Урок по теме «Область определения и область значений функции» проводится в 10 классе в курсе алгебры и начал анализа. На объяснение материала по данной теме автор отводит 8:47 минут. этого времени достаточно для того, чтобы обучающиеся прослушали необходимую информацию, зафиксировали ее в своих тетрадях и поняли содержание материала. Примерно столько же времени затрачивает учитель на уроке при объяснении нового материала.

Автор позаботился об учителях, нагрузка которых итак достаточно велика, поэтому разработал данный видеоурок с учетом всех требований. То есть, урок соответствует возрасту обучающихся, их уровню образования и особенностей восприятия материала. Учителю останется лишь подобрать материал для закрепления новой информации, полученной из данного урока.

Урок начинается с информации о том, что функция задается вместе с областью определения. Далее автор определяет переменные xи y? как аргумент и значение функции соответственно. После этого вводятся определения понятий область определения функции и область значений функции.

Затем рассматривается пример, где функция задана графически, и необходимо определить ее область определения. Решение данного примера подробно расписывается на экране. Автор поясняет каждый момент, где обучающиеся могут допустить ошибки. Все объяснение сопровождается наглядной иллюстрацией на рисунке.

Далее автор переходит к пункту «Область определения рациональной функции». Для обучающихся говорится о том, что в область определения рациональных функций не входят те значения аргумента, которые обращают знаменатель в нуль. Это поясняется на случае общего написания рациональной функции.

Затем на этот случай рассматривается пример. Здесь необходимо найти область определения рациональной функции. Решение пример основано на той информации, которую только что автор поведал обучающимся. То есть, он находит все те значения, которые обращают знаменатель в нуль и исключает их из множества действительных чисел, получая, таким образом, область определения функции.

после этого предлагается рассмотреть еще один пример, где требуется найти область определения рациональной функции. Но здесь наблюдается следующая особенность: знаменатель дроби никогда не обращается в нуль. Поясняя это, автор делает вывод, что областью определения данной функции является множество действительных чисел. После этого примера предлагается запомнить закономерность, которая только что была использована в примере.

Далее автор переходит к пункту «Область определения иррациональной функции». Здесь важно запомнить то, что подкоренное выражение никогда не может быть отрицательным. Это подкрепляется математической интерпретацией на математической языке. Здесь же поясняется, что если иррациональное выражение в записи функции находится в знаменателе, то подкоренное выражение будет не просто неотрицательным, а строго положительным.

К этому материалу прилагается пример, где требуется найти область определения иррациональной функции. Решая неравенство: подкоренное выражение неотрицательно, автор получает значения аргумент, которые образуют область определения заданной функции.

Затем рассматривается область определения функции с натуральным логарифмом. Сначала дается теоретический экскурс по данному материалу, а затем приводится пример с подробным описанием каждого шага решения.

После всего теоретического материала автор предлагает рассмотреть три примера, где требуется найти область определения и область значений функции, заданной графически. Это можно использовать как небольшой элемент закрепления выданного только что материала.

Урок будет полезен не только учителям, но и обучающимся, которые занимаются самообразованием или пропустили урок по данной теме по определенным причинам. Из этого урока обучающиеся смогут почерпнуть не только теоретический материал, но и подкрепить полученные знания практическими упражнениями.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Область определения и область значений функции.

Из определения функции следует, что функция игрек равен эф от икс задается вместе с ее областью определения икс большое.

Для изучения этой темы нам необходимо вспомнить: как называется переменная икс? число у?

Независимую переменную икс называют аргументом функции, а число игрек, соответствующее числу икс, называют значением функции эф в точке икс и обозначают эф от икс

Какое множество называется областью определения функции?

Если нам дана функция у=f(х),то ее область определения - это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игрек»и обозначают дэ большое от эф.

Область значений функции - множество, состоящее из всех чисел эф от х, таких, что икс принадлежит икс большому и обозначают е большое от эф.

Рассмотрим пример. Функция задана графически. Определить дэ большое от эф.

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
интервал от минус бесконечности до а, луч от вэ до цэ и интервал от цэ до плюс бесконечности. Действительно так, если взять любое значение «икс» из интервала от минус бесконечности до а, или из полуинтервала от вэ до цэ, или из интервала от цэ до плюс бесконечности, то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Как ?

Рассмотрим примеры.

Первое.

Область определения рациональной функции, т.е. аргумент у которой есть в содержится в знаменателе.

Запомните:

значения аргумента, которые обращают знаменатель в ноль - не входят в область определения данной функции .

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь единица, деленная на альфа от ихс. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: поэтому альфа от икс не равно нулю

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой икс плюс два, а знаменатель - икс квадрат минус три. Данная функция задана аналитически.

Решение : обращаем внимание на знаменатель, он должен быть не нулевым. Приравняем его к нулю и найдем значение аргумента которые обращают знаменатель функции в ноль:

икс квадрат минус триравно нулю.

икс квадрат равно трем.

Полученное уравнение имеет два корня:

минус квадратный корень из трех, квадратный корень из трех.

Данные значения не входят в область определения функции , так как при этих значениях знаменатель дроби обращается в ноль.

Ответ : дэ большое от эф равен объединению промежутков:интервал от минус бесконечности до квадратного корня из трех,интервал от минус квадратного корня из трех до квадратного кореня из трех.

и интервал от квадратного кореня из трех

до плюс бесконечности.

Рассмотрим еще пример.

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой единица, а знаменатель - икс квадрат плюс один.

Рассмотрим выражение стоящее в знаменателе: к квадрату числа икс прибавляют единицу он всегда положительно т.е. какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен, значит область определения функции, дэ большое от эф равено множеству всех действительных чисел.

определена на всей числовой оси.

Запомните!

при любом значении «икс» и положительной константе ка :
икс квадрат плюс ка больше нуля.

Второе.

Область определения иррациональной функции (содержащий радикал или корень).

подкоренное выражение неотрицательно

Функция вида игрек равен квадратный корень из альфа от икс определена только при тех значениях икс из области определения дэ от альфа, когда альфа от икс не отрицательно, т.е. больше или равна нулю. Если функция содержащая радикал в знаменателе дроби, то альфа от х строго больше нуля.

Найти область определения функции
эф от икс равен квадратный корень из трех минус два икс.

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

три минус два икс больше или равно нулю

минус два икс больше или равно минус трем

два икс меньше или равно трем

икс меньше или равнотрем вторым

Ответ: дэ большое от эф равен полуинтервалу от минус бесконечности до трех вторых.

Третье .

Область определения функций с натуральным логарифмом.

Пусть функция содержит натуральный логарифм альфа от икс., то в её область определения входят только те значения икс, удовлетворяющие неравенству альфа от икс строго больше нуля.

Если логарифм находится в знаменателе: то дополнительно накладывается условие альфа от икс не равно единице, (так как натуральный логарифм единицы равен нулю).

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби числитель равен единице, а знаменатель - натуральный логарифм из выражения икс плюс три.

Решение : в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

икс плюс три больше нуля

и икс плюс три не равно единице

икс больше минус трех и икс не равно минус двум.

Изобразим множество решений системы на прямой и сделаем вывод.

Ответ: дэ большое от эф равно объединению промежутков: интервалам от минус трех до минус двух и от минус двух до плюс бесконечности.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до двух;

Е большое от эф равно отрезку от минус одного до двух;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен интервалу от минус двух до пяти;

Е большое от эф равно отрезку от минус двух до трех;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до трех;

Е большое от эф равно отрезку от минус пяти до нуля;

Свойства функций играют важную роль при их изучении. Они позволяют делать определенные выводы о функциях. Изучение данной темы крайне важно для обучающихся, особенно старших классов. Это связано с тем,что задания по данной теме довольно часто встречаются в КИМ государственной итоговой аттестации.

Видеоурок по теме «Свойства функции» разработан автором для облегчения работы учителя и его подготовки к урокам. Если использовать данный материал на уроках, то появится больше свободного времени, которое можно посвятить индивидуальному обучению или другим направлениям обучения математики в школе.

Длительность урока составляет 8:23 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы объяснить материал на уроке, который длится 40-45 минут. При этому учитель успеет актуализировать знания обучающихся, повторить необходимый материал, просмотреть видеоурок, а затем еще и закрепить материал.

Рассмотрение материала начинается непосредственно с первого свойства, которое называется монотонность. Это понятие подробно расписывается на математическом языке, что способствует развитию математической грамотности обучающихся, а также словесно поясняется каждая запись на экране. Далее автор демонстрирует на рисунке, как выглядит монотонная функция для случаев возрастания и убывания. После этого дается определение монотонной функции. Здесь же дается правило для запоминания, которое связано с монотонностью функции. Далее предлагается рассмотреть эту теорию на примере. На рисунке изображен график, на экране последовательно выделяются промежутки возрастания и убывания. Показана и математическая запись этих промежутков.

Согласно условию другого примера, необходимо исследовать функцию на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, автор воспользовался определением возрастающей и убывающей функции. В результате получается, что функция убывает на всей области определения.

Затем на экране демонстрируются примеры возрастающих функций на всей области определения.

Далее внимание обучающихся обращается ко второму свойству, которое называется ограниченностью. Рассмотрение этого свойства строится по аналогии с первым свойством. Рассматривается понятие ограниченности, все это иллюстрируется на рисунке, как ограниченность снизу, так и ограниченность сверху. Затем на экране появляется пример ограниченной функции.

Важными понятиями в пункте ограниченность являются наибольшее и наименьшее значение функции. В качестве иллюстрации показан рисунок и идет подробное описание этих понятий.

После примера рассматривается третье свойство, которое называется выпуклостью. Это понятие иллюстрируется с помощью рисунка. На данном свойстве автор не останавливается так же подробно, как на предыдущих. Он сразу переходит к четвертому свойству - непрерывности. Здесь вводится понятие непрерывной функции. После этого демонстрируется это свойство на рисунке с подробными пояснениями.

Далее рассматривается свойство четности и нечетности. И тут же объясняется, когда функция четная и нечетная. Объяснения сопровождаются иллюстрациями и подробными описаниями. Это показано на примерах двух функций.

И, наконец, рассматривается шестое свойство - периодичность. На нем автор не останавливается, отмечая, что примеры периодичных функций будут изучены в дальнейшем на уроках алгебры.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Первое свойство, которое мы рассмотрим -монотонность.

Внимание: во всех определениях рассматривается числовое множество икс большое - подмножество области определения функции.

Функция игрек равно эф от икс возрастает на множестве икс большое, которое является подмножеством области определения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе больше эф от икс первое. Другими словами - большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс убывает на промежутке икс большое которое является подмножеством областиопределения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе меньше эф от икс первое. Другими словами - большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс называется монотонной на множестве икс большое, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Запомни: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

Например, функция, график которой изображен на рисунке, на промежутках

от минус бесконечности до минус пяти и от трех до плюс бесконечностивозрастает, а на промежутке от минус пяти до трех убывает. Пример. Исследовать функцию на монотонность: игрек равен шесть минус два икс.

Введем обозначение: эф от икс равен шесть минус два икс.

Если икс первое меньше икс второе, то используя свойства числовых неравенств, имеем

Значит, заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Существуют функции, являющиеся возрастающими на всей области определения, например, игрек равен ка икс плюс вэ при ка больше нуля, игрек равен икс в кубе.

Второе свойство - ограниченность.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое больше некоторого числа эм малое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной снизу на множестве икс большое из области определения.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое меньше некоторого числа эм большое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной сверху на множестве икс большое из области определения.

Запомни: если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.

По графику функции легко можно определить ее ограниченность.

Наибольшее значение функции обозначают игрек с индексом наибольшее. .

Игрик является наибольшим если:

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм большое;

Во - вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс меньше или равно эф от икс нулевое, то число эм большое называют наибольшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции.

Наименьшее значение функции обозначают игрек с индексом наименьшее

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм;

Во - вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс больше или равно эф от икс нулевое,то число эм называют наименьшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции

Полезно запомнить:

Если у функции существует наименьшее значение., то она ограничена снизу.

Если у функции существует наибольшее значение, то она ограничена сверху.

Рассмотрим пример. Найти наименьшее значение функции

Функция, график которой изображен на рисунке, ограничена снизу, наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего не существует, функция сверху неограниченна.

Третье свойство: выпуклость вверх, выпуклость вниз.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать ниже проведенного отрезка, то такая функция выпукла вниз на промежутке икс большое из области определения.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать выше проведенного отрезка, то такая функция выпукла вверх на промежутке икс большое из области определения.

четвертое свойство: непрерывность.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

пятое свойство: четность, нечетность.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= f(х), то такая функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= -f(х), то такая функция нечетная.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Так же существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными

шестое свойство: периодичность

примеры периодических функций будем рассматривать в дальнейшем

Если существует такое отличное от нуля число тэ большое, что для любого икс из области определения функции верно равенство эф от икс плюс тэ большое равно эф от икс и равно эф от икс минус тэ большое, то функция игрек равно эф от икс -периодическая. Число тэ большое - период функции игрек равно эф от икс

все тригонометрические функции периодические.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Описание видеоурока

Функцией называется зависимость переменной игрек от переменной икс, при которой каждому значению переменной икс соответствует единственное значение переменной игрек.

Икс называется независимой переменной или аргументом. Игрек называется зависимой переменной, значением функции или просто функцией.

Если зависимость переменной игрек от переменной икс является функцией, то коротко записывают так: игрек равно эф от икс. Этим символом обозначают также значение функции, соответствующее значению аргумента икс.

Пусть функция задана формулой игрек равно три икс квадрат минус пять. Тогда можно записать, что эф от икс равно три икс квадрат минус пять. Найдем значения функции эф для значений икс, равных двум и минус пяти. Они будут равны семи и семидесяти.

Заметим, что в записи игрек равно эф от икс вместо эф можно употреблять и другие буквы: же, фи и так далее.

Все значения икс образуют область определения функции. Все значения, которые принимает игрек, образуют область значений функции.

Функция считается заданной, если указана её область определения и правило, согласно которому каждому значению икс поставлено в соответствие единственное значение игрек.

Если функция игрек равно эф от икс задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной икс, при которых выражение эф от икс имеет смысл…

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

На рисунке изображен график функции игрек равно эф от икс, областью определения которой является отрезок от единицы до пяти. С помощью графика можно найти, например, что функция от числа один равна минус трем, функция от двух равна двум, функция от числа четыре равна минус двум, функция от числа пять равна минус четырем. Наименьшее значение функции равно минус четырем, а наибольшее - двум. При этом любое число от минус четырех до двух, включая эти числа, является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции игрек равно эф от икс является отрезок от минус четырех до двух.

Ранее нами уже были изучены некоторые виды функций:

• Линейная функция, задаваемая формулой игрек равно ка икс плюс бэ, где ка и бэ - некоторые числа;
• Прямая пропорциональность - частный случай линейной функции, она задается формулой игрек равно ка икс, где ка не равно нулю;
• Обратная пропорциональность - функция игрек равно ка деленное на икс, где ка не равно нулю.

Графиком функции игрек равно ка икс плюс бэ является прямая. Область определения этой функции - множество всех чисел. Областью значений этой функции при ка не равном нулю является множество всех чисел, а при ка равном нулю ее область значений состоит из одного числа бэ.

График функции игрек равно ка деленное на икс называется гиперболой.

На рисунке изображен график функции игрек равно ка деленное на икс, для ка большего нуля. Областью определения этой функции является множество всех чисел, кроме нуля. Это множество является и областью ее значений…

Функциями описываются многие реальные процессы и закономерности. Например, прямой пропорциональностью является зависимость массы тела от его объема при постоянной плотности; зависимость длины окружности от ее радиуса. Обратной пропорциональностью является зависимость силы тока на участке цепи от сопротивления проводника при постоянном напряжении; зависимость времени, которое затрачивает равномерно движущееся тело на прохождение заданного пути, от скорости движения.

Изучались также функции, заданные формулами игрек равно икс квадрат, игрек равно икс куб, игрек равно корень квадратный из икс.

Рассмотрим функцию, заданную формулой игрек равно модуль икс.

Так как выражение модуль икс имеет смысл при любом икс, то областью определения этой функции является множество всех чисел. По определению модуль икс равен икс, если икс больше либо равен нулю, и минус икс, если икс меньше нуля. Поэтому функцию игрек равно модуль икс можно задать следующей системой.

График рассматриваемой функции в промежутке от нуля до плюс бесконечности, включая ноль, совпадает с графиком функции игрек равно икс, а в промежутке от минус бесконечности до нуля - с графиком функции игрек равно минус икс. График функции игрек равно модуль икс состоит из двух лучей, которые исходят из начала координат и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.

Дата: 20.11.2014

Что такое производная?

Таблица производных.

Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала - приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование - действие над функцией.

Производная - результат этого действия.

Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.

	Функция y	Производная функции y y"
1	C (постоянная величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - любое число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x (a = e )

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y" = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y" = (sin x)" = cosx

Подставляем ноль в производную:

y"(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...

Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y" = - sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.