מחשבון מקוון חישוב ביטוי עם שברים מספריים. כפל, חיסור, חילוק, חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים. פעולות עם שברים: כללים, דוגמאות, פתרונות

התלמידים מתוודעים לשברים בכיתה ה'. בעבר אנשים שידעו לבצע פעולות עם שברים נחשבו לחכמים מאוד. השבר הראשון היה 1/2, כלומר חצי, ואז הופיע 1/3 וכן הלאה. במשך כמה מאות שנים, הדוגמאות נחשבו מורכבות מדי. כעת פותחו כללים מפורטים להמרת שברים, חיבור, כפל ופעולות אחרות. מספיק להבין קצת את החומר, והפתרון יינתן בקלות.

שבר רגיל, הנקרא שבר פשוט, נכתב כחלוקה של שני מספרים: m ו-n.

M הוא הדיבידנד, כלומר המונה של השבר, והמחלק n נקרא המכנה.

בחר שברים מתאימים (מ< n) а также неправильные (m >נ).

שבר תקין הוא פחות מאחד (לדוגמה, 5/6 - זה אומר ש-5 חלקים נלקחים מאחד; 2/8 - 2 חלקים נלקחים מאחד). שבר לא תקין שווה ל-1 או גדול מ-1 (8/7 - היחידה תהיה 7/7 וחלק נוסף נלקח כפלוס).

אז, יחידה היא כאשר המונה והמכנה מתאימים (3/3, 12/12, 100/100 ואחרים).

פעולות עם שברים רגילים כיתה ו'

עם שברים פשוטים, אתה יכול לעשות את הפעולות הבאות:

• הרחב שבר. אם תכפיל את החלק העליון והתחתון של השבר במספר זהה כלשהו (אך לא באפס), אז הערך של השבר לא ישתנה (3/5 = 6/10 (רק מוכפל ב-2).
• צמצום שברים דומה להרחבה, אבל כאן הם מחולקים במספר.
• לְהַשְׁווֹת. אם לשני שברים יש אותו מונה, אז השבר עם המכנה הקטן יותר יהיה גדול יותר. אם המכנים זהים, השבר עם המונה הגדול ביותר יהיה גדול יותר.
• בצע חיבור וחיסור. עם אותם מכנים, זה קל לעשות (אנחנו מסכמים את החלקים העליונים, והחלק התחתון לא משתנה). עבור שונים, תצטרך למצוא מכנה משותף וגורמים נוספים.
• הכפל וחלק שברים.

דוגמאות לפעולות עם שברים נשקול להלן.

שברים מופחתים דרגה 6

להקטין פירושו לחלק את החלק העליון והתחתון של שבר במספר שווה.

האיור מציג דוגמאות פשוטות של הפחתה. באפשרות הראשונה, אתה יכול מיד לנחש שהמונה והמכנה מתחלקים ב-2.

על פתק! אם המספר זוגי, אזי הוא מתחלק ב-2 בכל דרך שהיא. המספרים הזוגיים הם 2, 4, 6 ... 32 8 (מסתיים בזוגיות) וכו'.

במקרה השני, כשמחלקים 6 ב-18, ברור מיד שהמספרים מתחלקים ב-2. מחלקים נקבל 3/9. השבר הזה מתחלק גם ב-3. אז התשובה היא 1/3. אם תכפיל את שני המחלקים: 2 ב-3, אז ייצא 6. מסתבר שהשבר חולק בשש. חלוקה הדרגתית זו נקראת הפחתה רצופה של שבר על ידי מחלקים משותפים.

מישהו יחלק מיד ב-6, מישהו יצטרך חלוקה לפי חלקים. העיקר שבסוף יש שבר שאי אפשר לצמצם בשום אופן.

שימו לב שאם המספר מורכב מספרות, שהוספתן תגרום למספר המתחלק ב-3, אז ניתן להקטין את המקור גם ב-3. דוגמה: המספר 341. הוסף את המספרים: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 אינו מתחלק ב-3, כך שלא ניתן להקטין את המספר 341 ב-3 ללא שארית). דוגמה נוספת: 264. הוסף: 2 + 6 + 4 = 12 (חלקי 3). נקבל: 264: 3 = 88. זה יפשט את ההפחתה של מספרים גדולים.

בנוסף לשיטת הפחתה רצופה של שבר על ידי מחלקים משותפים, ישנן דרכים נוספות.

GCD הוא המחלק הגדול ביותר למספר. לאחר שמצאת את ה-GCD עבור המכנה והמונה, אתה יכול מיד להפחית את השבר במספר הרצוי. החיפוש מתבצע על ידי חלוקה הדרגתית של כל מספר. לאחר מכן, הם בוחנים אילו מחלקים תואמים, אם יש כמה מהם (כמו בתמונה למטה), אז אתה צריך להכפיל.

שברים מעורבים דרגה 6

ניתן להמיר את כל השברים הלא תקינים לשברים מעורבים על ידי בידוד כל החלק בהם. המספר השלם כתוב בצד שמאל.

לעתים קרובות אתה צריך ליצור מספר מעורב משבר לא תקין. תהליך ההמרה בדוגמה למטה: 22/4 = 22 חלקי 4, נקבל 5 מספרים שלמים (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. נקבל 5 מספרים שלמים ו-2/4 (המכנה לא משתנה). מכיוון שניתן להקטין את השבר, אנו מחלקים את החלק העליון והתחתון ב-2.

קל להפוך מספר מעורב לשבר לא תקין (זה הכרחי כשמחלקים ומכפילים שברים). לשם כך: הכפלו את המספר השלם בחלק התחתון של השבר והוסיפו לזה את המונה. מוּכָן. המכנה לא משתנה.

חישובים עם שברים כיתה ו'

ניתן להוסיף מספרים מעורבים. אם המכנים זהים, קל לעשות זאת: מחברים את החלקים השלמים והמונים, המכנה נשאר במקומו.

כאשר מוסיפים מספרים עם מכנים שונים, התהליך מסובך יותר. ראשית, אנו מביאים את המספרים למכנה אחד הקטן ביותר (NOD).

בדוגמה למטה, עבור המספרים 9 ו-6, המכנה יהיה 18. לאחר מכן, יש צורך בגורמים נוספים. כדי למצוא אותם, יש לחלק את 18 ב-9, כך שנמצא מספר נוסף - 2. נכפיל אותו במונה 4, נקבל את השבר 8/18). אותו הדבר נעשה עם השבר השני. אנחנו כבר מוסיפים את השברים המומרים (מספרים שלמים ומונים בנפרד, אנחנו לא משנים את המכנה). בדוגמה, היה צריך להמיר את התשובה לשבר תקין (בתחילה התברר שהמונה היה גדול מהמכנה).

שימו לב שעם הפרש השברים, אלגוריתם הפעולות זהה.

כאשר מכפילים שברים, חשוב למקם את שניהם מתחת לאותו קו. אם המספר מעורב, אז נהפוך אותו לשבר פשוט. לאחר מכן, הכפל את החלק העליון והתחתון ורשום את התשובה. אם ברור שאפשר להפחית שברים, אז אנחנו מצמצמים מיד.

בדוגמה זו, לא היינו צריכים לחתוך שום דבר, רק רשמנו את התשובה והדגשנו את כל החלק.

בדוגמה זו, הייתי צריך לצמצם את המספרים מתחת לשורה אחת. אם כי אפשר לצמצם גם את התשובה המוכנה.

כאשר מחלקים, האלגוריתם כמעט זהה. ראשית, נהפוך את השבר המעורב לשבר לא תקין, ואז נכתוב את המספרים מתחת לשורה אחת, ונחליף את החלוקה בכפל. אל תשכח להחליף את החלק העליון והתחתון של השבר השני (זה הכלל לחלוקת שברים).

במידת הצורך, נפחית את המספרים (בדוגמה למטה הפחיתו בחמש ושתיים). אנו הופכים את השבר הלא תקין על ידי הדגשת החלק השלם.

משימות בסיסיות לשברים כיתה ו'

הסרטון מציג עוד כמה משימות. למען הבהירות, משתמשים בתמונות גרפיות של פתרונות כדי לעזור להמחיש שברים.

דוגמאות לכפל שברים כיתה ו' עם הסברים

הכפלה של שברים כתובים מתחת לשורה אחת. לאחר מכן, הם מצטמצמים על ידי חלוקה באותם מספרים (לדוגמה, 15 במכנה ו-5 במונה ניתן לחלק בחמש).

השוואת שברים כיתה ו'

כדי להשוות שברים, אתה צריך לזכור שני כללים פשוטים.

כלל 1. אם המכנים שונים

כלל 2. כשהמכנים זהים

לדוגמה, הבה נשווה את השברים 7/12 ו-2/3.

1. אנחנו מסתכלים על המכנים, הם לא תואמים. אז אתה צריך למצוא אחד משותף.
2. עבור שברים, המכנה המשותף הוא 12.
3. נחלק את 12 תחילה בחלק התחתון של השבר הראשון: 12: 12 = 1 (זהו גורם נוסף לשבר הראשון).
4. כעת נחלק 12 ב-3, נקבל 4 - הוסף. מכפיל של השבר השני.
5. אנו מכפילים את המספרים המתקבלים במונה כדי להמיר שברים: 1 x 7 \u003d 7 (שבר ראשון: 7/12); 4 x 2 = 8 (שבר שני: 8/12).
6. כעת נוכל להשוות: 7/12 ו-8/12. יצא: 7/12< 8/12.

כדי לייצג שברים טוב יותר, אתה יכול להשתמש בציורים לבהירות, שבהם אובייקט מחולק לחלקים (לדוגמה, עוגה). אם אתה רוצה להשוות 4/7 ו-2/3, אז במקרה הראשון, העוגה מחולקת ל-7 חלקים ו-4 מהם נבחרים. בשני מחלקים ל-3 חלקים ולוקחים 2. בעין בלתי מזוינת יהיה ברור ש-2/3 יהיה יותר מ-4/7.

דוגמאות עם שברים דרגה 6 לאימון

כתרגיל, אתה יכול לבצע את המשימות הבאות.

• השווה שברים

• לעשות את הכפל

טיפ: אם קשה למצוא את המכנה המשותף הנמוך ביותר של השברים (במיוחד אם הערכים שלהם קטנים), אז אתה יכול להכפיל את המכנה של השבר הראשון והשני. דוגמה: 2/8 ו-5/9. מציאת המכנה שלהם היא פשוטה: תכפילו 8 ב-9, תקבלו 72.

פתרון משוואות עם שברים כיתה ו'

בפתרון משוואות, אתה צריך לזכור את הפעולות עם שברים: כפל, חילוק, חיסור וחיבור. אם אחד הגורמים אינו ידוע, מחלקים את המכפלה (סה"כ) בגורם הידוע, כלומר, מוכפלים השברים (השני מתהפך).

אם הדיבידנד אינו ידוע, המכנה מוכפל במחלק, וכדי למצוא את המחלק, צריך לחלק את הדיבידנד במנה.

בואו נדמיין דוגמאות פשוטות לפתרון משוואות:

כאן נדרש רק להפיק את הפרש השברים, מבלי להוביל למכנה משותף.

החלוקה ב-1/2 הוחלפה בכפל ב-2 (השבר היה הפוך).

הוספת 1/2 ו-3/4, הגענו למכנה משותף של 4. במקביל, היה צורך בפקטור נוסף של 2 לשבר הראשון, 2/4 יצא מ-1/2.

נוסף 2/4 ו-3/4 - קיבל 5/4.

לא שכחנו להכפיל 5/4 ב-2. בהפחתת 2 ו-4 קיבלנו 5/2.

התשובה היא שבר לא תקין. ניתן להמיר אותו ל-1 שלם ו-3/5.

בשיטה השנייה, המונה והמכנה הוכפלו ב-4 כדי לקצר את התחתית במקום להפוך את המכנה.

מאמר זה עוסק בפעולות על שברים. יווצרו ויצדקו כללים לחיבור, חיסור, כפל, חלוקה או אקספונציה של שברים מהצורה A B, כאשר A ו-B יכולים להיות מספרים, ביטויים מספריים או ביטויים עם משתנים. לסיכום, ייחשבו דוגמאות לפתרונות עם תיאור מפורט.

Yandex.RTB R-A-339285-1

כללים לביצוע פעולות עם שברים מספריים של צורה כללית

לשברים מספריים של צורה כללית יש מונה ומכנה, שבהם יש מספרים טבעיים או ביטויים מספריים. אם ניקח בחשבון שברים כמו 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , אז ברור שלמונה ולמכנה יכולים להיות לא רק מספרים, אלא גם ביטויים של תוכנית אחרת.

הגדרה 1

ישנם כללים שלפיהם מבצעים פעולות עם שברים רגילים. זה מתאים גם לשברים של צורה כללית:

• כאשר מחסירים שברים עם אותם מכנים, מוסיפים רק המונים, והמכנה נשאר זהה, כלומר: a d ± c d \u003d a ± c d, הערכים a, c ו-d ≠ 0 הם כמה מספרים או ביטויים מספריים.
• כאשר מוסיפים או מחסירים שברים עם מכנים שונים, יש צורך להפחית לשבר משותף, ולאחר מכן להוסיף או להחסיר את השברים המתקבלים עם אותם אינדיקטורים. פשוטו כמשמעו, זה נראה כך a b ± c d = a p ± c r s , כאשר הערכים a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 הם מספרים ממשיים, ו- b p = d r = ש. כאשר p = d ו-r = b, אז a b ± c d = a d ± c d b d.
• כאשר מכפילים שברים, מתבצעת פעולה עם מונים, ולאחר מכן עם מכנים, אז נקבל a b c d \u003d a c b d, כאשר a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 פועלים כמספרים ממשיים.
• כאשר מחלקים שבר בשבר, נכפיל את הראשון בהדדיות השני, כלומר, נחליף את המונה והמכנה: a b: c d \u003d a b d c.

נימוק לכללים

הגדרה 2

ישנן הנקודות המתמטיות הבאות שעליכם להסתמך עליהן בעת ​​החישוב:

• פס שבר פירושו סימן חלוקה;
• חלוקה במספר מטופלת ככפל בהדדיות שלה;
• יישום המאפיין של פעולות עם מספרים ממשיים;
• יישום התכונה הבסיסית של שבר ואי-שוויון מספרי.

בעזרתם, אתה יכול לבצע טרנספורמציות של הטופס:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

דוגמאות

בפסקה הקודמת נאמר על פעולות עם שברים. לאחר מכן יש לפשט את השבר. נושא זה נדון בפירוט בחלק על המרת שברים.

ראשית, שקול את הדוגמה של חיבור והפחתה של שברים עם אותו מכנה.

דוגמה 1

בהינתן שברים 8 2, 7 ו-1 2, 7, אז לפי הכלל יש צורך להוסיף את המונה ולכתוב מחדש את המכנה.

פִּתָרוֹן

ואז נקבל חלק מהצורה 8 + 1 2, 7. לאחר ביצוע החיבור, נקבל חלק מהצורה 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. אז 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

תשובה: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

יש דרך אחרת לפתור. מלכתחילה נעשה מעבר לצורה של שבר רגיל, ולאחר מכן אנו מבצעים פישוט. זה נראה כמו זה:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

דוגמה 2

הבה נחסר מ-1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 שברים מהצורה 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1.

מכיוון שניתנים מכנים שווים, זה אומר שאנחנו מחשבים שבר עם אותו מכנה. אנחנו מקבלים את זה

1 - 2 3 לוג 2 3 לוג 2 5 + 1 - 2 3 3 לוג 2 3 לוג 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 לוג 2 3 לוג 2 5 + 1

ישנן דוגמאות לחישוב שברים עם מכנים שונים. נקודה חשובה היא הצמצום למכנה משותף. בלי זה, לא נוכל לבצע פעולות נוספות עם שברים.

התהליך מזכיר מרחוק צמצום למכנה משותף. כלומר, מתבצע חיפוש אחר המחלק הפחות משותף במכנה, ולאחר מכן מוסיפים לשברים את הגורמים החסרים.

אם לשברים שנוספו אין גורמים משותפים, המוצר שלהם יכול להפוך לאחד.

דוגמה 3

שקול את הדוגמה של הוספת שברים 2 3 5 + 1 ו- 1 2 .

פִּתָרוֹן

במקרה זה, המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים. אז נקבל את ה-2 · 3 5 + 1. לאחר מכן, כשמגדירים גורמים נוספים, יש לנו שלשבר הראשון הוא שווה ל-2, ולשני 3 5 + 1. לאחר הכפל, השברים מצטמצמים לצורה 4 2 3 5 + 1. הקאסט הכללי 1 2 יהיה 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. נוסיף את ביטויי השבר המתקבלים ונקבל את זה

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

תשובה: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

כאשר אנו עוסקים בשברים של צורה כללית, אז המכנה המשותף הפחות משותף בדרך כלל אינו המקרה. לא משתלם לקחת את המכפלה של המונים כמכנה. ראשית עליך לבדוק אם יש מספר שערך נמוך יותר מהמוצר שלהם.

דוגמה 4

שקול את הדוגמה 1 6 2 1 5 ו- 1 4 2 3 5 כאשר המוצר שלהם שווה ל-6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5. אז ניקח את 12 · 2 3 5 כמכנה משותף.

שקול דוגמאות לכפל של שברים של צורה כללית.

דוגמה 5

כדי לעשות זאת, יש צורך להכפיל 2 + 1 6 ו- 2 · 5 3 · 2 + 1.

פִּתָרוֹן

בעקבות הכלל, יש צורך לשכתב ולכתוב את מכפלת המונים כמכנה. אנו מקבלים את זה 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. כאשר השבר מוכפל, ניתן לבצע הפחתות כדי לפשט אותו. ואז 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

באמצעות כלל המעבר מחילוק לכפל בהדדיות, נקבל את ההדדיות של הנתון. לשם כך, המונה והמכנה הופכים. בואו נסתכל על דוגמה:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

לאחר מכן, עליהם לבצע כפל ולפשט את השבר המתקבל. במידת הצורך, היפטרו מחוסר ההיגיון במכנה. אנחנו מקבלים את זה

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

תשובה: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

פסקה זו חלה כאשר ניתן לייצג מספר או ביטוי מספרי כשבר עם מכנה השווה ל-1, אז הפעולה עם שבר כזה נחשבת לפסקה נפרדת. לדוגמה, הביטוי 1 6 7 4 - 1 3 מראה שניתן להחליף את השורש של 3 בביטוי 3 1 אחר. אז הרשומה הזו תיראה כמו כפל של שני שברים מהצורה 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

ביצוע פעולה עם שברים המכילים משתנים

הכללים שנדונו במאמר הראשון חלים על פעולות עם שברים המכילים משתנים. שקול את כלל החיסור כאשר המכנים זהים.

יש צורך להוכיח ש-A, C ו-D (D לא שווה לאפס) יכולים להיות כל ביטוי, והשוויון A D ± C D = A ± C D שווה ערך לטווח הערכים התקפים שלו.

יש צורך לקחת קבוצה של משתני ODZ. אז A, C, D חייבים לקחת את הערכים המתאימים a 0 , c 0 ו ד0. החלפה של הצורה A D ± C D מביאה להפרש של הצורה a 0 d 0 ± c 0 d 0 , שבה, לפי כלל החיבור, נקבל נוסחה של הצורה a 0 ± c 0 d 0 . אם נחליף את הביטוי A ± C D , אז נקבל את אותו חלק מהצורה a 0 ± c 0 d 0 . מכאן אנו מסיקים שהערך הנבחר שעומד ב-ODZ, A ± C D ו- A D ± C D נחשבים שווים.

עבור כל ערך של המשתנים, ביטויים אלה יהיו שווים, כלומר, הם נקראים שווים זהה. המשמעות היא שביטוי זה נחשב לשוויון שניתן להוכיח בצורה A D ± C D = A ± C D .

דוגמאות לחיבור וחיסור של שברים עם משתנים

כאשר יש את אותם מכנים, יש צורך רק להוסיף או להחסיר את המונים. ניתן לפשט את השבר הזה. לפעמים צריך לעבוד עם שברים שווים זהים, אבל במבט ראשון זה לא מורגש, שכן יש לבצע כמה טרנספורמציות. לדוגמה, x 2 3 x 1 3 + 1 ו-x 1 3 + 1 2 או 1 2 sin 2 α ו-sin a cos a. לרוב, נדרש פישוט של הביטוי המקורי כדי לראות את אותם מכנים.

דוגמה 6

חשב: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

פִּתָרוֹן

1. כדי לבצע חישוב, צריך להחסיר שברים בעלי אותם מכנים. אז נקבל את זה x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . לאחר מכן, אתה יכול לפתוח את הסוגריים עם הפחתת מונחים דומים. נקבל ש-x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. מכיוון שהמכנים זהים, נותר רק להוסיף את המונים ולהשאיר את המכנה: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   התוספת הושלמה. ניתן לראות שניתן להפחית את השבר. ניתן לקפל את המונה שלו באמצעות נוסחת הסכום הריבוע, ואז נקבל (l g x + 2) 2 מנוסחאות הכפל המקוצר. ואז נקבל את זה
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. נתון שברים מהצורה x - 1 x - 1 + x x + 1 עם מכנים שונים. לאחר השינוי, אתה יכול להמשיך להוספה.

הבה נבחן פתרון דו כיווני.

השיטה הראשונה היא שהמכנה של השבר הראשון נתון לחלוקה לגורמים באמצעות ריבועים, ועם הפחתתו שלאחר מכן. נקבל חלק מהטופס

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

אז x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

במקרה זה, יש צורך להיפטר מחוסר היגיון במכנה.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

הדרך השנייה היא להכפיל את המונה והמכנה של השבר השני ב-x-1. לפיכך, אנו נפטרים מחוסר ההיגיון ונמשיך להוספת שבר עם אותו מכנה. לאחר מכן

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

תשובה: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

בדוגמה האחרונה, מצאנו שהפחתה למכנה משותף היא בלתי נמנעת. כדי לעשות זאת, אתה צריך לפשט את השברים. כדי להוסיף או להחסיר, תמיד צריך לחפש מכנה משותף, שנראה כמו מכפלת המכנים בתוספת גורמים נוספים למונה.

דוגמה 7

חשב את ערכי השברים: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

פִּתָרוֹן

1. המכנה אינו דורש חישובים מורכבים, אז אתה צריך לבחור את המכפלה שלהם בצורה 3 x 7 + 2 2, ואז לשבר הראשון x 7 + 2 2 נבחר כגורם נוסף, ו-3 לשני. כאשר מכפילים, נקבל שבר מהצורה x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ניתן לראות שהמכנים מוצגים כמוצר, מה שאומר ששינויים נוספים מיותרים. המכנה המשותף יהיה המכפלה של הצורה x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . מכאן x 4 הוא גורם נוסף לשבר הראשון, ו-ln (x + 1) לשני. ואז נחסר ונקבל:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. דוגמה זו הגיונית כאשר עובדים עם מכנים של שברים. יש צורך ליישם את הנוסחאות של הפרש הריבועים וריבוע הסכום, שכן הם יאפשרו לעבור לביטוי בצורה 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . ניתן לראות שהשברים מצטמצמים למכנה משותף. נקבל את זה cos x - x cos x + x 2 .

ואז נקבל את זה

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

תשובה:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

דוגמאות להכפלת שברים עם משתנים

כאשר מכפילים שברים, המונה מוכפל במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן תוכל להחיל את מאפיין ההפחתה.

דוגמה 8

הכפל שברים x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ו-3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

פִּתָרוֹן

אתה צריך לעשות את הכפל. אנחנו מקבלים את זה

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

המספר 3 מועבר למקום הראשון לנוחות החישובים, ואתה יכול להקטין את השבר ב-x 2, ואז נקבל ביטוי של הצורה

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

תשובה: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

חֲלוּקָה

חלוקת שברים דומה לכפל, שכן השבר הראשון מוכפל בהדדיות השני. אם ניקח, למשל, את השבר x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ונחלק ב-3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, אז ניתן לכתוב את זה כ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) ולאחר מכן החלף במכפלה של הצורה x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

אקספוננציה

הבה נעבור לשקול את הפעולה עם שברים של צורה כללית עם אקספוננציה. אם יש תואר עם מעריך טבעי, אז הפעולה נחשבת ככפל של שברים זהים. אבל מומלץ להשתמש בגישה כללית המבוססת על מאפיינים של תארים. כל הביטויים A ו-C, כאשר C אינו שווה לאפס באופן זהה, וכל r אמיתי ב-ODZ עבור ביטוי בצורה A C r, השוויון A C r = A r C r נכון. התוצאה היא שבר מועלה לעוצמה. לדוגמה, שקול:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

סדר הפעולות עם שברים

פעולות על שברים מבוצעות על פי כללים מסוימים. בפועל, אנו שמים לב שביטוי יכול להכיל מספר שברים או ביטויים שברים. אז יש צורך לבצע את כל הפעולות בסדר קפדני: להעלות לחזקה, להכפיל, לחלק, ואז להוסיף ולהחסיר. אם יש סוגריים, הפעולה הראשונה מתבצעת בהם.

דוגמה 9

חשב 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

פִּתָרוֹן

מכיוון שיש לנו אותו מכנה, אז 1 - x cos x ו-1 c o s x , אבל אי אפשר להחסיר לפי הכלל, קודם מבצעים את הפעולות בסוגריים, אחר כך הכפל, ואחר כך החיבור. ואז, בחישוב, אנחנו מקבלים את זה

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

כאשר מחליפים את הביטוי במקור, נקבל את זה 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. כאשר מכפילים שברים, יש לנו: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . לאחר ביצוע כל ההחלפות, נקבל 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . עכשיו אתה צריך לעבוד עם שברים שיש להם מכנים שונים. אנחנו מקבלים:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

תשובה: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

מאמר זה הוא מבט כללי על פעולות עם שברים. כאן אנו מנסחים ומצדיקים את כללי החיבור, החיסור, הכפל, החילוק וההעלאה בחזקת שברים מהצורה הכללית A/B, כאשר A ו-B הם כמה מספרים, ביטויים מספריים או ביטויים עם משתנים. כרגיל, נספק לחומר דוגמאות מסבירות עם תיאורים מפורטים של פתרונות.

ניווט בדף.

כללים לביצוע פעולות עם שברים מספריים של צורה כללית

בואו נסכים ששברים מספריים כלליים הם שברים שבהם המונה ו/או המכנה יכולים להיות מיוצגים לא רק על ידי מספרים טבעיים, אלא גם על ידי מספרים אחרים או ביטויים מספריים. לשם הבהירות, הנה כמה דוגמאות לשברים כאלה: .

אנחנו יודעים את הכללים לפיהם . לפי אותם כללים, אתה יכול לבצע פעולות עם שברים של צורה כללית:

נימוק לכללים

כדי להצדיק את תקפות הכללים לביצוע פעולות עם שברים מספריים כלליים, אפשר להתחיל מהנקודות הבאות:

• פס שבר הוא בעצם סימן חלוקה,
• חלוקה במספר שאינו אפס יכול להיחשב ככפל בהדדיות של המחלק (זה מסביר מיד את הכלל לחלוקת שברים),
• תכונות של פעולות עם מספרים ממשיים,
• וההבנה המוכללת שלה,

הם מאפשרים לך לבצע את התמורות הבאות שמצדיקות את הכללים לחיבור, חיסור שברים עם מכנים זהים ושונים, כמו גם את הכלל להכפלת שברים:

דוגמאות

הבה ניתן דוגמאות לביצוע פעולה עם שברים של צורה כללית על פי הכללים שנלמדו בפסקה הקודמת. נניח מיד שבדרך כלל, לאחר ביצוע פעולות עם שברים, השבר המתקבל דורש פישוט, ותהליך הפישוט של שבר הוא לרוב קשה יותר מביצוע הפעולות הקודמות. לא נתעכב על פישוט השברים (התמורות המקבילות נדונות במאמר טרנספורמציה של שברים), כדי לא להסיח את דעתנו מהנושא המעניין אותנו.

נתחיל בדוגמאות של חיבור והפחתה של שברים עם אותם מכנים. נתחיל בהוספת השברים ו- . ברור שהמכנים שווים. לפי הכלל המקביל, רושמים שבר שהמונה שלו שווה לסכום המונים של השברים המקוריים, ומשאירים את המכנה זהה, יש לנו . התוספת מתבצעת, נותר לפשט את השבר המתקבל: . כך, .

ניתן היה לבצע את ההחלטה בצורה אחרת: ראשית, לבצע את המעבר לשברים רגילים, ולאחר מכן לבצע חיבור. עם הגישה הזו, יש לנו .

כעת יש להחסיר מהשבר שבריר . המכנים של השברים שווים, לכן, אנו פועלים לפי הכלל להפחתת שברים עם אותם מכנים:

נעבור לדוגמאות של חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים. כאן הקושי העיקרי טמון בהבאת השברים למכנה משותף. עבור שברים של צורה כללית, זהו נושא נרחב למדי, ננתח אותו בפירוט במאמר נפרד. הפחתת שברים למכנה משותף. לעת עתה, נצמצם את עצמנו לכמה המלצות כלליות, מכיוון שכרגע אנו מתעניינים יותר בטכניקה של ביצוע פעולות עם שברים.

באופן כללי, התהליך דומה לצמצום למכנה משותף של שברים רגילים. כלומר, המכנים מוצגים כמוצרים, ואז לוקחים את כל הגורמים מהמכנה של השבר הראשון ומוסיפים אליהם את הגורמים החסרים מהמכנה של השבר השני.

כאשר למכנים של השברים שנוספו או החסרים אין גורמים משותפים, אז זה הגיוני לקחת את המכפלה שלהם כמכנה משותף. בואו ניקח דוגמה.

נניח שאנחנו צריכים להוסיף שברים ו-1/2. כאן, כמכנה משותף, הגיוני לקחת את מכפלת המכנים של השברים המקוריים, כלומר. במקרה זה, הגורם הנוסף עבור השבר הראשון יהיה 2. לאחר הכפלת המונה והמכנה בו, השבר יקבל את הצורה . ולגבי השבר השני, הגורם הנוסף הוא הביטוי. בעזרתו, השבר 1/2 מצטמצם לצורה. נותר להוסיף את השברים המתקבלים עם אותם מכנים. להלן תקציר של הפתרון כולו:

במקרה של שברים של צורה כללית, כבר לא מדברים על המכנה המשותף הפחות משותף, אליו מצטמצמים בדרך כלל שברים רגילים. למרות שבעניין זה עדיין רצוי לשאוף לקצת מינימליזם. בכך אנו רוצים לומר שאין צורך לקחת מיד את מכפלת המכנים של השברים המקוריים כמכנה משותף. לדוגמה, אין צורך כלל לקחת את המכנה המשותף של השברים והתוצר . כאן, כמכנה משותף, אנו יכולים לקחת .

אנו פונים לדוגמאות של כפל שברים של צורה כללית. הכפל את השברים ו. הכלל לביצוע פעולה זו אומר לנו לרשום שבר שהמונה שלו הוא מכפלה של המונים של השברים המקוריים, והמכנה הוא מכפלת המכנים. יש לנו . כאן, כמו במקרים רבים אחרים בעת הכפלת שברים, אתה יכול להקטין את השבר: .

הכלל לחלוקת שברים מאפשר לעבור מחילוק לכפל בהדדיות. כאן אתה צריך לזכור שכדי לקבל שבר הדדי של שבר נתון, אתה צריך להחליף את המונה והמכנה של השבר הזה. הנה דוגמה למעבר מחלוקת שברים כלליים לכפל: . נותר לבצע את הכפל ולפשט את השבר המתקבל (במידת הצורך, ראה את הטרנספורמציה של ביטויים לא רציונליים):

לסיום המידע של פסקה זו, נזכיר שכל מספר או ביטוי מספרי יכולים להיות מיוצגים כשבר עם מכנה 1, לכן, חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מספר ושבר יכולים להיחשב כמבצעים את הפעולה המקבילה עם שברים, שלאחד מהם יש יחידה במכנה . למשל, החלפה בביטוי שורש של שלושה שברים, נמשיך מכפלת שבר במספר לכפל שני שברים: .

ביצוע פעולות עם שברים המכילים משתנים

הכללים מהחלק הראשון של מאמר זה חלים גם על ביצוע פעולות עם שברים המכילים משתנים. הבה נצדיק את הראשון שבהם - כלל החיבור והחיסור של שברים עם אותם מכנים, השאר מוכחים בדיוק באותו אופן.

הבה נוכיח שלכל ביטוי A, C ו-D (D זהה לא אפס) יש לנו את השוויון על טווח הערכים המקובלים שלו של המשתנים.

בואו ניקח כמה סט משתנים מ-ODZ. תן לביטויים A, C ו-D לקחת את הערכים a 0 , c 0 ו- d 0 עבור הערכים הללו של המשתנים. לאחר מכן החלפת ערכי המשתנים מהקבוצה שנבחרה בביטוי הופכת אותו לסכום (הפרש) של שברים מספריים עם אותם מכנים של הצורה , שלפי כלל החיבור (חיסור) של שברים מספריים עם אותם מכנים, שווה ל. אבל החלפת ערכי המשתנים מהקבוצה שנבחרה לביטוי הופכת אותו לאותו שבר. משמעות הדבר היא שעבור קבוצת ערכי המשתנים שנבחרו מה-ODZ, ערכי הביטויים ו- שווים. ברור שהערכים של הביטויים המצוינים יהיו שווים עבור כל סט אחר של ערכים של משתנים מה-ODZ, מה שאומר שהביטויים ושווים באופן זהה, כלומר, השוויון המוכח נכון .

דוגמאות לחיבור וחיסור של שברים עם משתנים

כאשר המכנים של השברים שמוסיפים או גורעים זהים, אז הכל די פשוט - מוסיפים או מחסירים את המונים, והמכנה נשאר זהה. ברור שהשבר המתקבל לאחר מכן מפושט אם יש צורך ואפשרי.

שימו לב שלפעמים המכנים של שברים שונים רק במבט ראשון, אבל למעשה הם ביטויים שווים זהים, כמו למשל, ו , או ו . ולפעמים מספיק לפשט את השברים הראשוניים כך ש"יופיעו" המכנים הזהים שלהם.

דוגמא.

, ב) , ב) .

פִּתָרוֹן.

א) עלינו להחסיר שברים עם אותם מכנים. לפי הכלל המקביל, נשאיר את המכנה זהה ונחסיר את המונים, יש לנו . בוצעה פעולה. אבל אתה עדיין יכול לפתוח את הסוגריים במונה ולהביא מונחים כמו: .

ב) ברור שהמכנים של השברים שנוספו זהים. לכן, אנו מוסיפים את המונים, ומשאירים את המכנה זהה: . הוספה הושלמה. אבל קל לראות שניתן להפחית את השבר המתקבל. ואכן, ניתן להקטין את המונה של השבר המתקבל בריבוע הסכום כ-(lgx+2) 2 (ראה נוסחאות הכפל המקוצרות), כך שמתבצעות התמורות הבאות: .

ג) שברים בסכום בעלי מכנים שונים. אבל, על ידי המרת אחד השברים, אתה יכול להמשיך להוספת שברים עם אותם מכנים. אנו מציגים שני פתרונות.

דרך ראשונה. ניתן לחשב את המכנה של השבר הראשון באמצעות נוסחת הפרש הריבועים, ולאחר מכן להפחית את השבר הזה: . בדרך זו, . זה לא מזיק להיפטר מחוסר היגיון במכנה של שבר: .

הדרך השנייה. הכפלת המונה והמכנה של השבר השני (ביטוי זה אינו נעלם עבור אף ערך של המשתנה x מה-DPV עבור הביטוי המקורי) מאפשרת לך להשיג שתי מטרות בבת אחת: להיפטר מחוסר היגיון ולעבור להוספת שברים עם אותם מכנים. יש לנו

תשובה:

א) , ב) , ב) .

הדוגמה האחרונה הביאה אותנו לשאלת הבאת השברים למכנה משותף. שם, כמעט בטעות הגענו לאותם מכנים, תוך פישוט אחד מהשברים שנוספו. אבל ברוב המקרים, כשמוסיפים ומחסורים שברים עם מכנים שונים, יש להביא את השברים בכוונה למכנה משותף. לשם כך, בדרך כלל מוצגים מכנים של שברים כמוצרים, כל הגורמים נלקחים מהמכנה של השבר הראשון, ומוסיפים אליהם את הגורמים החסרים מהמכנה של השבר השני.

דוגמא.

בצע פעולות עם שברים: א) , ב) , ג) .

פִּתָרוֹן.

א) אין צורך לעשות דבר במכנה של השברים. כמכנה משותף, אנו לוקחים את המוצר . במקרה זה, הגורם הנוסף לשבר הראשון הוא הביטוי, ועבור השבר השני - המספר 3. גורמים נוספים אלו מביאים שברים למכנה משותף, מה שמאפשר לנו עוד יותר לבצע את הפעולה שאנו צריכים, יש לנו

ב) בדוגמה זו, המכנים כבר מוצגים כמוצרים, ואין צורך בשינויים נוספים. ברור שהגורמים במכנים שונים רק במעריכים, לכן, כמכנה משותף, אנו לוקחים את המכפלה של הגורמים בעלי המעריכים הגדולים ביותר, כלומר, . אז הגורם הנוסף עבור השבר הראשון יהיה x 4, ועבור השני - ln(x+1) . כעת אנו מוכנים להחסיר שברים:

ג) ובמקרה זה, לכתחילה, נעבוד עם מכנים של שברים. הנוסחאות של הפרש הריבועים וריבוע הסכום מאפשרות לעבור מהסכום המקורי לביטוי . כעת ברור שניתן לצמצם את השברים הללו למכנה משותף . בגישה זו, הפתרון ייראה כך:

תשובה:

א)

ב)

ב)

דוגמאות להכפלת שברים עם משתנים

כפל שברים נותן שבר שהמונה שלו הוא מכפלת המונים של השברים המקוריים, והמכנה הוא מכפלה של המכנים. כאן, כפי שניתן לראות, הכל מוכר ופשוט, ונוכל רק להוסיף שהשבר המתקבל כתוצאה מפעולה זו מצטמצם לרוב. במקרים אלו היא מצטמצמת, אלא אם כן, כמובן, יש צורך ומוצדק.

שבריר- מספר המורכב ממספר שלם של שברים של אחד ומיוצג כ: a / b

מונה שברים (א)- המספר שמעל לקו השבר ומראה את מספר המניות שאליהן חולקה היחידה.

מכנה שבר (ב)- המספר מתחת לקו השבר ומראה כמה מניות חולקה היחידה.

2. הבאת שברים למכנה משותף

3. פעולות אריתמטיות על שברים רגילים

3.1. חיבור של שברים רגילים

3.2. חיסור של שברים רגילים

3.3. הכפלה של שברים רגילים

3.4. חלוקה של שברים רגילים

4. מספרים הדדיים

5. עשרוניות

6. פעולות אריתמטיות על שברים עשרוניים

6.1. הוספת עשרונים

6.2. חיסור של עשרונים

6.3. כפל עשרוני

6.4. חלוקה עשרונית

#אחד. תכונה בסיסית של שבר

אם המונה והמכנה של שבר מוכפלים או מחולקים באותו מספר שאינו שווה לאפס, אז יתקבל שבר השווה לנתון.

3/7=3*3/7*3=9/21 כלומר 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - כך נראית התכונה העיקרית של שבר.

במילים אחרות, אנו מקבלים שבר שווה לשבר הנתון על ידי הכפלה או חלוקה של המונה והמכנה של השבר המקורי באותו מספר טבעי.

אם ad=bc, ואז שני שברים a/b =c /d נחשבים שווים.

לדוגמה, השברים 3/5 ו-9/15 יהיו שווים, שכן 3*15=5*9, כלומר 45=45

הפחתת שברהוא תהליך של החלפת שבר, שבו השבר החדש שווה למקור, אך עם מונה ומכנה קטנים יותר.

נהוג לצמצם שברים על סמך התכונה העיקרית של שבר.

לדוגמה, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (המונה והמכנה מתחלקים ב-3, ב-5 וב-15).

חלק בלתי ניתן לצמצוםהוא חלק מהצורה 3/4 ​ ​ , כאשר המונה והמכנה הם מספרים ראשוניים יחסית. המטרה העיקרית של הפחתת השבר היא להפוך את השבר לבלתי ניתן לצמצום.

2. הפחתת שברים למכנה משותף

כדי להביא שני שברים למכנה משותף:

1) לפרק את המכנה של כל שבר לגורמים ראשוניים;

2) הכפל את המונה והמכנה של השבר הראשון בחסרים

גורמים מהרחבת המכנה השני;

3) הכפל את המונה והמכנה של השבר השני בגורמים החסרים מההרחבה הראשונה.

דוגמאות: צמצום שברים למכנה משותף.

בואו נפרק את המכנים לגורמים ראשוניים: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

הכפלנו את המונה והמכנה של השבר בגורם החסר 5 מההרחבה השנייה.

מונה ומכנה של השבר לפי הגורמים החסרים 3 ו-2 מההרחבה הראשונה.

=, 90 הוא המכנה המשותף של שברים.

3. פעולות חשבון על שברים רגילים

3.1. חיבור של שברים רגילים

א) עם אותם מכנים, המונה של השבר הראשון מתווסף למונה של השבר השני, ומשאיר את המכנה זהה. כפי שניתן לראות בדוגמה:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

ב) במכנים שונים מצטמצמים תחילה השברים למכנה משותף, ולאחר מכן מוסיפים את המונים לפי כלל א):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. חיסור של שברים רגילים

א) עם אותם מכנים, הורידו את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ותותירו את המכנה זהה:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

ב) אם המכנים של השברים שונים, אז תחילה מצמצמים את השברים למכנה משותף, ולאחר מכן חוזרים על השלבים כמו בפסקה א).

3.3. הכפלה של שברים רגילים

כפל שברים מציית לכלל הבא:

a/b*c/d=a*c/b*d,

כלומר, להכפיל את המונים והמכנים בנפרד.

לדוגמה:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. חלוקה של שברים רגילים

שברים מחולקים בצורה הבאה:

a/b:c/d=a*d/b*c,

כלומר, השבר a/b מוכפל בהדדיות של הנתון, כלומר, הוא מוכפל ב-d/c.

דוגמה: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. מספרים הדדיים

אם a*b=1,אז המספר b הוא מספר הפוךלמספר א.

דוגמה: עבור המספר 9, ההפך הוא 1/9 ​ ​ , מאז 9*1/9 = 1 , למספר 5 - ההדדיות של 1/5 ​ ​ , כי 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. עשרוניות

נקודההוא שבר תקין שהמכנה שלו הוא 10, 1000, 10000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ נ​ ​ .

לדוגמה: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

באותו אופן, שגויים נכתבים עם מכנה 10^nאו מספרים מעורבים.

לדוגמה: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

בצורה של שבר עשרוני, מיוצג כל שבר רגיל בעל מכנה שהוא מחלק בחזק מסוים של המספר 10.

מכנה, שהוא מחלק של חזקה מסוימת של המספר 10.

דוגמה: 5 הוא מחלק של 100, אז שבר 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. פעולות חשבון על שברים עשרוניים

6.1. הוספת עשרונים

כדי להוסיף שני שברים עשרוניים, עליך לסדר אותם כך שאותן ספרות ופסיק מתחת לפסיק יופיעו זה מתחת לזה, ולאחר מכן להוסיף את השברים כמספרים רגילים.

6.2. חיסור של עשרונים

זה עובד באותו אופן כמו הוספה.

6.3. כפל עשרוני

כאשר מכפילים מספרים עשרוניים, מספיק להכפיל את המספרים הנתונים, תוך התעלמות מהפסיקים (כמספרים טבעיים), ובתשובה המתקבלת, הפסיק בצד ימין מפריד בין מספר הספרות שיש אחרי הנקודה העשרונית בשני הגורמים בסך הכל. .

בוא נעשה את הכפל של 2.7 ב-1.3. יש לנו 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . אנו מפרידים שתי ספרות עם פסיק בצד ימין (למספר הראשון והשני יש ספרה אחת אחרי הנקודה העשרונית; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). כתוצאה מכך, אנחנו מקבלים 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

אם התוצאה היא פחות ספרות ממה שצריך להפריד בפסיק, אז האפסים החסרים נכתבים מלפנים, למשל:

כדי להכפיל ב-10, 100, 1000, בשבר עשרוני, הזיזו את הפסיק 1, 2, 3 ימינה (במידת הצורך, מספר מסוים של אפסים מוקצים ימינה).

לדוגמה: 1.47 \cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. חלוקה עשרונית

חלוקת שבר עשרוני במספר טבעי מתבצעת באותו אופן כמו חלוקת מספר טבעי במספר טבעי. פסיק בפרט מוצב לאחר השלמת חלוקת החלק השלם.

אם החלק השלם של הדיבידנד קטן מהמחלק, אז התשובה היא אפס מספרים שלמים, למשל:

שקול לחלק עשרוני בעשרוני. נניח שעלינו לחלק את 2.576 ב-1.12. קודם כל, נכפיל את הדיבידנד ואת המחלק של השבר ב-100, כלומר, נעביר את הפסיק ימינה בדיווידנד והמחלק במספר תווים שיש במחלק אחרי הנקודה העשרונית (בדוגמה זו , שתיים). אז אתה צריך לחלק את השבר 257.6 במספר הטבעי 112, כלומר, הבעיה מצטמצמת למקרה שכבר נחשב:

קורה שהשבר העשרוני הסופי לא תמיד מתקבל כאשר מחלקים מספר אחד במספר אחר. התוצאה היא אינסוף עשרוני. במקרים כאלה, עבור לשברים רגילים.

לדוגמה, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

מחשבון שברים מקוון נוח ופשוט עם פתרון מפורטאולי:

• הוסף, חיסור, הכפל וחלק שברים באינטרנט,
• קבל פתרון מוכן של שברים כתמונה והעבר אותו בנוחות.



התוצאה של פתרון שברים תהיה כאן...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
סימן שבר "/" + - * :
_מחק נקה
למחשבון השברים המקוון שלנו יש קלט מהיר. כדי לקבל פתרון של שברים, למשל, פשוט כתוב 1/2+2/7 לתוך המחשבון ולחץ על " לפתור שברים". המחשבון יכתוב לך פתרון מפורט של שבריםוסוגיה תמונה ידידותית להעתקה.

התווים המשמשים לכתיבה במחשבון

ניתן להקליד דוגמה לפתרון הן מהמקלדת והן באמצעות הכפתורים.

תכונות של מחשבון השברים המקוון

מחשבון השברים יכול לבצע פעולות רק עם 2 שברים פשוטים. הם יכולים להיות נכונים (המונה קטן מהמכנה) או לא נכונים (המונה גדול מהמכנה). המספרים במונה ובמכנים אינם יכולים להיות שליליים וגדולים מ-999.
המחשבון המקוון שלנו פותר שברים וממיר את התשובה לצורה הנכונה - מקטין את השבר ומדגיש את החלק השלם במידת הצורך.

אם אתה צריך לפתור שברים שליליים, פשוט השתמש במאפייני המינוס. כשמכפלים ומחלקים שברים שליליים, מינוס במינוס נותן פלוס. כלומר, המכפלה והחלוקה של שברים שליליים שווים למכפלה ולחלוקה של אותם חיוביים. אם שבר אחד שלילי כאשר מכפלים או מחלקים, פשוט הסר את המינוס ולאחר מכן הוסף אותו לתשובה. כשמוסיפים שברים שליליים, התוצאה תהיה זהה כאילו הוספתם את אותם שברים חיוביים. אם אתה מוסיף שבר שלילי אחד, אז זה זהה להפחתת אותו אחד חיובי.
בהפחתת שברים שליליים, התוצאה תהיה זהה כאילו הם היו הפוכים ונעשו חיוביים. כלומר, מינוס במינוס במקרה זה נותן פלוס, והסכום אינו משתנה מסידור מחדש של המונחים. אנו משתמשים באותם כללים בהפחתת שברים, אחד מהם שלילי.

כדי לפתור שברים מעורבים (שברים שבהם כל החלק מודגש), פשוט הכנס את כל החלק לשבר. לשם כך, הכפל את החלק השלם במכנה והוסף למונה.

אם אתה צריך לפתור 3 שברים או יותר באינטרנט, אז אתה צריך לפתור אותם אחד אחד. ראשית, ספרו את 2 השברים הראשונים, ואז פתרו את השבר הבא עם התשובה שהתקבלה וכן הלאה. בצעו פעולות בתורו עבור 2 שברים, ובסוף תקבלו את התשובה הנכונה.