איך למצוא את השורש הריבועי של מספר. חילוץ שורשים ממספרים שברים. חישוב השורש הריבועי באופן ידני

בואו נשקול את האלגוריתם הזה עם דוגמה. בוא נמצא

שלב 1. נחלק את המספר מתחת לשורש לשתי ספרות (מימין לשמאל):

שלב 2. נחלץ את השורש הריבועי מהפנים הראשון, כלומר מהמספר 65, נקבל את המספר 8. מתחת לפנים הראשון נכתוב את הריבוע של המספר 8 ונחסיר. אנו מייחסים את הפנים השני (59) לשאר:

(המספר 159 הוא השארית הראשונה).

שלב 3. נכפיל את השורש שנמצא ונכתוב את התוצאה בצד שמאל:

שלב 4. נפריד בשארית (159) ספרה אחת מימין, משמאל נקבל את מספר העשרות (שווה ל-15). לאחר מכן נחלק את 15 בספרה הראשונה הכפולה של השורש, כלומר ב-16, מכיוון ש-15 אינו מתחלק ב-16, אז במנה נקבל אפס, אותו נכתוב כספרה השנייה של השורש. אז, במנה קיבלנו את המספר 80, אותו אנחנו מכפילים שוב, והורסים את הפרצוף הבא

(המספר 15901 הוא השארית השנייה).

שלב 5. אנו מפרידים ספרה אחת מימין בשארית השנייה ומחלקים את המספר המתקבל 1590 ב-160. התוצאה (מספר 9) נכתבת כספרה השלישית של השורש ומוקצת למספר 160. המספר המתקבל 1609 מוכפל ב-9 ואנו מוצאים את השארית הבאה (1420):

פעולות נוספות מבוצעות ברצף המצוין באלגוריתם (ניתן לחלץ את השורש במידת הדיוק הנדרשת).

תגובה. אם ביטוי השורש הוא שבר עשרוני, אז החלק השלם שלו מחולק לשתי ספרות מימין לשמאל, החלק השבר מחולק לשתי ספרות משמאל לימין, והשורש מופק לפי האלגוריתם שצוין.

חומר דידקטי

1. קח את השורש הריבועי של המספר: א) 32; ב) 32.45; ג) 249.5; ד) 0.9511.

תלמידים תמיד שואלים: "למה אני לא יכול להשתמש במחשבון בבחינה במתמטיקה? כיצד לחלץ את השורש הריבועי של מספר ללא מחשבון? בואו ננסה לענות על השאלה הזו.

כיצד לחלץ את השורש הריבועי של מספר ללא עזרה של מחשבון?

פעולה מיצוי שורש ריבועיההפך מריבוע.

√81= 9 9 2 =81

אם ניקח את השורש הריבועי של מספר חיובי ונריבוע את התוצאה, נקבל את אותו מספר.

ממספרים קטנים שהם ריבועים מדויקים של מספרים טבעיים, למשל 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, ניתן לחלץ שורשים מרובעים באופן מילולי. בדרך כלל בבית הספר מלמדים טבלה של ריבועים של מספרים טבעיים עד עשרים. הכרת הטבלה הזו, קל לחלץ את השורשים הריבועיים מהמספרים 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. ממספרים גדולים מ-400, ניתן לחלץ בשיטת הבחירה בעזרת כמה עצות. בואו ננסה דוגמה לשקול שיטה זו.

דוגמא: חלץ את השורש של המספר 676.

אנו שמים לב ש-20 2 \u003d 400, ו-30 2 \u003d 900, כלומר 20< √676 < 900.

ריבועים מדויקים של מספרים טבעיים מסתיימים ב-0; אחד; ארבע; 5; 6; 9.
המספר 6 ניתן על ידי 4 2 ו-6 2.
אז אם השורש נלקח מ-676, אז הוא 24 או 26.

נותר לבדוק: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

תשובה: √676 = 26 .

יותר דוגמא: √6889 .

מאז 80 2 \u003d 6400, ו-90 2 \u003d 8100, ואז 80< √6889 < 90.
המספר 9 ניתן על ידי 3 2 ו-7 2, ואז √6889 הוא 83 או 87.

בדיקה: 83 2 = 6889.

תשובה: √6889 = 83 .

אם אתה מתקשה לפתור בשיטת הבחירה, אז אתה יכול לפרק את ביטוי השורש.

לדוגמה, מצא √893025.

בוא נחלק את המספר 893025, תזכור, עשית את זה בכיתה ו'.

נקבל: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

יותר דוגמה: √20736. בוא נחלק לגורמים את המספר 20736:

נקבל √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

כמובן, פקטורינג דורש ידע בקריטריונים לחלוקה וכישורי פקטורינג.

ולבסוף, יש כלל שורש מרובע. בואו נסתכל על הכלל הזה עם דוגמה.

חשב √279841.

כדי לחלץ את השורש של מספר שלם רב ספרתי, אנו מפצלים אותו מימין לשמאל לפרצופים המכילים 2 ספרות כל אחד (ייתכן שיש ספרה אחת בפנים הקיצוניות השמאלית). כתוב כך 27'98'41

כדי לקבל את הספרה הראשונה של השורש (5), נחלץ את השורש הריבועי של הריבוע המדויק הגדול ביותר שנמצא בפנים השמאלי הראשון (27).
לאחר מכן מופחת הריבוע של הספרה הראשונה של השורש (25) מהפנים הראשון והפנים הבא (98) מיוחס (נהרס) להפרש.
משמאל למספר המתקבל 298, הם כותבים את הספרה הכפולה של השורש (10), מחלקים בה את מספר כל העשרות של המספר שהושג קודם לכן (29/2 ≈ 2), חווים את המנה (102 ∙ 2 = 204 לא צריך להיות יותר מ-298) וכתוב (2) אחרי הספרה הראשונה של השורש.
לאחר מכן, המנה המתקבלת 204 מופחתת מ-298, והפן הבא (41) מיוחס (נהרס) להפרש (94).
משמאל למספר המתקבל 9441, הם כותבים את המכפלה הכפולה של ספרות השורש (52 ∙ 2 = 104), מחלקים במכפלה זה את מספר כל העשרות של המספר 9441 (944/104 ≈ 9), ניסיון המנה (1049 ∙ 9 = 9441) צריכה להיות 9441 ורשום אותה (9) אחרי הספרה השנייה של השורש.

קיבלנו את התשובה √279841 = 529.

לחלץ באופן דומה שורשים של עשרוניות. יש לחלק רק את המספר הרדיקלי לפרצופים כך שהפסיק יהיה בין הפרצופים.

דוגמא. מצא את הערך √0.00956484.

רק זכרו שאם לשבר העשרוני יש מספר אי זוגי של מקומות עשרוניים, השורש הריבועי לא בדיוק מופק ממנו.

אז, עכשיו ראית שלוש דרכים לחלץ את השורש. בחר את המתאים לך ביותר והתאמן. כדי ללמוד איך לפתור בעיות, אתה צריך לפתור אותן. ואם יש לך שאלות, .

blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.

הוראה

בחר מספר רדיקלי גורם כזה, הסרת אשר מלמטה שורשביטוי חוקי - אחרת הפעולה תאבד. למשל, אם מתחת לשלט שורשעם מעריך שווה לשלוש (שורש קובייה) שווה מספר 128, אז מתחת לשלט ניתן להוציא, למשל, מספר 5. במקביל, השורש מספר 128 יצטרך להיות מחולק ב-5 קוביות: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. אם נוכחות של מספר חלקי מתחת לשלט שורשאינו סותר את תנאי הבעיה, זה אפשרי בצורה זו. אם אתה צריך אפשרות פשוטה יותר, תחילה שבור את הביטוי הרדיקלי לגורמים שלמים כאלה, ששורש הקובייה של אחד מהם יהיה מספר שלם מספרמ. לדוגמה: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

השתמש כדי לבחור את הגורמים של מספר השורש, אם לא ניתן לחשב את מידת המספר בראש שלך. זה נכון במיוחד עבור שורש m עם מעריך גדול משניים. אם יש לך גישה לאינטרנט, אז אתה יכול לבצע חישובים באמצעות מחשבונים המובנים במנועי החיפוש של Google ו-Nigma. לדוגמה, אם אתה צריך למצוא את הגורם השלם הגדול ביותר שניתן להוציא מהסימן של המעוקב שורשעבור המספר 250, ולאחר מכן עבור לאתר גוגל והזן את השאילתה "6 ^ 3" כדי לבדוק אם ניתן להוציא מתחת לשלט שורששֵׁשׁ. מנוע החיפוש יציג תוצאה השווה ל-216. למרבה הצער, לא ניתן לחלק 250 ללא שארית לפי זה מספר. לאחר מכן הזן את השאילתה 5^3. התוצאה תהיה 125, וזה מאפשר לך לפצל 250 לגורמים של 125 ו-2, כלומר להוציא אותו מהסימן שורש מספר 5 עוזבים משם מספר 2.

מקורות:

• איך להוציא אותו מתחת לשורש
• השורש הריבועי של המוצר

להוציא מלמטה שורשאחד הגורמים נחוץ במצבים שבהם אתה צריך לפשט ביטוי מתמטי. ישנם מקרים בהם אי אפשר לבצע את החישובים הדרושים באמצעות מחשבון. לדוגמה, אם משתמשים באותיות של משתנים במקום מספרים.

הוראה

לפרק את הביטוי הרדיקלי לגורמים פשוטים. ראה איזה מהגורמים חוזר על אותו מספר פעמים, המצוין באינדיקטורים שורש, או יותר. לדוגמה, אתה צריך לקחת את השורש של המספר a בחזקת רביעית. במקרה זה, ניתן לייצג את המספר כ-a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. אינדיקטור שורשבמקרה זה יתאים ל גורם a3. יש להוציא אותו מהשלט.

חלץ את השורש של הרדיקלים שנוצרו בנפרד, במידת האפשר. הוֹצָאָה שורשהיא הפעולה האלגברית הפוכה לאקספונציה. הוֹצָאָה שורשחזקת שרירותית ממספר, מצא מספר שכאשר מועלה לחזקה שרירותית זו, יגרום למספר נתון. אם מיצוי שורשלא ניתן לייצר, השאר את הביטוי הרדיקלי מתחת לשלט שורשככה זה. כתוצאה מהפעולות לעיל, תבצע הסרה מלמטה סִימָן שורש.

סרטונים קשורים

הערה

היזהר בעת כתיבת הביטוי הרדיקלי כגורמים – טעות בשלב זה תוביל לתוצאות שגויות.

עצה שימושית

בעת חילוץ שורשים, נוח להשתמש בטבלאות מיוחדות או בטבלאות של שורשים לוגריתמיים - זה יקצר משמעותית את הזמן למציאת הפתרון הנכון.

מקורות:

• סימן חילוץ שורש בשנת 2019

נדרש פישוט של ביטויים אלגבריים בתחומים רבים של מתמטיקה, כולל פתרון משוואות בדרגות גבוהות יותר, בידול ואינטגרציה. זה משתמש בכמה שיטות, כולל פירוק לגורמים. כדי ליישם שיטה זו, אתה צריך למצוא ולהוציא משותף גורםלְכָל סוגריים.

הוראה

מוציא את הגורם המשותף עבור סוגריים- אחת משיטות הפירוק הנפוצות ביותר. טכניקה זו משמשת כדי לפשט את המבנה של ביטויים אלגבריים ארוכים, כלומר. פולינומים. הכללי יכול להיות מספר, מונומיאלי או בינומי, וכדי למצוא אותו, נעשה שימוש בתכונה החלוקתית של הכפל.

מספר. בדוק היטב את המקדמים של כל פולינום כדי לראות אם ניתן לחלק אותם באותו מספר. לדוגמה, בביטוי 12 z³ + 16 z² - 4, המובן מאליו הוא גורם 4. לאחר ההמרה, תקבל 4 (3 z³ + 4 z² - 1). במילים אחרות, מספר זה הוא המחלק השלם הפחות משותף מכל המקדמים.

מונונום קבע אם אותו משתנה נמצא בכל אחד מהמונחים של הפולינום. בואו נניח שזה המצב, כעת נסתכל על המקדמים, כמו במקרה הקודם. דוגמה: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

כל אלמנט של פולינום זה מכיל את המשתנה z. בנוסף, כל המקדמים הם כפולות של 3. לכן, הגורם המשותף יהיה המונומיאלי 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

בינומיאל.עבור סוגרייםכללי גורםשל שניים, משתנה ומספר, שהוא פולינום כללי. לכן, אם גורם-בינומי לא ברור, אז אתה צריך למצוא לפחות שורש אחד. סמן את האיבר החופשי של הפולינום, זהו המקדם ללא משתנה. כעת החל את שיטת ההחלפה על הביטוי המשותף של כל מחלקי המספרים השלמים של המונח החופשי.

שקול: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. בדוק אם אחד ממחלקי המספרים השלמים של 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. מצא את z1 על ידי החלפה פשוטה = 1 ו- z2 = 2, אז סוגרייםניתן להוציא את הבינומים (z - 1) ו-(z - 2). כדי למצוא את הביטוי הנותר, השתמש בחלוקה רציפה לעמודה.

והאם יש לך תלות במחשבון? או שאתה חושב שלמעט מחשבון או שימוש בטבלת ריבועים, קשה מאוד לחשב, למשל.

קורה שתלמידי בית ספר קשורים למחשבון ואפילו מכפילים 0.7 על 0.5 על ידי לחיצה על הכפתורים היקרים. הם אומרים, טוב, אני עדיין יודע לחשב, אבל עכשיו אני אחסוך זמן... תהיה בחינה... אז אני אתמתח...

אז העובדה היא שבכל מקרה יהיו הרבה "רגעים מתוחים" בבחינה... כמו שאומרים, מים שוחקים אבן. אז בבחינה, דברים קטנים, אם יש הרבה כאלה, יכולים להפיל אותך...

בואו למזער את מספר הבעיות האפשריות.

לקיחת השורש הריבועי של מספר גדול

כעת נדבר רק על המקרה כאשר התוצאה של חילוץ השורש הריבועי היא מספר שלם.

תיק 1

אז, הבה בכל האמצעים (לדוגמה, בעת חישוב המבחין) נצטרך לחשב את השורש הריבועי של 86436.

נפרק את המספר 86436 לגורמים ראשוניים. נחלק ב-2, נקבל 43218; שוב נחלק ב-2, - נקבל 21609. המספר אינו מתחלק ב-2 נוספים. אבל מכיוון שסכום הספרות מתחלק ב-3, אז המספר עצמו מתחלק ב-3 (באופן כללי, ניתן לראות שהוא מתחלק גם ב-9). . שוב נחלק ב-3, נקבל 2401. 2401 אינו מתחלק לחלוטין ב-3. לא מתחלק בחמש (לא מסתיים ב-0 או 5).

אנו חושדים בחלוקה ב-7. אכן, א,

אז, הזמנה מלאה!

מקרה 2

בואו נצטרך לחשב. זה לא נוח לפעול באותו אופן כפי שתואר לעיל. מנסה לפרק לגורמים...

המספר 1849 אינו מתחלק לחלוטין ב-2 (הוא לא זוגי) ...

זה לא מתחלק לחלוטין ב-3 (סכום הספרות אינו כפולה של 3) ...

זה לא מתחלק לחלוטין ב-5 (הספרה האחרונה היא לא 5 או 0) ...

זה לא מתחלק לגמרי ב-7, זה לא מתחלק ב-11, זה לא מתחלק ב-13... ובכן, כמה זמן ייקח לנו לעבור ככה על כל המספרים הראשוניים?

בואו נטען קצת אחרת.

אנחנו מבינים את זה

צמצמנו את החיפוש. כעת נמיין את המספרים מ-41 עד 49. יתרה מכך, ברור שמכיוון שהספרה האחרונה של המספר היא 9, אז כדאי לעצור באפשרויות 43 או 47 - רק המספרים הללו, בריבוע, יתנו את הספרה האחרונה. 9.

ובכן, כאן כבר, כמובן, אנחנו עוצרים ב-43. אכן,

נ.ב.איך לעזאזל נכפיל את 0.7 ב-0.5?

עליך להכפיל 5 ב-7, להתעלם מהאפסים והסימנים, ולאחר מכן להפריד, מימין לשמאל, שני מקומות עשרוניים. אנחנו מקבלים 0.35.