Заедно с точка и равнина. Това е безкрайна фигура, която може да свързва всякакви две точки в пространството. Правата винаги принадлежи на някаква равнина. Въз основа на местоположението на две прави линии трябва да се използват различни методи за намиране на разстоянието между тях.

Има три варианта за разположението на две линии в пространството една спрямо друга: те са успоредни, пресичат се или. Вторият вариант е възможен само ако са в една равнина, не изключва принадлежност към две успоредни равнини. Третата ситуация казва, че правите лежат в различни успоредни равнини.

За да намерите разстоянието между две успоредни прави, трябва да определите дължината на перпендикулярния сегмент, който ги свързва във всеки две точки. Тъй като линиите имат две еднакви координати, което следва от определението за техния паралелизъм, уравненията на линиите в двумерното координатно пространство могат да бъдат записани по следния начин:
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
След това можете да намерите дължината на сегмента, като използвате формулата:
s = |c - d|/√(a² + b²), и е лесно да се види, че при C = D, т.е. съвпадение на прави линии, разстоянието ще бъде равно на нула.

Ясно е, че разстоянието между пресичащите се линии в двумерни координати няма смисъл. Но когато са разположени в различни равнини, това може да се намери като дължина на сегмент, лежащ в равнина, перпендикулярна на двете им. Краищата на този сегмент ще бъдат точките, които са проекциите на всеки две точки от линиите върху тази равнина. С други думи, нейната дължина е равна на разстоянието между успоредни равнини, съдържащи тези прави. Така, ако равнините са дадени от общите уравнения:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
разстоянието между линиите може да се даде по формулата:
s = |E – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

Забележка

Правите линии като цяло и пресичащите се линии в частност представляват интерес не само за математиците. Техните свойства са полезни в много други области: в строителството и архитектурата, в медицината и в самата природа.

Съвет 2: Как да намерите разстоянието между две успоредни прави

Определянето на разстоянието между два обекта в една или повече равнини е една от най-често срещаните задачи в геометрията. Използвайки конвенционални методи, можете да намерите разстоянието между две успоредни прави.

Инструкция

Успоредните прави са прави, които лежат в една равнина и или не се пресичат, или съвпадат. За да намерите разстоянието между успоредни прави, трябва да изберете произволна точка на една от тях и след това да спуснете перпендикуляра към втората линия. Сега остава само да се измери дължината на получения сегмент. Дължината на перпендикуляра, свързващ две успоредни прави линии, ще бъде разстоянието между тях.

Обърнете внимание на реда, в който се изтегля перпендикулярът от една успоредна линия към друга, тъй като точността на изчисленото разстояние зависи от това. За да направите това, използвайте инструмента за рисуване "триъгълник" с прав ъгъл. Изберете точка на една от правите линии, прикрепете към нея една от страните на триъгълника, съседна на правия ъгъл (крака), и подравнете другата страна с другата права линия. С подострен молив начертайте линия по протежение на първия крак, така че да стигне до срещуположната права линия.

Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни, тоест лежат на успоредни прави (фиг. 1).

Теорема 1. За свойствата на страните и ъглите на успоредник.В успоредник противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сборът от ъглите, съседни на едната страна на успоредника, е 180°.

Доказателство. В този успоредник ABCD начертайте диагонал AC и получете два триъгълника ABC и ADC (фиг. 2).

Тези триъгълници са равни, тъй като ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (напречни ъгли при успоредни прави), а страната AC е обща. От равенството Δ ABC = Δ ADC следва, че AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Сумата от ъглите, съседни на едната страна, например ъгли A и D, е равна на 180 ° като един -страни с успоредни линии. Теоремата е доказана.

Коментирайте. Равенството на противоположните страни на успоредник означава, че сегментите на успоредните, отрязани от успоредните, са равни.

Следствие 1. Ако две прави са успоредни, то всички точки от едната права са на еднакво разстояние от другата права.

Доказателство. Наистина, нека || b (фиг. 3).

Нека от някои две точки B и C на правата b прекараме перпендикулярите BA и CD към правата a. Тъй като AB || CD, то фигурата ABCD е успоредник и следователно AB = CD.

Разстоянието между две успоредни прави е разстоянието от произволна точка на едната права до другата права.

Според доказаното тя е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от някаква точка на една от успоредните прави към другата права.

Пример 1Периметърът на успоредника е 122 см. Едната му страна е по-дълга от другата с 25 см. Намерете страните на успоредника.

Решение. Според теорема 1 срещуположните страни на успоредник са равни. Нека означим едната страна на успоредника като x, другата като y. След това по условие $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Решавайки тази система, получаваме x = 43, y = 18. Така страните на успоредника са 18, 43, 18 и 43 cm.

Пример 2

Решение. Нека фигура 4 отговаря на условието на задачата.

Означаваме AB с x и BC с y. По условие периметърът на успоредника е 10 см, т.е. 2(x + y) = 10, или x + y = 5. Периметърът на триъгълника ABD е 8 см. И тъй като AB + AD = x + y = 5 , тогава BD = 8 - 5 = 3 . Така че BD = 3 cm.

Пример 3Намерете ъглите на успоредника, като знаете, че единият от тях е с 50° по-голям от другия.

Решение. Нека фигура 5 отговаря на условието на задачата.

Нека означим градусната мярка на ъгъл A като x. Тогава градусната мярка на ъгъл D е x + 50°.

Ъглите BAD и ADC са вътрешни едностранни с успоредни прави AB и DC и секуща AD. Тогава сумата от тези именувани ъгли ще бъде 180°, т.е.
x + x + 50° = 180°, или x = 65°. Така ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4Страните на успоредника са 4,5 dm и 1,2 dm. От върха на остър ъгъл е начертана ъглополовяща. На какви части разделя дългата страна на успоредника?

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието на задачата.

AE е ъглополовящата на острия ъгъл на успоредника. Следователно ∠ 1 = ∠ 2.

Разстояние

точка към линия

Разстояние между успоредни прави

Геометрия 7 клас

Към учебника на Л. С. Атанасян

учител по математика най-висока категория

MOU "Основно общообразователно училище Upshinski"

Област Орша на Република Марий Ел

Перпендикулярна дължина начертан от точка до линия, Наречен разстояние от тази точка до прав.

АН ⏊ а

М є a, M е различно от H

Перпендикулярен начертан от точка до линия, по-малко всякакви косо начертан от същата точка към тази права.

сутринта – косо, начертан от точка А до линия а

АНсутринта

АН - косо

АНАН

АНАК

АК - косо

Разстояние от точка до линия

М

Разстоянието от точка M до права c е...

н

Разстоянието от точка N до права c е ...

с

Разстоянието от точка K до права c е ...

К

Разстоянието от точка F до права c е ...

Е

Разстояние от точка до линия

АН ⏊ а

АН= 5,2 см

VC ⏊ а

VC= 2,8 см

Теорема.

Всички точки на всяка от двете успоредни прави са на еднакво разстояние от другата права

Дадено: а ǁ b

А е а, Б е а,

Докажете: разстоянията от точки A и B до права a са равни.

АН ⏊ b, BK ⏊ б,

Докажете: AH = BK

Δ ANC = ΔVKA(защо?)

От равенството на триъгълниците следва AN = VK

Разстоянието от произволна точка на една от успоредните прави до друга права се нарича разстояние между тези прави.

Обратна теорема.

Всички точки от равнината, които са от една и съща страна на дадена права и са на еднакво разстояние от нея, лежат на права, успоредна на дадената права.

АН ⏊ b, BK ⏊ б,

AH = BK

Докажете: AB ǁ b

Δ ANC = ΔKVA(защо?)

От равенството на триъгълниците следва … , но това са вътрешни напречни ъгли, образувани от … , така че AB ǁ НК

Какво е разстоянието между правите b и c, ако разстоянието между правите аи b е 4, и между редовете аи c е 5?

а ǁ b ǁ ° С

Какво е разстоянието между прави b и a, ако разстоянието между прави b и c е 7, а между прави аи c е 2?

Какво е разстоянието между линиите аи c, ако разстоянието между линиите b и c е 10, и между линиите bи аравно на 6?

Какво е множеството от всички точки в равнина, еднакво отдалечени от две дадени успоредни прави?

а ǁ b

Отговор: Права, успоредна на дадените прави и на еднакво разстояние от тях.

Какво е множеството от всички точки в равнина на дадено разстояние от дадена права?

Отговор: Две прави, успоредни на дадена права и разположени на дадено разстояние от противоположните й страни.

С този онлайн калкулатор можете да намерите разстоянието между линиите в пространството. Дадено е подробно решение с обяснения. За да изчислите разстоянието между линиите в пространството, посочете вида на уравнението на линиите („канонично“ или „параметрично“), въведете коефициентите на уравненията на линиите в клетките и щракнете върху бутона „Решаване“.

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Разстояние между прави в пространството - теория, примери и решения

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система Oxyz Л 1 и Л 2:

.

(1)

,

(2)

където М 1 (х 1 , г 1 , z 1) и М 2 (х 2 , г 2 , z 2) − точки, лежащи на прави Л 1 и Л 2 и р 1 ={м 1 , стр 1 , л 1) и р 2 ={м 2 , стр 2 , л 2 ) − насочващи вектори на прави Л 1 и Л 2 , съответно.

Правите (1) и (2) в пространството могат да съвпадат, да са успоредни, да се пресичат или да са наклонени. Ако линиите в пространството се пресичат или съвпадат, тогава разстоянието между тях е равно на нула. Ще разгледаме два случая. Първото е, че правите са успоредни, а второто е, че правите се пресичат. Останалите са обичайни явления. Ако при изчисляване на разстоянието между успоредни линии получим разстоянието равно на нула, това означава, че тези линии съвпадат. Ако разстоянието между пресичащите се прави е равно на нула, тогава тези прави се пресичат.

1. Разстояние между успоредни прави в пространството

Помислете за два метода за изчисляване на разстоянието между линиите.

Метод 1. От точка М 1 прав Л 1 начертайте равнина α , перпендикулярна на правата Л 2. Намиране на точка М 3 (х 3 , г 3 , г 3) равнинни пресичания α и директно Л 3 . По същество ние намираме проекцията на точка М 1 прав Л 2. Вижте как да намерите проекцията на точка върху права. След това изчисляваме разстоянието между точките М 1 (х 1 , г 1 , z 1) и М 3 (х 3 , г 3 , z 3):

Пример 1. Намерете разстоянието между линиите Л 1 и Л 2:

Направо Л 2 минава през точката М 2 (х 2 , г 2 , z 2)=М

Заместващи стойности м 2 , стр 2 , л 2 , х 1 , г 1 , z 1 в (5) получаваме:

Намерете пресечната точка на линията Л 2 и самолет α , за това изграждаме параметрично уравнение на правата линия Л 2 .

За намиране на пресечната точка на права Л 2 и самолет α , заменете стойностите на променливите х, г, zот (7) до (6):

Заместване на получената стойност Tв (7) получаваме пресечната точка на правата Л 2 и самолет α :

Остава да намерим разстоянието между точките М 1 и М 3:

Л 1 и Л 2 е равно д=7.2506.

Метод 2. Намерете разстоянието между линиите Л 1 и Л 2 (уравнения (1) и (2)). Първо проверяваме паралелността на линиите Л 1 и Л 2. Ако векторите на посоката на правите Л 1 и Л 2 са колинеарни, т.е. ако съществува число λ такова, че равенството р 1 =λ р 2 , след това прави линии Л 1 и Л 2 са успоредни.

Този метод за изчисляване на разстоянието между успоредни вектори се основава на концепцията за кръстосано произведение на вектори. Известно е, че нормата на векторното произведение на векторите и р 1 дава площта на успоредника, образуван от тези вектори (фиг. 2). Познавайки площта на успоредник, можете да намерите върха на успоредника дчрез разделяне на площта на основата р 1 успоредник.

р 1:

.

Разстояние между прави линии Л 1 и Л 2 е равно на:

,

,

Пример 2. Решете пример 1, като използвате метод 2. Намерете разстоянието между линиите

Направо Л 2 минава през точката М 2 (х 2 , г 2 , z 2)=М 2 (8, 4, 1) и има насочващ вектор

р 2 ={м 2 , стр 2 , л 2 }={2, −4, 8}

Вектори р 1 и р 2 са колинеарни. Оттук и директната Л 1 и Л 2 са успоредни. За да изчислим разстоянието между успоредни прави, използваме векторното произведение на векторите.

Нека изградим вектор =( х 2 −х 1 , г 2 −г 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Нека изчислим векторното произведение на вектори и редин . За да направим това, съставяме матрица 3 × 3, чийто първи ред е базисните вектори i, j, k, а останалите редове се запълват с елементи от вектори и р 1:

По този начин резултатът от кръстосаното произведение на вектори и р 1 ще бъде вектор:

Отговор: разстояние между редовете Л 1 и Л 2 е равно д=7.25061.

2. Разстояние между пресичащите се прави в пространството

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система Oxyzи нека линиите са дадени в тази координатна система Л 1 и Л 2 (уравнения (1) и (2)).

Нека направо Л 1 и Л 2 не са успоредни (обсъдихме успоредните прави в предишния параграф). За намиране на разстоянието между линиите Л 1 и Л 2 трябва да изградите успоредни равнини α 1 и α 2, така че направо Л 1 легнете легнало α 1 направо Л 2 - в самолета α 2. След това разстоянието между линиите Л 1 и Л 2 е равно на разстоянието между равнините Л 1 и Л 2 (фиг. 3).

където н 1 ={А 1 , б 1 , ° С 1 ) − нормален вектор на равнината α един . Да самолет α 1 премина през права линия Л 1, нормален вектор н 1 трябва да е ортогонален на вектора на посоката р 1 прав Л 1 , т.е. скаларното произведение на тези вектори трябва да е равно на нула:

Решаване на системата от линейни уравнения (27)-(29) с три уравнения и четири неизвестни А 1 , б 1 , ° С 1 , д 1 и заместване в уравнението

самолети α 1 и α 2 са успоредни, следователно произтичащите нормални вектори н 1 ={А 1 , б 1 , ° С 1) и н 2 ={А 2 , б 2 , ° С 2) от тези равнини са колинеарни. Ако тези вектори не са равни, тогава можем да умножим (31) по някакво число, така че полученият нормален вектор н 2 съвпадна с нормалния вектор на уравнение (30).

Тогава разстоянието между успоредни равнини се изчислява по формулата:

(33)

Решение. Направо Л 1 минава през точката М 1 (х 1 , г 1 , z 1)=М 1 (2, 1, 4) и има насочващ вектор р 1 ={м 1 , стр 1 , л 1 }={1, 3, −2}.

Направо Л 2 минава през точката М 2 (х 2 , г 2 , z 2)=М 2 (6, −1, 2) и има насочващ вектор р 2 ={м 2 , стр 2 , л 2 }={2, −3, 7}.

Да построим самолет α 1, минаваща през линията Л 1 , успоредна на правата Л 2 .

Още от самолета α 1 минава през линията Л 1 , тогава тя също минава през точката М 1 (х 1 , г 1 , z 1)=М 1 (2, 1, 4) и нормален вектор н 1 ={м 1 , стр 1 , л 1) самолет α 1 е перпендикулярна на насочващия вектор р 1 прав Ледин . Тогава уравнението на равнината трябва да отговаря на условието:

Още от самолета α 1 трябва да е успореден на правата Л 2, то трябва да е изпълнено следното условие:

Ние представяме тези уравнения в матрична форма:

(40)

Нека решим системата от линейни уравнения (40) по отношение на А 1 , б 1 , ° С 1 , д 1.

В тази статия вниманието е насочено към намирането на разстоянието между косите линии с помощта на метода на координатите. Първо се дава дефиницията на разстоянието между косите линии. След това се получава алгоритъм, който ви позволява да намерите разстоянието между косите линии. В заключение решението на примера е анализирано подробно.

Навигация в страницата.

Разстоянието между косите линии е определение.

Преди да дадем дефиниция на разстоянието между косите линии, ние си припомняме определението за коси линии и доказваме теорема, свързана с косите линии.

Определение.

е разстоянието между една от пресичащите се прави и равнина, успоредна на нея, минаваща през другата права.

От своя страна разстоянието между права и успоредна на нея равнина е разстоянието от някаква точка на правата до равнината. Тогава е валидна следната формулировка на дефиницията на разстоянието между косите линии.

Определение.

Разстояние между пресичащите се линиие разстоянието от някаква точка на една от косите линии до равнина, минаваща през другата права, успоредна на първата права.

Помислете за пресичащи се прави a и b. Отбелязваме определена точка M 1 на правата a, през правата b начертаваме равнина, успоредна на правата a, и от точката M 1 пускаме перпендикуляра M 1 H 1 върху равнината. Дължината на перпендикуляра M 1 H 1 е разстоянието между пресичащите се прави a и b.

Намиране на разстояние между пресичащи се прави - теория, примери, решения.

Когато се намира разстоянието между пресичащите се линии, основната трудност често се състои в това да се види или конструира сегмент, чиято дължина е равна на необходимото разстояние. Ако е конструиран такъв сегмент, тогава, в зависимост от условията на проблема, неговата дължина може да бъде намерена с помощта на питагоровата теорема, знаци за равенство или сходство на триъгълници и др. Това правим, когато намираме разстоянието между пресичащите се прави в уроците по геометрия в 10-11 клас.

Ако Oxyz се въведе в триизмерно пространство и в него са дадени наклонени линии a и b, тогава координатният метод позволява да се справи със задачата за изчисляване на разстоянието между дадените наклонени линии. Нека го анализираме подробно.

Нека е равнина, минаваща през правата b, успоредна на правата a. Тогава желаното разстояние между пресичащите се прави a и b по дефиниция е равно на разстоянието от някаква точка M 1, лежаща на правата a, до равнината. Така, ако определим координатите на някаква точка M 1, лежаща на правата a, и получим нормалното уравнение на равнината във формата, тогава можем да изчислим разстоянието от точката към равнината по формулата (тази формула е получена в статията за намиране на разстоянието от точка до равнина). И това разстояние е равно на желаното разстояние между косите линии.

Сега по-подробно.

Задачата се свежда до получаване на координатите на точката M 1, лежаща на правата a, и до намиране на нормалното уравнение на равнината.

Няма трудности при определянето на координатите на точката M 1, ако знаете добре основните видове уравнения на прави линии в пространството. Но си струва да се спрем на получаването на уравнението на равнината по-подробно.

Ако определим координатите на някаква точка M 2, през която минава равнината, и също така получим нормалния вектор на равнината във формата , тогава можем да напишем общото уравнение на равнината като .

Като точка M 2 можете да вземете всяка точка, лежаща на правата b, тъй като равнината минава през правата b. По този начин координатите на точката M 2 могат да се считат за намерени.

Остава да получим координатите на нормалния вектор на равнината. Хайде да го направим.

Равнината минава през права b и е успоредна на права a. Следователно нормалният вектор на равнината е перпендикулярен както на насочващия вектор на правата a (нека го означим ), така и на насочващия вектор на правата b (нека го означим ). Тогава можем да вземем и като вектор, т.е. След определяне на координатите и насочващите вектори на прави a и b и пресмятане , ще намерим координатите на нормалния вектор на равнината.

И така, имаме общото уравнение на равнината: .

Остава само да се приведе общото уравнение на равнината в нормална форма и да се изчисли желаното разстояние между пресичащите се линии a и b, като се използва формулата.

По този начин, за да намерите разстоянието между пресичащите се прави a и b, трябва:

Нека да разгледаме едно примерно решение.

Пример.

В тримерно пространство в правоъгълна координатна система Oxyz са дадени две пресичащи се прави a и b. Правата a е определена