפייני מיקום אחרים, בעזרתם מתוארת ההתפלגות במונחים כלליים - חציונים, אופנים, התוחלת המתמטית שונה בערך הגדול יותר שיש לה ולמאפיין הפיזור המקביל - פיזור - במשפטי הגבול של תורת ההסתברות. בשלמות הגדולה ביותר, משמעותה של ציפייה מתמטית מתגלה על ידי חוק המספרים הגדולים (אי השוויון של צ'בישב) וחוק המספרים הגדולים המחוזקים.

ציפייה מתמטית למשתנה אקראי בדיד

שיהיה משתנה אקראי שיכול לקחת אחד מכמה ערכים מספריים (לדוגמה, מספר הנקודות בהטלת קובייה יכול להיות 1, 2, 3, 4, 5 או 6). לעתים קרובות בפועל, עבור ערך כזה, עולה השאלה: איזה ערך הוא לוקח "בממוצע" עם מספר רב של מבחנים? מה תהיה התשואה (או ההפסד) הממוצעת שלנו מכל אחת מהעסקאות המסוכנות?

נניח שיש איזושהי הגרלה. אנחנו רוצים להבין האם משתלם או לא להשתתף בו (או אפילו להשתתף שוב ושוב, באופן קבוע). נניח שכל כרטיס רביעי זוכה, הפרס יהיה 300 רובל, ומחיר כל כרטיס יהיה 100 רובל. עם מספר אינסופי של השתתפות, זה מה שקורה. בשלושה רבעים מהמקרים נפסיד, כל שלושה הפסדים יעלו 300 רובל. בכל מקרה רביעי נזכה ב-200 רובל. (פרס מינוס עלות), כלומר, עבור ארבע השתתפות, אנו מפסידים בממוצע 100 רובל, עבור אחד - ממוצע של 25 רובל. בסך הכל, התעריף הממוצע של ההרס שלנו יהיה 25 רובל לכרטיס.

אנחנו זורקים קובייה. אם זה לא רמאות (בלי להזיז את מרכז הכובד וכו'), אז כמה נקודות יהיו לנו בממוצע בכל פעם? מכיוון שכל אפשרות סבירה באותה מידה, אנו לוקחים את הממוצע האריתמטי המטופש ומקבלים 3.5. מכיוון שמדובר ב-AVERAGE, אין צורך להתמרמר על כך שאף זריקה מסוימת לא תיתן 3.5 נקודות – ובכן, לקובייה הזו אין פרצוף עם מספר כזה!

עכשיו בואו נסכם את הדוגמאות שלנו:

בואו נסתכל על התמונה ממש למעלה. משמאל טבלה של התפלגות משתנה מקרי. הערך של X יכול לקחת אחד מ-n ערכים אפשריים (ניתן בשורה העליונה). לא יכולים להיות ערכים אחרים. מתחת לכל ערך אפשרי, ההסתברות שלו חתומה למטה. בצד ימין יש נוסחה, שבה M(X) נקראת הציפייה המתמטית. המשמעות של ערך זה היא שעם מספר רב של ניסויים (עם מדגם גדול), הערך הממוצע יפנה לציפייה המאוד מתמטית הזו.

נחזור לאותה קוביית משחק. הציפייה המתמטית למספר הנקודות בזריקה היא 3.5 (חשב בעצמך באמצעות הנוסחה אם אתה לא מאמין בה). נניח שזרקת אותו כמה פעמים. 4 ו-6 נפלו. בממוצע יצאו 5, כלומר רחוק מ-3.5. הם זרקו את זה שוב, 3 נפל, כלומר, בממוצע (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... איכשהו רחוק מהציפייה המתמטית. עכשיו תעשו ניסוי מטורף - גלגלו את הקובייה 1000 פעמים! ואם הממוצע הוא לא בדיוק 3.5, אז זה יהיה קרוב לזה.

הבה נחשב את הציפייה המתמטית להגרלה המתוארת לעיל. הטבלה תיראה כך:

אז הציפייה המתמטית תהיה, כפי שקבענו לעיל.

דבר נוסף הוא שהוא גם "על האצבעות", בלי נוסחה, היה קשה אם היו יותר אפשרויות. ובכן, נניח שהיו 75% כרטיסים מפסידים, 20% כרטיסים זוכים ו-5% כרטיסים זוכים.

עכשיו כמה מאפיינים של ציפייה מתמטית.

קל להוכיח את זה:

ניתן להוציא מכפיל קבוע מסימן הציפייה, כלומר:

זהו מקרה מיוחד של תכונת הליניאריות של הציפייה המתמטית.

תוצאה נוספת של הליניאריות של הציפייה המתמטית:

כלומר, התוחלת המתמטית של סכום המשתנים האקראיים שווה לסכום הציפיות המתמטיות של משתנים אקראיים.

תנו ל-X, Y להיות משתנים אקראיים בלתי תלויים, לאחר מכן:

זה גם קל להוכיח) XYעצמו הוא משתנה אקראי, ואילו אם הערכים ההתחלתיים יכולים לקחת נו Mערכים, בהתאמה, אז XYיכול לקחת ערכי nm. ההסתברות של כל אחד מהערכים מחושבת על סמך העובדה שההסתברות לאירועים עצמאיים מוכפלת. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את זה:

ציפייה מתמטית למשתנה אקראי רציף

למשתנים אקראיים מתמשכים יש מאפיין כמו צפיפות ההתפלגות (צפיפות הסתברות). זה, למעשה, מאפיין את המצב שמשתנה אקראי לוקח כמה ערכים מקבוצת המספרים הממשיים לעתים קרובות יותר, חלקם - לעתים רחוקות יותר. לדוגמה, שקול את התרשים הזה:

כאן איקס- למעשה משתנה אקראי, f(x)- צפיפות הפצה. אם לשפוט לפי הגרף הזה, במהלך הניסויים, הערך איקסלרוב יהיה מספר קרוב לאפס. סיכויים לחרוג 3 או להיות פחות -3 אלא תיאורטי בלבד.

תן, למשל, יש התפלגות אחידה:

זה די תואם את ההבנה האינטואיטיבית. נניח שאם נקבל הרבה מספרים ממשיים אקראיים עם התפלגות אחידה, כל אחד מהקטע |0; 1| , אז הממוצע האריתמטי צריך להיות בערך 0.5.

המאפיינים של תוחלת מתמטית - ליניאריות וכו', החלים על משתנים אקראיים דיסקרטיים, ישימים גם כאן.

הקשר של תוחלת מתמטית עם אינדיקטורים סטטיסטיים אחרים

בניתוח סטטיסטי, לצד ציפייה מתמטית, קיימת מערכת של אינדיקטורים תלויים הדדיים המשקפים את ההומוגניות של התופעות ואת יציבות התהליכים. לעתים קרובות, למדדי וריאציה אין משמעות עצמאית והם משמשים לניתוח נתונים נוסף. היוצא מן הכלל הוא מקדם השונות, המאפיין את ההומוגניות של הנתונים, שהוא מאפיין סטטיסטי בעל ערך.

ניתן למדוד את מידת השונות או היציבות של תהליכים במדע הסטטיסטי באמצעות מספר אינדיקטורים.

המדד החשוב ביותר המאפיין את השונות של משתנה אקראי הוא פְּזִירָה, אשר קשור באופן הדוק והישיר ביותר לציפייה המתמטית. פרמטר זה משמש באופן פעיל בסוגים אחרים של ניתוח סטטיסטי (בדיקת השערות, ניתוח קשרי סיבה ותוצאה וכו'). כמו הסטייה הליניארית הממוצעת, השונות משקפת גם את מידת התפשטות הנתונים סביב הממוצע.

כדאי לתרגם את שפת הסימנים לשפת המילים. מסתבר שהשונות היא הריבוע הממוצע של הסטיות. כלומר, תחילה מחשבים את הערך הממוצע, לאחר מכן לוקחים את ההפרש בין כל ערך מקורי לממוצע, מרוחקים אותו, מוסיפים אותו ואז מחלקים במספר הערכים באוכלוסייה זו. ההבדל בין הערך האישי לממוצע משקף את מידת הסטייה. זה בריבוע כדי להבטיח שכל הסטיות יהפכו למספרים חיוביים בלבד וכדי למנוע ביטול הדדי של סטיות חיוביות ושליליות כאשר הן מסוכמות. לאחר מכן, בהינתן הסטיות בריבוע, אנו פשוט מחשבים את הממוצע האריתמטי. ממוצע - ריבוע - סטיות. הסטיות מרובעות, והממוצע נחשב. התשובה למילת הקסם "פיזור" היא רק שלוש מילים.

עם זאת, בצורתו הטהורה, כגון, למשל, הממוצע האריתמטי, או המדד, לא נעשה שימוש בפיזור. זהו אינדיקטור עזר וביניים המשמש לסוגים אחרים של ניתוח סטטיסטי. אין לה אפילו יחידת מידה נורמלית. אם לשפוט לפי הנוסחה, זהו הריבוע של יחידת הנתונים המקורית.

בואו נמדוד משתנה מקרי נפעמים, למשל, אנו מודדים את מהירות הרוח עשר פעמים ורוצים למצוא את הערך הממוצע. איך הערך הממוצע קשור לפונקציית ההתפלגות?

או שנטיל את הקוביות מספר רב של פעמים. מספר הנקודות שייפלו על הקוביה במהלך כל זריקה הוא משתנה אקראי ויכול לקחת כל ערך טבעי מ-1 עד 6. נהוא נוטה למספר מאוד ספציפי - הציפייה המתמטית Mx. במקרה זה, Mx = 3.5.

איך נוצר הערך הזה? להכניס נניסויים n1ברגע שנורדת נקודה אחת, n2פעמים - 2 נקודות וכן הלאה. ואז מספר התוצאות שבהן נפלה נקודה אחת:

באופן דומה לגבי התוצאות כאשר נפלו 2, 3, 4, 5 ו-6 נקודות.

כעת נניח שאנו יודעים את חוק ההתפלגות של המשתנה האקראי x, כלומר, אנו יודעים שהמשתנה האקראי x יכול לקחת את הערכים x1, x2, ..., xk עם הסתברויות p1, p2, ... , pk.

הציפייה המתמטית Mx של משתנה אקראי x היא:

התוחלת המתמטית אינה תמיד הערכה סבירה של משתנה אקראי כלשהו. לכן, כדי להעריך את השכר הממוצע, סביר יותר להשתמש במושג החציון, כלומר ערך כזה שמספר האנשים שמקבלים פחות מהשכר החציוני ויותר, זהה.

ההסתברות p1 שהמשתנה האקראי x קטן מ-x1/2 וההסתברות p2 שהמשתנה האקראי x גדול מ-x1/2 זהה ושווה ל-1/2. החציון אינו נקבע באופן ייחודי עבור כל ההתפלגויות.

תקן או סטיית תקןבסטטיסטיקה נקראת מידת הסטייה של נתוני תצפית או סטים מהערך AVERAGE. מסומן באותיות s או s. סטיית תקן קטנה מצביעה על כך שהנתונים מקובצים סביב הממוצע, וסטיית תקן גדולה מצביעה על כך שהנתונים הראשוניים רחוקים ממנו. סטיית התקן שווה לשורש הריבועי של כמות הנקראת השונות. זהו הממוצע של סכום ההבדלים בריבוע של הנתונים הראשוניים החורגים מהממוצע. סטיית התקן של משתנה אקראי היא השורש הריבועי של השונות:

דוגמא. בתנאי בדיקה בעת ירי לעבר מטרה, חשב את השונות וסטיית התקן של משתנה אקראי:

וָרִיאַצִיָה- תנודה, שונות של ערך התכונה ביחידות האוכלוסייה. ערכים מספריים נפרדים של תכונה המתרחשת באוכלוסייה הנחקרת נקראים וריאנטים של ערכים. חוסר הערך הממוצע לאפיון מלא של האוכלוסייה מחייב להשלים את ערכי הממוצע באינדיקטורים המאפשרים להעריך את האופיניות של ממוצעים אלו על ידי מדידת התנודות (השונות) של התכונה הנחקרת. מקדם השונות מחושב על ידי הנוסחה:

וריאציה של טווח(R) הוא ההבדל בין הערכים המקסימליים והמינימליים של התכונה באוכלוסייה הנחקרת. אינדיקטור זה נותן את הרעיון הכללי ביותר של התנודות של התכונה הנחקרת, מכיוון שהוא מראה את ההבדל רק בין הערכים הקיצוניים של האפשרויות. התלות בערכים הקיצוניים של התכונה מעניקה לטווח השונות אופי אקראי לא יציב.

סטייה ליניארית ממוצעתהוא הממוצע האריתמטי של הסטיות המוחלטות (מודולו) של כל הערכים של האוכלוסייה המנותחת מערכם הממוצע:

ציפייה מתמטית בתורת ההימורים

הציפייה המתמטית היאסכום הכסף הממוצע שמהמר יכול לזכות או להפסיד בהימור נתון. זהו מושג מאוד משמעותי עבור שחקן, מכיוון שהוא בסיסי להערכת רוב מצבי המשחק. ציפייה מתמטית היא גם הכלי הטוב ביותר לניתוח פריסות קלפים בסיסיות ומצבי משחק.

נניח שאתה משחק מטבע עם חבר, עושה הימור שווה של $1 בכל פעם, לא משנה מה עולה. זנבות - אתה מנצח, ראשים - אתה מפסיד. הסיכוי שזה יגיע הוא אחד לאחד ואתה מהמר על $1 עד $1. לפיכך, הציפייה המתמטית שלך היא אפס, כי מבחינה מתמטית, אתה לא יכול לדעת אם תוביל או תפסיד אחרי שתי סיבובים או אחרי 200.

הרווח השעתי שלך הוא אפס. תשלום לפי שעה הוא סכום הכסף שאתה מצפה לזכות בשעה. אתה יכול להפיל מטבע 500 פעמים תוך שעה, אבל לא תנצח או תפסיד בגלל הסיכויים שלך לא חיוביים ולא שליליים. אם מסתכלים, מנקודת מבטו של שחקן רציני, מערכת הימורים כזו היא לא רעה. אבל זה סתם בזבוז זמן.

אבל נניח שמישהו רוצה להמר $2 נגד $1 שלך באותו משחק. אז יש לך מיד ציפייה חיובית של 50 סנט מכל הימור. למה 50 סנט? בממוצע, אתה זוכה בהימור אחד ומפסיד בשני. הימר על הדולר הראשון והפסיד $1, הימר על השני וזכה ב-$2. הימרת על $1 פעמיים והקדמת ב-$1. אז כל אחד מההימורים שלך בדולר אחד נתן לך 50 סנט.

אם המטבע נופל 500 פעמים בשעה אחת, הרווח השעתי שלך יהיה כבר 250$, כי. בממוצע, הפסדת 1250 דולר וזכית ב-2250 דולר. 500$ פחות 250$ שווה ל-$250, שזה הניצחון הכולל. שימו לב שהערך הצפוי, שהוא הסכום בו אתם זוכים בממוצע בהימור בודד, הוא 50 סנט. זכית ב-$250 על ידי הימור על דולר 500 פעמים, השווה ל-50 סנט מההימור שלך.

לציפיות מתמטיות אין שום קשר לתוצאות קצרות טווח. היריב שלך, שהחליט להמר נגדך 2$, יכול לנצח אותך בעשר ההטלות הראשונות ברציפות, אבל אתה, עם יתרון הימור של 2 ל-1, כל השאר שווה, מרוויח 50 סנט על כל הימור של 1$ תחת כל הימור. נסיבות. זה לא משנה אם אתה מנצח או מפסיד הימור אחד או כמה הימורים, אלא רק בתנאי שיש לך מספיק מזומן כדי לפצות בקלות על העלויות. אם תמשיך להמר באותה צורה, אז לאורך תקופה ארוכה הזכייה שלך תגיע לסכום הערכים הצפויים בגלילות בודדות.

בכל פעם שאתה מבצע הימור טוב יותר (הימור שיכול להיות רווחי בטווח הארוך) כאשר הסיכויים הם לטובתך, אתה חייב לזכות במשהו על זה, בין אם אתה מפסיד אותו או לא ביד נתונה. לעומת זאת, אם ביצעת הימור עם תוצאה גרועה יותר (הימור שאינו משתלם בטווח הארוך) כאשר הסיכויים אינם לטובתך, אתה מפסיד משהו, ללא קשר אם ניצחת או הפסדת ביד זו.

אתה מהמר עם התוצאה הטובה ביותר אם הציפייה שלך חיובית, וזה חיובי אם הסיכויים הם לטובתך. בהימור עם התוצאה הגרועה ביותר, יש לך ציפייה שלילית, מה שקורה כאשר הסיכויים נגדך. שחקנים רציניים מהמרים רק עם התוצאה הטובה ביותר, עם הגרוע ביותר - הם מתקפלים. מה המשמעות של הסיכויים לטובתך? אתה עלול בסופו של דבר לנצח יותר ממה שהסיכויים בפועל מביאים. הסיכויים האמיתיים להכות זנבות הם 1 ל-1, אבל אתה מקבל 2 ל-1 בגלל יחס ההימורים. במקרה זה, הסיכויים הם לטובתך. אתה בהחלט מקבל את התוצאה הטובה ביותר עם ציפייה חיובית של 50 סנט לכל הימור.

הנה דוגמה מורכבת יותר של ציפייה מתמטית. החבר רושם את המספרים מאחד עד חמש ומהמר $5 מול $1 שלך שלא תבחר את המספר. האם אתה מסכים להימור כזה? מה הציפייה כאן?

בממוצע, אתה תטעה ארבע פעמים. בהתבסס על זה, הסיכויים נגדך לנחש את המספר יהיו 4 ל-1. רוב הסיכויים שתפסיד דולר בניסיון אחד. עם זאת, אתה מנצח 5 ל-1, עם אפשרות להפסיד 4 ל-1. לכן, הסיכויים הם לטובתך, אתה יכול לקחת את ההימור ולקוות לתוצאה הטובה ביותר. אם תבצע את ההימור הזה חמש פעמים, בממוצע תפסיד ארבע פעמים $1 ותזכה פעם אחת $5. בהתבסס על זה, עבור כל חמשת הניסיונות תרוויח $1 עם ציפייה מתמטית חיובית של 20 סנט לכל הימור.

שחקן שהולך לנצח יותר ממה שהוא מהמר, כמו בדוגמה למעלה, תופס את הסיכויים. לעומת זאת, הוא הורס את הסיכויים כאשר הוא מצפה לנצח פחות ממה שהוא הימר. למהמר יכולה להיות ציפייה חיובית או שלילית תלוי אם הוא תופס או הורס את הסיכויים.

אם תהמר על 50$ כדי לזכות ב-$10 עם סיכוי של 4 ל-1 לזכות, תקבל ציפייה שלילית של 2$, מכיוון בממוצע, תרוויח ארבע פעמים 10$ ותפסיד 50$ פעם אחת, מה שמראה שההפסד לכל הימור יהיה 10$. אבל אם אתה מהמר 30$ כדי לזכות ב-$10, עם אותם סיכויי זכייה של 4 ל-1, אז במקרה הזה יש לך ציפייה חיובית של 2$, כי אתה שוב זוכה ארבע פעמים 10$ ומפסיד 30$ פעם אחת, תמורת רווח של 10$. דוגמאות אלו מראות שההימור הראשון רע והשני טוב.

ציפייה מתמטית היא המרכז של כל מצב משחק. כאשר יצרנית הימורים מעודדת אוהדי כדורגל להמר על 11 דולר כדי לזכות ב-10 דולר, יש להם ציפייה חיובית של 50 סנט על כל 10 דולר. אם הקזינו משלם אפילו כסף מקו ה-Craps Pass, אז התחזית החיובית של הבית היא בערך $1.40 לכל $100; המשחק הזה בנוי כך שכל מי שמהמר על הקו הזה מפסיד 50.7% בממוצע ומנצח 49.3% מהמקרים. אין ספק שציפייה חיובית מינימלית זו היא שמביאה רווחים עצומים לבעלי קזינו ברחבי העולם. כפי שציין בעל הקזינו של וגאס וורלד, בוב סטופאק, "הסתברות שלילית של אלפית האחוז על פני מרחק מספיק ארוך תפשט את הרגל של האיש העשיר בעולם".

ציפייה מתמטית בעת משחק פוקר

משחק הפוקר הוא הדוגמה הממחישה והממחישה ביותר במונחים של שימוש בתיאוריה ובמאפיינים של ציפייה מתמטית.

ערך צפוי בפוקר הוא התועלת הממוצעת מהחלטה מסוימת, בתנאי שניתן לשקול החלטה כזו במסגרת התיאוריה של מספרים גדולים ומרחק רב. פוקר מוצלח הוא לקבל תמיד מהלכים עם ציפייה מתמטית חיובית.

המשמעות המתמטית של הציפייה המתמטית בעת משחק פוקר נעוצה בעובדה שאנו נתקלים לעתים קרובות במשתנים אקראיים בעת קבלת החלטה (איננו יודעים אילו קלפים יש ליריב בידו, אילו קלפים יגיעו בסבבי ההימורים הבאים). עלינו לשקול כל אחד מהפתרונות מנקודת המבט של תורת המספרים הגדולים, שאומרת שעם מדגם גדול מספיק, הערך הממוצע של משתנה מקרי ישאף לציפיות המתמטיות שלו.

בין הנוסחאות הספציפיות לחישוב התוחלת המתמטית, הדברים הבאים ישימים ביותר בפוקר:

כאשר משחקים פוקר, ניתן לחשב את התוחלת המתמטית הן עבור הימורים והן עבור קריאות. במקרה הראשון, יש לקחת בחשבון fold equity, במקרה השני, הסיכויים של הקופה עצמה. כאשר מעריכים את הציפייה המתמטית למהלך מסוים, יש לזכור שלקפל תמיד יש ציפייה מתמטית אפסית. לפיכך, ביטול קלפים תמיד תהיה החלטה משתלמת יותר מכל מהלך שלילי.

ציפייה אומרת לך למה אתה יכול לצפות (רווח או הפסד) עבור כל דולר שאתה מסתכן. בתי קזינו עושים כסף כי הציפייה המתמטית מכל המשחקים שמתורגלים בהם היא לטובת הקזינו. עם סדרה ארוכה מספיק של משחקים, ניתן לצפות שהלקוח יפסיד את כספו, שכן ה"הסתברות" היא לטובת הקזינו. עם זאת, שחקני קזינו מקצועיים מגבילים את המשחקים שלהם לפרקי זמן קצרים, ובכך מגדילים את הסיכויים לטובתם. אותו דבר לגבי השקעה. אם הציפייה שלך חיובית, אתה יכול להרוויח יותר כסף על ידי ביצוע עסקאות רבות בפרק זמן קצר. הצפי הוא אחוז הרווח שלך לניצחון כפול הרווח הממוצע שלך פחות ההסתברות להפסד שלך כפול ההפסד הממוצע שלך.

פוקר יכול להיחשב גם במונחים של ציפייה מתמטית. אפשר להניח שמהלך מסוים הוא משתלם, אבל במקרים מסוימים הוא לא הכי טוב, כי מהלך אחר משתלם יותר. נניח שחבטת בבית מלא בפוקר של חמישה קלפים. היריב שלך מהמר. אתה יודע שאם תעלה את המוקד, הוא יתקשר. אז העלאה נראית כמו הטקטיקה הטובה ביותר. אבל אם תגביה, שני השחקנים הנותרים יתקפלו בוודאות. אבל אם תקרא להימור, אתה תהיה בטוח לחלוטין ששני השחקנים האחרים אחריך יעשו את אותו הדבר. כאשר אתה מעלה את ההימור, אתה מקבל יחידה אחת, ופשוט על ידי קריאה אתה מקבל שתיים. אז התקשרות נותנת לך ערך צפוי חיובי גבוה יותר והיא הטקטיקה הטובה ביותר.

הציפייה המתמטית יכולה גם לתת מושג איזה טקטיקות פוקר פחות רווחיות ואילו רווחיות יותר. לדוגמה, אם אתה משחק ביד מסוימת ואתה חושב שההפסד הממוצע שלך הוא 75 סנט כולל האנטים, אז אתה צריך לשחק ביד זו מכיוון זה עדיף על קיפול כאשר האנטה הוא $1.

סיבה חשובה נוספת להבנת הערך הצפוי היא שזה נותן לך תחושה של שקט נפשי בין אם תזכה בהימור ובין אם לא: אם תבצע הימור טוב או תעביר בזמן, תדע שהשקעת או חסכת כמות מסוימת של כסף, ששחקן חלש יותר לא יכול היה לחסוך. זה הרבה יותר קשה לקפל אם אתה מתוסכל מכך שליריבך יש יד טובה יותר בהגרלה. עם זאת, הכסף שאתה חוסך על ידי אי-משחק, במקום הימור, מתווסף לזכייה הלילה או החודשית שלך.

רק תזכור שאם היית מחליף ידיים, היריב שלך היה קורא לך, וכפי שתראה במאמר היסוד של הפוקר, זה רק אחד היתרונות שלך. אתה צריך לשמוח כשזה קורה. אתה יכול אפילו ללמוד ליהנות מאבדן יד, כי אתה יודע ששחקנים אחרים בנעליים שלך יפסידו הרבה יותר.

כפי שנדון בדוגמה של משחק המטבעות בהתחלה, שיעור ההחזר השעתי קשור לציפיות המתמטיות, ותפיסה זו חשובה במיוחד עבור שחקנים מקצועיים. כאשר אתה הולך לשחק פוקר, אתה חייב להעריך מנטלית כמה אתה יכול לזכות בשעה של משחק. ברוב המקרים, תצטרכו להסתמך על האינטואיציה והניסיון שלכם, אך תוכלו גם להשתמש בכמה חישובים מתמטיים. לדוגמה, אם אתה משחק Draw Lowball ואתה רואה שלושה שחקנים מהמרים $10 ואז שולפים שני קלפים, וזו טקטיקה גרועה מאוד, אתה יכול לחשב בעצמך שבכל פעם שהם מהמרים $10 הם מפסידים בערך $2. כל אחד מהם עושה זאת שמונה פעמים בשעה, מה שאומר ששלושתם מפסידים כ-48$ לשעה. אתה אחד מארבעת השחקנים הנותרים, שהם בערך שווים, אז ארבעת השחקנים האלה (ואתה ביניהם) חייבים לחלוק 48$, וכל אחד ירוויח 12$ לשעה. התעריף השעתי שלך במקרה זה הוא פשוט החלק שלך בסכום הכסף שאבדו שלושה שחקנים גרועים בשעה.

לאורך תקופה ארוכה, סך הזכיות של השחקן הוא סכום הציפיות המתמטיות שלו בהפצות נפרדות. ככל שאתה משחק יותר עם ציפייה חיובית, אתה מנצח יותר, ולהפך, ככל שאתה משחק יותר ידיים עם ציפייה שלילית, אתה מפסיד יותר. כתוצאה מכך, עליך לתעדף משחק שיכול למקסם את הציפייה החיובית שלך או לשלול את הציפייה השלילית שלך כדי שתוכל למקסם את הרווח השעתי שלך.

ציפייה מתמטית חיובית באסטרטגיית משחק

אם אתה יודע לספור קלפים, ייתכן שיהיה לך יתרון על פני הקזינו אם הם לא ישימו לב ויעיפו אותך החוצה. בתי קזינו אוהבים מהמרים שיכורים ואינם יכולים לסבול ספירת קלפים. היתרון יאפשר לך לנצח יותר פעמים ממה שאתה מפסיד לאורך זמן. ניהול כסף טוב באמצעות חישובי ציפיות יכול לעזור לך לנצל את היתרון שלך ולצמצם את ההפסדים שלך. בלי יתרון, עדיף שתתן את הכסף לצדקה. במשחק בבורסה היתרון ניתן על ידי מערכת המשחק שיוצרת יותר רווח מהפסדים, הפרשי מחירים ועמלות. שום ניהול סכום כסף לא יחסוך מערכת משחקים גרועה.

ציפייה חיובית מוגדרת על ידי ערך גדול מאפס. ככל שמספר זה גדול יותר, כך התוחלת הסטטיסטית חזקה יותר. אם הערך קטן מאפס, אז גם התוחלת המתמטית תהיה שלילית. ככל שהמודלוס של ערך שלילי גדול יותר, המצב גרוע יותר. אם התוצאה היא אפס, אז הציפייה היא שבירה. אתה יכול לנצח רק כשיש לך ציפייה מתמטית חיובית, מערכת משחק סבירה. משחק על אינטואיציה מוביל לאסון.

ציפייה מתמטית ומסחר במניות

תוחלת מתמטית היא אינדיקטור סטטיסטי מבוקש למדי ופופולרי במסחר במטבעות בשווקים הפיננסיים. קודם כל, פרמטר זה משמש לניתוח הצלחת המסחר. לא קשה לנחש שככל שהערך הזה גדול יותר, כך יותר סיבה לשקול את המקצוע הנחקר כמוצלח. כמובן, ניתוח עבודתו של סוחר אינו יכול להתבצע רק בעזרת פרמטר זה. עם זאת, הערך המחושב, בשילוב עם שיטות אחרות להערכת איכות העבודה, יכול להגביר באופן משמעותי את דיוק הניתוח.

הציפייה המתמטית מחושבת לרוב בשירותי ניטור חשבונות מסחר, המאפשרים להעריך במהירות את העבודה שבוצעה על הפיקדון. כיוצאים מן הכלל, אנו יכולים לצטט אסטרטגיות המשתמשות ב"הישארות יתר" של עסקאות מפסידות. סוחר עשוי להיות בר מזל במשך זמן מה, ולכן, בעבודתו יתכן שלא יהיו הפסדים כלל. במקרה זה לא ניתן יהיה לנווט רק לפי הציפייה, כי לא יובאו בחשבון הסיכונים בהם נעשה שימוש.

במסחר בשוק, תוחלת מתמטית משמשת לרוב בעת חיזוי הרווחיות של אסטרטגיית מסחר או בעת חיזוי הכנסה של סוחר בהתבסס על הסטטיסטיקה של העסקאות הקודמות שלו.

בכל הנוגע לניהול כספים, חשוב מאוד להבין שכאשר מבצעים עסקאות עם ציפייה שלילית, אין תוכנית לניהול כסף שבהחלט יכולה להביא רווחים גבוהים. אם תמשיך לשחק בבורסה בתנאים אלה, אז ללא קשר לאופן שבו אתה מנהל את הכסף שלך, אתה תאבד את כל החשבון שלך, לא משנה כמה הוא היה גדול בהתחלה.

האקסיומה הזו נכונה לא רק למשחקי ציפיות שליליות או עסקאות, היא נכונה גם למשחקי סיכויים אפילו. לכן, המקרה היחיד שבו יש לך סיכוי להרוויח בטווח הארוך הוא בעת ביצוע עסקאות עם ציפייה מתמטית חיובית.

ההבדל בין ציפייה שלילית לציפייה חיובית הוא ההבדל בין חיים למוות. זה לא משנה כמה חיובית או שלילית הציפייה היא; מה שחשוב זה אם זה חיובי או שלילי. לכן, לפני ששוקלים ניהול כסף, עליכם למצוא משחק עם ציפייה חיובית.

אם אין לך את המשחק הזה, אז שום ניהול כסף בעולם לא יציל אותך. מצד שני, אם יש לכם ציפייה חיובית, אז אפשר, באמצעות ניהול כספים נכון, להפוך אותו לפונקציית צמיחה אקספוננציאלית. זה לא משנה כמה קטנה הציפייה החיובית! במילים אחרות, זה לא משנה כמה רווחית מערכת מסחר המבוססת על חוזה אחד. אם יש לך מערכת שזוכה ב-$10 לכל חוזה בעסקה בודדת (לאחר עמלות והחלקה), אתה יכול להשתמש בטכניקות ניהול כסף כדי להפוך אותה לרווחית יותר מאשר מערכת שמציגה רווח ממוצע של $1,000 לכל עסקה (לאחר ניכוי עמלות ו החלקה).

מה שחשוב הוא לא עד כמה המערכת הייתה רווחית, אלא עד כמה בטוח אפשר לומר שהמערכת תציג לפחות רווח מינימלי בעתיד. לכן, ההכנה החשובה ביותר שסוחר יכול לעשות היא לוודא שהמערכת מציגה ערך צפוי חיובי בעתיד.

על מנת לקבל ערך צפוי חיובי בעתיד, חשוב מאוד לא להגביל את דרגות החופש של המערכת שלכם. זה מושג לא רק על ידי ביטול או הפחתה של מספר הפרמטרים שיש לבצע אופטימיזציה, אלא גם על ידי צמצום כללי מערכת רבים ככל האפשר. כל פרמטר שאתה מוסיף, כל כלל שאתה עושה, כל שינוי זעיר שאתה מבצע במערכת מפחית את מספר דרגות החופש. באופן אידיאלי, אתה רוצה לבנות מערכת די פרימיטיבית ופשוטה שתביא כל הזמן רווח קטן כמעט בכל שוק. שוב, חשוב שתבינו שזה לא משנה כמה רווחית מערכת, כל עוד היא רווחית. הכסף שתרוויח במסחר ירווח באמצעות ניהול כסף יעיל.

מערכת מסחר היא פשוט כלי שנותן לך ציפייה מתמטית חיובית כך שניתן יהיה להשתמש בניהול הכסף. מערכות שעובדות (מציגות לפחות רווח מינימלי) בשווקים אחד או מעטים בלבד, או שיש להן כללים או פרמטרים שונים עבור שווקים שונים, סביר להניח שלא יפעלו בזמן אמת במשך זמן רב. הבעיה עם רוב הסוחרים בעלי אוריינטציה טכנית היא שהם מבלים יותר מדי זמן ומאמץ באופטימיזציה של הכללים והפרמטרים השונים של מערכת מסחר. זה נותן תוצאות הפוכות לחלוטין. במקום לבזבז אנרגיה וזמן מחשב על הגדלת הרווחים של מערכת המסחר, הפנו את האנרגיה שלכם להגברת רמת האמינות של השגת מינימום רווח.

בידיעה שניהול כסף הוא רק משחק מספרים הדורש שימוש בציפיות חיוביות, סוחר יכול להפסיק לחפש את ה"גביע הקדוש" של מסחר במניות. במקום זאת, הוא יכול להתחיל לבחון את שיטת המסחר שלו, לגלות כיצד השיטה הזו נכונה מבחינה לוגית, האם היא נותנת ציפיות חיוביות. שיטות ניהול כסף נכונות המיושמות בכל שיטת מסחר, אפילו בינונית מאוד, יעשו את שאר העבודה.

כל סוחר להצלחה בעבודתו צריך לפתור שלוש משימות חשובות ביותר: . להבטיח שמספר העסקאות המוצלחות יעלה על הטעויות והחישובים השגויים הבלתי נמנעים; הגדר את מערכת המסחר שלך כך שההזדמנות להרוויח כסף תהיה לעתים קרובות ככל האפשר; השג תוצאה חיובית יציבה של הפעולות שלך.

וכאן, עבורנו, סוחרים עובדים, תוחלת מתמטית יכולה לספק עזרה טובה. מונח זה בתורת ההסתברות הוא אחד המפתחות. בעזרתו תוכלו לתת אומדן ממוצע של ערך אקראי כלשהו. הציפייה המתמטית של משתנה אקראי היא כמו מרכז הכובד, אם נדמיין את כל ההסתברויות האפשריות כנקודות עם מסות שונות.

ביחס לאסטרטגיית מסחר, כדי להעריך את יעילותה, נעשה לרוב שימוש בציפייה המתמטית לרווח (או הפסד). פרמטר זה מוגדר כסכום התוצרים של רמות נתונות של רווח והפסד והסתברות להתרחשותם. לדוגמה, אסטרטגיית המסחר שפותחה מניחה ש-37% מכלל הפעולות יביאו רווח, והחלק הנותר - 63% - יהיה לא רווחי. במקביל, ההכנסה הממוצעת מעסקה מוצלחת תעמוד על 7$, וההפסד הממוצע יעמוד על 1.4$. בואו לחשב את התוחלת המתמטית למסחר באמצעות המערכת הבאה:

מה אומר המספר הזה? הוא אומר כי בהתאם לכללי המערכת הזו, בממוצע, נקבל 1.708 דולר מכל עסקה סגורה. מכיוון שציון היעילות המתקבל גדול מאפס, ניתן להשתמש במערכת כזו לעבודה אמיתית. אם כתוצאה מהחישוב התחזית המתמטית תתברר כשלילית, אז זה כבר מעיד על הפסד ממוצע ומסחר כזה יוביל לחורבן.

ניתן לבטא את כמות הרווח לכל עסקה גם כערך יחסי בצורה של%. לדוגמה:

– אחוז הכנסה לעסקה אחת - 5%;

– אחוז פעולות מסחר מוצלחות - 62%;

– אחוז הפסד לכל עסקה אחת - 3%;

- אחוז העסקאות הלא מוצלחות - 38%;

כלומר, העסקה הממוצעת תביא 1.96%.

אפשר לפתח מערכת שלמרות הדומיננטיות של עסקאות מפסידות, תיתן תוצאה חיובית, שכן היא MO>0.

עם זאת, המתנה לבדה אינה מספיקה. קשה להרוויח כסף אם המערכת נותנת מעט מאוד אותות מסחר. במקרה זה, הרווחיות שלו תהיה דומה לריבית הבנקאית. תן לכל פעולה להכניס רק 0.5 דולר בממוצע, אבל מה אם המערכת מניחה 1000 עסקאות בשנה? זה יהיה סכום רציני מאוד תוך זמן קצר יחסית. מכאן נובע באופן הגיוני שסימן היכר נוסף של מערכת מסחר טובה יכול להיחשב לתקופת החזקה קצרה.

מקורות וקישורים

dic.academic.ru - מילון מקוון אקדמי

mathematics.ru - אתר חינוכי על מתמטיקה

nsu.ru - אתר חינוכי של אוניברסיטת נובוסיבירסק

webmath.ru הוא פורטל חינוכי לסטודנטים, מועמדים ותלמידי בית ספר.

אתר מתמטי חינוכי exponenta.ru

ru.tradimo.com - בית ספר למסחר מקוון בחינם

crypto.hut2.ru - משאב מידע רב תחומי

poker-wiki.ru - אנציקלופדיה חופשית של פוקר

sernam.ru - ספרייה מדעית של פרסומים נבחרים של מדעי הטבע

reshim.su - אתר SOLVE משימות בקרת קורסים

unfx.ru - פורקס על UNFX: חינוך, אותות מסחר, ניהול אמון

slovopedia.com - מילון אנציקלופדיות גדול

pokermansion.3dn.ru - המדריך שלך לעולם הפוקר

statanaliz.info - בלוג מידע "ניתוח נתונים סטטיסטיים"

forex-trader.rf - פורטל Forex-Trader

megafx.ru - ניתוח מט"ח עדכני

fx-by.com - הכל לסוחר

משימה 1.ההסתברות לנביטה של ​​זרעי חיטה היא 0.9. מה ההסתברות שמתוך ארבעה זרעים שנזרעו, לפחות שלושה יבצבצו?

פִּתָרוֹן. תן לאירוע אבל- מתוך 4 זרעים ינבטו לפחות 3 זרעים; מִקרֶה בְּ- מתוך 4 זרעים ינבטו 3 זרעים; מִקרֶה מ 4 זרעים ינבטו מ-4 זרעים. לפי משפט חיבור ההסתברות

הסתברויות
ו
אנו קובעים לפי נוסחת ברנולי המשמשת במקרה הבא. תן לסדרה לרוץ פניסויים עצמאיים, שבכל אחד מהם ההסתברות להתרחשות אירוע קבועה ושווה ל ר, וההסתברות שאירוע זה לא יתרחש שווה ל
. ואז ההסתברות שהאירוע אבלב פבדיקות יופיעו בדיוק פעמים, מחושב לפי נוסחת ברנולי

,

איפה
- מספר השילובים של פאלמנטים על ידי . לאחר מכן

הסתברות רצויה

משימה 2.ההסתברות לנביטה של ​​זרעי חיטה היא 0.9. מצא את ההסתברות שמתוך 400 זרעים שנזרעו, 350 זרעים ינבטו.

פִּתָרוֹן. חשב את ההסתברות הנדרשת
על פי נוסחת ברנולי קשה בגלל מסורבלות החישובים. לכן, אנו מיישמים נוסחה משוערת המבטאת את משפט לפלס המקומי:

,

איפה
ו
.

מתוך הצהרת הבעיה. לאחר מכן

.

מטבלה 1 של יישומים אנו מוצאים . ההסתברות הרצויה שווה ל

משימה 3.מבין זרעי החיטה, 0.02% מהעשבים השוטים. מהי ההסתברות שבחירה אקראית של 10,000 זרעים תגלה 6 זרעי עשב?

פִּתָרוֹן. יישום משפט לפלס המקומי עקב הסתברות נמוכה
מוביל לסטייה משמעותית של ההסתברות מהערך המדויק
. לכן, לערכים קטנים רלחשב
ליישם את נוסחת הפואסון האסימפטוטית

, איפה .

נוסחה זו משמשת כאשר
, וכמה שפחות רועוד פ, כך התוצאה מדויקת יותר.

לפי המשימה
;
. לאחר מכן

משימה 4.אחוז הנביטה של ​​זרעי חיטה הוא 90%. מצא את ההסתברות שמ-500 זרעים שנזרעו, יבצו בין 400 ל-440 זרעים.

פִּתָרוֹן. אם ההסתברות להתרחשות אירוע אבלבכל אחד מ פמבחנים קבועים ושווים ל ר, ואז ההסתברות
כי האירוע אבלבמבחנים כאלה יהיו לפחות פעם אחת ולא יותר הזמנים נקבעים על ידי משפט האינטגרל של לפלס על ידי הנוסחה הבאה:

, איפה

,
.

פוּנקצִיָה
נקראת פונקציית Laplace. הנספחים (טבלה 2) מספקים את הערכים של פונקציה זו עבור
. בְּ
פוּנקצִיָה
. לערכים שליליים איקסבשל המוזרות של פונקציית Laplace
. באמצעות הפונקציה Laplace, יש לנו:

לפי המשימה. באמצעות הנוסחאות לעיל, אנו מוצאים
ו :

משימה 5.ניתן חוק ההתפלגות של משתנה מקרי בדיד איקס:

2. מצא: 1) ציפייה מתמטית; 2) פיזור; 3) סטיית תקן.

פִּתָרוֹן. 1) אם חוק ההתפלגות של משתנה מקרי בדיד ניתן על ידי הטבלה

2. כאשר ערכי המשתנה האקראי x ניתנים בשורה הראשונה, וההסתברויות של ערכים אלו ניתנות בשורה השנייה, אזי התוחלת המתמטית מחושבת על ידי הנוסחה

2) פיזור
משתנה אקראי בדיד איקסנקראת התוחלת המתמטית של ריבוע הסטייה של משתנה מקרי מהתוחלת המתמטית שלו, כלומר.

ערך זה מאפיין את הערך הצפוי הממוצע של הסטייה בריבוע איקסמ
. מהנוסחה האחרונה שיש לנו

פְּזִירָה
ניתן למצוא בדרך אחרת, על סמך המאפיין הבא שלו: שונות
שווה להפרש בין התוחלת המתמטית של ריבוע המשתנה האקראי איקסוריבוע הציפייה המתמטית שלו
, זה

לחשב
אנו מרכיבים את חוק ההתפלגות הבא של הכמות
:

3) כדי לאפיין את פיזור הערכים האפשריים של משתנה אקראי סביב הערך הממוצע שלו, מוצגת סטיית התקן
משתנה רנדומלי איקס, שווה לשורש הריבועי של השונות
, זה

.

מהנוסחה הזו יש לנו:

משימה 6.משתנה מקרי מתמשך איקסנתון על ידי פונקציית ההתפלגות האינטגרלית

מצא: 1) פונקציית התפלגות דיפרנציאלית
; 2) ציפייה מתמטית
; 3) פיזור
.

פִּתָרוֹן. 1) פונקציית התפלגות דיפרנציאלית
משתנה אקראי רציף איקסנקראת הנגזרת של פונקציית ההתפלגות האינטגרלית
, זה

.

לפונקציית ההפרש הרצויה יש את הצורה הבאה:

2) אם משתנה אקראי רציף איקסנתון על ידי הפונקציה
, אז התוחלת המתמטית שלו נקבעת על ידי הנוסחה

מאז הפונקציה
בְּ-
וב
שווה לאפס, אז מהנוסחה האחרונה שיש לנו

.

3) פיזור
להגדיר לפי הנוסחה

משימה 7.אורך החלק הוא משתנה אקראי המחולק נורמלי עם תוחלת מתמטית של 40 מ"מ וסטיית תקן של 3 מ"מ. מצא: 1) את ההסתברות שאורכו של חלק שרירותי יהיה יותר מ-34 מ"מ ופחות מ-43 מ"מ; 2) ההסתברות שאורך החלק יחרוג מהציפיות המתמטיות שלו בלא יותר מ-1.5 מ"מ.

פִּתָרוֹן. 1) תן איקס- אורך החלק. אם המשתנה האקראי איקסנתון על ידי הפונקציה הדיפרנציאלית
, ואז ההסתברות ש איקסייקח את הערכים השייכים לקטע
, נקבע על ידי הנוסחה

.

הסתברות למילוי אי שוויון קפדני
נקבע לפי אותה נוסחה. אם המשתנה האקראי איקסמופץ לפי החוק הרגיל, אם כן

, (1)

איפה
היא פונקציית לפלס,
.

במשימה. לאחר מכן

2) לפי מצב הבעיה, איפה
. החלפה לתוך (1), יש לנו

. (2)

מנוסחה (2) יש לנו.

ערך צפוי

פְּזִירָהמשתנה אקראי מתמשך X, שהערכים האפשריים שלו שייכים לכל הציר Ox, נקבע על ידי השוויון:

הקצאת שירות. המחשבון המקוון נועד לפתור בעיות שבהן צפיפות הפצה f(x) , או פונקציית התפלגות F(x) (ראה דוגמה). בדרך כלל במשימות כאלה נדרש למצוא תוחלת מתמטית, סטיית תקן, צייר את הפונקציות f(x) ו-F(x).

הוראה. בחר את סוג נתוני הקלט: צפיפות התפלגות f(x) או פונקציית הפצה F(x) .

בהינתן צפיפות ההתפלגות f(x) בהינתן פונקציית ההתפלגות F(x)

צפיפות ההתפלגות f(x) ניתנת:

פונקציית ההתפלגות F(x) ניתנת:

משתנה מקרי רציף מוגדר על ידי צפיפות הסתברות
(חוק הפצה ריילי - משמש בהנדסת רדיו). מצא את M(x) , D(x) .

המשתנה האקראי X נקרא רָצִיף , אם פונקציית ההפצה שלו F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי רציף משמשת לחישוב ההסתברויות של משתנה מקרי ליפול למרווח נתון:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
יתרה מכך, עבור משתנה אקראי רציף, אין זה משנה אם הגבולות שלו נכללים במרווח זה או לא:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
צפיפות הפצה משתנה מקרי רציף נקרא הפונקציה
f(x)=F'(x) , נגזרת של פונקציית ההתפלגות.

מאפייני צפיפות הפצה

1. צפיפות ההתפלגות של משתנה אקראי אינה שלילית (f(x) ≥ 0) עבור כל הערכים של x.
2. מצב נורמליזציה:

המשמעות הגיאומטרית של תנאי הנורמליזציה: השטח מתחת לעקומת צפיפות ההתפלגות שווה לאחד.
3. ניתן לחשב את ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי X במרווח מ-α ל-β על ידי הנוסחה

מבחינה גיאומטרית, ההסתברות שמשתנה אקראי רציף X נופל לתוך המרווח (α, β) שווה לשטח הטרפז העקום מתחת לעקומת צפיפות ההתפלגות המבוססת על מרווח זה.
4. פונקציית ההתפלגות מתבטאת במונחים של צפיפות באופן הבא:

ערך צפיפות ההתפלגות בנקודה x אינו שווה להסתברות לקחת ערך זה; עבור משתנה אקראי רציף, נוכל לדבר רק על ההסתברות ליפול למרווח נתון. תן

• הציפייה המתמטית של סכום הערכים שנלקחו באקראי שווה לסכום הציפיות המתמטיות שלהם:

• הציפייה המתמטית של המכפלה של משתנים אקראיים בלתי תלויים = מכפלת הציפיות המתמטיות שלהם:

M=M[X]+M[Y]

אם איקסו יעצמאי.

אם הסדרה מתכנסת:

אלגוריתם לחישוב התוחלת המתמטית.

מאפיינים של משתנים אקראיים בדידים: ניתן למספר מחדש את כל הערכים שלהם במספרים טבעיים; להשוות לכל ערך הסתברות שאינה אפס.

1. הכפלו את הזוגות בתורם: x iעל פאי.

2. הוסף את המוצר של כל זוג x i p i.

לדוגמה, ל נ = 4 :

פונקציית התפלגות של משתנה מקרי בדידבהדרגה, הוא גדל בפתאומיות באותן נקודות שלהסתברויות שלהן יש סימן חיובי.

דוגמא:מצא את הציפייה המתמטית לפי הנוסחה.