Pöördume funktsiooni y \u003d x 3 - 3x 2 graafiku poole. Vaatleme punkti x = 0 ümbrust, s.t. mingi intervall, mis sisaldab seda punkti. On loogiline, et punkti x \u003d 0 naabrus on selline, et funktsioon y \u003d x 3 - 3x 2 selles naabruses saab suurima väärtuse punktis x \u003d 0. Näiteks intervallil (- 1; 1) suurim väärtus, mis on võrdne 0-ga, võtab funktsioon punktis x = 0. Punkti x = 0 nimetatakse selle funktsiooni maksimumpunktiks.
Samamoodi nimetatakse punkti x \u003d 2 funktsiooni x 3 - 3x 2 miinimumpunktiks, kuna selles punktis ei ole funktsiooni väärtus suurem kui selle väärtus teises punkti x \u003d 2 läheduses. , näiteks naabruskond (1,5; 2,5).
Seega nimetatakse punkti x 0 funktsiooni f (x) maksimumpunktiks, kui punktile x 0 on naabrus – nii et võrratus f (x) ≤ f (x 0) on täidetud kõigi x-de korral sellest. naabruskond.
Näiteks punkt x 0 \u003d 0 on funktsiooni f (x) \u003d 1 - x 2 maksimaalne punkt, kuna f (0) \u003d 1 ja ebavõrdsus f (x) ≤ 1 kehtib kõigi väärtuste puhul x-st.
Funktsiooni f (x) miinimumpunkti nimetatakse punktiks x 0, kui punktil x 0 on selline naabrus, et ebavõrdsus f (x) ≥ f (x 0) on täidetud kõigi selle naabruse x jaoks.
Näiteks punkt x 0 \u003d 2 on funktsiooni f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 minimaalne punkt, kuna f (2) \u003d 3 ja f (x) ≥ 3 kõigi x .
Äärmuspunkte nimetatakse miinimumpunktideks ja maksimumpunktideks.
Pöördume funktsiooni f(x) poole, mis on defineeritud punkti x 0 mõnes naabruses ja millel on selles punktis tuletis.
Kui x 0 on diferentseeruva funktsiooni f (x) äärmuspunkt, siis f "(x 0) \u003d 0. Seda väidet nimetatakse Fermat' teoreemiks.
Fermat' teoreemil on selge geomeetriline tähendus: ekstreemumipunktis on puutuja paralleelne x-teljega ja seega ka selle kalle.
f "(x 0) on null.
Näiteks funktsiooni f (x) \u003d 1 - 3x 2 maksimum on punktis x 0 \u003d 0, selle tuletis f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.
Funktsioonil f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 on miinimum punktis x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .
Pange tähele, et kui f "(x 0) \u003d 0, siis sellest ei piisa kinnitamaks, et x 0 on tingimata funktsiooni f (x) äärmuspunkt.
Näiteks kui f (x) \u003d x 3, siis f "(0) \u003d 0. Punkt x \u003d 0 ei ole aga äärmuspunkt, kuna funktsioon x 3 suureneb kogu reaalteljel.
Seega tuleb diferentseeruva funktsiooni äärmuspunkte otsida ainult võrrandi juurte hulgast
f "(x) \u003d 0, kuid selle võrrandi juur ei ole alati äärmuspunkt.
Statsionaarsed punktid on punktid, kus funktsiooni tuletis on võrdne nulliga.
Seega selleks, et punkt x 0 oleks äärmuspunkt, on vajalik, et see oleks statsionaarne punkt.
Arvesta piisavateks tingimusteks, et statsionaarne punkt oleks äärmuspunkt, s.t. tingimused, mille korral statsionaarne punkt on funktsiooni miinimum- või maksimumpunkt.
Kui statsionaarsest punktist vasakul olev tuletis on positiivne ja paremal negatiivne, s.t. tuletis muudab selle punkti läbimisel märgi "+" märgiks "-", siis on see statsionaarne punkt maksimumpunkt.
Tõepoolest, antud juhul statsionaarsest punktist vasakul funktsioon suureneb, paremal aga väheneb, s.t. see punkt on maksimumpunkt.
Kui tuletis muudab statsionaarse punkti läbimisel märgi "-" märgiks "+", siis on see statsionaarne punkt miinimumpunkt.
Kui tuletis statsionaarse punkti läbimisel märki ei muuda, s.o. tuletis on statsionaarsest punktist vasakul ja paremal positiivne või negatiivne, siis see punkt ei ole äärmuspunkt.
Vaatleme üht probleemi. Leidke funktsiooni f (x) \u003d x 4 - 4x 3 äärmuspunktid.
Lahendus.
1) Leidke tuletis: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).
2) Leidke statsionaarsed punktid: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.
3) Intervallmeetodi abil tuvastame, et tuletis f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) on positiivne x\u003e 3 jaoks, negatiivne x jaoks< 0 и при 0 < х < 3.
4) Kuna punkti x 1 \u003d 0 läbimisel tuletise märk ei muutu, pole see punkt äärmuspunkt.
5) Tuletis muudab punkti x 2 \u003d 3 läbimisel märgi "-" märgiks "+". Seetõttu on x 2 \u003d 3 miinimumpunkt.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
Enne funktsiooni äärmuste leidmise õppimist on vaja mõista, mis on ekstreemum. Ekstreemumi kõige üldisem definitsioon on see, et see on matemaatikas kasutatava funktsiooni väikseim või suurim väärtus arvujoone või graafiku teatud hulgal. Kohas, kus on miinimum, ilmub miinimumi ekstreemum ja seal, kus on maksimum, maksimumi äärmus. Ka sellises distsipliinis nagu matemaatiline analüüs eristatakse funktsiooni lokaalseid äärmusi. Nüüd vaatame, kuidas äärmusi leida.
Ekstreemsused matemaatikas on funktsiooni ühed olulisemad tunnused, need näitavad selle suurimat ja väikseimat väärtust. Ekstreemumid leitakse peamiselt leitud funktsioonide kriitilistes punktides. Väärib märkimist, et just äärmuspunktis muudab funktsioon radikaalselt oma suunda. Kui arvutame ekstreemumipunkti tuletise, siis definitsiooni järgi peab see olema võrdne nulliga või see puudub täielikult. Seega selleks, et õppida, kuidas leida funktsiooni ekstreemumit, on vaja täita kaks järjestikust ülesannet:
- leida ülesandega määratava funktsiooni tuletis;
- leida võrrandi juured.
Ekstreemumi leidmise järjekord
- Kirjutage üles antud funktsioon f(x). Leidke selle esimest järku tuletis f "(x). Võrdsustage saadud avaldis nulliga.
- Nüüd peate lahendama võrrandi, mis selgus. Saadud lahendused on võrrandi juured, aga ka määratletava funktsiooni kriitilised punktid.
- Nüüd määrame kindlaks, millised kriitilised punktid (maksimaalne või miinimum) on leitud juured. Järgmine samm, pärast seda, kui õppisime funktsiooni äärmuspunkte leidma, on leida soovitud funktsiooni f "(x) teine tuletis. Leitud kriitiliste punktide väärtused tuleb asendada. Kui see juhtub, et teine tuletis osutub kriitilises punktis suuremaks kui null, siis on see miinimumpunkt ja muidu maksimumpunkt.
- Jääb üle arvutada algfunktsiooni väärtus funktsiooni nõutavates maksimum- ja miinimumpunktides. Selleks asendame saadud väärtused funktsiooniga ja arvutame. Siiski tuleb märkida, et kui kriitiline punkt osutus maksimumiks, siis on ka ekstreemum maksimum ja kui see on miinimum, siis analoogia põhjal miinimum.
Algoritm ekstreemumi leidmiseks
Saadud teadmiste kokkuvõtteks teeme lühidalt algoritmi, kuidas ekstreemsuspunkte leida.
- Leiame antud funktsiooni domeeni ja selle intervallid, mis määravad täpselt, millistel intervallidel funktsioon on pidev.
- Leiame funktsiooni f "(x) tuletise.
- Arvutame võrrandi y = f (x) kriitilised punktid.
- Analüüsime funktsiooni f (x) suuna muutusi, samuti tuletise f "(x) märki, kus kriitilised punktid eraldavad selle funktsiooni määratluspiirkonna.
- Nüüd määrame, kas graafiku iga punkt on maksimum või miinimum.
- Funktsiooni väärtused leiame nendest punktidest, mis on äärmuslikud.
- Fikseerime selle uuringu tulemuse – monotoonsuse ekstreemsused ja intervallid. See on kõik. Nüüd oleme mõelnud, kuidas leida ekstreemumit mis tahes intervallil. Kui on vaja leida ekstreemum mingi funktsiooni teatud intervalli pealt, siis tehakse seda sarnaselt, tingimata võetakse arvesse ainult teostatava uurimistöö piire.
Niisiis, oleme mõelnud, kuidas leida funktsiooni äärmuspunkte. Lihtsate arvutuste ja tuletiste leidmise teadmiste abil saate leida mis tahes ekstreemumi ja selle arvutada, samuti graafiliselt tähistada. Äärmuste leidmine on matemaatika üks olulisemaid osi nii koolis kui ka kõrgkoolis, seega kui õpid neid õigesti määrama, muutub õppimine palju lihtsamaks ja huvitavamaks.
Tund teemal: "Funktsioonide äärmuspunktide leidmine. Näited"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.
Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"
Mida me uurime:
1. Sissejuhatus.
2. Miinimum- ja maksimumpunktid.
4. Kuidas arvutada ekstreemumeid?
5. Näited.
Sissejuhatus funktsioonide äärmustesse
Poisid, vaatame mõne funktsiooni graafikut:
Pange tähele, et meie funktsiooni y=f (x) käitumise määravad suuresti kaks punkti x1 ja x2. Vaatame lähemalt funktsiooni graafikut nendes punktides ja nende ümber. Kuni punktini x2 funktsioon suureneb, punktis x2 toimub kääne ja kohe pärast seda punkti väheneb funktsioon punktini x1. Punktis x1 funktsioon paindub uuesti ja pärast seda suureneb uuesti. Punkte x1 ja x2 nimetatakse esialgu pöördepunktideks. Joonistame nendesse punktidesse puutujad:
Meie punktide puutujad on paralleelsed x-teljega, mis tähendab, et puutuja kalle on null. See tähendab, et meie funktsiooni tuletis nendes punktides on null.
Vaatame selle funktsiooni graafikut:
Puutujaid punktides x2 ja x1 ei saa joonistada. Seega tuletist nendes punktides ei eksisteeri. Vaatame nüüd uuesti oma punkte kahel diagrammil. Punkt x2 on punkt, kus funktsioon saavutab mingis piirkonnas (punkti x2 lähedal) oma maksimaalse väärtuse. Punkt x1 on punkt, kus funktsioon saavutab oma väikseima väärtuse mõnes piirkonnas (punkti x1 lähedal).
Kõrged ja madalad punktid
Definitsioon: Punkti x= x0 nimetatakse funktsiooni y=f(x) miinimumpunktiks, kui on olemas punkti x0 naabrus, kus on tõene järgmine võrratus: f(x) ≥ f(x0).
Definitsioon: Punkti x=x0 nimetatakse funktsiooni y=f(x) maksimumpunktiks, kui on olemas punkti x0 naabrus, kus on tõene järgmine võrratus: f(x) ≤ f(x0).
Poisid, mis on naabruskond?
Definitsioon: Punkti naabrus on punktide kogum, mis sisaldab meie punkti ja on selle lähedal.
Naabruskonna saame ise määratleda. Näiteks punkti x=2 korral saame naabruskonna määratleda punktidena 1 ja 3.
Tuleme tagasi oma graafikute juurde, vaatame punkti x2, see on suurem kui kõik teised punktid mõnest naabruskonnast, siis definitsiooni järgi on see maksimumpunkt. Nüüd vaatame punkti x1, see on väiksem kui kõik teised punktid mõnest naabruskonnast, siis definitsiooni järgi on see miinimumpunkt.
Poisid, tutvustame tähistust:
Y min – miinimumpunkt,
ymax – maksimumpunkt.
Tähtis! Poisid, ärge ajage maksimum- ja miinimumpunkte segamini funktsiooni väikseima ja suurima väärtusega. Väiksemaid ja suurimaid väärtusi otsitakse kogu antud funktsiooni definitsioonipiirkonnas ning miinimum- ja maksimumpunkte mõnes naabruses.
Funktsiooni äärmused
Miinimum- ja maksimumpunktide kohta on ühine termin – äärmuspunktid.
Ekstreemum (lat. extremum – äärmuslik) – funktsiooni maksimaalne või minimaalne väärtus antud hulgal. Ekstreemumi saavutamise punkti nimetatakse ekstreemumipunktiks.
Vastavalt sellele, kui miinimum on saavutatud, nimetatakse äärmuspunkti miinimumpunktiks ja maksimumpunkti saavutamisel maksimumpunktiks.
Kuidas leida funktsiooni äärmusi?
Tuleme tagasi oma edetabelite juurde. Meie punktides tuletis kas kaob (esimesel graafikul) või ei eksisteeri (teisel graafikul).
Siis saame teha olulise väite: Kui funktsioonil y= f(x) on ekstreemum punktis x=x0, siis selles punktis on funktsiooni tuletis kas võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.
Nimetatakse punkte, kus tuletis on võrdne nulliga paigal.
Nimetatakse punkte, kus funktsiooni tuletist ei eksisteeri kriitiline.
Kuidas arvutada äärmusi?
Poisid, lähme tagasi funktsiooni esimese graafiku juurde:
Seda graafikut analüüsides ütlesime: kuni punktini x2 funktsioon suureneb, punktis x2 toimub kääne ja pärast seda punkti funktsioon väheneb punktini x1. Punktis x1 funktsioon paindub uuesti ja pärast seda funktsioon taas suureneb.
Sellise arutluse põhjal võime järeldada, et äärmuspunktides olev funktsioon muudab monotoonsuse olemust ja seega muudab tuletisfunktsioon märki. Tuletame meelde, et kui funktsioon on kahanev, siis on tuletis väiksem või võrdne nulliga ja kui funktsioon kasvab, siis on tuletis suurem või võrdne nulliga.
Üldistame saadud teadmisi väitega:
Teoreem: Piisava ekstreemumi tingimus: olgu funktsioon y=f(x) pidev mingil intervallil X ja selle intervalli sees on statsionaarne või kriitiline punkt x= x0. Seejärel:
Probleemide lahendamiseks pidage meeles järgmisi reegleid: Kui tuletiste märgid on määratletud, siis:
Algoritm pideva funktsiooni y= f(x) uurimiseks monotoonsuse ja ekstreemsuse korral:
- Leia tuletis y'.
- Leida statsionaarsed (tuletis on null) ja kriitilised punktid (tuletist ei eksisteeri).
- Märgi arvjoonele statsionaarsed ja kriitilised punktid ning määra saadud intervallidel tuletise märgid.
- Ülaltoodud väidete põhjal tehke järeldus ekstreemumipunktide olemuse kohta.
Näited ekstreemumipunktide leidmisest
1) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende olemus: y= 7+ 12*x - x 3
Lahendus: meie funktsioon on pidev, siis kasutame oma algoritmi:
a) y "= 12–3 x 2,
b) y"= 0, x = ±2, 
Punkt x= -2 on funktsiooni miinimumpunkt, punkt x= 2 on funktsiooni maksimumpunkt.
Vastus: x= -2 - funktsiooni miinimumpunkt, x= 2 - funktsiooni maksimumpunkt.
2) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende olemus.
Lahendus: meie funktsioon on pidev. Kasutame oma algoritmi: a)
b) punktis x= 2 tuletist ei eksisteeri, sest ei saa nulliga jagada 
Funktsiooni domeen: , selles punktis ekstreemumit pole, sest punkti naabruskond ei ole määratletud. Leiame väärtused, milles tuletis on võrdne nulliga: 
c) Märgime reaaljoonele statsionaarsed punktid ja määrame tuletise märgid: 
d) vaadake meie joonist, mis näitab ekstreemumite määramise reegleid. Punkt x= 3 on funktsiooni miinimumpunkt.
Vastus: x= 3 - funktsiooni miinimumpunkt.
3) Leidke funktsiooni y= x - 2cos(x) äärmuspunktid ja määrake nende iseloom, kui -π ≤ x ≤ π.
Lahendus: meie funktsioon on pidev, kasutame meie algoritmi:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) leidke väärtused, milles tuletis on võrdne nulliga: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
sest -π ≤ x ≤ π, siis: x= -π/6, -5π/6,
c) märkige reaaljoonele statsionaarsed punktid ja määrake tuletise märgid: 
d) vaadake meie joonist, mis näitab ekstreemumite määramise reegleid.
Punkt x= -5π/6 on funktsiooni maksimumpunkt.
Punkt x= -π/6 on funktsiooni miinimumpunkt.
Vastus: x= -5π/6 - funktsiooni maksimumpunkt, x= -π/6 - funktsiooni miinimumpunkt.
4) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende olemus:
Lahendus: meie funktsioonil on katkestus ainult ühes punktis x= 0. Kasutame algoritmi: a)
b) leidke väärtused, milles tuletis on võrdne nulliga: y "= 0 x= ±2 korral, c) märkige reaaljoonele statsionaarsed punktid ja määrake tuletise märgid:
d) vaadake meie joonist, mis näitab ekstreemumite määramise reegleid.
Punkt x= -2 on funktsiooni miinimumpunkt.
Punkt x= 2 on funktsiooni miinimumpunkt.
Punktis x= 0 funktsiooni ei eksisteeri.
Vastus: x= ±2 - funktsiooni miinimumpunktid.
Iseseisva lahenduse ülesanded
a) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende iseloom: y= 5x 3 - 15x - 5.b) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende olemus:
c) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende iseloom: y= 2sin(x) - x π ≤ x ≤ 3π korral. d) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ja määrake nende olemus:
Punkti x 0 nimetatakse maksimaalne punkt(miinimum) funktsiooni f(х) juhul, kui punkti x 0 mõnes naabruses on täidetud võrratus f(х) ≤f(х 0) (f(х) ≥f(х 0)).
Funktsiooni väärtust selles punktis kutsutakse vastavalt maksimaalselt või miinimum funktsioonid. Funktsiooni maksimum ja miinimum on ühendatud ühise nimetusega äärmus funktsioonid.
Funktsiooni ekstreemumiks selles tähenduses nimetatakse sageli kohalik äärmus, rõhutades tõsiasja, et see mõiste on seotud ainult punkti x 0 piisavalt väikese ümbrusega. Samal intervallil võib funktsioonil olla mitu kohalikku maksimumi ja miinimumi, mis ei pruugi nendega kokku langeda globaalne maksimum või miinimum(st funktsiooni suurim või väikseim väärtus kogu intervallil).
Ekstreemumi vajalik tingimus. Selleks, et funktsioonil oleks punktis ekstreemum, peab selle tuletis selles punktis olema võrdne nulliga või mitte eksisteerima.
Diferentseeruvate funktsioonide puhul tuleneb see tingimus Fermat' teoreemist. Lisaks näeb see ette juhu, kui funktsioonil on ekstreemum kohas, kus see ei ole diferentseeritav.
Nimetatakse punkte, kus vajalik äärmuslik tingimus on täidetud kriitiline(või statsionaarne diferentseeruva funktsiooni jaoks). Need punktid peavad jääma funktsiooni ulatusse.
Seega, kui mingis punktis on ekstreemum, siis see punkt on kriitiline (vajadustingimus). Pange tähele, et vastupidine pole tõsi. Kriitiline punkt ei pruugi olla äärmuspunkt, s.t. märgitud tingimus ei ole piisav.
Ekstreemumi esimene piisav tingimus. Kui teatud punkti läbimisel muudab diferentseeruva funktsiooni tuletis oma märgi plussist miinusesse, siis on see funktsiooni maksimumpunkt ja kui miinusest plussiks, siis miinimumpunkt.
Selle tingimuse tõestus tuleneb piisava monotoonsuse tingimusest (tuletise märgi muutumisel toimub üleminek kas funktsiooni suurenemiselt vähenemisele või kahanemiselt suurenemisele).
Ekstreemumi teine piisav tingimus. Kui kaks korda diferentseeruva funktsiooni esimene tuletis on mingil hetkel null ja teine tuletis on selles punktis positiivne, siis on see funktsiooni miinimumpunkt; ja kui teine tuletis on negatiivne, siis on see maksimumpunkt.
Selle tingimuse tõestus põhineb ka piisaval monotoonsuse tingimusel. Tõepoolest, kui teine tuletis on positiivne, siis esimene tuletis on kasvav funktsioon. Kuna see on vaadeldavas punktis võrdne nulliga, muudab see selle läbimisel märgi miinusest plussiks, mis tagastab meid kohaliku miinimumi esimese piisava tingimuse juurde. Samamoodi, kui teine tuletis on negatiivne, siis esimene väheneb ja muudab märgi plussist miinusesse, mis on piisav tingimus lokaalseks maksimumiks.
Funktsiooni uurimine äärmuseni sõnastatud teoreemide kohaselt sisaldab see järgmisi samme:
1. Leia funktsiooni f`(x) esimene tuletis.
2. Kontrolli vajaliku ekstreemumi tingimuse täitmist, s.o. leida funktsiooni f(x) kriitilised punktid, kus tuletist f`(x) = 0 või ei eksisteeri.
3. Kontrolli piisava ekstreemumi tingimuse täitmist, s.o. kas uurige igast kriitilisest punktist vasakul ja paremal asuva tuletise märki või leidke teine tuletis f``(x) ja määrake selle märk igas kriitilises punktis. Tehke järeldus funktsiooni ekstreemumite olemasolu kohta.
4. Leidke funktsiooni äärmuslikud väärtused (äärmuslikud väärtused).
Funktsiooni globaalse maksimumi ja miinimumi leidmine teatud intervallil on ka suur praktiline tähtsus. Selle ülesande lahendamine segmendil põhineb Weierstrassi teoreemil, mille kohaselt pidev funktsioon võtab lõigul oma maksimaalsed ja minimaalsed väärtused. Neid saab saavutada nii äärmuslikes punktides kui ka segmendi otstes. Seetõttu sisaldab lahendus järgmisi samme:
1. Leia funktsiooni f`(x) tuletis.
2. Leia funktsiooni f(x) kriitilised punktid, kus tuletist f`(x) = 0 või ei eksisteeri.
3. Leidke funktsiooni väärtused segmendi kriitilistes punktides ja otstes ning valige neist suurim ja väikseim.
Nagu näete, nõuab see funktsiooni ekstreemumi märk tuletise olemasolu vähemalt teise järguni punktis .
Näide.
Leia funktsiooni äärmuspunkt.
Lahendus.
Alustame ulatusega: 
Eristame algset funktsiooni: 
x=1, see tähendab, et see on võimaliku ekstreemumi punkt. Leiame funktsiooni teise tuletise ja arvutame selle väärtuse at x=1:
Seetõttu teise piisava äärmusliku tingimuse kohaselt x=1- maksimaalne punkt. Siis 
on funktsiooni maksimum.
Graafiline illustratsioon.
Vastus:
Funktsiooni ekstreemumi kolmas piisav tingimus.
Laske funktsioonil y=f(x) on tuletised kuni n-ndas järgus -punkti naabruses ja tuletised kuni n+1 järjekorras punktis endas. Laske ja .
Näide.
Funktsiooni äärmuspunktide leidmine 
.
Lahendus.
Algfunktsioon on terve ratsionaalne funktsioon, selle määratluspiirkond on kogu reaalarvude komplekt.
Eristame funktsiooni: 
Tuletis kaob, kui 
, seega on need võimaliku ekstreemumi punktid. Kasutame ekstreemumi jaoks kolmandat piisavat tingimust.
Leiame teise tuletise ja arvutame selle väärtuse võimaliku ekstreemumi punktides (vahearvutused jätame vahele): 
Seetõttu on maksimumpunkt (ekstreemumi kolmanda piisava märgi jaoks on meil n = 1 ja ).
Punktide olemuse selgitamiseks 
leidke kolmas tuletis ja arvutage selle väärtus järgmistes punktides: 
Seetõttu on funktsiooni käändepunkt ( n = 2 ja ).
Jääb üle asjaga tegeleda. Leiame neljanda tuletise ja arvutame selle väärtuse siinkohal: 
Seetõttu on funktsiooni miinimumpunkt.
Graafiline illustratsioon.
Vastus:
Maksimaalne punkt on funktsiooni miinimumpunkt.
10. Funktsiooni ekstreemumid Ekstreemumi definitsioon
Kutsutakse funktsioon y = f(x). suureneb (kahanev) mõnes intervallis, kui x 1 korral< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Kui diferentseeruv funktsioon y = f(x) lõigul suureneb (väheneb), siis selle tuletis sellel lõigul f "(x) 0
(f "(x) 0).
Punkt x umbes helistas kohalik maksimumpunkt (miinimum) funktsiooni f(x) korral, kui on olemas punkti naabrus x umbes, kõigi punktide puhul, mille võrratus f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) on tõene.
Nimetatakse maksimum- ja miinimumpunktid äärmuslikud punktid, ja funktsiooni väärtused nendes punktides on selle äärmuslik.
äärmuslikud punktid
Ekstreemumiks vajalikud tingimused. Kui punkt x umbes on funktsiooni f (x) äärmuspunkt, siis kas f "(x o) \u003d 0 või f (x o) pole olemas. Selliseid punkte nimetatakse kriitiline, kus funktsioon ise on määratletud kriitilises punktis. Funktsiooni äärmusi tuleks otsida selle kriitiliste punktide hulgast.
Esimene piisav tingimus. Lase x umbes- kriitiline punkt. Kui f "(x) punkti läbimisel x umbes muudab plussmärgi miinusmärgiks, seejärel punktis x umbes funktsioonil on maksimum, muidu on miinimum. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis punktis x umbes ekstreemumit pole.
Teine piisav tingimus. Olgu funktsioonil f(x) punkti naabruses tuletis f "(x). x umbes ja teine tuletis just selles punktis x umbes. Kui f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x umbes on funktsiooni f(x) lokaalne miinimum (maksimaalne) punkt. Kui =0, siis tuleb kas kasutada esimest piisavat tingimust või kaasata kõrgemad tuletised.
Lõigul võib funktsioon y = f(x) saavutada oma minimaalse või maksimaalse väärtuse kas kriitilistes punktides või lõigu otstes.
Näide 3.22. Leidke funktsiooni f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 äärmuspunkt.
Lahendus. Kuna f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), siis funktsiooni kriitilised punktid x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3. Äärmuslikud punktid võivad olema ainult nendes punktides. Kuna punkti x 1 \u003d 2 läbimisel muudab tuletis märgi plussist miinusesse, siis on sellel hetkel funktsioonil maksimum. Punkti x 2 \u003d 3 läbimisel muutub tuletis muudab märgi miinusest plussiks, seetõttu on punktis x 2 \u003d 3 funktsioonil miinimum. Olles arvutanud funktsiooni väärtused punktides x 1 = 2 ja x 2 = 3, leiame funktsiooni äärmused: maksimaalne f (2) = 14 ja minimaalne f (3) = 13.