В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».
К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов - теорему Виета. Для начала введем новое определение.
Квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x 2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.
- x 2 + 7x + 12 = 0 - это приведенное квадратное уравнение;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - тоже приведенное;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x 2 равен 2.
Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным - достаточно разделить все коэффициенты на число a . Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.
Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:
Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0.
Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x 2 . Получим:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - разделили все на 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - разделили на −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.
Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.
Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:
Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x 1 и x 2 . В этом случае верны следующие утверждения:
- x 1 + x 2 = −b . Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x , взятому с противоположным знаком;
- x 1 · x 2 = c . Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.
Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; корни: x 1 = 4; x 2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = −15; корни: x 1 = 3; x 2 = −5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; корни: x 1 = −1; x 2 = −4.
Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.
Задача. Решите квадратное уравнение:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x 2 + 33x + 30 = 0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:
- x
2 − 9x
+ 14 = 0 - это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Несложно заметить, что корни - числа 2 и 7; - x
2 − 12x
+ 27 = 0 - тоже приведенное.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9; - 3x
2 + 33x
+ 30 = 0 - это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a
= 3. Получим: x
2 + 11x
+ 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1; - −7x
2 + 77x
− 210 = 0 - снова коэффициент при x
2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a
= −7. Получим: x
2 − 11x
+ 30 = 0.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.
Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений ») нам не потребовался.
Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:
- Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x 2 равен 1;
- Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 - по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.
Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x 2 отличен от 1), это легко исправить - взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.
Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:
- Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
- Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
- В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
- Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.
Задача. Решите уравнение: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x 2 − 7x + 10 = 0.
Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные - попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. В данном случае корни угадываются легко - это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.
Задача. Решите уравнение: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Смотрим: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - уравнение с дробными коэффициентами.
Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.
Задача. Решите уравнение: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x 2 + 5x − 300 = 0.
Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно - лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.
Придется искать корни через дискриминант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225: 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .
Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x 1 = 15; x 2 = −20.
Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с
, в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в
, в знаменателе а
.
(Из школьного фольклора)
В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.
Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.
Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.
Пример 1.
Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.
Решение.
Пусть второй корень равен х 2 .
Тогда первый корень х1 = 3х 2 .
Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.
Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.
Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.
Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.
Пример 2.
Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.
Решение.
Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.
Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.
А следовательно p = 15.
Ответ: p = 15.
Пример 3.
Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4
Решение.
Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение
а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Ответ: 4898/9.
Пример 4.
При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.
Решение.
Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.
Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.
Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.
Ответ: при а = 2.
Пример 5.
Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.
Решение.
Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.
Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем
х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.
Ответ: 1/2.
Пример 6.
Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.
Решение.
Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.
Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .
Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .
Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.
Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.
Пример 7.
Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.
Решение.
Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.
Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.
Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.
Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.
Следовательно, ответ: при а = 3.
Пример 8.
Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)
Решение.
Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .
Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.
Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.
Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.
Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.
Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что
то x1 и x2 — корни квадратного уравнения
При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.
I. Если q — положительное число,
это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).
I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).
II. Если q — отрицательное число,
это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).
II.a. Если -p — положительное число, (то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.
Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.
Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:
Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.
В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Теорема Виета - это понятие знакомо со школьных времен практически каждому. Но «знакомо» ли оно на самом деле? Мало кто сталкивается с ним в повседневной жизни. Но и не все те, кто имеет дело с математикой, порой полностью понимают глубокий смысл и огромное значение этой теоремы.
Теорема Виета во многом облегчает процесс решения огромного количества математических задач, которые в итоге сводятся к решению :
Поняв значимость такого простого и действенного математического инструмента, невольно задумываешься о человеке, впервые его открывшем.
Знаменитый французский ученый, который начинал свою трудовую деятельность как адвокат. Но, очевидно, математика была его призванием. Находясь на королевской службе в качестве советника, он прославился тем, что сумел прочесть перехваченное зашифрованное послание короля Испании в Нидерланды. Это давало французскому королю Генриху III возможность знать обо всех намерениях его противников.
Постепенно приобщаясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна существовать тесная связь между новейшими в то время изысканиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных изысканий им была разработана и сформулирована практически вся элементарная алгебра. Он впервые ввел использование буквенных величин в математический аппарат, четко разграничив понятия: число, величина и их отношения. Виет доказал, что, выполняя операции в символьном виде, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений заданных величин.
Его изыскания для решения уравнений больших степеней, чем вторая, вылились в теорему, которая сейчас известна, как обобщенная теорема Виета. Она имеет большой прикладное значение, и ее применение дает возможность быстрого решения уравнений более высоко порядка.
Одно из свойств этой теоремы заключается в следующем: произведение всех n-й степени равно его свободному члену. Это свойство часто употребляется при решении уравнений третьей или четвертой степени с целью понижения порядка многочлена. Если у многочлена n-й степени есть целые корни, то их можно легко определить методом простого подбора. И далее выполнив деление многочлена на выражение (х-х1), получим многочлен (n-1)-й степени.
В конце хочется отметить, что теорема Виета является одной из самых знаменитых теорем школьного курса алгебры. А его имя занимает достойное место среди имен великих математиков.
Между корнями и коэффициентами квадратного уравнения , помимо формул корней, существуют другие полезные соотношения, которые задаются теоремой Виета . В этой статье мы дадим формулировку и доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения. Дальше рассмотрим теорему, обратную теореме Виета. После этого разберем решения наиболее характерных примеров. Наконец, запишем формулы Виета, задающие связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.
Навигация по странице.
Теорема Виета, формулировка, доказательство
Из формул корней квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 вида , где D=b 2 −4·a·c , вытекают соотношения x 1 +x 2 =−b/a , x 1 ·x 2 =c/a . Эти результаты утверждаются теоремой Виета :
Теорема.
Если x 1 и x 2 – корни квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a , то есть, .
Доказательство.
Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: составим сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя известные формулы корней, после этого преобразуем полученные выражения, и убедимся, что они равны −b/a и c/a соответственно.
Начнем с суммы корней, составляем ее . Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем . В числителе полученной дроби , после чего : . Наконец, после на 2 , получаем . Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Переходим ко второму.
Составляем произведение корней квадратного уравнения: . Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как . Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов , так . Дальше, вспомнив , выполняем следующий переход . А так как дискриминанту квадратного уравнения отвечает формула D=b 2 −4·a·c , то в последнюю дробь вместо D можно подставить b 2 −4·a·c , получаем . После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приходим к дроби , а ее сокращение на 4·a дает . Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид:
,
.
Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен , тогда и , а так как D=0 , то есть, b 2 −4·a·c=0 , откуда b 2 =4·a·c , то .
На практике наиболее часто теорема Виета используется применительно к приведенному квадратному уравнению (со старшим коэффициентом a , равным 1 ) вида x 2 +p·x+q=0 . Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением , выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a . Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:
Теорема.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 равна коэффициенту при x , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q .
Теорема, обратная теореме Виета
Вторая формулировка теоремы Виета, приведенная в предыдущем пункте, указывает, что если x 1 и x 2 корни приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 , то справедливы соотношения x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q . С другой стороны, из записанных соотношений x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q следует, что x 1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 . Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее.
Теорема.
Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 +x 2 =−p и x 1 ·x 2 =q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 .
Доказательство.
После замены в уравнении x 2 +p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x 1 и x 2 , оно преобразуется в равносильное уравнение .
Подставим в полученное уравнение вместо x число x 1 , имеем равенство x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0 , которое при любых x 1 и x 2 представляет собой верное числовое равенство 0=0 , так как x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 1 – корень уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, x 1 – корень и равносильного ему уравнения x 2 +p·x+q=0 .
Если же в уравнение x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 подставить вместо x число x 2 , то получим равенство x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0 . Это верное равенство, так как x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 2 тоже является корнем уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, и уравнения x 2 +p·x+q=0 .
На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.
Примеры использования теоремы Виета
Пришло время поговорить о практическом применении теоремы Виета и обратной ей теоремы. В этом пункте мы разберем решения нескольких наиболее характерных примеров.
Начнем с применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее удобно применять для проверки, являются ли данные два числа корнями заданного квадратного уравнения. При этом вычисляется их сумма и разность, после чего проверяется справедливость соотношений . Если выполняются оба этих соотношения, то в силу теоремы, обратной теореме Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения. Если же хотя бы одно из соотношений не выполняется, то данные числа не являются корнями квадратного уравнения. Такой подход можно использовать при решении квадратных уравнений для проверки найденных корней.
Пример.
Какая из пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , или 2) , или 3) является парой корней квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 ?
Решение.
Коэффициентами заданного квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 являются a=4 , b=−16 , c=9 . Согласно теореме Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна −b/a , то есть, 16/4=4 , а произведение корней должно быть равно c/a , то есть, 9/4 .
Теперь вычислим сумму и произведение чисел в каждой из трех заданных пар, и сравним их с только что полученными значениями.
В первом случае имеем x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Полученное значение отлично от 4 , поэтому дальнейшую проверку можно не осуществлять, а по теореме, обратной теореме Виета, сразу сделать вывод, что первая пара чисел не является парой корней заданного квадратного уравнения.
Переходим ко второму случаю. Здесь , то есть, первое условие выполнено. Проверяем второе условие: , полученное значение отлично от 9/4 . Следовательно, и вторая пара чисел не является парой корней квадратного уравнения.
Остался последний случай. Здесь и . Оба условия выполнены, поэтому эти числа x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.
Ответ:
Теорему, обратную теореме Виета, на практике можно использовать для подбора корней квадратного уравнения. Обычно подбирают целые корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, так как в других случаях это сделать достаточно сложно. При этом пользуются тем фактом, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. Разберемся с этим на примере.
Возьмем квадратное уравнение x 2 −5·x+6=0 . Чтобы числа x 1 и x 2 были корнями этого уравнения, должны выполняться два равенства x 1 +x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6 . Остается подобрать такие числа. В данном случае это сделать достаточно просто: такими числами являются 2 и 3 , так как 2+3=5 и 2·3=6 . Таким образом, 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.
Теорему, обратную теореме Виета, особенно удобно применять для нахождения второго корня приведенного квадратного уравнения, когда уже известен или очевиден один из корней. В этом случае второй корень находится из любого из соотношений .
Для примера возьмем квадратное уравнение 512·x 2 −509·x−3=0 . Здесь легко заметить, что единица является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Итак, x 1 =1 . Второй корень x 2 можно найти, например, из соотношения x 1 ·x 2 =c/a . Имеем 1·x 2 =−3/512 , откуда x 2 =−3/512 . Так мы определили оба корня квадратного уравнения: 1 и −3/512 .
Понятно, что подбор корней целесообразен лишь в самых простых случаях. В остальных случаях для поиска корней можно применить формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.
Еще одно практическое применение теоремы, обратной теореме Виета, состоит в составлении квадратных уравнений по заданным корням x 1 и x 2 . Для этого достаточно вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.
Пример.
Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23 .
Решение.
Обозначим x 1 =−11 и x 2 =23 . Вычисляем сумму и произведение данных чисел: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253 . Следовательно, указанные числа являются корнями приведенного квадратного уравнения со вторым коэффициентом −12 и свободным членом −253 . То есть, x 2 −12·x−253=0 – искомое уравнение.
Ответ:
x 2 −12·x−253=0 .
Теорема Виета очень часто используется при решении заданий, связанных со знаками корней квадратных уравнений. Как же связана теорема Виета со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 ? Приведем два соответствующих утверждения:
- Если свободный член q – положительное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то либо они оба положительные, либо оба отрицательные.
- Если же свободный член q – отрицательное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их знаки различны, другими словами, один корень положительный, а другой - отрицательный.
Эти утверждения вытекают из формулы x 1 ·x 2 =q , а также правил умножения положительных, отрицательных чисел и чисел с разными знаками. Рассмотрим примеры их применения.
Пример.
R он положителен. По формуле дискриминанта находим D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 , значение выражения r 2 +8 положительно при любых действительных r , таким образом, D>0 при любых действительных r . Следовательно, исходное квадратное уравнение имеет два корня при любых действительных значениях параметра r .
Теперь выясним, когда корни имеют разные знаки. Если знаки корней различны, то их произведение отрицательно, а по теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Следовательно, нас интересуют те значения r , при которых свободный член r−1 отрицателен. Таким образом, чтобы найти интересующие нас значения r , надо решить линейное неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .
Ответ:
при r<1 .
Формулы Виета
Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n . Их называют формулами Виета .
Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n
вида , при этом будем считать, что оно имеет n
действительных корней x 1 , x 2 , …, x n
(среди них могут быть совпадающие):
Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители , а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета.
В частности при n=2 имеем уже знакомые нам формулы Виета для квадратного уравнения .
Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид
Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.