כללים להשוואת שברים באמצעות מספר נוסף. השוואת שברים. כיצד להשוות שברים עם מכנים שונים

שני שברים לא שווים נתונים להשוואה נוספת כדי לגלות איזה שבר גדול יותר ואיזה שבר קטן יותר. להשוואת שני שברים ישנו כלל להשוואת שברים אותו ננסח להלן, וכן ננתח דוגמאות ליישום כלל זה בהשוואת שברים בעלי מכנים זהים ושונים. לסיכום, נראה כיצד להשוות שברים עם אותם מונים מבלי לצמצם אותם למכנה משותף, וכן נראה כיצד להשוות שבר רגיל עם מספר טבעי.

ניווט בדף.

השוואת שברים עם אותם מכנים

השוואת שברים עם אותם מכניםהוא בעצם השוואה של מספר המניות השווים. לדוגמה, השבר המשותף 3/7 קובע 3 חלקים 1/7, והשבר 8/7 מתאים ל-8 חלקים 1/7, כך שהשוואת שברים עם אותם מכנים 3/7 ו-8/7 מסתכמת בהשוואת המספרים 3 ו-8, כלומר להשוואת המונים.

משיקולים אלה עולה כלל להשוואת שברים עם אותו מכנה: מבין שני שברים בעלי אותו מכנה, השבר הגדול יותר הוא זה שהמונה שלו גדול יותר, והקטן הוא השבר שהמונה שלו קטן יותר.

הכלל המוצהר מסביר כיצד להשוות שברים עם אותם מכנים. שקול דוגמה ליישום הכלל להשוואת שברים עם אותם מכנים.

דוגמא.

איזה שבר גדול יותר: 65/126 או 87/126?

פִּתָרוֹן.

המכנים של השברים הרגילים שהשוו שווים, והמונה 87 של השבר 87/126 גדול מהמונה 65 של השבר 65/126 (במידת הצורך, ראה השוואת המספרים הטבעיים). לכן, לפי הכלל להשוואת שברים עם אותם מכנים, השבר 87/126 גדול מהשבר 65/126.

תשובה:

השוואת שברים עם מכנים שונים

השוואת שברים עם מכנים שוניםניתן לצמצם להשוואת שברים עם אותם מכנים. כדי לעשות זאת, אתה רק צריך להביא את השברים הרגילים בהשוואה למכנה משותף.

אז, כדי להשוות שני שברים עם מכנים שונים, אתה צריך

• להביא שברים למכנה משותף;
• השוו את השברים המתקבלים עם אותם מכנים.

בואו נסתכל על דוגמה לפתרון.

דוגמא.

השווה את השבר 5/12 עם השבר 9/16.

פִּתָרוֹן.

ראשית, אנו מביאים את השברים הללו עם מכנים שונים למכנה משותף (ראה כלל ודוגמאות של הפחתת שברים למכנה משותף). כמכנה משותף, קח את המכנה המשותף הנמוך ביותר שווה ל-LCM(12, 16)=48 . אז הגורם הנוסף של השבר 5/12 יהיה המספר 48:12=4, והגורם הנוסף של השבר 9/16 יהיה המספר 48:16=3. אנחנו מקבלים ו .

בהשוואה בין השברים המתקבלים, יש לנו . לכן, השבר 5/12 קטן יותר מהשבר 9/16. זה משלים את ההשוואה של שברים עם מכנים שונים.

תשובה:

בואו נקבל דרך נוספת להשוות בין שברים עם מכנים שונים, שתאפשר לכם להשוות שברים מבלי לצמצם אותם למכנה משותף וכל הקשיים הקשורים בתהליך זה.

כדי להשוות את השברים a/b ו-c/d, ניתן לצמצם אותם למכנה משותף b d, השווה למכפלת המכנים של השברים המושוואים. במקרה זה, הגורמים הנוספים של השברים a/b ו-c/d הם המספרים d ו-b, בהתאמה, והשברים המקוריים מצטמצמים לשברים ועם מכנה משותף b d . נזכור את הכלל להשוואת שברים עם אותם מכנים, אנו מסיקים שהשוואת השברים המקוריים a/b ו-c/d הצטמצמה להשוואת המכפלה של a d ו-c b.

מכאן נובע הדברים הבאים כלל להשוואת שברים עם מכנים שונים: אם a d>b c , אז , ואם a d

שקול להשוות שברים עם מכנים שונים בדרך זו.

דוגמא.

השווה את השברים הנפוצים 5/18 ו-23/86.

פִּתָרוֹן.

בדוגמה זו, a=5 , b=18 , c=23 ו-d=86 . בוא נחשב את המוצרים a d ו-b c . יש לנו d=5 86=430 ו-b c=18 23=414 . מאז 430>414, השבר 5/18 גדול מהשבר 23/86.

תשובה:

השוואת שברים עם אותו מונה

ניתן בהחלט להשוות שברים עם אותם מונים ומכנים שונים באמצעות הכללים שנדונו בפסקה הקודמת. עם זאת, קל להשיג את התוצאה של השוואת שברים כאלה על ידי השוואת המכנים של שברים אלה.

יש כזה כלל להשוואת שברים עם אותו מונה: מבין שני שברים עם אותו מונה, זה עם המכנה הקטן הוא הגדול יותר, וזה עם המכנה הגדול יותר הוא הקטן יותר.

הבה נבחן דוגמה לפתרון.

דוגמא.

השווה את השברים 54/19 ו-54/31.

פִּתָרוֹן.

מכיוון שהמונה של השברים המושוואים שווים, והמכנה 19 של השבר 54/19 קטן מהמכנה 31 של השבר 54/31, אז 54/19 גדול מ-54/31.

מבין שני שברים בעלי אותו מכנה, זה עם המונה הגדול יותר הוא הגדול יותר, וזה עם המונה הקטן יותר הוא הקטן יותר.. למעשה, אחרי הכל, המכנה מראה לכמה חלקים ערך שלם אחד חולק, והמונה מראה לכמה חלקים כאלה נלקחו.

מסתבר שכל עיגול שלם חולק באותו מספר 5 , אבל הם לקחו מספר שונה של חלקים: הם לקחו יותר - חלק גדול והתברר.

מבין שני שברים עם אותו מונה, זה עם המכנה הקטן יותר הוא הגדול יותר, וזה עם המכנה הגדול יותר הוא הקטן יותר.ובכן, למעשה, אם נחלק מעגל אחד ל 8 חלקים והשני 5 חלקים ולקחת חלק אחד מכל אחד מהמעגלים. איזה חלק יהיה גדול יותר?

כמובן, מעיגול מחולק ב 5 חלקים! עכשיו תארו לעצמכם שהם לא חלקו מעגלים, אלא עוגות. איזה יצירה תעדיפו, ליתר דיוק, איזה חלק: החמישי או השמיני?

כדי להשוות שברים עם מספרים שונים ומכנים שונים, עליך לצמצם את השברים למכנה המשותף הנמוך ביותר, ולאחר מכן להשוות את השברים עם אותם מכנים.

דוגמאות. השווה שברים רגילים:

הבה נביא את השברים הללו למכנה המשותף הקטן ביותר. NOZ(4 ; 6)=12. אנו מוצאים גורמים נוספים לכל אחד מהשברים. עבור השבר הראשון, מכפיל נוסף 3 (12: 4=3 ). עבור השבר השני, מכפיל נוסף 2 (12: 6=2 ). כעת נשווה את המונים של שני השברים המתקבלים עם אותם מכנים. מכיוון שהמונה של השבר הראשון קטן מהמונה של השבר השני ( 9<10) , אז השבר הראשון עצמו קטן מהשבר השני.

בשיעור זה נלמד כיצד להשוות שברים אחד עם השני. זוהי מיומנות שימושית מאוד הדרושה כדי לפתור מחלקה שלמה של בעיות מורכבות יותר.

ראשית, הרשו לי להזכיר לכם את ההגדרה של שוויון השברים:

שברים a /b ו-c /d נקראים שווים אם ad = bc.

1. 5/8 = 15/24 כי 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 כי 3 18 = 2 27 = 54.

בכל שאר המקרים, השברים אינם שווים, ואחת מההצהרות הבאות נכונה עבורם:

1. השבר a/b גדול מהשבר c/d;
2. השבר a/b קטן מהשבר c/d.

השבר a /b נקרא גדול יותר מהשבר c /d אם a /b − c /d > 0.

שבר x /y נקרא פחות משבר s /t אם x /y − s /t< 0.

יִעוּד:

לפיכך, השוואת השברים מצטמצמת לחיסור שלהם. שאלה: איך לא להתבלבל עם הסימון "גדול מ" (>) ו"פחות מ" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. החלק המתרחב של הצ'ק מופנה תמיד למספר הגדול יותר;
2. האף החד של עורב תמיד מצביע על מספר נמוך יותר.

לעתים קרובות במשימות שבהן רוצים להשוות מספרים, הם שמים את הסימן "∨" ביניהם. זהו עורב עם אפו כלפי מטה, אשר כביכול רומז: הגדול מבין המספרים טרם נקבע.

משימה. השוו מספרים:

בעקבות ההגדרה, נחסר את השברים זה מזה:

בכל השוואה, היינו צריכים להביא שברים למכנה משותף. בפרט, שימוש בשיטת הצלבה ומציאת הכפולה הפחות משותפת. בכוונה לא התמקדתי בנקודות הללו, אבל אם משהו לא ברור, תסתכל על השיעור "חיבור וחיסור שברים" - זה קל מאוד.

השוואה עשרונית

במקרה של שברים עשרוניים, הכל הרבה יותר פשוט. אין צורך להחסיר כאן שום דבר - רק השוו את הספרות. לא יהיה מיותר לזכור מהו חלק משמעותי במספר. למי ששכח, אני מציע לחזור על השיעור "כפל וחלוקה של שברים עשרוניים" - זה גם ייקח רק כמה דקות.

X עשרוני חיובי גדול מ-Y עשרוני חיובי אם יש לו מקום עשרוני כך:

1. הספרה בספרה זו בשבר X גדולה מהספרה המקבילה בשבר Y;
2. כל הספרות העתיקות מהנתון בשברים X ו-Y זהות.

1. 12.25 > 12.16. שתי הספרות הראשונות זהות (12 = 12), והשלישית גדולה יותר (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

במילים אחרות, אנו מסתכלים ברצף על המקומות העשרוניים ומחפשים את ההבדל. במקרה זה, מספר גדול יותר מתאים לשבר גדול יותר.

אולם הגדרה זו דורשת הבהרה. לדוגמה, איך לכתוב ולהשוות ספרות עד הנקודה העשרונית? זכור: לכל מספר שנכתב בצורה עשרונית ניתן להקצות כל מספר של אפסים בצד שמאל. הנה עוד כמה דוגמאות:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025, כי 0.0025 = 0000.0025 - הוספת שלושה אפסים משמאל. עכשיו אתה יכול לראות שההבדל מתחיל בסיביות הראשונה: 2 > 0.

כמובן שבדוגמאות הנתונות עם אפסים הייתה ספירה מפורשת, אבל המשמעות היא בדיוק זו: מלא את הספרות החסרות בצד שמאל, ואז השווה.

משימה. השווה שברים:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

בהגדרה יש לנו:

1. 0.029 > 0.007. שתי הספרות הראשונות זהות (00 = 00), ואז מתחיל ההבדל (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. כאן אתה צריך לספור בזהירות את האפסים. 5 הספרות הראשונות בשני השברים הן אפס, אבל בהמשך השבר הראשון הוא 3, ובשני - 0. ברור, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. נכתוב מחדש את השבר השני כ-0000.99501, ונוסיף 3 אפסים לשמאל. עכשיו הכל ברור: 1 > 0 - ההבדל נמצא בספרה הראשונה.

למרבה הצער, הסכימה לעיל להשוואת שברים עשרוניים אינה אוניברסלית. שיטה זו יכולה רק להשוות מספרים חיוביים. במקרה הכללי, אלגוריתם העבודה הוא כדלקמן:

1. שבר חיובי תמיד גדול יותר משבר שלילי;
2. שני שברים חיוביים מושווים לפי האלגוריתם לעיל;
3. שני שברים שליליים מושווים באותו אופן, אבל בסוף סימן אי השוויון מתהפך.

טוב, זה לא חלש? עכשיו בואו נסתכל על דוגמאות ספציפיות - והכל יתברר.

משימה. השווה שברים:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0.192 > -0.39. שברים הם שליליים, 2 ספרות שונות. אחד< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > -11.3. מספר חיובי תמיד גדול משלילי;
4. 19.032 > 0.091. די לשכתב את השבר השני בצורה של 00.091 כדי לראות שההבדל מתרחש כבר בספרה 1;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. ההבדל הוא בקטגוריה הראשונה.

אנחנו ממשיכים ללמוד שברים. היום נדבר על ההשוואה שלהם. הנושא מעניין ושימושי. זה יאפשר למתחילים להרגיש כמו מדען במעיל לבן.

המהות של השוואת שברים היא לגלות איזה משני השברים גדול או קטן יותר.

כדי לענות על השאלה איזה משני השברים גדול או קטן, השתמש כמו יותר (>) או פחות (<).

מתמטיקאים כבר דאגו לכללים מוכנים המאפשרים לענות מיד על השאלה איזה שבר גדול יותר ואיזה קטן יותר. ניתן ליישם כללים אלה בבטחה.

נבחן את כל הכללים הללו וננסה להבין מדוע זה קורה.

תוכן השיעור

השוואת שברים עם אותם מכנים

השברים שיש להשוות נתקלים בשונות. המקרה המוצלח ביותר הוא כאשר לשברים יש את אותם מכנים, אבל מספרים שונים. במקרה זה, חל הכלל הבא:

מבין שני שברים בעלי אותו מכנה, השבר הגדול יותר הוא זה עם המונה הגדול יותר. ובהתאם, השבר הקטן יותר יהיה, שבו המונה קטן יותר.

לדוגמה, הבה נשווה שברים ונענה איזה מבין השברים הללו גדול יותר. כאן המכנים זהים, אבל המונים שונים. לשבר יש מונה גדול יותר משבר. אז השבר גדול מ- . אז אנחנו עונים. השב באמצעות סמל העוד (>)

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצות המחולקות לארבעה חלקים. יותר פיצות מאשר פיצות:

כולם יסכימו שהפיצה הראשונה גדולה מהשנייה.

השוואת שברים עם אותו מונה

המקרה הבא אליו נוכל להיכנס הוא כאשר המונים של השברים זהים, אך המכנים שונים. עבור מקרים כאלה, נקבע הכלל הבא:

מבין שני שברים עם אותו מונה, השבר בעל המכנה הקטן יותר גדול יותר. לכן השבר עם המכנה הגדול יותר קטן יותר.

לדוגמה, הבה נשווה שברים ו- . לשברים האלה יש את אותו מונה. לשבר יש מכנה קטן יותר משבר. אז השבר גדול מהשבר. אז אנחנו עונים:

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצות המחולקות לשלושה וארבעה חלקים. יותר פיצות מאשר פיצות:

כולם מסכימים שהפיצה הראשונה גדולה מהשנייה.

השוואת שברים עם מונים שונים ומכנים שונים

לעתים קרובות קורה שאתה צריך להשוות שברים עם מונים שונים ומכנים שונים.

לדוגמה, השווה שברים ו. כדי לענות על השאלה איזה מהשברים האלה גדול או קטן יותר, צריך להביא אותם לאותו מכנה (משותף). אז יהיה קל לקבוע איזה שבר גדול או קטן יותר.

נביא את השברים לאותו מכנה (משותף). מצא (LCM) את המכנים של שני השברים. ה-LCM של המכנים של השברים והמספר הזה הוא 6.

כעת אנו מוצאים גורמים נוספים עבור כל שבר. מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון. LCM הוא המספר 6, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 2. נחלק 6 ב-2, נקבל גורם נוסף של 3. נכתוב אותו על השבר הראשון:

כעת הבה נמצא את הגורם הנוסף השני. מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 6, והמכנה של השבר השני הוא המספר 3. נחלק 6 ב-3, נקבל גורם נוסף של 2. נכתוב אותו על השבר השני:

הכפל את השברים בגורמים הנוספים שלהם:

הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להשוות שברים כאלה. מבין שני שברים בעלי אותם מכנים, השבר הגדול יותר הוא זה עם המונה הגדול יותר:

הכלל הוא הכלל, וננסה להבין מדוע יותר מ. לשם כך, בחר את החלק השלם בשבר. אין צורך לבחור שום דבר בשבר, כי השבר הזה כבר נכון.

לאחר בחירת החלק השלם בשבר, נקבל את הביטוי הבא:

עכשיו אתה יכול בקלות להבין למה יותר מ. בואו נצייר את השברים האלה בצורה של פיצות:

2 פיצות שלמות ופיצות, יותר מפיצות.

חיסור של מספרים מעורבים. מקרים קשים.

כאשר מחסירים מספרים מעורבים, לפעמים אתה מגלה שהדברים לא הולכים בצורה חלקה כמו שאתה רוצה. לעתים קרובות קורה שכאשר פותרים דוגמה, התשובה היא לא מה שהיא צריכה להיות.

בעת הפחתת מספרים, המינואנד חייב להיות גדול יותר מהמחסור. רק במקרה זה תתקבל תגובה רגילה.

לדוגמה, 10−8=2

10 - מופחת

8 - מופחת

2 - הבדל

המינוס 10 גדול מהחסר 8, אז קיבלנו את התשובה הרגילה 2.

עכשיו בוא נראה מה קורה אם ה-minuend קטן מה-subtrahend. דוגמה 5−7=−2

5 - מופחת

7 - מופחת

−2 הוא ההבדל

במקרה זה, אנו חורגים מהמספרים שאנו רגילים אליהם ומוצאים את עצמנו בעולם המספרים השליליים, בו מוקדם לנו ללכת, ואף מסוכן. כדי לעבוד עם מספרים שליליים צריך את הרקע המתמטי המתאים, שעדיין לא קיבלנו.

אם, בעת פתרון דוגמאות לחיסור, אתה מגלה שהמינואנד קטן מהמחסור, אז אתה יכול לדלג על דוגמה כזו לעת עתה. מותר לעבוד עם מספרים שליליים רק לאחר לימודם.

המצב הוא אותו המצב עם שברים. ה-minuend חייב להיות גדול מה-subtrahend. רק במקרה זה ניתן יהיה לקבל תשובה רגילה. וכדי להבין האם השבר המופחת גדול מהשבר המופחת, אתה צריך להיות מסוגל להשוות את השברים הללו.

למשל, בואו נפתור דוגמה.

זוהי דוגמה של חיסור. כדי לפתור את זה, אתה צריך לבדוק אם השבר המופחת גדול מהחסר. יותר מ

כדי שנוכל לחזור בבטחה לדוגמא ולפתור אותה:

עכשיו בואו נפתור את הדוגמה הזו

בדוק אם השבר המופחת גדול מהשבר המופחת. אנו מגלים שזה פחות:

במקרה זה, סביר יותר להפסיק ולא להמשיך בחישוב נוסף. נחזור לדוגמא זו כאשר נלמד מספרים שליליים.

רצוי גם לבדוק מספרים מעורבים לפני חיסור. לדוגמה, בואו נמצא את הערך של הביטוי .

ראשית, בדוק אם המספר המעורב המופחת גדול מהמספר שנגרע. לשם כך, אנו מתרגמים מספרים מעורבים לשברים לא תקינים:

קיבלנו שברים עם מספרים שונים ומכנים שונים. כדי להשוות שברים כאלה, אתה צריך להביא אותם לאותו מכנה (משותף). לא נתאר בפירוט כיצד לעשות זאת. אם אתה נתקל בבעיות, הקפד לחזור.

לאחר הפחתת השברים לאותו מכנה, נקבל את הביטוי הבא:

כעת עלינו להשוות שברים ו. אלו הם שברים עם אותם מכנים. מבין שני שברים בעלי אותו מכנה, השבר הגדול יותר הוא זה עם המונה הגדול יותר.

לשבר יש מונה גדול יותר משבר. אז השבר גדול מהשבר.

זה אומר שהמינואנד גדול יותר מהסתר.

אז נוכל לחזור לדוגמא שלנו ולפתור אותה באומץ:

דוגמה 3מצא את הערך של ביטוי

בדוק אם ה-minuend גדול מה-subtrahend.

המר מספרים מעורבים לשברים לא תקינים:

קיבלנו שברים עם מספרים שונים ומכנים שונים. אנו מביאים את השברים הללו לאותו מכנה (משותף).

בחיי היומיום, לעתים קרובות עלינו להשוות ערכים שברים. לרוב זה לא גורם לבעיות. ואכן, כולם מבינים שחצי תפוח הוא יותר מרבע. אבל כשצריך לרשום את זה כביטוי מתמטי, זה יכול להיות קשה. על ידי יישום הכללים המתמטיים הבאים, תוכל לפתור בעיה זו בקלות.

כיצד להשוות שברים עם אותו מכנה

השברים האלה הם הקלים ביותר להשוואה. במקרה זה, השתמש בכלל:

מבין שני שברים בעלי אותו מכנה אך מונה שונה, הגדול הוא זה שהמונה שלו גדול יותר, והקטן הוא זה שהמונה שלו קטן יותר.

לדוגמה, השוו את השברים 3/8 ו-5/8. המכנים בדוגמה זו שווים, לכן אנו מיישמים כלל זה. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

ואכן, אם חותכים שתי פיצות ל-8 פרוסות, אז 3/8 פרוסות תמיד פחות מ-5/8.

השוואת שברים עם אותם מונים ומכנים שונים

במקרה זה, הגדלים של מניות המכנה מושווים. הכלל שיש ליישם הוא:

אם לשני שברים יש אותו מונה, אז השבר הגדול יותר הוא זה עם המכנה הקטן יותר.

לדוגמה, השווה את השברים 3/4 ו-3/8. בדוגמה זו, המונהרים שווים, לכן אנו משתמשים בכלל השני. לשבר 3/4 יש מכנה קטן יותר משבר 3/8. מכאן 3/4>3/8

ואכן, אם תאכלו 3 פרוסות פיצה מחולקות ל-4 חלקים, תהיו שבעים יותר מאשר אם תאכלו 3 פרוסות פיצה מחולקות ל-8 חלקים.

השוואת שברים עם מספרים ומכנים שונים

אנו מיישמים את הכלל השלישי:

יש להשוות השוואה בין שברים בעלי מכנים שונים לשברים בעלי אותם מכנים. לשם כך, עליך להביא את השברים למכנה משותף ולהשתמש בכלל הראשון.

לדוגמה, אתה צריך להשוות שברים ו. כדי לקבוע את השבר הגדול יותר, אנו מביאים את שני השברים הללו למכנה משותף:

• כעת נמצא את הגורם הנוסף השני: 6:3=2. נכתוב את זה על השבר השני: