פירמידה היא פולידרון, המורכב ממצולע שטוח - בסיס הפירמידה, נקודה שאינה שוכנת במישור הבסיס - ראש הפירמידה וכל הקטעים המחברים את ראש הפירמידה עם נקודות של. הבסיס (איור 18).
הקטעים המחברים את החלק העליון של הפירמידה עם ראשי הבסיס נקראים קצוות לרוחב.
פני הפירמידה מורכבים מבסיס ופנים צדדיות. כל פני צד הם משולש. אחד הקודקודים שלו הוא החלק העליון של הפירמידה, והצד הנגדי הוא צלע בסיס הפירמידה.
גובה הפירמידה נקרא ניצב, מונמך מראש הפירמידה למישור הבסיס.
פירמידה נקראת n-גונל אם הבסיס שלה הוא n-גון. פירמידה משולשת נקראת גם טטרהדרון.
לפירמידה המוצגת באיור 18 יש בסיס - מצולע A1A2 ... An, חלק העליון של הפירמידה - S, קצוות צדדיים - SA1, S A2, ..., S An, פני צד - SA1A2, SA2A3, .. ..
בהמשך, נשקול רק פירמידות עם מצולע קמור בבסיסן. פירמידות כאלה הן פוליהדרות קמורות.
בניית פירמידה וקטעי המטוס שלה
בהתאם לכללי ההקרנה המקבילה, תמונת הפירמידה בנויה באופן הבא. ראשית, הבסיס נבנה. זה יהיה איזה מצולע שטוח. ואז החלק העליון של הפירמידה מסומן, המחובר באמצעות צלעות לרוחב לראשי הבסיס. איור 18 מציג תמונה של פירמידה מחומשת.
קטעים של הפירמידה לפי מישורים העוברים בראשה הם משולשים (איור 19). בפרט, קטעים אלכסוניים הם משולשים. אלו הם חתכים לפי מישורים העוברים דרך שני קצוות צדדיים לא צמודים של הפירמידה (איור 20).
החתך של פירמידה על ידי מישור עם עקבות g נתונה במישור הבסיס בנוי באותו אופן כמו חתך של פריזמה.
כדי לבנות קטע של פירמידה על ידי מישור, מספיק לבנות את ההצטלבויות של פני הצד שלה עם מישור החיתוך.
אם ידועה איזו נקודה A השייכת לחתך על פנים שאינן מקבילות לעקבות g, אזי נבנה תחילה החיתוך של עקבות g של מישור החיתוך עם מישור הפנים הזה - נקודה D באיור 21. נקודה D היא מחובר לנקודה A על ידי קו ישר. ואז הקטע של הקו הזה השייך לפנים הוא ההצטלבות של הפנים הזה עם מישור החיתוך. אם הנקודה A שוכנת על פנים מקבילות ל-g, אזי מישור החתך חוצה את הפנים הזה לאורך קטע המקביל לקו g. הולכים לפנים הצד הסמוכים, הם בונים את ההצטלבות שלו עם מישור החיתוך, וכו 'כתוצאה מכך, הקטע הנדרש של הפירמידה מתקבל.
הַגדָרָה. פנים צדדיות- זהו משולש שבו זווית אחת נמצאת בראש הפירמידה, והצד הנגדי שלה חופף לצלע הבסיס (מצולע).
הַגדָרָה. צלעות צדהם הצדדים הנפוצים של פני הצד. לפירמידה יש כמה קצוות כמו שיש פינות במצולע.
הַגדָרָה. גובה הפירמידההוא ניצב שנפל מלמעלה לבסיס הפירמידה.
הַגדָרָה. אפוטם- זהו הניצב של פני הצד של הפירמידה, מונמך מראש הפירמידה לצד הבסיס.
הַגדָרָה. חתך אלכסוני- זהו קטע של הפירמידה על ידי מישור העובר בראש הפירמידה ובאלכסון של הבסיס.
הַגדָרָה. פירמידה נכונה- זוהי פירמידה שבה הבסיס הוא מצולע רגיל, והגובה יורד למרכז הבסיס.
נפח ושטח הפנים של הפירמידה
נוּסחָה. נפח פירמידהדרך שטח בסיס וגובה:
מאפייני פירמידה
אם כל קצוות הצדדיים שווים, אז ניתן לתחום מעגל סביב בסיס הפירמידה, ומרכז הבסיס חופף למרכז המעגל. כמו כן, האנך שנפל מלמעלה עובר דרך מרכז הבסיס (עיגול).
אם כל הצלעות הצדדיות שוות, אז הן נוטות למישור הבסיס באותן זוויות.
הצלעות הרוחביות שוות כאשר הן יוצרות זוויות שוות עם מישור הבסיס, או אם ניתן לתאר עיגול סביב בסיס הפירמידה.
אם פני הצד נוטים למישור הבסיס בזווית אחת, אז ניתן לרשום מעגל בבסיס הפירמידה, וחלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכזה.
אם פני הצדדיים נוטים למישור הבסיס בזווית אחת, אזי האפוטמים של פני הצדדיים שווים.
מאפיינים של פירמידה רגילה
1. החלק העליון של הפירמידה נמצא במרחק שווה מכל פינות הבסיס.
2. כל הקצוות הצדדיים שווים.
3. כל הצלעות הצדדיות נוטות באותן זוויות לבסיס.
4. אפוטמים של כל פני הצד שווים.
5. השטחים של כל פני הצד שווים.
6. לכל הפנים יש את אותן זוויות דיהדרליות (שטוחות).
7. ניתן לתאר כדור סביב הפירמידה. מרכז הכדור המתואר יהיה נקודת החיתוך של הניצבים העוברים באמצע הקצוות.
8. ניתן לרשום כדור בפירמידה. מרכז הכדור הכתוב יהיה נקודת החיתוך של חצויים הנובעים מהזווית שבין הקצה לבסיס.
9. אם מרכז הכדור הכתוב חופף למרכז הכדור המוקף, אזי סכום הזוויות השטוחות בקודקוד שווה ל-π או להיפך, זווית אחת שווה ל-π / n, כאשר n הוא המספר של זוויות בבסיס הפירמידה.
החיבור של הפירמידה עם הכדור
ניתן לתאר כדור סביב הפירמידה כאשר בבסיס הפירמידה שוכן פולידרון שסביבו ניתן לתאר עיגול (תנאי הכרחי ומספיק). מרכז הכדור יהיה נקודת החיתוך של מישורים העוברים בניצב דרך נקודות האמצע של הקצוות הצדדיים של הפירמידה.
תמיד אפשר לתאר כדור סביב כל פירמידה משולשת או רגילה.
ניתן לרשום כדור בפירמידה אם המישורים החצייים של הזוויות הדו-הדרליות הפנימיות של הפירמידה מצטלבים בנקודה אחת (תנאי הכרחי ומספיק). נקודה זו תהיה מרכז הכדור.
החיבור של הפירמידה עם החרוט
חרוט נקרא חרוט בפירמידה אם הקודקודים שלהם עולים בקנה אחד ובסיס החרוט רשום בבסיס הפירמידה.
ניתן לרשום חרוט בפירמידה אם המושגים של הפירמידה שווים.
אומרים שחרוט מוקף סביב פירמידה אם הקודקודים שלהם עולים בקנה אחד ובסיס החרוט מוקף סביב בסיס הפירמידה.
ניתן לתאר חרוט סביב פירמידה אם כל הקצוות הצדדיים של הפירמידה שווים זה לזה.
חיבור של פירמידה עם גליל
אומרים שפירמידה כתובה בגליל אם החלק העליון של הפירמידה מונח על בסיס אחד של הגליל, ובסיס הפירמידה רשום בבסיס אחר של הגליל.
ניתן לתחום גליל סביב פירמידה אם ניתן לתחום מעגל סביב בסיס הפירמידה.
לטטרהדרון יש ארבעה פנים וארבעה קודקודים ושישה קצוות, כאשר לכל שני קצוות אין קודקודים משותפים אך אינם נוגעים.
כל קודקוד מורכב משלושה פנים וקצוות שנוצרים זווית תלת-תדרלית.
הקטע המחבר את קודקוד הטטרהדרון עם מרכז הפנים הנגדי נקרא החציון של הטטרהדרון(GM).
בימדיהנקרא קטע המחבר בין נקודות האמצע של קצוות מנוגדים שאינם נוגעים (KL).
כל הבימדיאנים והחציונים של טטרהדרון מצטלבים בנקודה אחת (S). במקרה זה, הבימדיאנים מחולקים לשניים, והחציונים ביחס של 3: 1 החל מלמעלה.
הַגדָרָה. פירמידה חריפה בזוויתהיא פירמידה שבה האפוטם הוא יותר ממחצית אורך דופן הבסיס.
הַגדָרָה. פירמידה קהההיא פירמידה שבה האפוטם קטן ממחצית אורך דופן הבסיס.
הַגדָרָה. טטרהדרון רגילטטרהדרון שארבעת פניו הם משולשים שווי צלעות. זהו אחד מחמישה מצולעים רגילים. בטטרהדרון רגיל, כל הזוויות הדו-הדרליות (בין הפנים) והזוויות התלת-הדרליות (בקודקוד) שוות.
הַגדָרָה. טטרהדרון מלבנינקרא טטרהדרון שיש לו זווית ישרה בין שלושה קצוות בקודקוד (הקצוות מאונכים). נוצרות שלוש פרצופים זווית מלבנית משולשתוהפנים הם משולשים ישרים, והבסיס הוא משולש שרירותי. ההטבה של כל פרצוף שווה למחצית הצד של הבסיס שעליו נופל האפוטם.
הַגדָרָה. טטרהדר איזוהדרליתטטרהדרון נקרא שבו פני הצד שווים זה לזה, והבסיס הוא משולש רגיל. פניו של טטרהדר כזה הם משולשים שווה שוקיים.
הַגדָרָה. טטרהדרון אורתוצנטרינקרא טטרהדרון שבו כל הגבהים (המאונכים) שיורדים מלמעלה אל הפנים הנגדי מצטלבים בנקודה אחת.
הַגדָרָה. פירמידת כוכביםפולידרון שבסיסו הוא כוכב נקרא.
פִּירָמִידָה. פירמידה קטומה
פִּירָמִידָהנקרא פולידרון, שאחד מהפנים שלו הוא מצולע ( בסיס ), וכל שאר הפנים הם משולשים עם קודקוד משותף ( פני צד ) (איור 15). לפירמידה קוראים נכון , אם הבסיס שלו הוא מצולע רגיל וראש הפירמידה מוקרן למרכז הבסיס (איור 16). נקראת פירמידה משולשת שבה כל הקצוות שווים אַרְבָּעוֹן .
צלע צדפירמידה נקראת הצד של פני הצד שאינו שייך לבסיס גוֹבַה פירמידה היא המרחק מהחלק העליון שלה למישור הבסיס. כל קצוות הצדדיים של פירמידה רגילה שווים זה לזה, כל פני הצדדים הם משולשים שווה שוקיים. גובה פני הצד של פירמידה רגילה הנמשכת מהקודקוד נקרא אפותמה . חתך אלכסוני קטע של פירמידה נקרא מישור העובר דרך שני קצוות צדדיים שאינם שייכים לאותו פנים.
שטח פנים צדדיפירמידה נקראת סכום השטחים של כל פני הצד. שטח פנים מלא הוא סכום השטחים של כל פני הצד והבסיס.
משפטים
1. אם בפירמידה כל הקצוות הרוחביים נוטים באותה מידה למישור הבסיס, אז החלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכז המעגל המוקף ליד הבסיס.
2. אם בפירמידה לכל הקצוות הצדדיים יש אורכים שווים, אז החלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכז המעגל המוקף ליד הבסיס.
3. אם בפירמידה כל הפנים נוטים באותה מידה למישור הבסיס, אזי החלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכז המעגל החתום בבסיס.
כדי לחשב את הנפח של פירמידה שרירותית, הנוסחה נכונה:
איפה V- כרך;
S עיקרי- שטח בסיס;
חהוא גובה הפירמידה.
עבור פירמידה רגילה, הנוסחאות הבאות נכונות:
איפה ע- היקף הבסיס;
ח א- אפוטם;
ח- גובה;
S מלא
צד S
S עיקרי- שטח בסיס;
Vהוא נפח של פירמידה רגילה.
פירמידה קטומהנקרא החלק של הפירמידה הכלוא בין הבסיס למישור החיתוך המקביל לבסיס הפירמידה (איור 17). תקן פירמידה קטומה נקרא חלק של פירמידה רגילה, הכלוא בין הבסיס למישור חיתוך המקביל לבסיס הפירמידה.
יסודותפירמידה קטומה - מצולעים דומים. פרצופים מהצד - טרפז. גוֹבַה פירמידה קטומה נקראת המרחק בין הבסיסים שלה. אֲלַכסוֹנִי פירמידה קטומה היא קטע המחבר את קודקודיו שאינם מונחים על אותו פנים. חתך אלכסוני קטע של פירמידה קטומה נקרא מישור העובר דרך שני קצוות צדדיים שאינם שייכים לאותו פנים.
עבור פירמידה קטומה, הנוסחאות תקפות:
(4)
איפה ס 1 , ס 2 - אזורים של הבסיסים העליונים והתחתונים;
S מלאהוא שטח הפנים הכולל;
צד Sהוא שטח הפנים לרוחב;
ח- גובה;
Vהוא נפח הפירמידה הקטומה.
עבור פירמידה קטומה רגילה, הנוסחה הבאה נכונה:
איפה ע 1 , ע 2 - היקפי בסיס;
ח א- המילה של פירמידה קטומה רגילה.
דוגמה 1בפירמידה משולשת רגילה, הזווית הדו-הדרלית בבסיס היא 60º. מצא את הטנגנס של זווית הנטייה של קצה הצד למישור הבסיס.
פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 18).
 |
הפירמידה רגילה, כלומר הבסיס הוא משולש שווה צלעות וכל פני הצלעות הם משולשים שווה שוקיים. הזווית הדו-הדרלית בבסיס היא זווית הנטייה של פני הצד של הפירמידה למישור הבסיס. הזווית הליניארית תהיה הזווית אבין שני ניצבים: כלומר. החלק העליון של הפירמידה מוקרן במרכז המשולש (מרכז המעגל המוקף והמעגל הכתוב במשולש א ב ג). זווית הנטייה של הצלע הצדדית (לדוגמה SB) היא הזווית בין הקצה עצמו לבין ההקרנה שלו על מישור הבסיס. לצלע SBזווית זו תהיה הזווית SBD. כדי למצוא את המשיק צריך להכיר את הרגליים כךו OB. תן את אורך הקטע BDהוא 3 א. נְקוּדָה Oקטע קו BDמתחלק לחלקים: ומן אנו מוצאים כך: 
מתוך אנו מוצאים: 
תשובה:
דוגמה 2מצא את הנפח של פירמידה מרובעת קטומה רגילה אם האלכסונים של הבסיסים שלה הם ס"מ וס"מ והגובה הוא 4 ס"מ.
פִּתָרוֹן.כדי למצוא את הנפח של פירמידה קטומה, אנו משתמשים בנוסחה (4). כדי למצוא את שטחי הבסיסים, עליך למצוא את צלעות ריבועי הבסיס, לדעת את האלכסונים שלהם. צלעות הבסיסים הן 2 ס"מ ו-8 ס"מ, בהתאמה. פירוש הדבר הוא שטחי הבסיסים והחלפת כל הנתונים בנוסחה, אנו מחשבים את נפח הפירמידה הקטומה:
תשובה: 112 סמ"ק.
דוגמה 3מצא את שטח הפנים הצדדיות של פירמידה קטומה משולשת רגילה שצלעות הבסיסים שלה הן 10 ס"מ ו-4 ס"מ, וגובה הפירמידה הוא 2 ס"מ.
פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 19).
הפן הצדדי של פירמידה זו הוא טרפז שווה שוקיים. כדי לחשב את השטח של טרפז, אתה צריך לדעת את הבסיסים ואת הגובה. הבסיסים ניתנים לפי תנאי, רק הגובה נותר לא ידוע. מצא את זה מאיפה אבל 1 המאונך מנקודה אבל 1 במישור הבסיס התחתון, א 1 ד- מאונך מ אבל 1 על AC. אבל 1 ה\u003d 2 ס"מ, מכיוון שזהו גובה הפירמידה. בשביל למצוא DEנכין ציור נוסף, שבו נצייר מבט מלמעלה (איור 20). נְקוּדָה O- הקרנה של מרכזי הבסיסים העליונים והתחתונים. מאז (ראה איור 20) ומצד שני בסדרהוא רדיוס המעגל הכתוב ו 
OMהוא רדיוס המעגל הכתוב:
MK=DE.
לפי משפט פיתגורס מ
אזור הפנים בצד: 
תשובה:
דוגמה 4בבסיס הפירמידה שוכן טרפז שווה שוקיים, שבסיסיו או ב (א> ב). כל פנים צד יוצר זווית השווה למישור בסיס הפירמידה י. מצא את שטח הפנים הכולל של הפירמידה.
פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 21). שטח הפנים הכולל של הפירמידה SABCDשווה לסכום השטחים ושטח הטרפז א ב ג ד.
אנו משתמשים באמירה שאם כל פני הפירמידה נוטים באותה מידה למישור הבסיס, אז הקודקוד מוקרן למרכז המעגל החתום בבסיס. נְקוּדָה O- הקרנת קודקוד סבבסיס הפירמידה. משולש טִפֵּשׁהוא ההשלכה האורתוגונלית של המשולש CSDלמישור הבסיס. על פי המשפט על שטח ההשלכה האורתוגונלית של דמות שטוחה, אנו מקבלים:
באופן דומה, זה אומר 
לפיכך, הבעיה הצטמצמה למציאת אזור הטרפז א ב ג ד. צייר טרפז א ב ג דבנפרד (איור 22). נְקוּדָה Oהוא מרכז מעגל הכתוב בטרפז.
מכיוון שניתן לרשום מעגל בטרפז, אז או לפי משפט פיתגורס יש לנו
כידוע, כל בחינה במתמטיקה מכילה פתרון בעיות כחלק העיקרי. היכולת לפתור בעיות היא המדד העיקרי לרמת ההתפתחות המתמטית.
לא פעם בבחינות בבית הספר, כמו גם בבחינות הנערכות באוניברסיטאות ובבתי ספר טכניים, ישנם מקרים שבהם תלמידים שמראים תוצאות טובות בתחום התיאוריה, שיודעים את כל ההגדרות והמשפטים הדרושים, מתבלבלים בפתרון בעיות פשוטות מאוד.
במהלך שנות הלימודים כל תלמיד פותר מספר רב של בעיות, אך במקביל מוצעות אותן משימות לכל התלמידים. ואם חלק מהתלמידים לומדים את הכללים והשיטות הכלליות לפתרון בעיות, אז אחרים, לאחר שנתקלו בבעיה מסוג לא מוכר, אפילו לא יודעים איך לגשת אליה.
אחת הסיבות למצב זה היא שאם חלק מהתלמידים מתעמקים בתהליך פתרון הבעיה ומנסים להבין ולהבין את הטכניקות והשיטות הכלליות לפתרונן, אז אחרים לא חושבים על זה, הם מנסים לפתור את הבעיות המוצעות. כמה שיותר מהר.
סטודנטים רבים אינם מנתחים את המשימות שיש לפתור, אינם מייחדים טכניקות ושיטות כלליות לפתרונן. במקרים כאלה, משימות נפתרות רק לשם קבלת התשובה הרצויה.
כך, למשל, תלמידים רבים אפילו לא יודעים מהי המהות של פתרון בעיות בנייה. אבל משימות בנייההן משימות חובה במהלך הסטריאומטריה. בעיות אלו אינן רק יפות ומקוריות בשיטות הפתרון שלהן, אלא גם בעלות ערך מעשי רב.
הודות למשימות בנייה, מתפתחת היכולת לדמיין דמות גיאומטרית כזו או אחרת, חשיבה מרחבית, חשיבה לוגית וכן אינטואיציה גיאומטרית מתפתחת. משימות בנייה מפתחות מיומנויות מעשיות לפתרון בעיות.
משימות בנייה אינן פשוטות, שכן אין כלל או אלגוריתם אחד לפתרון אותן. כל משימה חדשה היא ייחודית ודורשת התייחסות אישית לפתרון.
תהליך פתרון כל משימת בנייה הוא רצף של כמה קונסטרוקציות ביניים המובילות למטרה.
בניית קטעי פוליהדרה מבוססת על האקסיומות הבאות:
1) אם שתי נקודות של קו שוכנות במישור מסוים, אז כל הקו נמצא במישור הנתון;
2) אם לשני מישורים יש נקודה משותפת, אז הם מצטלבים לאורך קו ישר העובר בנקודה זו.
מִשׁפָּט:אם שני מישורים מקבילים נחתכים על ידי מישור שלישי, אז קווי החיתוך מקבילים.
בנו קטע של פוליידרון על ידי מישור העובר בנקודות A, B ו-C. שקול את הדוגמאות הבאות.
שיטת מעקב
אני.לִבנוֹת קטע פריזמהמישור העובר דרך קו נתון g (עקבות) במישור של אחד מבסיסי המנסרה ונקודה A.
תיק 1
נקודה A שייכת לבסיס אחר של המנסרה (או פן מקביל לקו הישר g) - מישור החיתוך חוצה את הבסיס (הפנים) הזה לאורך הקטע BC המקביל לעקיבה g .
מקרה 2
נקודה A שייכת לפנים הצד של המנסרה:
הקטע BC של הקו הישר AD הוא המפגש של פנים זה עם מישור החיתוך.
מקרה 3
בניית קטע של פריזמה מרובעת על ידי מישור העובר דרך הקו g במישור הבסיס התחתון של המנסרה ונקודה A באחד מקצוות הצד.
II.לִבנוֹת קטע של פירמידהמישור העובר דרך קו נתון g (עקבות) במישור בסיס הפירמידה ונקודה A.
כדי לבנות קטע של פירמידה על ידי מישור, מספיק לבנות את ההצטלבויות של פני הצד שלה עם מישור החיתוך.
תיק 1
אם הנקודה A שייכת לפנים המקבילים לישר g, אזי מישור החתך חוצה את הפרצוף הזה לאורך הקטע BC המקביל ל-g.
מקרה 2
אם הנקודה A השייכת למקטע ממוקמת על פנים שאינן מקבילות לפנים לעקיבה g, אז:
1) נבנית נקודה D שבה מישור הפנים חוצה את ה-g הנתון;
2) קו ישר נמשך דרך נקודות A ו-D.
הקטע BC של הקו הישר AD הוא המפגש של פנים זה עם מישור החיתוך.
הקצוות של הקטע לפני הספירה שייכים גם לפרצופים שכנים. לכן, בשיטה המתוארת, ניתן לבנות את ההצטלבות של פנים אלה עם מישור החיתוך. וכו. 
מקרה 3
בניית קטע של פירמידה מרובעת על ידי מישור העובר דרך דופן הבסיס ונקודה A באחד מקצוות הצד.
בעיות בבניית קטעים דרך נקודה על הפנים
1. בנה קטע של הטטרהדרון ABCD על ידי מישור העובר דרך הקודקוד C ונקודות M ו-N על פני ACD ו-ABC, בהתאמה.
נקודות C ו-M שוכנות על הפנים ACD, כלומר הקו CM נמצא גם במישור הפנים הזה (איור 1).
תנו ל-P להיות נקודת החיתוך של הקווים CM ו-AD. באופן דומה, הנקודות C ו-N נמצאות בפנים ACB, מה שאומר שהקו CN נמצא במישור הפנים הזה. תן ל-Q להיות נקודת החיתוך של הקווים CN ו-AB. נקודות P ו-Q שייכות הן למישור החתך והן לפנים ABD. לכן, הקטע PQ הוא הצד של הקטע. אז, המשולש СРQ הוא הקטע הנדרש. 
2. בנו קטע מהטטרהדרון ABCD לפי המישור MPN, כאשר הנקודות M, N, P נמצאות בהתאמה על הקצה AD, בחזית BCD ובפני ABC, ו-MN אינו מקביל למישור הפנים ABC (איור 2).
יש לך שאלות? לא יודע איך לבנות קטע מפולידרון?
כדי לקבל עזרה ממורה -.
השיעור הראשון חינם!
blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.
לבניית הגודל הטבעי של דמות החתך (איור 4), נעשה שימוש בשיטת שינוי מישורי ההקרנה. המישור H 1 המקביל למישור P ומאונך למישור V נלקח כמישור נוסף. ההשלכה המתקבלת של המשולש 1 1 2 1 3 1 היא הגודל האמיתי של דמות החתך.
פירמידה עם גזרה
כדוגמה לבניית קטעים של פולידרון עם מספר מישורים, שקול את בנייתה של פירמידה עם חתך, אשר נוצר על ידי שלושה מישורים - P, R ו-T (איור 5).
המישור P, במקביל למישור ההקרנות האופקי, חוצה את פני הפירמידה לאורך המחומש 1-2-3-K-6. במישור ההקרנה האופקי, צלעות המחומש מקבילות להטלות צדדי בסיס הפירמידה. לאחר שבנו הקרנה אופקית של המחומש, אנו מסמנים נקודות 4 ו-5.
המישור הקדמי R חוצה את הפירמידה לאורך המחומש 1-2-7-8-9. כדי למצוא את התחזיות האופקיות של נקודות 8 ו-9, אנו מציירים דרכם גנרטורים נוספים SM ו-SN. ראשית, על ההקרנה הקדמית - s 'm' ו-s 'n', ולאחר מכן על האופקי - sm ו-sn.
המישור החזיתי Τ חוצה את הפירמידה בחמישה
ריבוע 5-4-8-9-10.
לאחר שבנו הקרנה אופקית של החתך, אנו בונים את הקרנת הפרופיל שלו.
בניית הקרנות של קו החיתוך של הגליל על ידי המטוס
כאשר גליל של סיבוב מצטלב עם מישור מקביל לציר הסיבוב, מתקבל זוג קווים ישרים (גנרטורים, איור 6) בחתך. אם מישור החיתוך מאונך לציר הסיבוב, החיתוך יביא למעגל (איור 7). במקרה הכללי, כאשר מישור החיתוך נוטה לציר הסיבוב של הגליל, מתקבלת אליפסה בחתך (איור 8).
שקול דוגמה | בניית תחזיות קו חתך | צִילִינדֶר |
||||
חֲזִיתִי | ||||||
מקרין | ||||||
stu Q . בחתך |
||||||
יש אליפסה (איור 9). | ||||||
חֲזִיתִי | ||||||
קו חתך בזה |
||||||
המקרה עולה בקנה אחד עם החזית |
||||||
ערות מטוס |
||||||
Qv , ואופקי - עם |
||||||
תצוגת תוכנית |
||||||
משטחים | צִילִינדֶר | |||||
מעגל. | פּרוֹפִיל |
|||||
הקרנת קו | בתהליך בנייה |
|||||
על פי שני פרו- |
||||||
קטעים - אופקיים וחזיתיים.
במקרה הכללי, בניית קו חיתוך של משטח עם מישור מצטמצמת למציאת נקודות משותפות השייכות בו זמנית למישור החיתוך והמשטח.
כדי למצוא נקודות אלה, נעשה שימוש בשיטה של מטוסי חיתוך נוספים:
1. לבצע מטוס נוסף;
2. לבנות קווי חיתוך של מישור נוסף עם משטח ומישור נוסף עם מישור נתון;
3. נקודות החיתוך של הקווים שהושגו נקבעות.
מישורים נוספים מצוירים בצורה כזו שהם חותכים את פני השטח לאורך הקווים הפשוטים ביותר.
מציאת נקודות קו החיתוך מתחילה בהגדרת נקודות אופייניות (התייחסות). אלו כוללים:
1. נקודות גבוהות ונמוכות;
2. נקודות שמאל וימין;
3. נקודות גבול נראות;
4. נקודות המאפיינות קו צומת נתון (עבור אליפסה- נקודות של צירים ראשיים וקטנים).
לבנייה מדויקת יותר של קו החיתוך, יש צורך גם לבנות נקודות נוספות (ביניים).
בדוגמה זו, נקודות 1 ו-8 הן הנקודות התחתונה והעליונה. עבור הקרנות אופקיות וחזיתיות, נקודה 1 תהיה הנקודה השמאלית, נקודה 8 תהיה הנקודה הימנית. עבור הקרנת הפרופיל, נקודות 4 ו-5 הן נקודות של גבול הראות: נקודות הממוקמות מתחת לנקודות 4 ו-5 בהקרנת הפרופיל יהיו גלויות, כל השאר לא.
נקודות 2, 3 ו- 6, 7 הן נוספות, אשר נקבעות עבור דיוק רב יותר של הבנייה. הקרנת הפרופיל של דמות החתך היא אליפסה, שבה הציר הקטן הוא הקטע 1-8, הגדול הוא 4-5.
בניית הקרנות של קווי חיתוך של חרוט על ידי מישור
בהתאם לכיוון מישור החיתוך בקטע של קונוס המהפכה, ניתן לקבל קווים שונים הנקראים קווים של חתכים חרוטיים.
אם מישור החיתוך עובר דרך קודקוד החרוט, מתקבל זוג קווים ישרים בקטע שלו - גנרטורים (משולש) (איור 10, א). כתוצאה מחיתוך החרוט במישור הניצב לציר החרוט מתקבל מעגל (איור 10, ב). אם מישור החיתוך נוטה לציר הסיבוב של החרוט ואינו עובר דרך קודקודו, ניתן לקבל אליפסה, פרבולה או היפרבולה בחתך החרוט (איור 10, ג, ד, ה) בהתאם זווית הנטייה של מישור החיתוך.
אליפסה מתקבלת כאשר זווית הנטייה β של מישור הסלקציה קטנה מזווית הנטייה α של הגנרטריקס של החרוט לבסיסו (β< α) , то есть когда плоскость пересекает все образующие данного конуса (рис. 10, в).
אם הזוויות α ו- β שוות, כלומר, מישור הססקנט מקביל לאחד המחוללים של החרוט, מתקבלת פרבולה בחתך (איור 10, ד).
אם מישור החיתוך מכוון לזווית המשתנה בתוך 90° β>α, אזי מתקבלת היפרבולה בחתך. במקרה הזה, השני
המישור המשותף מקביל לשני מחוללים של החרוט. להיפרבולה יש שני ענפים, שכן המשטח החרוט הוא דו-שכבתי (איור 10, ה).
ידוע שהנקודה שייכת לפני השטח |
||||
sti אם זה שייך לקו כלשהו |
||||
משטחים. עבור החרוט בצורה הגרפית ביותר |
||||
קווים פשוטים הם קווים ישרים (היווצרות |
||||
shchi) ועיגולים. לכן, אם לפי תנאי |
||||
הבעיה היא למצוא פרו-אופקי |
||||
קטעים של נקודות A ו-B השייכים למשטח |
||||
קונוס, אז אתה צריך לצייר אחד מה |
||||
שורות אלה. | ||||
אנו מוצאים את ההשלכה האופקית של נקודה A |
||||
בעזרת גנרטורים. לשם כך, דרך נקודה א' |
||||
ואת קודקוד החרוט S אנו מציירים עזר |
||||
מישור מקרין קדמי P(Pv). אנו מוצאים את ה-B הזה על ידי בניית המעגל עליו הוא מונח. כדי לעשות זאת, צייר מישור אופקי T(Tv) דרך הנקודה. המישור חוצה את החרוט לאורך מעגל ברדיוס r. אנו בונים השלכה אופקית של המעגל הזה. נצייר קו חיבור דרך הנקודה b ′ עד שהיא מצטלבת עם המעגל. לבעיה יש גם שתי תשובות - בדיוק קי ב 1 ו ב 2 . שקול דוגמה לבניית תחזיות של קו החיתוך של חרוט על ידי מישור בולט חזיתית P(Pv), כאשר מתקבלת אליפסה בחתך (איור 12). ההקרנה החזיתית של קו החתך עולה בקנה אחד עם העקבות הקדמיות של המטוס Pv. לנוחות פתרון הבעיה, אנו מציינים את המחוללים הקיצוניים של החרוט וקובעים את נקודות ההתייחסות האופייניות. הנקודה התחתונה 1 נמצאת על המחולל AS, הנקודה העליונה 2 נמצאת על המחולל Β S . נקודות אלו מגדירות את המיקום של הציר הראשי של האליפסה. הציר המשני של האליפסה מאונך לציר הראשי. כדי למצוא את הציר המשני, חלקו את הקטע 1-2 לשניים. נקודות 3 ו-4 מגדירות את הציר המשני של האליפסה. נקודות 5 ו-6 הממוקמות על הגנרטורים CS ו-DS הן הנקודות של גבול הראות עבור מישור הקרנת הפרופיל. ההקרנות של נקודות 1, 2, 5 ו-6 הן על ההקרנות המתאימות של הגנרטורים. כדי למצוא את התחזיות של נקודות 3 ו-4, אנו מציירים מישור חיתוך נוסף T(Tv), אשר חותך את החרוט לאורך מעגל ברדיוס r . על המעגל הזה מופיעות ההשלכות של נקודות אלו. במישור ההקרנות האופקי, המעגל מוקרן | ||||