MOU "Шербакулско средно училище № 1"
Студентска научна общност "Търсене"
Тема: "Последната цифра на степента."
Завършен: ученик от 7 "б" клас
Терентьева Валентина
Ръководител: Пушило Т.Л.
R.P. Шербакул
2010 – 2011 учебна година година
· Въведение.
· Работни цели.
· Последната цифра на степента.
· Закони за степенуване
· Последните две цифри на степента.
· Задачи.
· Заключение.
· Препратки.
Въведение.
Един ден, прелиствайки страниците на книгата „Хиляда проблемни задачи по математика“, видях на пръв поглед много трудна задача или по-скоро пример, беше необходимо да се намери последната цифра от сумата
11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .
Тогава си помислих, но трябва да има някакъв рационален начин за изчисляване и тогава започнах да смятам ...
Хипотеза: Може ли да се каже коя ще бъде последната цифра на която и да е степен?
Цели на работата:
· Разберете дали е възможно да се изгради таблица от последните цифри с различни степени.
Намерете модели в тях.
· Използване на таблицата за упражняване върху по-лесни задачи и решаване на горния пример и ако се окаже по-труден.
Последната цифра на степента.
Нека направим малко проучване: разберете дали има някакъв модел в това как се променя последната цифра на числото 2n, където н- естествено число, с промяна на показателя н. За да направите това, разгледайте таблицата:
Виждаме, че на всеки четири стъпки последната цифра се повтаря. Забелязвайки това, не е трудно да се определи последната цифра на степен 2n за всеки показател н .
Всъщност, нека вземем числото 2100. Ако продължим таблицата, то ще попадне в колоната, където са разположени степени 24, 28, 212, чиито показатели са кратни на четири. Това означава, че числото 2100, подобно на тези градуси, завършва с числото 6.
Да вземем 222 например, ако го проверите чрез просто преброяване, ще получите 4194304 - последната цифра е 4.
Сега нека се опитаме да използваме таблицата, но в таблицата има 4 числа, а степента е 22, но след последното число този "кръг" започва наново. Следователно, делим показателя 22 на 4, получаваме числото 5 и остатъка 2, т.е. ще направим 5 „кръга“ и ще броим още 2 отпред, а второто число е 4, което означава, че масата работи.
Сега да видим дали можем да направим таблици за останалите числа. Няма да описвам всичко, само ще кажа, че успях да съставя таблица за всички числа от 1 до 10 и след това ще се повтори, например 12 ще има последните числа като 2, а 25 ще имат същото като и на 5.
Закони за издигане на степен:
- Перфектно квадратно число може да завършва само с 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
- Ако въведеното число завършва с 0, 1, 5 или 6, тогава повишаването на произволна степен няма да промени последните цифри.
- Повишаването на произволно число на пета степен не променя последната му цифра.
- Ако числото завършва с числото 4 (или 9), тогава, когато се повиши до нечетна степен, последната цифра не се променя, а когато се повиши до четна степен, тя ще се промени на 6 (или съответно 1).
- Ако едно число завършва на 2, 3, 7 или 8, тогава са възможни четири различни цифри, когато се повдигнат на степен.
Последните две цифри на степента.
Сега знаем, че последната цифра ще се повтори рано или късно. Но какво да кажем за последните 2 цифри? Смея да предположа, че ще се повтарят не само 2, но и 3 или повече от последните цифри. Е, нека проверим това, също така забелязах, че периодите от предишната таблица просто се увеличиха с 5 пъти, с изключение на числата 5 и 10, но не писах за числото 1, тъй като резултатът винаги ще бъде 1.
Степен | |||||||||
Повторете |
(Червеният кръг подчертава периода)
Имайте предвид, че за някои числа, например, 1-вото не е включено в периода, тъй като например числото 2, след последното число 52, ще има 04, а не 02, така че самото то не е включено в този период, следователно, преди как да се изчисли, последните 2 цифри ще трябва да бъдат извадени от експонента 1.
За съжаление с последните 2 цифри няма да работи както с 1-вата и последните 2 цифри от 3 няма да са същите като последните 2 цифри от 13, а таблицата за останалите трябва да се състави отделно.
Степен | ||||||||||
Повторете |
Според тези таблици се вижда, че числата са различни, но съвпада само последната цифра.
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Степен | ||||||||||
Повторете |
Мисля, че няма смисъл да правя таблица с последните 3 цифри, защото искам да намеря рационални начини, при които не е нужно да изчислявате много, а в тази таблица числата, които преди са имали период от 20 числа ще има 100, така че ще ги направя необходими само за числа като 4, 5, 6, 7 и 9.
Задачи.
Задача 1.
Намерете последните 2 цифри на 81989.
В таблицата на последните 2 цифри числото 8 има период 20, изваждаме 19800 от степента, точно толкова пъти, периодът ще премине напълно и ще спре на 1989 - 1980 = 9, а на деветото число, а 9-то число е 28.
Отговор: последните 2 цифри на 81989 са 28.
Задача 2.
При теста за преоцветяване младият хамелеон се пребоядисва последователно от червено -> в жълто -> зелено -> синьо -> лилаво -> червено -> жълто -> зелено и т.н. той се пребоядиса 2010 пъти и като започна с червено, накрая стана син, но се знае, че направи грешка, изчерви се в момента, когато трябваше да придобие друг цвят. Какъв цвят беше преди този руж?
Имайте предвид, че тук периодът на повторение на цвета е 5. Червено ще се появи на числа, завършващи на 0 и 5. Така че трябваше да завърши отново в червено. Затова, за да открием грешката, нека да преминем направо към пребоядисването от 2005 г. Сега просто ще броим на свой ред променящите се цветове до 2010 г. Веднага виждаме, че е направил грешка, да кажем след жълто, тогава се оказва 2005-червено, 2006 - жълто 2007- отново червено (това е неговата грешка), 2008 - жълто, 2009 - зелено, 2010 - синьо.
Отговор: преди погрешното зачервяване хамелеонът беше жълт.
Задача 3.
Сега часовникът е 10:00. Колко часа ще показват след 102938475 часа?
Часовникът има период на повторение 24, което означава, че числото 102938475 разделено на 24 = 4289103.12 ... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Това означава, че времето, което часовникът ще покаже след 102938475 часа е 10 + 3 = 13 часа.
Отговор: след 102938475 часовникът ще показва 13:00.
Заключение.
Разбрах как да използвам този знак, направих таблици, с които можете да определите не само 1, но и последните 2 цифри и се научих как да решавам подобни задачи. Мисля, че получих каквото исках.
Последната цифра на степента.
Нека направим малко проучване: разберете дали има някакъв модел в това как се променя последната цифра на числото 2 n, където н- естествено число, с промяна на показателя н. За да направите това, разгледайте таблицата:
Виждаме, че на всеки четири стъпки последната цифра се повтаря. След като забелязахме това, не е трудно да определим последната цифра на степен 2 n за всеки показател н.
Наистина, нека вземем числото 2100. Ако продължим таблицата, то ще попадне в колоната, където са разположени степени 2 4 , 2 8 , 2 12, чиито показатели са кратни на четири. Това означава, че числото 2100, подобно на тези градуси, завършва с числото 6.
Да вземем 2 22 например, ако проверите чрез просто броене, ще получите 4194304 - последната цифра е 4.
Сега нека се опитаме да използваме таблицата, но в таблицата има 4 числа, а степента е 22, но след последното число този "кръг" започва наново. Следователно, делим показателя 22 на 4, получаваме числото 5 и остатъка 2, т.е. ще направим 5 „кръга“ и ще броим още 2 отпред, а второто число е 4, което означава, че масата работи.
Сега да видим дали можем да направим таблици за останалите числа. Няма да описвам всичко, само ще кажа, че успях да съставя таблица за всички числа от 1 до 10 и след това ще се повтори, например 12 ще има последните числа като 2, а 25 ще имат същото като и на 5.
Закони за издигане на степен:
Перфектно квадратно число може да завършва само с 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
Ако едно число завършва с 0, 1, 5 или 6, повишаването му на произволна степен няма да промени последните цифри.
Повишаването на произволно число на пета степен не променя последната му цифра.
Ако числото завършва с числото 4 (или 9), тогава, когато се повиши до нечетна степен, последната цифра не се променя, а когато се повиши до четна степен, тя ще се промени на 6 (или съответно 1).
Ако едно число завършва на 2, 3, 7 или 8, тогава са възможни четири различни цифри, когато се повдигнат на степен.
Последните две цифри на степента.
Сега знаем, че последната цифра ще се повтори рано или късно. Но какво да кажем за последните 2 цифри? Смея да предположа, че ще се повтарят не само 2, но и 3 или повече от последните цифри. Е, нека проверим това, също така забелязах, че периодите от предишната таблица просто се увеличиха с 5 пъти, с изключение на числата 5 и 10, но не писах за числото 1, тъй като резултатът винаги ще бъде 1.
| Степен | |||||||||
| х 2 | |||||||||
| х 3 | |||||||||
| х 4 | |||||||||
| х 5 | |||||||||
| х 6 | |||||||||
| х 7 | |||||||||
| х 8 | |||||||||
| х 9 | |||||||||
| х 10 | |||||||||
| х 11 | |||||||||
| х 12 | |||||||||
| х 13 | |||||||||
| х 14 | |||||||||
| х 15 | |||||||||
| х 16 | |||||||||
| х 17 | |||||||||
| х 18 | |||||||||
| х 20 | |||||||||
| х 21 | |||||||||
| х 22 | |||||||||
| х 23 | |||||||||
| Повторете |
(Червеният кръг подчертава периода)
Имайте предвид, че за някои числа, например, 1-вото не е включено в периода, тъй като например числото 2, след последното число 52, ще има 04, а не 02, така че самото то не е включено в този период, следователно, преди как да се изчисли, последните 2 цифри ще трябва да бъдат извадени от експонента 1.
За съжаление с последните 2 цифри няма да работи както с 1-вата и последните 2 цифри от 3 няма да са същите като последните 2 цифри от 13, а таблицата за останалите трябва да се състави отделно.
| Степен | ||||||||||
| х 2 | ||||||||||
| х 3 | ||||||||||
| х 4 | ||||||||||
| х 5 | ||||||||||
| х 6 | ||||||||||
| х 7 | ||||||||||
| х 8 | ||||||||||
| х 9 | ||||||||||
| х 10 | ||||||||||
| х 11 | ||||||||||
| х 12 | ||||||||||
| х 13 | ||||||||||
| х 14 | ||||||||||
| х 15 | ||||||||||
| х 16 | ||||||||||
| х 17 | ||||||||||
| х 18 | ||||||||||
| х 20 | ||||||||||
| х 21 | ||||||||||
| х 22 | ||||||||||
| х 23 | ||||||||||
| Повторете |
Текстът на творбата е поместен без изображения и формули.
Пълната версия на работата е достъпна в раздела "Файлове за работа" в PDF формат
Въведение
« Тогава трябва да се преподава математика,
че тя подрежда ума си"
М. В. Ломоносов
Тези думи разкриват същността на предмета по математика, тъй като тя е тази, която на първо място ни учи да мислим, разсъждаваме, анализираме, правим заключения, правим изводи и обобщаваме. Математиката е един от основните учебни предмети, тъй като всички изброени качества са необходими не само за математика, но и за представител на всяка друга наука. Математиката се занимава преди всичко с развитието на тези качества. Има специални задачи, които са насочени към формирането на тези умения. Подготвяйки се за различни математически състезания, бяхме изправени пред такава задача "Коя ще бъде последната цифра на числото?" На пръв поглед тази задача може да изглежда доста сложна и аз се заех с изчисленията ...
В хода на решаването на този проблем възникна идеята да се проучи и каква ще бъде последната цифра на всяко естествено число на произволна степен, има ли някакъв модел в това как се променя последната цифра на степента на естествено число?
Работни цели
Направете справочна таблица "Последните цифри на степента", намерете закономерности в тях, научете как да изчислявате последните цифри на степента.
Актуалността на изследователската тема се дължи на спешната необходимост от намиране на бързи алгоритми за решаване на практически важни проблеми и развиване на умения за устно броене.
2. Последна цифра на степента
Нека да разберем дали има някаква закономерност в това как се променя последната цифра на числото, където N, n са естествени числа, с промяна в показателя n. Нека създадем таблица за това:
За по-голяма яснота, нека направим таблица, където ще бъдат записани числата, които завършват записите на естествените числа:
Попълвайки колоните, получаваме следния резултат: петата и деветата и т.н., степента на числото завършва на същата цифра като първата степен на числото; шеста, десета, четиринадесета степен и т.н., степента завършва със същата цифра като втората степен на числото; седмата степен на числото ще завършва на същата цифра като третата степен на числото.
3. Модели на степенуване
Резултатите в таблицата се повтарят на всеки четири колони.
За числата 1 и 10 няма да пишем, т.к резултатът винаги ще бъде съответно 1 или 0.
Всяка степен на числата 5 и 6 завършва съответно на 5 и 6.
Последните цифри от степените на числата 4 и 9 се повтарят на всеки две стъпки, когато се повиши до четна степен, последната цифра не се променя, тя ще бъде съответно 4 или 9, когато се повиши до нечетна степен, тя ще се промени до 6 или 1, съответно.
Квадратът на всяко естествено число може да завършва на 0, 1,4, 5, 6 и 9,
Кубът на естественото число може да завършва с произволна цифра
Използвайки получените резултати, ще се опитаме да намерим последните цифри на степента чрез остатъка от разделянето на нейния показател на 4
|
24: 4=5 (остатък 0) |
||
|
48:4=12(остатък 0) |
||
|
2016:4=504(остатъчно0) |
||
|
28:4=7(остатък0) |
Ако остатъкът е 0 и основата е нечетна, тогава числото ще завършва на 1 (с изключение на числата, завършващи на 5), ако основата е четно (с изключение на кръглите числа), тогава числата ще завършват на 6.
Сега ще изберем такива числа, че при разделяне на експонентата на 4, те ще дадат остатъка 1, 2, 3
|
45:4=11 (остатък 1) |
||
|
37:4=9 (остатък 1) |
||
|
18:4=4 (остатък 2) |
||
|
102:4=25 (остатък 2) |
||
|
31:4=7(остатък3) |
||
|
1199:4=299(остатък3) |
Ако остатъкът е 1, тогава последната цифра на степента ще бъде равна на последната цифра в основата на степента;
Ако остатъкът е 2, тогава последната цифра на степента ще бъде равна на последната цифра в квадрата на основата;
Ако остатъкът е 3, тогава последната цифра на степента ще бъде равна на последната цифра в записа на основния куб.
Така че, за да намерите последната цифра от степента на естествено число с естествен показател, трябва да намерите остатъка от деленето на степента на 4.
Последните цифри на степените на числата 2, 12, 22 и т.н. (3, 13, 23 и т.н.) и т.н. ще съвпадат.
4. Последните две цифри на степента
Виждаме, че последната цифра ще се повтори рано или късно, но какво да кажем за 2-рата и 3-тата последна цифра? Сигурно и те ще повторят. За по-голяма яснота ще съставим таблица, в която ще бъдат записани две цифри, които завършват записите на естествените числа:
Разглеждайки таблицата, забелязваме, че последните две цифри също се повтарят, само периодът на повторение се увеличава, освен това за някои числа 1-вият не е включен в периода, например:
Но започвайки от градуса 21 до 40, последните две цифри ще се повтарят.
Последните цифри на числата 3,13 и 8 също ще се повтарят с точка 20, но последните две цифри на числата 3 и 13 няма да съвпадат, последните две цифри за степени на числата 4 и 14 няма да съвпадат и т.н. .
Последните цифри на числата 4 и 9 ще се повтарят с период 10, последните цифри на числото 6 ще се повтарят с период 5, но числото 6 не е включено в периода, последните цифри на число 7 ще се повтори с период от - 4. Всяка степен на числото 5 (започвайки от 2 - о) и 25 ще завършва на 25, а числото 15 на четна степен ще завършва на 25, а на нечетна степен в 75. Периодът на числата 11 също ще бъде равен на 10, но тук има друг модел:
За числото 11 на степен - броят на десетките ще бъде равен на степента
За числото 21 - периодът е 4, а броят на десетиците ще бъде равен на числото, което се получава, ако числото 2 се умножи по експонентата
5. Заключение
Не е трудно да се определи последната цифра от степента на числото, ние лесно съставихме алгоритъм, за последните две цифри от степента на числото вече не можете да съставите такъв алгоритъм, има модели, но са по-малко от тях. Мисля, че няма смисъл да се съставя таблица с последните три цифри - не е рационално.
Свършихме много работа: съставихме таблици за последните и последните две цифри на градусите и получихме интересни заключения от наша гледна точка. Резултатите от работата могат да се използват в часовете на математическия кръг и факултативите в 5-7 клас за развиване на интереса на учениците към математиката, както и за индивидуална работа с тези ученици, които се интересуват от математика. В допълнение, тези открития могат да се използват при подготовката за различни олимпиади и състезания. Освен това самият процес на изследване ни позволи още веднъж да се убедим в нашите възможности.
6. Задачи
Определете последната цифра във въведеното число (отговор 8)
Намерете последната цифра на 2017 на степен 4207. (отговор 3)
Намерете последната цифра на числото 12^39+13^41 .
(8+3=11, последната цифра е 1)
Намерете последната цифра на сбора от степени на 2 със степенни показатели, равни на 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 последната цифра е 6)
Книгата на рекордите на Гинес казва, че най-голямото известно просто число е (− 1). Това не е ли печатна грешка?
(Печатна грешка. Числото 23021 337 завършва с единица. Следователно последната цифра на числото (23021 337 − 1) е 0, което означава, че това число се дели на 10 и следователно е съставно.)
Числото + дели ли се на 10?
(Число 4730 завършва на 9, а числото 3950 завършва на 1. Така че тяхната сума завършва на 0 и следователно се дели на 10.)
Намерете последната цифра на числото. Градусите се броят отгоре надолу: =
Последните две цифри от 77 образуват числото 43 (това може да се изчисли директно, като се изхвърлят всички цифри от резултата с изключение на последните две при всяко умножение). Това означава, че числото 7 7 се дели на 4 с остатък 3. Степените на седемте могат да завършват на 7, 9, 3 или 1 (в зависимост от остатъка от показателя, разделен на 4). В нашия случай 43 се дели на 4 с остатък 3, което означава, че 7 7 също се дели на 4 с остатък 3 (според критерия за делимост на 4). И за всички степени на седемте, чиито показатели се делят на 4 с остатък 3, последната цифра е 3).
Намерете последните 2 цифри на числото 8 1989.
В таблицата на последните 2 цифри числото 8 има период 20, (1989:20=99 остатъкът е 9, числото 8 на 9-та степен завършва на 28, последните 2 цифри на числото 8 1989 - 28).
При теста за преоцветяване младият хамелеон се пребоядисва последователно от червено -> в жълто -> зелено -> синьо -> лилаво -> червено -> жълто -> зелено и т.н. той се пребоядиса 2010 пъти и като започна с червено, накрая стана син, но се знае, че направи грешка, изчерви се в момента, когато трябваше да придобие друг цвят. Какъв цвят беше преди този руж?
(Имайте предвид, че тук периодът на повторение на цвета е 5. Червено ще се появи на числа, завършващи на 0 и 5. Това означава, че той трябваше отново да завърши на червено. Следователно, за да открием грешка, нека да преминем направо към преоцветяването от 2005 г. , Сега просто ще броим на свой ред променящи се цветове до 2010 г. Веднага виждаме, че той е направил грешка, да кажем след жълто, тогава се оказва 2005-червено, 2006 - жълто 2007- отново червено (това е неговата грешка), 2008 - жълто, 2009 - зелено, 2010 - синьо, преди грешният зачервяващ се хамелеон беше жълт).
Сега часовникът е 10:00. Колко часа ще показват след 102938475 часа?
(Часовникът има период на повторение 24, така че числото 102938475 е разделено на 24 = 4289103.12… 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Така че времето, което часовникът ще покаже след 102938475 часа, е 10+3 = 13 часа, след 102938475 часовникът ще покаже 13:00).
11. Докажете, че числото е кратно на 2.
12. Докажете, че -1 е кратно на 5 (ако n е естествено).
13. Вярно ли е, че 1.6*(-1) е цяло число за всяко (естествено) n. 14. Коя цифра завършва произведението на всички двуцифрени числа, всяко от които завършва на 7?
7. Използвана литература
1. "Всички задачи на" Кенгуру "1994-2008 - Санкт Петербург, 2008 г.
2. „Задачи за подготовка за олимпиади. Математика 5-8 клас“ съст. Н.В. Заболотнев. - Волгоград: Учител, 2007.- 99s.
3. Лихтарников Л.М. Занимателни логически пъзели. (За ученици от начален етап) Дизайн С. Григориев - Санкт Петербург: Лан, МИК, 1996.- 125с.
4. Л. М. Лоповок 1000 проблемни задачи по математика. Книга за студенти Москва: Просвещение, 1995
5. Пичурин Л.Ф. Зад страниците на учебника по алгебра: Книга за ученици 7-9 клас. средно училище - М .: Образование, 1990. - 224 с.: ил.
6. Чулков П.В. Математика. Училищни олимпиади: наръчник. 5 клас / П.В. Чулков.- М.: Издателство на NTs ENAS, 2007.- 88s. (Портфолио на учителя).
7. Шуба М.Ю. Занимателни задачи в обучението по математика: Книга за учителя. - 2-ро изд.-М .: Просвещение, 1995.- 22s.