Reeglid murdude võrdlemiseks lisaarvu abil. Murdarvude võrdlus. Kuidas võrrelda erinevate nimetajatega murde

Kahte ebavõrdset murdu võrreldakse täiendavalt, et teada saada, milline murd on suurem ja milline väiksem. Kahe murdu võrdlemiseks on olemas murdude võrdlemise reegel, mille sõnastame allpool ning analüüsime ka näiteid selle reegli rakendamisest sama ja erineva nimetajaga murdude võrdlemisel. Kokkuvõtteks näitame, kuidas võrrelda samade lugejatega murde, taandamata neid ühiseks nimetajaks, ja kaalume ka, kuidas võrrelda tavalist murru naturaalarvuga.

Leheküljel navigeerimine.

Samade nimetajatega murdude võrdlemine

Samade nimetajatega murdude võrdlemine on sisuliselt võrdsete osade arvu võrdlus. Näiteks harilik murd 3/7 määrab 3 osa 1/7 ja murd 8/7 vastab 8 osale 1/7, nii et samade nimetajatega 3/7 ja 8/7 murdude võrdlemine taandub arvude võrdlemisele. 3 ja 8, see tähendab lugejate võrdlemiseks.

Nendest kaalutlustest järeldub sama nimetajaga murdude võrdlemise reegel: Kahest sama nimetajaga murdest on suurem murd, mille lugeja on suurem, ja väiksem on murd, mille lugeja on väiksem.

Nimetatud reegel selgitab, kuidas võrrelda samade nimetajatega murde. Vaatleme näidet samade nimetajatega murdude võrdlemise reegli rakendamisest.

Näide.

Kumb murd on suurem: 65/126 või 87/126?

Lahendus.

Võrreldavate harilike murdude nimetajad on võrdsed ja murdu 87/126 lugeja 87 on suurem kui murdarvu 65/126 lugeja 65 (vajadusel vt naturaalarvude võrdlust). Seetõttu on samade nimetajatega murdude võrdlemise reegli kohaselt murd 87/126 suurem kui murd 65/126.

Vastus:

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemine

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemine saab taandada samade nimetajatega murdude võrdlemisele. Selleks peate lihtsalt viima võrreldavad harilikud murrud ühise nimetajani.

Seega, et võrrelda kahte erineva nimetajaga murdosa, peate

tuua murrud ühise nimetaja juurde;
võrrelda saadud murde samade nimetajatega.

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Võrrelge murdosa 5/12 murdosaga 9/16.

Lahendus.

Esiteks toome need erinevate nimetajatega murrud ühise nimetaja juurde (vt reeglit ja näiteid murdude ühiseks nimetajaks taandamisest). Ühisnimetajaks võtke väikseim ühisnimetaja, mis on võrdne LCM(12, 16)=48 . Siis on murru 5/12 lisateguriks arv 48:12=4 ja murru 9/16 lisateguriks arv 48:16=3 . Saame ja .

Võrreldes saadud murde, saame . Seetõttu on murdosa 5/12 väiksem kui murdosa 9/16. See lõpetab erinevate nimetajatega murdude võrdlemise.

Vastus:

Vaatame veel ühe võimaluse erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks, mis võimaldab teil võrrelda murde ilma neid ühiseks nimetajaks taandamata ja kõiki selle protsessiga seotud raskusi.

Murdude a / b ja c / d võrdlemiseks saab need taandada ühiseks nimetajaks b d, mis on võrdne võrreldavate murdude nimetajate korrutisega. Sel juhul on murdude a/b ja c/d lisateguriteks vastavalt arvud d ja b ning algsed murrud taandatakse murdudeks ja ühise nimetajaga b d . Tuletades meelde samade nimetajatega murdude võrdlemise reeglit, järeldame, et algsete murdude a/b ja c/d võrdlus on taandatud a d ja c b korrutistele.

Sellest järeldub järgmine reegel erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks: kui a d>b c , siis , ja kui a d

Kaaluge erinevate nimetajatega murdude võrdlemist sel viisil.

Näide.

Võrrelge tavalisi murde 5/18 ja 23/86.

Lahendus.

Selles näites a=5, b=18, c=23 ja d=86. Arvutame korrutised a d ja b c . Meil on a d=5 86=430 ja b c=18 23=414 . Kuna 430>414, on murd 5/18 suurem kui murd 23/86.

Vastus:

Sama lugejaga murdude võrdlemine

Samade lugejate ja erinevate nimetajatega murde saab kindlasti võrrelda eelmises lõigus käsitletud reeglite abil. Selliste murdude võrdlemise tulemust on aga lihtne saada, kui võrrelda nende murdude nimetajaid.

On selline sama lugejaga murdude võrdlemise reegel: kahest sama lugejaga murdest on väiksema nimetajaga murd suurem ja suurema nimetajaga murd väiksem.

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Võrrelge murde 54/19 ja 54/31.

Lahendus.

Kuna võrreldavate murdude lugejad on võrdsed ja murru 54/19 nimetaja 19 on väiksem kui murdosa 54/31 nimetaja 31, siis 54/19 on suurem kui 54/31.

Kahest sama nimetajaga murdest on suurema lugejaga murd suurem ja väiksema lugejaga murd väiksem.. Tegelikult näitab nimetaja ju, mitmeks osaks üks tervikväärtus jagunes ja lugeja näitab, kui palju selliseid osi võeti.

Selgub, et iga terve ring oli jagatud sama arvuga 5 , kuid nad võtsid erineva arvu osi: võtsid rohkem - suure murdosa ja selgus.

Kahest sama lugejaga murdest on väiksema nimetajaga murd suurem ja suurema nimetajaga murd väiksem. Noh, tegelikult, kui me jagame ühe ringi 8 osad ja teised 5 osad ja võta igast ringist üks osa. Kumb osa saab suurem?

Loomulikult jagatud ringist 5 osad! Kujutage nüüd ette, et nad ei jaganud mitte suhtlusringe, vaid kooke. Kumba tükki eelistaksid, täpsemalt, kumba osa: viiendat või kaheksandat?

Erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks peate murdud vähendama väikseima ühisnimetajani ja seejärel võrdlema samade nimetajatega murde.

Näited. Võrdle tavalisi murde:

Toome need murrud väikseima ühisnimetajani. NOZ(4 ; 6) = 12. Leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. 1. murru jaoks lisakordaja 3 (12: 4=3 ). 2. murru jaoks lisakordaja 2 (12: 6=2 ). Nüüd võrdleme kahe saadud murru lugejaid samade nimetajatega. Kuna esimese murru lugeja on väiksem kui teise murru lugeja ( 9<10) , siis esimene murd ise on väiksem kui teine murd.

Selles õppetükis õpime, kuidas murde omavahel võrrelda. See on väga kasulik oskus, mida on vaja terve klassi keerukamate probleemide lahendamiseks.

Kõigepealt tuletan teile meelde murdude võrdsuse määratlust:

Murrud a /b ja c /d nimetatakse võrdseteks, kui ad = bc.

5/8 = 15/24, sest 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18, sest 3 18 = 2 27 = 54.

Kõigil muudel juhtudel on murrud ebavõrdsed ja nende puhul kehtib üks järgmistest väidetest:

Murd a /b on suurem kui fraktsioon c /d;
Murd a /b on väiksem kui murdosa c /d .

Murd a /b nimetatakse suuremaks kui murdosa c /d, kui a /b − c /d > 0.

Murdu x /y nimetatakse väiksemaks kui murdosa s /t, kui x /y − s /t< 0.

Määramine:

Seega taandatakse murdude võrdlus nende lahutamisele. Küsimus: kuidas mitte segi ajada märgetega "suurem kui" (>) ja "vähem kui" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Tšeki laienev osa on alati suunatud suurema numbri poole;
Noka terav nina näitab alati väiksemat numbrit.

Sageli panevad nad ülesannetes, kus soovite numbreid võrrelda, nende vahele märgi "∨". See on nina maas noaga, mis justkui vihjab: numbritest suurem pole veel kindlaks tehtud.

Ülesanne. Võrdle numbreid:

Järgides definitsiooni, lahutame üksteisest murrud:

Igas võrdluses pidime viima murrud ühise nimetajani. Eelkõige ristimeetodi kasutamine ja vähima ühiskordaja leidmine. Ma ei keskendunud meelega nendele punktidele, kuid kui midagi pole selge, vaadake õppetundi " Murdude liitmine ja lahutamine" - see on väga lihtne.

Kümnendarvude võrdlus

Kümnendmurdude puhul on kõik palju lihtsam. Siin pole vaja midagi lahutada – lihtsalt võrrelge numbreid. Ei ole üleliigne meeles pidada, milline on arvu oluline osa. Neile, kes on unustanud, soovitan korrata õppetundi " Kümnendmurdude korrutamine ja jagamine" - see võtab samuti vaid paar minutit.

Positiivne kümnendkoht X on suurem kui positiivne kümnendkoht Y, kui selle kümnendkoht on selline, et:

Selles numbris olev number murrus X on suurem kui vastav number murrus Y;

Kõik murdarvudes X ja Y antud numbrid on samad.

12.25 > 12.16. Esimesed kaks numbrit on samad (12 = 12) ja kolmas on suurem (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Teisisõnu, me vaatame järjestikku komakohti ja otsime erinevust. Sel juhul vastab suurem arv suuremale murdarvule.

See määratlus vajab aga täpsustamist. Näiteks kuidas kirjutada ja võrrelda numbreid kümnendkohani? Pidage meeles: igale kümnendkoha kujul kirjutatud arvule saab määrata suvalise arvu nulle vasakul. Siin on veel paar näidet:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, sest 0,0025 = 0000,0025 - vasakule lisati kolm nulli. Nüüd näete, et erinevus algab esimesest bitist: 2 > 0.

Muidugi oli antud näidetes nullidega selgesõnaline loend, kuid tähendus on täpselt selline: täitke vasakul puuduvad numbrid ja seejärel võrrelge.

Ülesanne. Võrdle murde:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Definitsiooni järgi on meil:

0,029 > 0,007. Esimesed kaks numbrit on samad (00 = 00), siis algab erinevus (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Siin peate nullid hoolikalt lugema. Mõlema murru esimesed 5 numbrit on null, kuid edasi on esimeses murrus 3 ja teises - 0. Ilmselgelt 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Kirjutame teise murru ümber 0000.99501, lisades vasakule 3 nulli. Nüüd on kõik ilmne: 1 > 0 - erinevus leitakse esimesest numbrist.

Kahjuks ei ole ülaltoodud kümnendmurdude võrdlemise skeem universaalne. Seda meetodit saab ainult võrrelda positiivsed numbrid. Üldjuhul on töö algoritm järgmine:

Positiivne murd on alati suurem kui negatiivne;
Kahte positiivset murdu võrreldakse ülaltoodud algoritmi järgi;
Kahte negatiivset murdu võrreldakse samal viisil, kuid lõpus pööratakse ebavõrdsusmärk ümber.

Noh, kas pole nõrk? Vaatame nüüd konkreetseid näiteid - ja kõik saab selgeks.

Ülesanne. Võrdle murde:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Murrud on negatiivsed, 2 numbrit erinevad. üks< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Positiivne arv on alati suurem kui negatiivne;
19,032 > 0,091. Piisab teise murru ümberkirjutamisest kujul 00.091, et näha, et erinevus esineb juba 1 numbriga;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Erinevus on esimeses kategoorias.

Jätkame murdude uurimist. Täna räägime nende võrdlusest. Teema on huvitav ja kasulik. See võimaldab algajal tunda end valges kitlis teadlasena.

Murdude võrdlemise põhiolemus on välja selgitada, kumb kahest murdosast on suurem või väiksem.

Küsimusele vastamiseks, milline kahest murdosast on suurem või väiksem, kasutage näiteks rohkem (>) või vähem (<).

Matemaatikud on juba hoolitsenud valmisreeglite eest, mis võimaldavad kohe vastata küsimusele, milline murd on suurem ja milline väiksem. Neid reegleid saab ohutult rakendada.

Vaatame kõiki neid reegleid ja proovime välja selgitada, miks see nii juhtub.

Tunni sisu

Samade nimetajatega murdude võrdlemine

Võrreldavad murded on erinevad. Kõige edukam on juhtum, kui murdudel on samad nimetajad, kuid erinevad lugejad. Sel juhul kehtib järgmine reegel:

Kahest sama nimetajaga murdest on suurem murdosa see, millel on suurem lugeja. Ja vastavalt sellele on väiksem murd, milles lugeja on väiksem.

Võrdleme näiteks murde ja ja vastame, milline neist murdudest on suurem. Siin on nimetajad samad, kuid lugejad erinevad. Murdul on suurem lugeja kui murdul. Seega on murd suurem kui . Nii et me vastame. Vastake, kasutades rohkem ikooni (>)

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsadele, mis on jagatud neljaks osaks. rohkem pitsasid kui pitsasid:

Kõik nõustuvad, et esimene pitsa on suurem kui teine.

Sama lugejaga murdude võrdlemine

Järgmine juhtum, millesse saame sattuda, on see, kui murdude lugejad on samad, kuid nimetajad erinevad. Sellistel juhtudel on ette nähtud järgmine reegel:

Kahest sama lugejaga murdest on väiksema nimetajaga murd suurem. Suurema nimetajaga murdosa on seega väiksem.

Võrdleme näiteks murde ja . Nendel murdudel on sama lugeja. Murd on väiksema nimetajaga kui murd. Seega on murdosa suurem kui murd. Seega vastame:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsadele, mis on jagatud kolmeks ja neljaks osaks. rohkem pitsasid kui pitsasid:

Kõik nõustuvad, et esimene pitsa on suurem kui teine.

Erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murdude võrdlemine

Tihti juhtub, et tuleb võrrelda erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murde.

Võrrelge näiteks murde ja . Et vastata küsimusele, milline neist murdudest on suurem või väiksem, tuleb need viia sama (ühise) nimetaja juurde. Siis on lihtne kindlaks teha, milline murdosa on suurem või väiksem.

Toome murrud sama (ühise) nimetaja juurde. Leidke (LCM) mõlema murru nimetajad. Murdude ja selle arvu nimetajate LCM on 6.

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd leiame teise lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 6 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame lisateguri 2. Kirjutame selle teise murru peale:

Korrutage murrud nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde võrrelda. Kahest samade nimetajatega murdest on suurem murdosa, millel on suurem lugeja:

Reegel on reegel ja me püüame välja mõelda, miks rohkem kui . Selleks vali murrust täisarvuline osa. Murrus ei ole vaja midagi valida, kuna see murd on juba õige.

Pärast murdosa täisarvu valimist saame järgmise avaldise:

Nüüd saate hõlpsasti aru, miks rohkem kui . Joonistame need murrud pitsade kujul:

2 tervet pitsat ja pitsat, rohkem kui pitsasid.

Segaarvude lahutamine. Rasked juhtumid.

Segaarvude lahutamisel avastad vahel, et asjad ei lähe nii libedalt, kui tahaksid. Tihti juhtub, et näidet lahendades ei vastata sellele, mis peaks.

Arvude lahutamisel peab minuend olema suurem kui lahutusarv. Ainult sel juhul saadakse tavaline vastus.

Näiteks 10−8=2

10 - vähendatud

8 - lahutatud

2 - erinevus

Miinus 10 on suurem kui lahutatud 8, seega saime tavalise vastuse 2.

Nüüd vaatame, mis juhtub, kui minuend on väiksem kui alamosa. Näide 5−7=−2

5 - vähendatud

7 - lahutatud

−2 on erinevus

Sel juhul läheme harjunud numbritest kaugemale ja leiame end negatiivsete numbrite maailmast, kus meil on veel vara kõndida ja isegi ohtlik. Negatiivsete arvudega töötamiseks on vaja vastavat matemaatilist tausta, mida me pole veel saanud.

Kui lahutamise näidete lahendamisel leiate, et minuend on väiksem kui lahutamisosa, siis võite sellise näite praegu vahele jätta. Negatiivsete arvudega on lubatud töötada alles pärast nende uurimist.

Sama olukord on murdosadega. Minuend peab olema suurem kui alamosa. Ainult sel juhul on võimalik saada normaalne vastus. Ja selleks, et mõista, kas vähendatud murd on suurem kui lahutatud, peate saama neid murde võrrelda.

Näiteks lahendame näite.

See on lahutamise näide. Selle lahendamiseks peate kontrollima, kas vähendatud murd on suurem kui lahutatud murd. rohkem kui

et saaksime näite juurde ohutult naasta ja selle lahendada:

Nüüd lahendame selle näite

Kontrollige, kas vähendatud murd on suurem kui lahutatud murd. Leiame, et see on väiksem:

Sel juhul on mõistlikum lõpetada ja mitte jätkata arvutamist. Tuleme selle näite juurde tagasi, kui uurime negatiivseid numbreid.

Samuti on soovitav enne lahutamist kontrollida seganumbreid. Näiteks leiame avaldise väärtuse.

Kõigepealt kontrollige, kas vähendatud segaarv on suurem kui lahutatud arv. Selleks tõlgime segatud arvud valedeks murdudeks:

Saime erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murde. Selliste murdude võrdlemiseks peate need viima sama (ühise) nimetajani. Me ei kirjelda üksikasjalikult, kuidas seda teha. Kui teil on probleeme, korrake kindlasti.

Pärast murdude vähendamist samale nimetajale saame järgmise avaldise:

Nüüd peame võrdlema murde ja . Need on samade nimetajatega murrud. Kahest sama nimetajaga murdest on suurem murdosa see, millel on suurem lugeja.

Murdul on suurem lugeja kui murdul. Seega on murdosa suurem kui murd.

See tähendab, et minuend on suurem kui alamosa.

Seega võime oma näite juurde tagasi pöörduda ja selle julgelt lahendada:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

Kontrollige, kas minuend on suurem kui alamosa.

Segaarvude teisendamine valedeks murdudeks:

Saime erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murde. Toome need murrud sama (ühise) nimetaja juurde.

Igapäevaelus peame sageli võrdlema murdväärtusi. Enamasti ei põhjusta see probleeme. Tõepoolest, kõik saavad aru, et pool õuna on suurem kui veerand. Kuid kui on vaja see matemaatilise avaldisena üles kirjutada, võib see olla keeruline. Järgmisi matemaatilisi reegleid rakendades saate selle ülesande hõlpsalt lahendada.

Kuidas võrrelda sama nimetajaga murde

Neid murde on kõige lihtsam võrrelda. Sel juhul kasutage reeglit:

Kahest sama nimetaja, kuid erineva lugejaga murdest on suurem see, mille lugeja on suurem, ja väiksem on see, mille lugeja on väiksem.

Võrrelge näiteks murde 3/8 ja 5/8. Selle näite nimetajad on võrdsed, seega rakendame seda reeglit. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Tõepoolest, kui lõigata kaks pitsat 8 viiluks, on 3/8 viilu alati vähem kui 5/8.

Samade lugejate ja erinevate nimetajatega murdude võrdlemine

Sel juhul võrreldakse nimetaja osade suurusi. Kohaldatav reegel on:

Kui kahel murrul on sama lugeja, siis on suurem murd see, mille nimetaja on väiksem.

Võrrelge näiteks murde 3/4 ja 3/8. Selles näites on lugejad võrdsed, seega kasutame teist reeglit. 3/4 murd on väiksem nimetaja kui 3/8 murd. Seega 3/4>3/8

Tõepoolest, kui sa sööd 3 viilu pitsat, mis on jagatud 4 osaks, siis oled kõhu täis rohkem kui siis, kui sööd 3 pitsaviilu, mis on jagatud 8 osaks.

Erinevate lugejate ja nimetajatega murdude võrdlemine

Rakendame kolmandat reeglit:

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemist tuleks võrrelda samade nimetajatega murdudega. Selleks peate viima murrud ühise nimetajani ja kasutama esimest reeglit.

Näiteks peate võrdlema murde ja . Suurema murdosa määramiseks ühendame need kaks murdosa ühise nimetajaga:

Nüüd leiame teise lisateguri: 6:3=2. Kirjutame selle teise murru peale: