Kalkulaator võrgus Avaldise arvutamine numbriliste murdudega. Erinevate nimetajatega murdude korrutamine, lahutamine, jagamine, liitmine ja vähendamine. Tegevused murdudega: reeglid, näited, lahendused

Õpilastele tutvustatakse murde 5. klassis. Varem peeti väga tarkadeks inimesi, kes teadsid, kuidas murdosadega toiminguid teha. Esimene murdosa oli 1/2 ehk pool, siis tekkis 1/3 jne. Näiteid peeti mitu sajandit liiga keerukaks. Nüüd on välja töötatud üksikasjalikud reeglid murdude teisendamiseks, liitmiseks, korrutamiseks ja muudeks toiminguteks. Piisab, kui materjalist veidi aru saada ja lahendus antakse lihtsalt.

Tavaline murd, mida nimetatakse lihtmurruks, kirjutatakse kahe arvu jaotusena: m ja n.

M on dividend, st murdosa lugeja, ja jagajat n nimetatakse nimetajaks.

Valige õiged murrud (m< n) а также неправильные (m >n).

Õige murdosa on väiksem kui üks (näiteks 5/6 - see tähendab, et ühest võetakse 5 osa; ühest võetakse 2/8 - 2 osa). Vale murd on võrdne või suurem kui 1 (8/7 - ühik on 7/7 ja plussiks võetakse veel üks osa).

Seega on ühik siis, kui lugeja ja nimetaja ühtivad (3/3, 12/12, 100/100 ja teised).

Tegevused harilike murrudega 6. klass

Lihtmurdudega saate teha järgmist.

• Laienda murdosa. Kui korrutate murdosa ülemise ja alumise osa mis tahes identse arvuga (kuid mitte nulliga), siis murdosa väärtus ei muutu (3/5 = 6/10 (lihtsalt korrutatuna 2-ga).
• Murdude vähendamine sarnaneb laiendamisega, kuid siin jagatakse need arvuga.
• Võrdlema. Kui kahel murdel on sama lugeja, siis väiksema nimetajaga murd on suurem. Kui nimetajad on samad, on suurima lugejaga murd suurem.
• Tehke liitmine ja lahutamine. Samade nimetajatega on seda lihtne teha (ülemised osad liidame kokku ja alumine osa ei muutu). Erinevate jaoks peate leidma ühise nimetaja ja lisategurid.
• Murrude korrutamine ja jagamine.

Allpool vaadeldakse näiteid murdudega tehtetest.

Vähendatud murrud 6. klass

Vähendada tähendab murdosa ülemise ja alumise osa jagamist mõne võrdse arvuga.

Joonisel on toodud lihtsad näited vähendamisest. Esimeses variandis võite kohe arvata, et lugeja ja nimetaja jaguvad 2-ga.

Märkusena! Kui arv on paaris, siis jagub see igal viisil 2-ga. Paarisarvud on 2, 4, 6 ... 32 8 (lõpeb paaris) jne.

Teisel juhul 6 jagades 18-ga on kohe selge, et arvud jaguvad 2-ga. Jagades saame 3/9. See murd jagub samuti 3-ga. Siis on vastus 1/3. Kui korrutada mõlemad jagajad: 2 3-ga, siis tuleb välja 6. Selgub, et murd jagati kuuega. Seda järkjärgulist jaotust nimetatakse murdosa järjestikune taandamine ühisjagajatega.

Keegi jagab kohe 6-ga, keegi vajab osadeks jagamist. Peaasi, et lõpus on murdosa, mida ei saa kuidagi vähendada.

Pange tähele, et kui arv koosneb numbritest, mille liitmisel saadakse arv, mis jagub 3-ga, saab originaali ka 3-ga vähendada. Näide: arv 341. Lisage numbrid: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 ei jagu 3-ga, seega ei saa arvu 341 ilma jäägita 3-ga vähendada). Teine näide: 264. Lisage: 2 + 6 + 4 = 12 (jagatud 3-ga). Saame: 264: 3 = 88. See lihtsustab suurte arvude vähendamist.

Lisaks murdosa järjestikuse taandamise meetodile ühiste jagajate abil on ka teisi viise.

GCD on arvu suurim jagaja. Olles leidnud nimetaja ja lugeja GCD, saate murdosa kohe soovitud arvu võrra vähendada. Otsing toimub iga numbri järkjärgulise jagamisega. Järgmisena vaadatakse, millised jagajad sobivad, kui neid on mitu (nagu alloleval pildil), siis tuleb korrutada.

Segafraktsioonid 6. klass

Kõik ebaõiged fraktsioonid saab muundada segafraktsioonideks, eraldades neis kogu osa. Täisarv kirjutatakse vasakule.

Sageli tuleb valest murdest segaarv teha. Teisendusprotsess allolevas näites: 22/4 = 22 jagatud 4-ga, saame 5 täisarvu (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Saame 5 täisarvu ja 2/4 (nimetaja ei muutu). Kuna murdosa saab vähendada, jagame ülemise ja alumise osa 2-ga.

Segaarvu on lihtne valeks murdeks muuta (see on vajalik murdude jagamisel ja korrutamisel). Selleks: korrutage täisarv murru alumise osaga ja lisage sellele lugeja. Valmis. Nimetaja ei muutu.

Arvutused murdarvudega 6. klass

Võib lisada seganumbreid. Kui nimetajad on samad, siis on seda lihtne teha: liita täisarvulised osad ja lugejad kokku, nimetaja jääb paigale.

Erinevate nimetajatega arvude liitmisel on protsess keerulisem. Esiteks viime numbrid ühe väikseima nimetajani (NOD).

Allolevas näites on numbrite 9 ja 6 puhul nimetajaks 18. Pärast seda on vaja täiendavaid tegureid. Nende leidmiseks tuleks 18 jagada 9-ga, nii leitakse lisaarv - 2. Korrutame selle lugejaga 4, saame murdarvuks 8/18). Sama tehakse teise fraktsiooniga. Teisendatud murrud juba liidame (eraldi täisarvud ja lugejad, nimetajat me ei muuda). Näites tuli vastus teisendada õigeks murdeks (esialgu osutus lugeja nimetajast suuremaks).

Pange tähele, et murdude erinevusega on toimingute algoritm sama.

Murdude korrutamisel on oluline asetada mõlemad sama rea ​​alla. Kui arv on segatud, siis muudame selle lihtmurruks. Järgmiseks korrutage ülemine ja alumine osa ning kirjutage vastus üles. Kui on selge, et murdosasid saab vähendada, siis vähendame kohe.

Selles näites ei pidanud me midagi lõikama, kirjutasime lihtsalt vastuse üles ja tõstsime esile kogu osa.

Selles näites pidin ühe rea all olevaid numbreid vähendama. Kuigi on võimalik vähendada ka valmisvastust.

Jagamisel on algoritm peaaegu sama. Esiteks muudame segamurru ebaõigeks, seejärel kirjutame arvud ühe rea alla, asendades jagamise korrutamisega. Ärge unustage vahetada teise murdosa ülemist ja alumist osa (see on murdude jagamise reegel).

Vajadusel vähendame numbreid (allolevas näites vähendasid nad seda viie ja kahe võrra). Teisendame vale murdu, tõstes esile täisarvu.

Põhiülesanded murdude jaoks 6. klass

Video näitab veel mõnda ülesannet. Selguse huvides kasutatakse murdude visualiseerimiseks lahenduste graafilisi pilte.

Murrukorrutamise näited 6. klass koos selgitustega

Korrutavad murrud kirjutatakse ühe rea alla. Pärast seda vähendatakse neid samade arvudega jagades (näiteks 15 nimetajas ja 5 lugejas saab jagada viiega).

Murdude võrdlus 6. klass

Murdude võrdlemiseks peate meeles pidama kahte lihtsat reeglit.

Reegel 1. Kui nimetajad on erinevad

Reegel 2. Kui nimetajad on samad

Võrdleme näiteks murde 7/12 ja 2/3.

1. Vaatame nimetajaid, need ei klapi. Nii et peate leidma ühise.
2. Murdude puhul on ühisnimetaja 12.
3. Jagame 12 kõigepealt esimese murru alumise osaga: 12: 12 = 1 (see on 1. murru lisategur).
4. Nüüd jagame 12 3-ga, saame 4 - lisame. 2. murru kordaja.
5. Murdude teisendamiseks korrutame saadud arvud lugejatega: 1 x 7 \u003d 7 (esimene murd: 7/12); 4 x 2 = 8 (teine ​​murd: 8/12).
6. Nüüd saame võrrelda: 7/12 ja 8/12. Selgus: 7/12< 8/12.

Murdude paremaks esitamiseks võib selguse huvides kasutada jooniseid, kus objekt on jagatud osadeks (näiteks kook). Kui soovid võrrelda 4/7 ja 2/3, siis esimesel juhul jagatakse kook 7 osaks ja neist valitakse 4. Teises jagatakse need 3 osaks ja võetakse 2. Palja silmaga on selge, et 2/3 on rohkem kui 4/7.

Näited murdudega hinne 6 koolituseks

Harjutusena saate täita järgmisi ülesandeid.

• Võrrelge murde

• tee korrutamine

Näpunäide: kui murdude väikseimat ühist nimetajat on raske leida (eriti kui nende väärtused on väikesed), saate esimese ja teise murdosa nimetaja korrutada. Näide: 2/8 ja 5/9. Nende nimetaja leidmine on lihtne: korrutage 8 9-ga, saate 72.

Murdudega võrrandite lahendamine 6. klass

Võrrandite lahendamisel peate meeles pidama toimingud murdudega: korrutamine, jagamine, lahutamine ja liitmine. Kui üks teguritest on teadmata, jagatakse korrutis (kogusumma) teadaoleva teguriga, see tähendab, et osad korrutatakse (teine ​​pööratakse ümber).

Kui dividend on teadmata, korrutatakse nimetaja jagajaga ja jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.

Kujutagem ette lihtsaid näiteid võrrandite lahendamisest:

Siin on vaja anda ainult murdude erinevus, ilma et see tooks kaasa ühisnimetaja.

1/2-ga jagamine asendati 2-ga korrutamisega (murd pöörati ümber).

1/2 ja 3/4 liites jõudsime ühise nimetajani 4. Samas oli esimese murru jaoks vaja lisategurit 2, 1/2-st tuli välja 2/4.

Lisatud 2/4 ja 3/4 – sain 5/4.

Me ei unustanud 5/4 korrutamist 2-ga. Vähendades 2 ja 4 saime 5/2.

Vastus on vale murd. Seda saab teisendada 1 terveks ja 3/5-ks.

Teise meetodi korral korrutati lugeja ja nimetaja 4-ga, et lühendada nimetaja ümberpööramise asemel põhja.

See artikkel käsitleb tehteid murdarvudega. Moodustatakse ja põhjendatakse vormi A B murdude liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise või astendamise reeglid, kus A ja B võivad olla arvud, arvavaldised või muutujatega avaldised. Kokkuvõttes vaadeldakse üksikasjaliku kirjeldusega lahendusnäiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üldkuju numbrimurdudega tehtete sooritamise reeglid

Üldkuju numbrilistel murdudel on lugeja ja nimetaja, milles on naturaalarvud või arvavaldised. Kui võtta arvesse selliseid murde nagu 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2 ), 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , siis on selge, et lugejas ja nimetajas võivad olla mitte ainult arvud, vaid ka erineva plaani avaldised.

Definitsioon 1

On olemas reeglid, mille järgi toiminguid tehakse harilike murdudega. See sobib ka üldvormi murdosadele:

• Samade nimetajatega murdude lahutamisel lisatakse ainult lugejad ja nimetaja jääb samaks, nimelt: a d ± c d \u003d a ± c d, väärtused a, c ja d ≠ 0 on mõned numbrid või arvavaldised.
• Erinevate nimetajatega murdude liitmisel või lahutamisel tuleb taandada ühiseks ja seejärel saadud murdude liitmine või lahutamine samade näitajatega. Sõna otseses mõttes näeb see välja selline: a b ± c d = a p ± c r s, kus väärtused a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 on reaalarvud ja b p = d r = s. Kui p = d ja r = b, siis a b ± c d = a d ± c d b d.
• Murdude korrutamisel sooritatakse toiming lugejatega, misjärel nimetajatega, siis saame a b c d \u003d a c b d, kus a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 toimivad reaalarvudena.
• Murru jagamisel murruga korrutame esimese teise pöördarvuga, st vahetame lugeja ja nimetaja: a b: c d \u003d a b d c.

Reeglite põhjendus

2. definitsioon

Siin on järgmised matemaatilised punktid, millele peaksite arvutamisel tuginema:

• murdvarras tähendab jagamismärki;
• arvuga jagamist käsitletakse kui pöördarvuga korrutamist;
• reaalarvudega toimingute omaduse rakendamine;
• murru põhiomaduse ja arvuliste võrratuste rakendamine.

Nende abiga saate teha vormi teisendusi:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = ( a c ) ( b d ) - 1 = a c b d

Näited

Eelmises lõigus oli juttu murdarvudega toimingute kohta. Pärast seda tuleb murdosa lihtsustada. Seda teemat käsitleti üksikasjalikult fraktsioonide teisendamise jaotises.

Esiteks kaaluge sama nimetajaga murdude liitmise ja lahutamise näidet.

Näide 1

Antud murrud 8 2 , 7 ja 1 2 , 7 , siis reegli järgi on vaja lugeja liita ja nimetaja ümber kirjutada.

Lahendus

Siis saame murdosa vormist 8 + 1 2 , 7 . Pärast liitmise sooritamist saame murdosa kujul 8 + 1 2 , 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 . Seega 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Vastus: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Lahenduseks on veel üks viis. Alustuseks tehakse üleminek hariliku murru kujule, mille järel teostame lihtsustamise. See näeb välja selline:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Näide 2

Lahutame vormi 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 murdudest 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Kuna on antud võrdsed nimetajad, tähendab see, et me arvutame sama nimetajaga murdosa. Me saame sellest aru

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Erinevate nimetajatega murdude arvutamise kohta on näiteid. Oluline punkt on taandamine ühisele nimetajale. Ilma selleta ei saa me murdarvudega edasisi toiminguid teha.

Protsess meenutab kaugeltki taandamist ühisele nimetajale. See tähendab, et otsitakse nimetajas kõige vähem ühist jagajat, misjärel lisatakse puuduvad tegurid murdudele.

Kui lisatud fraktsioonidel pole ühiseid tegureid, võib nende korrutis saada üheks.

Näide 3

Vaatleme näidet murdude 2 3 5 + 1 ja 1 2 liitmise kohta.

Lahendus

Sel juhul on ühisnimetaja nimetajate korrutis. Siis saame, et 2 · 3 5 + 1 . Siis lisategurite määramisel saame, et esimesele murdosale on see võrdne 2 ja teisele 3 5 + 1. Pärast korrutamist taandatakse murrud kujule 4 2 3 5 + 1. Üldkoosseis 1 2 on 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Lisame saadud murdavaldised ja saame selle

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Vastus: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kui tegemist on üldkuju murdudega, siis vähim ühisnimetaja tavaliselt nii ei ole. Lugejate korrutist nimetajaks võtta on kahjumlik. Kõigepealt peate kontrollima, kas on mõni number, mille väärtus on väiksem kui nende toode.

Näide 4

Vaatleme näidet 1 6 2 1 5 ja 1 4 2 3 5, kui nende korrutis on 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5. Siis võtame ühiseks nimetajaks 12 · 2 3 5.

Vaatleme näiteid üldkuju murdude korrutamisest.

Näide 5

Selleks on vaja korrutada 2 + 1 6 ja 2 · 5 3 · 2 + 1.

Lahendus

Reeglist järgides on vaja ümber kirjutada ja nimetajaks kirjutada lugejate korrutis. Saame, et 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kui murdosa korrutatakse, saab selle lihtsustamiseks teha vähendamise. Siis 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Kasutades jagamiselt pöördarvuga korrutamisele ülemineku reeglit, saame antud pöördarvu. Selleks pööratakse lugeja ja nimetaja ümber. Vaatame näidet:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pärast seda peavad nad korrutama ja saadud murdosa lihtsustama. Vajadusel vabane nimetaja irratsionaalsusest. Me saame sellest aru

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Vastus: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

See lõik on rakendatav, kui numbrit või arvavaldist saab esitada murruna, mille nimetaja on võrdne 1-ga, siis loetakse toimingut sellise murdosaga eraldi lõiguks. Näiteks avaldis 1 6 7 4 - 1 3 näitab, et 3 juure saab asendada teise 3 1 avaldisega. Siis näeb see kirje välja nagu vormi 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 kahe murru korrutis.

Toimingu sooritamine muutujaid sisaldavate murdudega

Esimeses artiklis käsitletud reeglid kehtivad muutujaid sisaldavate murdudega tehtetele. Mõelge lahutamise reeglile, kui nimetajad on samad.

On vaja tõestada, et A , C ja D (D ei võrdu nulliga) võivad olla mis tahes avaldised ja võrdus A D ± C D = A ± C D on samaväärne selle kehtivate väärtuste vahemikuga.

On vaja võtta ODZ muutujate komplekt. Siis peavad A, C, D võtma vastavad väärtused a 0 , c 0 ja d0. Kuju A D ± C D asendus annab tulemuseks vormi a 0 d 0 ± c 0 d 0 erinevuse, kus liitmisreegli järgi saame valemi kujul a 0 ± c 0 d 0. Kui asendada avaldis A ± C D , siis saame samasuguse murdosa kujul a 0 ± c 0 d 0 . Sellest järeldame, et valitud väärtust, mis rahuldab ODZ, A ± C D ja A D ± C D, loetakse võrdseks.

Muutujate mis tahes väärtuse korral on need avaldised võrdsed, see tähendab, et neid nimetatakse identselt võrdseteks. See tähendab, et seda avaldist peetakse tõestatavaks võrrandiks kujul A D ± C D = A ± C D .

Näited muutujatega murdude liitmisest ja lahutamisest

Kui nimetajad on samad, on vaja ainult lugejad liita või lahutada. Seda fraktsiooni saab lihtsustada. Mõnikord peate töötama identselt võrdsete murdudega, kuid esmapilgul pole see märgatav, kuna tuleb teha mõned teisendused. Näiteks x 2 3 x 1 3 + 1 ja x 1 3 + 1 2 või 1 2 sin 2 α ja sin a cos a. Kõige sagedamini on samade nimetajate nägemiseks vaja algset avaldist lihtsustada.

Näide 6

Arvutage: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Lahendus

1. Arvutamiseks peate lahutama murdarvud, millel on samad nimetajad. Siis saame, et x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pärast seda saate avada sulud sarnaste terminite vähendamisega. Saame, et x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Kuna nimetajad on samad, jääb üle vaid lugejad liita, jättes nimetaja alles: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Lisamine on lõpetatud. On näha, et murdosa saab vähendada. Selle lugeja saab voltida summa ruudu valemiga, siis saame (l g x + 2) 2 lühendatud korrutusvalemitest. Siis me saame selle
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Antud murrud kujul x - 1 x - 1 + x x + 1 erinevate nimetajatega. Pärast ümberkujundamist võite jätkata lisamist.

Vaatleme kahepoolset lahendust.

Esimene meetod on see, et esimese murru nimetaja faktoriseeritakse ruutude abil ja koos selle järgneva vähendamisega. Saame vormi murdosa

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Seega x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Sel juhul on vaja vabaneda nimetaja irratsionaalsusest.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Teine võimalus on korrutada teise murru lugeja ja nimetaja x-1-ga. Seega vabaneme irratsionaalsusest ja jätkame sama nimetajaga murdosa liitmist. Siis

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Vastus: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Viimases näites leidsime, et taandamine ühisele nimetajale on vältimatu. Selleks peate murde lihtsustama. Liitmiseks või lahutamiseks tuleb alati otsida ühisosa, mis näeb välja nagu nimetajate korrutis, millele on lugejatele lisandunud lisategurid.

Näide 7

Arvutage murdude väärtused: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Lahendus

1. Nimetaja ei nõua keerulisi arvutusi, seega peate valima nende korrutise kujul 3 x 7 + 2 2, seejärel valitakse esimesele murdosale lisateguriks x 7 + 2 2 ja teiseks 3. Korrutamisel saame murdosa kujul x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. On näha, et nimetajad on esitatud tootena, mis tähendab, et täiendavad teisendused pole vajalikud. Ühisnimetaja on korrutis kujul x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Siit x 4 on esimese murru lisategur ja ln (x + 1) teisele. Seejärel lahutame ja saame:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4)
3. See näide on mõttekas, kui töötate murdude nimetajatega. On vaja rakendada ruutude erinevuse ja summa ruudu valemeid, kuna need võimaldavad üle minna avaldisele kujul 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . On näha, et murded taandatakse ühiseks nimetajaks. Saame, et cos x - x cos x + x 2 .

Siis me saame selle

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Vastus:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Näited murdude korrutamisest muutujatega

Murdude korrutamisel korrutatakse lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Seejärel saate rakendada vähendamise omadust.

Näide 8

Korrutage murrud x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Lahendus

Peate tegema korrutamise. Me saame sellest aru

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Arv 3 kantakse arvutuste mugavuse huvides esimesse kohta ja saate murdosa vähendada x 2 võrra, siis saame vormi avaldise

3 x - 2 x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Vastus: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Jaoskond

Murdude jagamine sarnaneb korrutamisega, kuna esimene murdosa korrutatakse teise pöördarvuga. Kui võtame näiteks murdarvu x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja jagame 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, siis saab selle kirjutada järgmiselt.

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , seejärel asendage korrutisega kujul x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Astendamine

Vaatleme tegevust üldvormi murdosadega koos astendusega. Kui on olemas loomuliku astendajaga aste, loetakse tegevust identsete murdude korrutiseks. Kuid on soovitatav kasutada üldist lähenemisviisi, mis põhineb võimsuste omadustel. Mis tahes avaldised A ja C, kus C ei ole identselt võrdne nulliga, ja mis tahes reaalne r ODZ-l kujul A C r avaldise jaoks, on võrdus A C r = A r C r tõene. Tulemuseks on astmeni tõstetud murd. Näiteks kaaluge:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Murdudega tehte järjekord

Toimingud murdosadega tehakse teatud reeglite järgi. Praktikas märkame, et avaldis võib sisaldada mitut murdosa või murdosa avaldist. Siis on vaja teha kõik toimingud ranges järjekorras: tõsta astmeni, korrutada, jagada, seejärel liita ja lahutada. Kui sulgudes on, tehakse esimene toiming nendes.

Näide 9

Arvutage 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Lahendus

Kuna meil on sama nimetaja, siis 1 - x cos x ja 1 c o s x , kuid reegli järgi lahutada ei saa, esmalt sooritatakse sulgudes olevad toimingud, seejärel korrutamine ja siis liitmine. Siis arvutamisel saame selle

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Avaldise asendamisel algsega saame, et 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Murdude korrutamisel saame: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Olles teinud kõik asendused, saame 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Nüüd peate töötama murdudega, millel on erinevad nimetajad. Saame:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Vastus: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

See artikkel on murdarvudega tehte üldine ülevaade. Siin sõnastame ja põhjendame liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja murdude astmesse tõstmise reeglid üldkujul A/B, kus A ja B on mingid arvud, arvavaldised või muutujatega avaldised. Nagu tavaliselt, varustame materjali selgitavate näidetega koos üksikasjalike lahenduste kirjeldustega.

Leheküljel navigeerimine.

Üldkuju numbrimurdudega tehtete sooritamise reeglid

Lepime kokku, et üldarvulised murrud on murrud, milles lugejat ja/või nimetajat saab esitada mitte ainult naturaalarvude, vaid ka muude arvude või arvavaldistega. Selguse huvides on siin mõned näited sellistest murdudest: .

Me teame reegleid, mille järgi. Samade reeglite järgi saate teha toiminguid üldvormi murdosadega:

Reeglite põhjendus

Üldiste arvuliste murdudega toimingute sooritamise reeglite kehtivuse põhjendamiseks võib alustada järgmistest punktidest:

• murdosa riba on sisuliselt jagamise märk,
• mõne nullist erineva arvuga jagamist võib pidada jagaja pöördarvuga korrutamiseks (see selgitab kohe murdude jagamise reeglit),
• reaalarvudega toimingute omadused,
• ja selle üldine arusaam,

Need võimaldavad teil teha järgmisi teisendusi, mis õigustavad samade ja erinevate nimetajatega murdude liitmise, lahutamise reegleid, samuti murdude korrutamise reeglit:

Näited

Toome näiteid üldise kuju murdudega toimingu sooritamisest eelmises lõigus õpitud reeglite järgi. Ütleme kohe, et tavaliselt pärast murdosadega tehte tegemist vajab saadud murd lihtsustamist ja murdosa lihtsustamise protsess on sageli keerulisem kui eelmiste toimingute sooritamine. Murdude lihtsustamisel ei peatu me pikemalt (vastavaid teisendusi käsitletakse artiklis Murdude teisendamine), et meid huvitavast teemast mitte kõrvale juhtida.

Alustame näidetega samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise kohta. Alustuseks lisame murrud ja . Ilmselt on nimetajad võrdsed. Vastava reegli järgi kirjutame üles murde, mille lugeja on võrdne algsete murdude lugejate summaga, ja jätame nimetaja samaks, meil on . Lisamine on tehtud, jääb üle saadud murdosa lihtsustamine: . Niisiis, .

Otsust oli võimalik teostada erineval viisil: esmalt minna üle tavalistele murdudele ja seejärel viia läbi liitmine. Selle lähenemisviisiga on meil .

Nüüd lahutage murdosast murdosa . Murdude nimetajad on võrdsed, seetõttu toimime samade nimetajatega murdude lahutamise reegli järgi:

Liigume edasi erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise näidete juurde. Peamine raskus seisneb siin murdude ühise nimetajani viimises. Üldvormi murdude puhul on see üsna ulatuslik teema, analüüsime seda üksikasjalikult eraldi artiklis. murdude taandamine ühisnimetajaks. Praegu piirdume paari üldise soovitusega, kuna praegu huvitab meid rohkem murdosadega toimingute sooritamise tehnika.

Üldiselt sarnaneb protsess harilike murdude ühiseks nimetajaks taandamisega. See tähendab, et nimetajad esitatakse korrutistena, seejärel võetakse kõik esimese murru nimetaja tegurid ja lisatakse neile teise murru nimetajast puuduvad tegurid.

Kui liidetud või lahutatud murdude nimetajatel ei ole ühiseid tegureid, siis on loogiline võtta nende korrutis ühisnimetajaks. Võtame näite.

Oletame, et peame lisama murde ja 1/2. Siin on ühise nimetajana loogiline võtta algmurdude nimetajate korrutis ehk . Sel juhul on esimese murru lisategur 2 . Pärast lugeja ja nimetaja korrutamist sellega saab murru kuju . Ja teise murru puhul on lisategur avaldis. Tema abiga taandatakse fraktsioon 1/2 vormile. Jääb üle lisada samade nimetajatega saadud murrud. Siin on kogu lahenduse kokkuvõte:

Üldkuju murdude puhul ei räägita enam vähimast ühisnimetajast, millele harilikud murded tavaliselt taandatakse. Kuigi selles küsimuses on siiski soovitav püüelda minimalismi poole. Sellega tahame öelda, et ei ole vaja kohe algmurdude nimetajate korrutist ühiseks nimetajaks võtta. Näiteks pole üldse vaja võtta murdude ja korrutise ühist nimetajat . Siin võib ühise nimetajana võtta .

Vaatame näiteid üldkuju murdude korrutamisest. Korrutage murrud ja . Selle toimingu sooritamise reegel käsib meil üles kirjutada murd, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja nimetajate korrutis. Meil on . Siin, nagu paljudel muudel juhtudel murdude korrutamisel, saate murdosa vähendada: .

Murdude jagamise reegel võimaldab liikuda jagamiselt pöördarvuga korrutamisele. Siin peate meeles pidama, et antud murdarvu pöördarvu saamiseks peate vahetama selle murru lugeja ja nimetaja. Siin on näide üleminekust üldiste murdude jagamiselt korrutamisele: . Jääb teha korrutamine ja saadud murdosa lihtsustamine (vajadusel vaadake irratsionaalsete avaldiste teisendust):

Selle lõigu infot lõpetuseks tuletame meelde, et mis tahes arvu või arvavaldist saab esitada murdena nimetajaga 1, mistõttu võib arvu ja murdosa liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist käsitleda vastava toimingu sooritamisena. murrud, millest ühes on nimetajas ühik . Näiteks avaldises asendamine kolme murru juure, jätkame murdarvu korrutamisest arvuga kahe murru korrutamiseni: .

Toimingute sooritamine muutujaid sisaldavate murdudega

Selle artikli esimese osa reeglid kehtivad ka muutujaid sisaldavate murdudega toimingute tegemisel. Põhjendagem neist esimest - samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegel, ülejäänud tõestatakse täpselt samamoodi.

Tõestame, et iga avaldise A , C ja D korral (D on identselt nullist erinev) on meil võrdsus muutujate vastuvõetavate väärtuste vahemikus.

Võtame mõne muutujate komplekti ODZ-st. Olgu avaldised A , C ja D nende muutujate väärtuste jaoks väärtused a 0 , c 0 ja d 0. Seejärel muudab valitud hulga muutujate väärtuste asendamine avaldisega selle vormi samade nimetajatega arvuliste murdude summaks (erinevuseks), mis vastavalt numbriliste murdude liitmise (lahutamise) reeglile samad nimetajad, on võrdne . Kuid valitud komplekti muutujate väärtuste asendamine avaldisega muudab selle samaks murruks. See tähendab, et ODZ-st valitud muutujaväärtuste komplekti puhul on avaldiste ja väärtused võrdsed. On selge, et näidatud avaldiste väärtused on võrdsed mis tahes muu ODZ muutujate väärtuste komplekti korral, mis tähendab, et avaldised ja on identselt võrdsed, see tähendab, et tõestatav võrdsus on tõene .

Näited muutujatega murdude liitmisest ja lahutamisest

Kui liidetavate või lahutatavate murdude nimetajad on samad, on kõik üsna lihtne - lugejad liidetakse või lahutatakse ja nimetaja jääb samaks. On selge, et pärast seda saadud murdosa lihtsustatakse vajadusel ja võimalusel.

Pange tähele, et mõnikord erinevad murdude nimetajad ainult esmapilgul, kuid tegelikult on need identselt võrdsed avaldised, nagu näiteks ja , või ja . Ja mõnikord piisab esialgsete murdude lihtsustamisest, nii et nende identsed nimetajad "ilmuksid".

Näide.

, b) , V) .

Lahendus.

a) Peame lahutama samade nimetajatega murrud. Vastava reegli järgi jätame nimetaja samaks ja lahutame lugejad, meil on . Toiming tehtud. Kuid saate siiski avada lugejas olevad sulud ja tuua sarnased terminid: .

b) Ilmselgelt on liidetud murdude nimetajad samad. Seetõttu lisame lugejad ja jätame nimetaja samaks: . Lisamine lõpetatud. Kuid on lihtne näha, et saadud murdosa saab vähendada. Tõepoolest, saadud murru lugejat saab vähendada summa ruudu võrra (lgx+2) 2 (vt lühendatud korrutusvalemeid), mistõttu toimuvad järgmised teisendused: .

c) Murrud summas on erinevad nimetajad. Kuid teisendades ühe murdu, saate jätkata samade nimetajatega murdude lisamist. Näitame kahte lahendust.

Esimene viis. Esimese murru nimetaja saab arvutada ruutude erinevuse valemi abil ja seejärel seda murdosa vähendada: . Seega,. Ei tee paha vabaneda irratsionaalsusest murdosa nimetajas: .

Teine viis. Teise murru lugeja ja nimetaja korrutamine (see avaldis ei kao ühegi muutuja x väärtuse puhul algse avaldise DPV-st) võimaldab saavutada korraga kaks eesmärki: vabaneda irratsionaalsusest ja liikuda edasi liitmise juurde. samade nimetajatega murrud. Meil on

Vastus:

A) , b) , V) .

Viimane näide viis meid murdude ühise nimetajani viimise küsimuseni. Seal jõudsime peaaegu kogemata samade nimetajateni, lihtsustades ühte lisatud murdu. Kuid enamasti tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmisel ja lahutamisel murded sihipäraselt ühise nimetajani viia. Selleks esitatakse murdude nimetajad tavaliselt korrutistena, kõik tegurid võetakse esimese murru nimetajast ja neile liidetakse teise murru nimetajast puuduvad tegurid.

Näide.

Teostage toiminguid murdudega: a) , b) , c) .

Lahendus.

a) Murdude nimetajatega pole vaja midagi ette võtta. Ühisnimetajaks võtame toote . Sel juhul on esimese murru lisategur avaldis ja teise murru puhul arv 3. Need täiendavad tegurid toovad murrud ühise nimetaja juurde, mis võimaldab meil teha vajalikke toiminguid.

b) Selles näites on nimetajad juba esitatud toodetena ja täiendavaid teisendusi pole vaja. Ilmselt erinevad nimetajates olevad tegurid ainult eksponentide poolest, seetõttu võtame ühise nimetajana suurimate astendajatega tegurite korrutise, st. . Siis on esimese murru lisategur x 4 ja teise puhul - ln(x+1) . Nüüd oleme valmis murrud lahutama:

c) Ja sel juhul töötame alustuseks murdude nimetajatega. Ruudude erinevuse ja summa ruudu valemid võimaldavad teil minna algsummalt avaldisele . Nüüd on selge, et neid murde saab taandada ühiseks nimetajaks . Selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja järgmine:

Vastus:

A)

b)

V)

Näited murdude korrutamisest muutujatega

Murdude korrutamine annab murdosa, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja nimetajate korrutis. Siin, nagu näete, on kõik tuttav ja lihtne ning võime ainult lisada, et selle toimingu tulemusel saadud murdosa väheneb sageli. Nendel juhtudel seda vähendatakse, välja arvatud juhul, kui see on loomulikult vajalik ja põhjendatud.

Murd- arv, mis koosneb täisarvust ühe murdude arvust ja on esitatud järgmiselt: a / b

Murrulugeja (a)- murdosa rea ​​kohal olev number, mis näitab aktsiate arvu, milleks osak jagunes.

Murru nimetaja (b)- murru rea all olev number, mis näitab, mitu aktsiat osak jagati.

2. Murdude viimine ühisele nimetajale

3. Aritmeetilised tehted harilike murrudega

3.1. Tavaliste murdude lisamine

3.2. Harilike murdude lahutamine

3.3. Harilike murdude korrutamine

3.4. Harilike murdude jagamine

4. Vastastikused numbrid

5. Kümnendkohad

6. Aritmeetilised toimingud kümnendmurdudega

6.1. Kümnendkohtade lisamine

6.2. Kümnendkohtade lahutamine

6.3. Kümnendkorrutis

6.4. Kümnendjaotus

#1. Murru põhiomadus

Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saadakse antud murdarvuga võrdne murd.

3/7=3*3/7*3=9/21, st 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - nii näeb välja murdosa põhiomadus.

Teisisõnu saame antud murdu, korrutades või jagades algse murru lugeja ja nimetaja sama naturaalarvuga.

Kui ad=bc, siis kaks murdosa a/b =c /d loetakse võrdseteks.

Näiteks murrud 3/5 ja 9/15 on võrdsed, kuna 3*15=5*9, st 45=45

Fraktsiooni vähendamine on murdosa asendamise protsess, mille käigus uus murd on võrdne algse, kuid väiksema lugeja ja nimetajaga.

Tavaks on murdude taandamine murru põhiomaduse alusel.

Näiteks, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (lugeja ja nimetaja jaguvad 3-ga, 5-ga ja 15-ga).

taandamatu murdosa on vormi murdosa 3/4 ​ ​ , kus lugeja ja nimetaja on suhteliselt algarvud. Murdarvu vähendamise peamine eesmärk on muuta fraktsioon taandamatuks.

2. Murdude taandamine ühisele nimetajale

Kahe murru viimiseks ühise nimetaja juurde:

1) lagundab iga murru nimetaja algteguriteks;

2) korrutage esimese murru lugeja ja nimetaja puuduvatega

tegurid teise nimetaja laienemisest;

3) korrutage teise murru lugeja ja nimetaja esimesest laiendusest puuduvate teguritega.

Näited: vähendage murde ühise nimetajani.

Jagame nimetajad algteguriteks: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Korrutasime murdosa lugeja ja nimetaja teisest laiendusest puuduva teguriga 5.

murdosa lugeja ja nimetaja esimesest laiendusest puuduvate tegurite 3 ja 2 järgi.

=, 90 on murdude ühisnimetaja.

3. Aritmeetilised tehted harilike murrudega

3.1. Tavaliste murdude lisamine

a) Samade nimetajate korral liidetakse esimese murru lugeja teise murru lugejaga, jättes nimetaja samaks. Nagu näites näha:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Erinevate nimetajatega taandatakse murrud esmalt ühiseks nimetajaks ja seejärel liidetakse lugejad reegli a järgi:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Harilike murdude lahutamine

a) Samade nimetajatega lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja, jättes nimetaja samaks:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Kui murdude nimetajad on erinevad, siis esmalt taandatakse murrud ühiseks nimetajaks ja seejärel korratakse samme nagu punktis a).

3.3. Harilike murdude korrutamine

Murdude korrutamine järgib järgmist reeglit:

a/b*c/d=a*c/b*d,

see tähendab, et korrutage lugejad ja nimetajad eraldi.

Näiteks:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Harilike murdude jagamine

Fraktsioonid jagatakse järgmiselt:

a/b:c/d=a*d/b*c,

see tähendab, et murd a / b korrutatakse antud pöördarvuga, see tähendab, et see korrutatakse d / c-ga.

Näide: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Vastastikused numbrid

Kui a*b=1, siis on arv b vastupidine number numbri a jaoks.

Näide: numbri 9 puhul on vastupidine 1/9 ​ ​ , alates 9*1/9 = 1 , arvu 5 puhul - pöördväärtus 1/5 ​ ​ , sest 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Kümnendkohad

Kümnend on korralik murd, mille nimetaja on 10, 1000, 10000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Näiteks: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Samamoodi kirjutatakse ebaõiged nimetajaga 10^n või seganumbrid.

Näiteks: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Kümnendmurru kujul on esindatud iga harilik murd, mille nimetaja on arvu 10 teatud astme jagaja.

nimetaja, mis on arvu 10 teatud astme jagaja.

Näide: 5 on 100 jagaja, seega murd 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmeetilised toimingud kümnendmurdudega

6.1. Kümnendkohtade lisamine

Kahe kümnendmurru liitmiseks tuleb need järjestada nii, et üksteise alla jääksid samad numbrid ja koma all olev koma, ning seejärel liita murrud tavaarvudena.

6.2. Kümnendkohtade lahutamine

See toimib samamoodi nagu lisamine.

6.3. Kümnendkorrutis

Kümnendarvude korrutamisel piisab etteantud arvude korrutamisest, jättes tähelepanuta komad (naturaalarvudena) ja saadud vastuses eraldab parempoolne koma nii palju numbreid, kui mõlemas teguris kokku on pärast koma. .

Korrutame 2,7 1,3-ga. Meil on 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Eraldame kaks numbrit komaga paremal (esimesel ja teisel numbril on üks koht pärast koma; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Selle tulemusena saame 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Kui tulemuseks on vähem numbreid, kui on vaja komaga eraldada, siis kirjutatakse ette puuduvad nullid, näiteks:

10, 100, 1000-ga korrutamiseks kümnendmurruna nihutage koma 1, 2, 3 numbrit paremale (vajadusel määratakse paremale teatud arv nulle).

Näiteks: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Kümnendjaotus

Kümnendmurru jagamine naturaalarvuga toimub samamoodi nagu naturaalarvu jagamine naturaalarvuga. Koma privaatsesse pannakse pärast täisarvulise osa jagamise lõpetamist.

Kui dividendi täisarvuline osa on väiksem kui jagaja, siis on vastuseks null täisarvu, näiteks:

Kaaluge kümnendkoha jagamist kümnendkohaga. Oletame, et peame 2,576 jagama 1,12-ga. Kõigepealt korrutame murdu dividendi ja jagaja 100-ga ehk nihutame dividendis koma paremale ja jagame nii palju märke, kui palju on jagajas pärast koma (antud näites , kaks). Seejärel peate jagama murdosa 257,6 naturaalarvuga 112, see tähendab, et probleem taandatakse juba käsitletud juhtumile:

Juhtub, et ühe arvu jagamisel teisega ei saada alati lõplikku kümnendmurdu. Tulemuseks on lõpmatu kümnendkoht. Sellistel juhtudel minge tavaliste murdude juurde.

Näiteks 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Mugav ja lihtne veebipõhine murrukalkulaator üksikasjaliku lahendusega Võib olla:

• Internetis murdude liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine,
• Murdude valmislahus hankige pildina ja kandke see mugavalt üle.



Murdude lahendamise tulemus on siin ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Murrumärk "/" + - * :
_wipe Kustuta
Meie veebipõhisel murdarvukalkulaatoril on kiire sisestus. Näiteks murdude lahenduse saamiseks lihtsalt kirjutage 1/2+2/7 sisestage kalkulaatorisse ja vajutage nuppu " lahendada murde". Kalkulaator kirjutab teile murdude detailne lahendus ja välja anda koopiasõbralik pilt.

Kalkulaatorisse kirjutamiseks kasutatavad märgid

Lahenduse näite saab sisestada nii klaviatuurilt kui ka nuppude abil.

Interneti-murrukalkulaatori omadused

Murrukalkulaator suudab teha tehteid ainult kahe lihtmurruga. Need võivad olla kas õiged (lugeja on nimetajast väiksem) või valed (lugeja on nimetajast suurem). Lugejas ja nimetajates olevad arvud ei tohi olla negatiivsed ja suuremad kui 999.
Meie veebikalkulaator lahendab murde ja teisendab vastuse õigele kujule – vajadusel vähendab murdosa ja tõstab esile täisarvu.

Kui teil on vaja lahendada negatiivsed murded, kasutage lihtsalt miinusomadusi. Negatiivsete murdude korrutamisel ja jagamisel annab miinus miinusega plussi. See tähendab, et negatiivsete murdude korrutis ja jaotus võrdub samade positiivsete korrutise ja jagamisega. Kui üks murd on korrutamisel või jagamisel negatiivne, eemaldage lihtsalt miinus ja lisage see vastusele. Negatiivsete murdude lisamisel on tulemus sama, mis samade positiivsete murdude lisamisel. Kui lisate ühe negatiivse murru, on see sama, mis sama positiivse murru lahutamine.
Negatiivsete murdude lahutamisel on tulemus sama, nagu oleks need ümber pööratud ja positiivsed. See tähendab, et miinus miinusega annab antud juhul plussi ja summa ei muutu tingimuste ümberpaigutamisel. Murdude lahutamisel kasutame samu reegleid, millest üks on negatiivne.

Segamurdude (murrud, milles on esile tõstetud kogu osa) lahendamiseks lihtsalt ajage kogu osa murdeks. Selleks korrutage täisarvuline osa nimetajaga ja lisage lugejale.

Kui teil on vaja võrgus lahendada 3 või enam murdu, peaksite need lahendama ükshaaval. Esmalt loe 2 esimest murdu, seejärel lahenda saadud vastusega järgmine murd jne. Tehke kordamööda 2 murdosa tehteid ja lõpuks saate õige vastuse.