MOU "Sherbakuli keskkool nr 1"
Üliõpilaste teaduskogukond "Otsi"
Teema: "Kraadi viimane number."
Lõpetanud: 7. "b" klassi õpilane
Terentjeva Valentina
Juht: Pushilo T.L.
p.p. Sherbakul
2010 – 2011 õppeaasta aastal
· Sissejuhatus.
· Töö eesmärgid.
· Kraadi viimane number.
· Astendamise seadused
· Kraadi kaks viimast numbrit.
· Ülesanded.
· Järeldus.
· Viited.
Sissejuhatus.
Ühel päeval raamatu “Tuhat ülesannet matemaatikas” lehekülgi sirvides nägin esmapilgul väga rasket ülesannet või pigem näidet, et oli vaja leida summa viimane number.
11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .
Siis ma mõtlesin, aga mingi ratsionaalne arvutamisviis peab olema ja siis hakkasin loendama ...
Hüpotees: Kas on võimalik öelda, mis on mis tahes kraadi viimane number?
Töö eesmärgid:
· Uurige, kas on võimalik koostada erineva astme viimastest numbritest tabel.
Otsige neist mustreid.
· Tabeli kasutamine lihtsamate ülesannete harjutamiseks ja ülaltoodud näite lahendamiseks ning kui see osutub keerulisemaks.
Kraadi viimane number.
Teeme veidi uurimistööd: uurime, kas arvu 2n viimase numbri muutumises on mingi muster, kus n- naturaalarv koos indikaatori muutusega n. Selleks vaadake tabelit:
Näeme, et iga nelja sammu järel korratakse viimast numbrit. Olles seda märganud, ei ole raske määrata ühegi eksponendi astme 2n viimast numbrit n .
Tegelikult võtame arvu 2100. Kui tabelit jätkata, siis see langeks veergu, kus asuvad astmed 24, 28, 212, mille eksponendid on nelja kordsed. See tähendab, et arv 2100, nagu need kraadid, lõpeb numbriga 6.
Võtame näiteks 222, kui kontrollite seda lihtsalt loendades, saate 4194304 - viimane number on 4.
Nüüd proovime kasutada tabelit, kuid tabelis on 4 numbrit ja eksponent on 22, kuid pärast viimast numbrit algab see "ring" uuesti. Seetõttu jagame eksponendi 22 4-ga, saame arvu 5 ja ülejäänud 2, st teeme 5 “ringi” ja loeme ees veel 2 ja teine arv on 4, mis tähendab, et tabel töötab.
Nüüd vaatame, kas saame ülejäänud numbrite jaoks tabeleid teha. Ma ei kirjelda kõike, ütlen lihtsalt, et mul õnnestus koostada tabel kõigi numbrite jaoks vahemikus 1 kuni 10 ja siis see kordub, näiteks 12 on viimased numbrid samad kui 2 ja 25 on samad kui ja kell 5.
Võimuks tõstmise seadused:
- Täiuslik ruutnumber võib lõppeda ainult numbritega 0, 1, 4, 5, 6 või 9.
- Kui numbri sisestamine lõpeb 0, 1, 5 või 6-ga, ei muuda ühelegi astmele tõstmine viimaseid numbreid.
- Mis tahes arvu tõstmine viienda astmeni ei muuda selle viimast numbrit.
- Kui arv lõpeb numbriga 4 (või 9), siis paaritu astmeni tõstmisel viimane number ei muutu ja paarisastmeni tõstmisel muutub see 6-ks (või vastavalt 1-ks).
- Kui arv lõpeb numbritega 2, 3, 7 või 8, on astmeni tõstmisel võimalik neli erinevat numbrit.
Kraadi kaks viimast numbrit.
Nüüd teame, et viimane number kordub varem või hiljem. Aga kuidas on kahe viimase numbriga? Julgen soovitada, et korduvad mitte ainult 2, vaid ka 3 või enam viimast numbrit. Noh, kontrollime seda, ma märkasin ka, et eelmise tabeli perioodid kasvasid lihtsalt 5 korda, välja arvatud numbrid 5 ja 10, kuid ma ei kirjutanud numbrist 1, kuna tulemus on alati 1.
Kraad | |||||||||
Korda |
(Punane ring tõstab perioodi esile)
Pange tähele, et mõne numbri puhul ei ole näiteks 1. perioodi kaasatud, kuna näiteks numbril 2 pärast viimast numbrit 52 on 04, mitte 02, nii et see ise sellesse perioodi ei kuulu, Seetõttu tuleb enne arvutamist 2 viimast numbrit lahutada eksponendist 1.
Kahjuks ei tööta see viimase 2 numbriga nagu 1. numbriga ja 3 viimased 2 numbrit ei ole samad, mis 13 viimased 2 numbrit ning ülejäänud tabel tuleb eraldi koostada.
Kraad | ||||||||||
Korda |
Nende tabelite järgi on selge, et numbrid on erinevad, kuid ainult viimane number ühtib.
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Kraad | ||||||||||
Korda |
Ma arvan, et pole mõtet teha tabelit viimase 3 numbriga, sest ma tahan leida ratsionaalseid viise, kus ei pea palju arvutama ja selles tabelis numbrid, mille periood oli 20 numbrit on 100, seega teen need vajalikud ainult selliste numbrite jaoks nagu 4, 5, 6, 7 ja 9.
Ülesanded.
Ülesanne 1.
Leidke numbri 81989 kaks viimast numbrit.
Kahe viimase numbri tabelis on arvu 8 periood 20, astendajast lahutame 19800, just nii mõnigi kord möödub periood täielikult ja peatub 1989 - 1980 = 9 ja üheksandal numbril ja 9. number on 28.
Vastus: numbri 81989 kaks viimast numbrit on 28.
2. ülesanne.
Ümbervärvimistestil värvitakse noor kameeleon kordamööda punasest -> kollaseks -> roheliseks -> siniseks -> lillaks -> punaseks -> kollaseks -> roheliseks jne. ta värvis 2010 korda üle ja punasega alustades läks lõpus siniseks, kuid teadaolevalt tegi ta vea, punastas sel hetkel, kui oleks pidanud teise värvi omandama. Mis värvi see oli enne seda põsepuna?
Pange tähele, et siin on värvide kordumise periood 5. Punane ilmub numbritega, mis lõppevad numbritega 0 ja 5. Seega oleks see pidanud lõppema uuesti punasega. Seetõttu läheme vea leidmiseks otse 2005. aasta ülevärvimise juurde. Nüüd loeme lihtsalt kordamööda muutuvaid värve kuni 2010. aastani. Näeme kohe, et ta tegi vea, ütleme pärast kollast, siis tuleb välja 2005-punane, 2006 - kollane 2007- jälle punane (see on tema viga), 2008 - kollane, 2009 - roheline, 2010 - sinine.
Vastus: enne ekslikku punetamist oli kameeleon kollane.
3. ülesanne.
Nüüd on kell 10:00. Mis kellaaega nad 102938475 tunni pärast näitavad?
Kella kordusperiood on 24, mis tähendab, et arv 102938475 jagatud 24-ga = 4289103,12 ... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. See tähendab, et aeg, mida kell näitab pärast 10293847 tundi, on 10293847 +3 tundi. = 13 tundi.
Vastus: peale 102938475 näitab kell 13:00.
Järeldus.
Sain aru, kuidas seda märki kasutada, tegin tabeleid, mille abil saate määrata mitte ainult 1, vaid ka 2 viimast numbrit, ja õppisin sarnaseid probleeme lahendama. Ma arvan, et sain, mida tahtsin.
Kraadi viimane number.
Teeme veidi uurimistööd: uurime, kas arvu 2 n viimase numbri muutumises on mingi muster, kus n- naturaalarv koos indikaatori muutusega n. Selleks vaadake tabelit:
Näeme, et iga nelja sammu järel korratakse viimast numbrit. Olles seda märganud, ei ole raske määrata ühegi eksponendi astme 2 n viimast numbrit n.
Tõepoolest, võtame arvu 2100. Kui tabelit jätkata, siis see langeks veergu, kus asuvad astmed 2 4 , 2 8 , 2 12, mille eksponendid on nelja kordsed. See tähendab, et arv 2100, nagu need kraadid, lõpeb numbriga 6.
Võtame näiteks 2 22, kui kontrollite lihtsalt loendades, saate 4194304 - viimane number on 4.
Nüüd proovime kasutada tabelit, kuid tabelis on 4 numbrit ja eksponent on 22, kuid pärast viimast numbrit algab see "ring" uuesti. Seetõttu jagame eksponendi 22 4-ga, saame arvu 5 ja ülejäänud 2, st teeme 5 “ringi” ja loeme ees veel 2 ja teine arv on 4, mis tähendab, et tabel töötab.
Nüüd vaatame, kas saame ülejäänud numbrite jaoks tabeleid teha. Ma ei kirjelda kõike, ütlen lihtsalt, et mul õnnestus koostada tabel kõigi numbrite jaoks vahemikus 1 kuni 10 ja siis see kordub, näiteks 12 on viimased numbrid samad kui 2 ja 25 on samad kui ja kell 5.
Võimuks tõstmise seadused:
Täiuslik ruutnumber võib lõppeda ainult numbritega 0, 1, 4, 5, 6 või 9.
Kui number lõpeb 0, 1, 5 või 6-ga, ei muuda selle tõstmine suvalisele astmele viimaseid numbreid.
Mis tahes arvu tõstmine viienda astmeni ei muuda selle viimast numbrit.
Kui arv lõpeb numbriga 4 (või 9), siis paaritu astmeni tõstmisel viimane number ei muutu ja paarisastmeni tõstmisel muutub see 6-ks (või vastavalt 1-ks).
Kui arv lõpeb numbritega 2, 3, 7 või 8, on astmeni tõstmisel võimalik neli erinevat numbrit.
Kraadi kaks viimast numbrit.
Nüüd teame, et viimane number kordub varem või hiljem. Aga kuidas on kahe viimase numbriga? Julgen soovitada, et korduvad mitte ainult 2, vaid ka 3 või enam viimast numbrit. Noh, kontrollime seda, ma märkasin ka, et eelmise tabeli perioodid kasvasid lihtsalt 5 korda, välja arvatud numbrid 5 ja 10, kuid ma ei kirjutanud numbrist 1, kuna tulemus on alati 1.
| Kraad | |||||||||
| X 2 | |||||||||
| X 3 | |||||||||
| X 4 | |||||||||
| X 5 | |||||||||
| X 6 | |||||||||
| X 7 | |||||||||
| X 8 | |||||||||
| X 9 | |||||||||
| X 10 | |||||||||
| X 11 | |||||||||
| X 12 | |||||||||
| X 13 | |||||||||
| X 14 | |||||||||
| X 15 | |||||||||
| X 16 | |||||||||
| X 17 | |||||||||
| X 18 | |||||||||
| X 20 | |||||||||
| X 21 | |||||||||
| X 22 | |||||||||
| X 23 | |||||||||
| Korda |
(Punane ring tõstab perioodi esile)
Pange tähele, et mõne numbri puhul ei ole näiteks 1. perioodi kaasatud, kuna näiteks numbril 2 pärast viimast numbrit 52 on 04, mitte 02, nii et see ise sellesse perioodi ei kuulu, Seetõttu tuleb enne arvutamist 2 viimast numbrit lahutada eksponendist 1.
Kahjuks ei tööta see viimase 2 numbriga nagu 1. numbriga ja 3 viimased 2 numbrit ei ole samad, mis 13 viimased 2 numbrit ning ülejäänud tabel tuleb eraldi koostada.
| Kraad | ||||||||||
| X 2 | ||||||||||
| X 3 | ||||||||||
| X 4 | ||||||||||
| X 5 | ||||||||||
| X 6 | ||||||||||
| X 7 | ||||||||||
| X 8 | ||||||||||
| X 9 | ||||||||||
| X 10 | ||||||||||
| X 11 | ||||||||||
| X 12 | ||||||||||
| X 13 | ||||||||||
| X 14 | ||||||||||
| X 15 | ||||||||||
| X 16 | ||||||||||
| X 17 | ||||||||||
| X 18 | ||||||||||
| X 20 | ||||||||||
| X 21 | ||||||||||
| X 22 | ||||||||||
| X 23 | ||||||||||
| Korda |
Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Töö täisversioon on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".
Sissejuhatus
« Siis tuleks matemaatikat õpetada,
et ta paneb oma mõtted korda"
M. V. Lomonosov
Need sõnad paljastavad matemaatika aine olemuse, kuna just tema õpetab meid ennekõike mõtlema, arutlema, analüüsima, järeldusi tegema, järeldusi tegema ja kokkuvõtteid tegema. Matemaatika on üks põhilisi kooliaineid, sest kõik loetletud omadused on vajalikud mitte ainult matemaatika, vaid ka mis tahes muu teaduse esindaja jaoks. Matemaatika tegeleb eelkõige nende omaduste arendamisega. Nende oskuste kujundamiseks on spetsiaalsed ülesanded. Erinevateks matemaatikavõistlusteks valmistudes seisime sellise ülesande ees "Mis saab numbri viimaseks numbriks?" Esmapilgul võib see ülesanne tunduda üsna keeruline ja asusin arvutustega tegelema ...
Selle ülesande lahendamise käigus tekkis mõte uurida ja milline saab olema suvalise naturaalarvu viimane number mingil määral, kas on mingi muster, kuidas naturaalarvu astme viimane number muutub?
Töö eesmärgid
Koostage viitetabel "Kraadi viimased numbrid", leidke neist mustreid, õppige arvutama kraadide viimaseid numbreid.
Uurimisteema aktuaalsus tuleneb tungivast vajadusest leida kiireid algoritme praktiliselt oluliste probleemide lahendamiseks ning arendada suulise loendamise oskust.
2. Kraadi viimane number
Uurime, kas arvu viimase numbri muutumises, kus N, n on naturaalarvud, on mingi seaduspärasus koos eksponendi n muutumisega. Koostame selle jaoks tabeli:
Selguse huvides teeme tabeli, kuhu kirjutatakse arvud, mis lõpetavad naturaalarvude kirjed:
Täites veerge, saame järgmise tulemuse: viies ja üheksas jne, arvu aste lõpeb sama numbriga kui arvu esimene aste; kuues, kümnes, neljateistkümnes aste jne, aste lõpeb sama numbriga kui arvu teine aste; arvu seitsmes aste lõpeb sama numbriga kui arvu kolmas aste.
3. Astendamise mustrid
Tabeli tulemusi korratakse iga nelja veeru järel.
Numbritest 1 ja 10 me ei kirjuta, sest tulemus on alati vastavalt 1 või 0.
Numbrite 5 ja 6 mis tahes aste lõpeb vastavalt numbritega 5 ja 6.
Numbrite 4 ja 9 astmete viimaseid numbreid korratakse iga kahe sammu järel, paarisastmeni tõstmisel viimane number ei muutu, see on vastavalt 4 või 9, paaritu astmeni tõstmisel muutub see vastavalt 6 või 1.
Iga naturaalarvu ruut võib lõppeda numbritega 0, 1,4, 5, 6 ja 9,
Naturaalarvu kuup võib lõppeda mis tahes numbriga
Saadud tulemusi kasutades proovime leida kraadi viimased numbrid jäägiga, jagades selle indikaatori 4-ga
|
24: 4 = 5 (ülejäänud 0) |
||
|
48:4=12 (ülejäänud 0) |
||
|
2016: 4 = 504 (jääk0) |
||
|
28:4=7(ülejäänud 0) |
Kui jääk on 0 ja alus on paaritu, siis arv lõpeb 1-ga (v.a numbriga 5 lõppevad arvud), kui paaris (v.a ümmargused numbrid), siis arvud lõpevad 6-ga.
Nüüd valime sellised arvud, et astendaja jagamisel 4-ga saadakse jääk 1, 2, 3
|
45:4=11 (ülejäänud 1) |
||
|
37:4=9 (ülejäänud 1) |
||
|
18:4=4 (ülejäänud 2) |
||
|
102:4=25 (ülejäänud 2) |
||
|
31:4=7(ülejäänud 3) |
||
|
1199:4=299(ülejäänud 3) |
Kui jääk on 1, võrdub astme viimane number astme aluse viimase numbriga;
Kui jääk on 2, võrdub astme viimane number aluse ruudu viimase numbriga;
Kui jääk on 3, võrdub astme viimane number baaskuubi kirje viimase numbriga.
Nii et naturaalarvu astme viimase numbri leidmiseks naturaalastendajaga peate leidma astendaja 4-ga jagamise jäägi.
Numbrite 2, 12, 22 jne (3, 13, 23 jne) jne astmete viimased numbrid ühtivad.
4. Kraadi kaks viimast numbrit
Näeme, et viimane number kordub varem või hiljem, aga kuidas on lood 2. ja 3. viimase numbriga? Tõenäoliselt kordavad nad ka. Selguse huvides koostame tabeli, kuhu kirjutatakse kaks numbrit, mis lõpetavad naturaalarvude kirjed:
Tabelit vaadates märkame, et ka kaks viimast numbrit korduvad, ainult kordusperiood suureneb, lisaks ei kuulu mõne numbri puhul 1. arv perioodi, näiteks:
Kuid alates kraadist 21 kuni 40 korratakse kahte viimast numbrit.
Ka arvude 3, 13 ja 8 viimased numbrid korduvad perioodiga 20, kuid numbrite 3 ja 13 kaks viimast numbrit ei ühti, numbrite 4 ja 14 astmete kaks viimast numbrit ei ühti jne. .
Numbrite 4 ja 9 viimaseid numbreid korratakse punktiga 10, numbri 6 viimaseid numbreid korratakse perioodiga 5, kuid arvu 6 ei arvestata perioodiga, numbri viimased numbrid numbrit 7 korratakse perioodiga - 4. Arvu 5 (alates 2 - oh) ja 25 mis tahes aste lõpeb 25-ga ja arv 15 paarisastmes lõpeb 25-ga ja paaritu astmega aastal 75. Numbrite 11 periood võrdub samuti 10-ga, kuid siin on veel üks muster:
Arvu 11 korral astmeni - kümnete arv on võrdne eksponendiga
Arvu 21 puhul on periood 4 ja kümnete arv võrdub arvuga, mis saadakse, kui arv 2 korrutatakse eksponendiga
5. Järeldus
Arvu astme viimast numbrit pole keeruline määrata, algoritmi koostasime lihtsalt, arvu astme kahe viimase numbri jaoks ei saa enam sellist algoritmi koostada, mustreid on, aga neid on vähem nendest. Arvan, et kolme viimase numbriga tabelit pole mõtet koostada – see pole ratsionaalne.
Tegime palju tööd: koostasime tabeleid kraadide viimase ja kahe viimase numbri kohta ning saime meie vaatenurgast huvitavaid järeldusi. Töö tulemusi saab kasutada matemaatikaringi tundides ja valikainetes 5.-7.klassis õpilaste matemaatikahuvi arendamiseks, samuti individuaalseks tööks nende õpilastega, keda huvitab matemaatika. Lisaks saab neid leide kasutada erinevateks olümpiaadideks ja võistlusteks valmistumisel. Lisaks võimaldas uuringuprotsess ise taas kord oma võimetes veenduda.
6. Ülesanded
Määrake numbrisisestuse viimane number (vastus 8)
Leidke 2017. aasta viimane number astmeni 4207. (3. vastus)
Leidke arvu viimane number 12^39+13^41 .
(8+3=11, viimane number on 1)
Leidke 2 astmete summa viimane number, mille eksponendid on 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 viimane number on 6)
Guinnessi rekordite raamat ütleb, et suurim teadaolev algarv on (−1). Kas see pole kirjaviga?
(Trükiviga. Arv 23021 337 lõpeb ühega. Seetõttu on arvu viimane koht (23021 337 − 1) 0, mis tähendab, et see arv jagub 10-ga ja on seega liit.)
Kas arv + jagub 10-ga?
(Arv 4730 lõpeb 9-ga ja arv 3950 lõpeb 1-ga. Seega lõpeb nende summa 0-ga ja jagub seega 10-ga.)
Leidke numbri viimane number. Kraadid loetakse ülalt alla: =
77 kaks viimast numbrit moodustavad arvu 43 (selle saab arvutada otse, jättes iga korrutise korral kõrvale kõik tulemuse kaks viimast numbrit). See tähendab, et arv 7 7 jagub 4-ga, jäägiga 3. Seitsme astmed võivad lõppeda 7, 9, 3 või 1-ga (olenevalt 4-ga jagatud astendaja jäägist). Meie puhul jagub 43 4-ga jäägiga 3, mis tähendab, et 7 7 jagub ka 4-ga jäägiga 3 (vastavalt jaguvuse kriteeriumile 4-ga). Ja kõigi seitsme kraadide puhul, mille näitajad jagavad 4-ga jäägiga 3, on viimane number 3).
Leidke numbri 8 1989 kaks viimast numbrit.
Kahe viimase numbri tabelis on numbri 8 periood 20, (1989:20=99 jääk on 9, number 8 kuni 9. astmeni lõpeb 28-ga, numbri 8 viimased 2 numbrit 1989 - 28).
Ümbervärvimistestil värvitakse noor kameeleon kordamööda punasest -> kollaseks -> roheliseks -> siniseks -> lillaks -> punaseks -> kollaseks -> roheliseks jne. ta värvis 2010 korda üle ja punasega alustades läks lõpus siniseks, kuid teadaolevalt tegi ta vea, punastas sel hetkel, kui oleks pidanud teise värvi omandama. Mis värvi see oli enne seda põsepuna?
(Pange tähele, et siin on värvide kordusperiood 5. Punane ilmub numbritega, mis lõpevad numbritega 0 ja 5. See tähendab, et ta oleks pidanud uuesti punasele jõudma. Seetõttu läheme vea leidmiseks otse 2005. aasta värvimise juurde. Nüüd loeme lihtsalt kordamööda värvide vahetamist aastani 2010. Näeme kohe, et ta tegi vea, ütleme pärast kollast, siis selgub 2005-punane, 2006 - kollane 2007- jälle punane (see on tema viga), 2008 - kollane, 2009 - roheline, 2010 - sinine, enne oli vale punetav kameeleon kollane).
Nüüd on kell 10:00. Mis kellaaega nad 102938475 tunni pärast näitavad?
(Kella kordusperiood on 24, seega jagatakse arv 102938475 24-ga = 4289103.12… 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Nii et aeg, mida kell näitab pärast 102938475 tundi, = 13+3 tundi on peale numbrit 102938475 näitab kell 13:00).
11. Tõesta, et arv on 2 kordne.
12. Tõesta, et -1 on arvu 5 kordne (kui n on loomulik).
13. Kas vastab tõele, et 1,6*(-1) on mis tahes (loomuliku) n-i täisarv? 14. Millise numbriga lõpeb kõigi kahekohaliste arvude korrutis, millest igaüks lõpeb 7-ga?
7. Kasutatud kirjandus
1. "Känguru" kõik ülesanded 1994-2008 - Peterburi, 2008.
2. “Olümpiaadideks valmistumise ülesanded. Matemaatika klass 5-8 "komp. N.V. Zabolotnev. - Volgograd: Õpetaja, 2007.- 99s.
3. Likhtarnikov L.M. Meelelahutuslikud loogikamõistatused. (Algkooli õpilastele) S. Grigorjevi kujundus - Peterburi: Lan, MIK, 1996.- 125lk.
4. L.M.Lopovok 1000 probleemset ülesannet matemaatikas. Raamat õpilastele Moskva: Valgustus, 1995
5. Pichurin L.F. Algebra õpiku lehekülgede taga: Raamat 7.-9.klassi õpilastele. keskkool - M .: Haridus, 1990. - 224 lk.: ill.
6. Tšulkov P.V. Matemaatika. Kooliolümpiaadid: käsiraamat. 5. klass / P.V. Tšulkov.- M.: NTs kirjastus ENAS, 2007.- 88s. (Õpetaja portfoolio).
7. Shuba M.Yu. Meelelahutuslikud ülesanded matemaatika õpetamisel: Raamat õpetajale. - 2. trükk-M.: Valgustus, 1995.- 22s.