Selle artikli materjalis analüüsime kahe paralleelse joone vahelise kauguse leidmise küsimust, eriti koordinaatide meetodi abil. Saadud teoreetilisi teadmisi aitab kinnistada tüüpiliste näidete analüüs.
Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon
Kahe paralleelse joone vaheline kaugus on kaugus ühel paralleelsel sirgel olevast suvalisest punktist teise sirgeni.
Siin on selguse huvides illustratsioon:
Joonisel on kaks paralleelset joont. a ja b. Punkt M 1 kuulub sirgele a, sellelt langeb sirgega risti b. Saadud segment M 1 H 1 on kahe paralleelse sirge vaheline kaugus a ja b.
Kahe paralleelse joone vahelise kauguse täpsustatud määratlus kehtib nii tasapinnal kui ka joonte puhul kolmemõõtmelises ruumis. Pealegi on see definitsioon seotud järgmise teoreemiga.
Teoreem
Kui kaks sirget on paralleelsed, on ühe neist kõik punktid teisest sirgest võrdsel kaugusel.
Tõestus
Olgu meile antud kaks paralleelset sirget a ja b. Seadke sirgjoonele a punktid M 1 ja M 2, kukutame neilt risti joonele b, tähistades nende aluseid vastavalt kui H1 ja H2. M 1 H 1 on definitsiooni järgi kahe paralleelse sirge vaheline kaugus ja me peame tõestama, et | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .
Olgu ka mõni sekant, mis lõikab kahte etteantud paralleelset sirget. Vastavas artiklis vaadeldud sirgete paralleelsuse tingimus annab meile õiguse väita, et antud juhul on antud sirgete lõikepunkti ristumiskohas tekkivad sisemised risti asetsevad nurgad võrdsed: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1. Sirge M 2 H 2 on konstruktsiooni järgi risti sirgega b ja loomulikult risti sirgega a. Saadud kolmnurgad M 1 H 1 H 2 ja M 2 M 1 H 2 on ristkülikukujulised ning on hüpotenuusi ja teravnurga poolest üksteisega võrdsed: M 1 H 2 on ühine hüpotenuus, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Kolmnurkade võrdsuse põhjal saame rääkida nende külgede võrdsusest ehk: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Teoreem on tõestatud.
Pange tähele, et kahe paralleelse joone vaheline kaugus on väikseim kaugustest ühel sirgel asuvate punktide ja teise joone punktide vahel.
Paralleelsete sirgete vahelise kauguse leidmine
Oleme juba avastanud, et tegelikult on kahe paralleelse sirge vahelise kauguse leidmiseks vaja määrata ristsirge, mis on langetatud ühelt sirgelt teisele. Selleks on mitu võimalust. Mõnes ülesandes on mugav kasutada Pythagorase teoreemi; teised hõlmavad kolmnurkade võrdsuse või sarnasuse märkide kasutamist jne. Juhtudel, kui sirged on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, on võimalik kahe paralleelse sirge vaheline kaugus arvutada koordinaatide meetodil. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.
Paneme paika tingimused. Oletame, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on fikseeritud, milles on antud kaks paralleelset sirget a ja b. On vaja määrata etteantud joonte vaheline kaugus.
Ülesande lahenduse ehitame paralleelsete sirgete vahelise kauguse määramisel: kahe etteantud paralleelse sirge vahelise kauguse leidmiseks on vaja:
Leia ühele antud sirgele kuuluva punkti M 1 koordinaadid;
Arvutage kaugus punktist M 1 antud sirgeni, kuhu see punkt ei kuulu.
Tasapinnas või ruumis sirgjoone võrranditega töötamise oskuste põhjal on punkti M 1 koordinaate lihtne määrata. Punkti M 1 ja sirge kauguse leidmisel on kasulik artikli materjal punktist sirgeni kauguse leidmise kohta.
Tuleme tagasi näite juurde. Kirjeldagem sirget a üldvõrrandiga A x + B y + C 1 = 0 ja sirget b võrrandiga A x + B y + C 2 = 0 . Seejärel saab kahe antud paralleelse joone vahelise kauguse arvutada järgmise valemi abil:
M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2
Tuletame selle valemi.
Kasutame mõnda joonele a kuuluvat punkti М 1 (x 1 , y 1). Sel juhul rahuldavad punkti M 1 koordinaadid võrrandit A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Seega on võrdsus õiglane: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; sellest saame: A x 1 + B y 1 = - C 1 .
Kui C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0
Kui C 2 ≥ 0, näeb sirge b normaalvõrrand välja järgmine:
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0
Ja siis juhtudel, kui C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .
Ja C 2 ≥ 0 korral määratakse soovitud kaugus valemiga M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2
Seega arvu C 2 mis tahes väärtuse korral lõigu pikkus | M 1 H 1 | (punktist M 1 kuni jooneni b) arvutatakse järgmise valemiga: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2
Eespool saime: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, siis saame teisendada valemi: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B2. Nii et tegelikult saime koordinaatmeetodi algoritmis määratud valemi.
Analüüsime teooriat näidetega.
Näide 1
Antud kaks paralleelset sirget y = 2 3 x - 1 ja x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . On vaja kindlaks määrata nendevaheline kaugus.
Lahendus
Algsed parameetrilised võrrandid võimaldavad seada parameetriliste võrranditega kirjeldatud punkti koordinaadid, mida läbib sirge. Seega saame punkti M 1 (4, - 5) . Nõutav kaugus on punkti M 1 (4, - 5) ja sirge y = 2 3 x - 1 vaheline kaugus, arvutame selle.
Antud sirge võrrand kaldega y = 2 3 x - 1 teisendatakse sirge normaalvõrrandiks. Selleks läheme esmalt üle sirgjoone üldvõrrandile:
y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0
Arvutame normaliseeriva teguri: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Korrutame sellega viimase võrrandi mõlemad osad ja lõpuks saame võimaluse kirjutada sirge normaalvõrrand: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.
Kui x = 4 ja y = - 5, arvutame soovitud kauguse äärmise võrdsuse väärtuse moodulina:
2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13
Vastus: 20 13 .
Näide 2
Fikseeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y on antud kaks paralleelset sirget, mis on defineeritud võrranditega x - 3 = 0 ja x + 5 0 = y - 1 1 . On vaja leida kaugus antud paralleeljoonte vahel.
Lahendus
Ülesande tingimused defineerivad ühe üldvõrrandi, mis on antud ühe algreaga: x-3=0. Teisendame algse kanoonilise võrrandi üldiseks: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . Muutuja x puhul on koefitsiendid mõlemas võrrandis võrdsed (võrdsed ka y - nulliga) ja seetõttu on meil võimalus rakendada paralleelsete sirgete vahelise kauguse leidmise valemit:
M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8
Vastus: 8 .
Lõpuks kaaluge kahe paralleelse joone vahelise kauguse leidmise probleemi kolmemõõtmelises ruumis.
Näide 3
Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y z on antud kaks paralleelset sirget, mida kirjeldavad ruumi sirge kanoonilised võrrandid: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 ja x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Leidke nende joonte vaheline kaugus.
Lahendus
Võrrandist x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4 saab selle võrrandiga kirjeldatud sirge läbimise punkti koordinaadid kergesti määrata: M 1 (3, 0, - 2 ) . Arvutame kauguse | M 1 H 1 | punktist M 1 jooneni x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .
Sirge x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 läbib punkti M 2 (- 5, 1, 2). Kirjutame sirge x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 suunavektori kui b → koordinaatidega (1 , - 1 , 4) . Määrame vektori M 2 M → koordinaadid:
M 2 M 1 → = 3 - (- 5, 0 - 1, - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8, - 1, - 4
Arvutame vektorite ristkorrutise:
b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36 , 7)
Rakendame valemit punktist ruumi sirgjooneni kauguse arvutamiseks:
M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2
Vastus: 1409 3 2 .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Kaugus
punktist joonele
Paralleelsete joonte vaheline kaugus
Geomeetria, 7. klass
L.S. Atanasyani õpiku juurde
kõrgeima kategooria matemaatikaõpetaja
Memorandum "Upshinsky põhikool"
Mari Eli Vabariigi Orsha ringkond
Perpendikulaarne pikkus tõmmatud punktist joonele, helistas vahemaa sellest punktist kuni sirge.
AN ⏊ a
M є a, M erineb H-st
Perpendikulaarne tõmmatud punktist joonele, vähem ükskõik milline kaldus tõmmatud samast punktist sellele joonele.
OLEN – kaldus, tõmmatud punktist A joonele a
AN OLEN
AN - kaldus
AN AN
AN AK
AK - kaldus
Kaugus punktist jooneni
M
Kaugus punktist M jooneni c on...
N
Kaugus punktist N jooneni c on ...
Koos
Kaugus punktist K jooneni c on ...
K
Kaugus punktist F jooneni c on ...
F
Kaugus punktist jooneni
AN ⏊ a
AN= 5,2 cm
VC ⏊ a
VC= 2,8 cm
Teoreem.
Mõlema paralleelse sirge kõik punktid on teisest sirgest võrdsel kaugusel
Arvestades: a ǁ b
A є a, B є a,
Tõesta: punktide A ja B kaugused sirgeni a on võrdsed.
AN ⏊ b, BK ⏊ b,
Tõesta: AH = BK
Δ ANC = ΔVKA(miks?)
Kolmnurkade võrdsusest järeldub AN = VK
Kaugust ühe paralleelse sirge suvalisest punktist teise sirgeni nimetatakse nende sirgete vaheliseks kauguseks.
Pöördteoreem.
Kõik tasapinna punktid, mis asuvad antud sirgega samal küljel ja on sellest võrdsel kaugusel, asuvad antud sirgega paralleelsel sirgel.
AN ⏊ b, BK ⏊ b,
AH = BK
Tõesta: AB ǁ b
Δ ANC = ΔKVA(miks?)
Kolmnurkade võrdsusest järeldub … , kuid need on sisemised risti asetsevad nurgad, mille moodustavad … , seega AB ǁ NK
Kui suur on sirgete b ja c vaheline kaugus, kui ridade vaheline kaugus a ja b on 4 ning ridade vahel a ja c on 5?
a ǁ b ǁ c
Kui suur on sirgete b ja a vaheline kaugus, kui joonte b ja c vaheline kaugus on 7 ning joonte vahel a ja c on 2?
Kui suur on joonte vaheline kaugus a ja c, kui ridade b ja c vaheline kaugus on 10, ja joonte vaheline kaugus b ja a võrdne 6?
Mis on kahest paralleelsest sirgest võrdsel kaugusel asuva tasapinna kõigi punktide hulk?
a ǁ b
Vastus: Antud sirgetega paralleelne ja neist võrdsel kaugusel olev sirge.
Kui suur hulk on tasapinna kõik punktid, mis asuvad antud sirgest teatud kaugusel?
Vastus: Kaks sirget, mis on paralleelsed antud sirgega ja asuvad etteantud kaugusel selle vastaskülgedel.
Oi-oi-oi-oi ... no on tina, nagu loed lause enda ette =) Küll aga aitab siis lõõgastus, seda enam, et ostsin täna sobivad aksessuaarid. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.
Kahe sirgjoone vastastikune paigutus
Juhtum, kui saal laulab kooris kaasa. Kaks rida saab:
1) vaste;
2) olema paralleelne: ;
3) või lõikuvad ühes punktis: .
Abi mannekeenidele : palun pidage meeles ristmiku matemaatilist märki, see juhtub väga sageli. Kirje tähendab, et joon lõikub punktis oleva sirgega.
Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?
Alustame esimese juhtumiga:
Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas selline arv "lambda", et võrdsused
Vaatleme sirgeid ja koostame vastavatest kordajatest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.
Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid 
korrutage -1-ga (muutke märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid 
vähendades 2 võrra, saate sama võrrandi: .
Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:
Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujatel on võrdelised: 
, aga.
Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust: 
Siiski on selge, et.
Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:
Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed, see tähendab, et "lambda" väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud 
Niisiis, sirgjoonte jaoks koostame süsteemi: 
Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , seega, süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.
Järeldus: jooned lõikuvad
Praktilistes ülesannetes saab kasutada just vaadeldud lahendusskeemi. Muide, see on väga sarnane vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmiga, mida me õppetunnis käsitlesime. Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektori alus. Kuid on ka tsiviliseeritud pakett:
Näide 1
Uurige joonte suhtelist asukohta: 
Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:
a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: 
.
, nii et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.
Igaks juhuks panen ristmikule osutitega kivi:
Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgnevad otse surmatu Kashchei juurde =)
b) Leidke sirgete suunavektorid: 
Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on kas paralleelsed või samad. Siin pole determinant vajalik.
Ilmselt on tundmatute koefitsiendid proportsionaalsed, samas kui .
Uurime, kas võrdsus on tõsi: 
Sellel viisil,
c) Leidke sirgete suunavektorid: 
Arvutame determinandi, mis koosneb nende vektorite koordinaatidest: 
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või langevad kokku.
Proportsionaalsustegurit "lambda" on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: 
.
Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:
Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).
Seega jooned langevad kokku.
Vastus:
Peagi õpite (või isegi olete juba õppinud) lahendama kaalutud probleemi sõna otseses mõttes mõne sekundiga. Sellega seoses ei näe ma põhjust iseseisva lahenduse jaoks midagi pakkuda, parem on panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:
Kuidas tõmmata antud joonega paralleelset joont?
Selle lihtsaima ülesande teadmatuse eest karistab röövel Ööbik karmilt.
Näide 2
Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.
Lahendus: tähistage tundmatut rida tähega . Mida seisund selle kohta ütleb? Joon läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmselge, et sirge "ce" suunav vektor sobib ka sirge "de" konstrueerimiseks.
Me võtame võrrandist välja suunavektori:
Vastus:
Näite geomeetria näeb välja lihtne: 
Analüütiline kontrollimine koosneb järgmistest etappidest:
1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).
2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.
Analüütilist kontrollimist on enamikul juhtudel lihtne suuliselt läbi viia. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti aru, kuidas jooned on paralleelsed ilma jooniseta.
Tänased näited ise lahendamiseks on loomingulised. Sest Baba Yagaga tuleb ikka võistelda ja ta, teate, on igasuguste mõistatuste armastaja.
Näide 3
Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti
Lahenduseks on ratsionaalne ja mitte väga ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.
Tegime paralleeljoontega veidi tööd ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühinevate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega vaatleme probleemi, mis on teile kooli õppekavast hästi teada:
Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?
Kui sirge 
lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid 
Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.
Siin on teile kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi geomeetriline tähendus on kaks tasapinnal lõikuvat (kõige sagedamini) sirget.
Näide 4
Leidke sirgete lõikepunkt
Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.
Graafiline viis on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt: 
Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igasse sirge võrrandisse asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Tegelikult kaalusime graafilist lahendusviisi lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.
Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise tegemine võtab aega. Lisaks pole mõnda joont nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib olla kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.
Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi: 
Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminipõhise liitmise meetodit. Vastavate oskuste arendamiseks külastage õppetundi Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?
Vastus:
Kontrollimine on triviaalne – ristumispunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.
Näide 5
Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.
See on tee-seda-ise näide. Ülesande saab mugavalt jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage sirge võrrand.
2) Kirjutage sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.
Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.
Täielik lahendus ja vastus õpetuse lõpus:
Kingapaar pole veel kulunud, kuna jõudsime tunni teise osani:
Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Nurk ridade vahel
Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime etteantud sirgega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:
Kuidas tõmmata joont, mis on antud joonega risti?
Näide 6
Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva ristsirge jaoks.
Lahendus: Eeldusel on teada, et . Tore oleks leida sirge suunavektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:
Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.
Koostame sirgjoone võrrandi punktist ja suunavektorist:
Vastus: 
Avame geomeetrilise visandi:
Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.
Lahenduse analüütiline kontrollimine:
1) Eraldage võrranditest suunavektorid 
ja abiga vektorite punktkorrutis järeldame, et sirged on tõepoolest risti: .
Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.
2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit 
.
Kontrollimist on jällegi lihtne suuliselt läbi viia.
Näide 7
Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada 
ja punkt.
See on tee-seda-ise näide. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on mugav lahendust punkt-punkti kaupa järjestada.
Meie põnev teekond jätkub:
Kaugus punktist jooneni
Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikumine mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.
Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega "ro", näiteks: - kaugus punktist "em" sirgjooneni "de".
Kaugus punktist jooneni 
väljendatakse valemiga
Näide 8
Leidke kaugus punktist jooneni 
Lahendus: kõik, mida vajate, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:
Vastus: 
Teostame joonise: 
Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui teed ruudulisele paberile joonise mõõtkavas 1 ühikut. \u003d 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.
Mõelge teisele ülesandele sama joonise järgi:
Ülesandeks on leida punkti koordinaadid, mis on sirge suhtes sümmeetriline punktiga 
. Teen ettepaneku sooritada toimingud ise, kuid kirjeldan lahendusalgoritmi vahetulemustega:
1) Leidke sirge, mis on joonega risti.
2) Leidke sirgete lõikepunkt: 
.
Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.
3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskkoha koordinaatide valemid leida .
Ei ole üleliigne kontrollida, kas kaugus on samuti võrdne 2,2 ühikuga.
Siin võib arvutustes raskusi tekkida, kuid tornis aitab palju kaasa mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda tavalisi murde. Olen korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.
Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?
Näide 9
Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus
See on veel üks näide sõltumatust lahendusest. Väike vihje: lahendusviise on lõpmatult palju. Tunni lõpus ülevaade, kuid parem proovige ise arvata, arvan, et teil õnnestus oma leidlikkust hästi hajutada.
Nurk kahe joone vahel
Ükskõik milline nurk, siis lengi: 
Geomeetrias võetakse VÄIKSEMAKS nurgaks kahe sirge vaheline nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka ristuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja selle "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud karmiinpunane nurk.
Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.
Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on põhimõtteliselt oluline nurga "kerimise" suund. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .
Miks ma seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurga mõistega saab hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, on lihtne saada negatiivne tulemus ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Negatiivse nurga joonisel tuleb kindlasti noolega näidata selle suund (päripäeva).
Kuidas leida nurk kahe joone vahel? On kaks töövalemit:
Näide 10
Leidke ridade vaheline nurk
Lahendus ja Meetod üks
Vaatleme kahte sirget, mis on antud võrranditega üldkujul: 
Kui sirge mitte risti, siis orienteeritud nendevahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil: 
Pöörame hoolega tähelepanu nimetajale – see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:
Kui , siis valemi nimetaja kaob ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti reservatsioon sõnastuses olevate joonte mitteperpendikulaarsuse osas.
Eelneva põhjal vormistatakse lahendus mugavalt kahes etapis:
1) Arvutage sirgjoonte suunavektorite skalaarkorrutis:
nii et jooned ei ole risti.
2) Leiame joonte vahelise nurga valemiga:
Kasutades pöördfunktsiooni, on nurga enda leidmine lihtne. Sel juhul kasutame kaartangensi veidrust (vt joonis 1). Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):
Vastus: 
Vastuses märgime kalkulaatori abil arvutatud täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides).
Noh, miinus, nii miinus, see on okei. Siin on geomeetriline illustratsioon: 
Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesande seisukorras on esimene number sirge ja nurga “väänamine” algas just sellest.
Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate sirgjooned vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist 
ja võta koefitsiendid esimesest võrrandist . Lühidalt, peate alustama otsesest 
.
Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed, st asetsevad paralleelsel sirgel (joonis 1).
1. teoreem. Rööpküliku külgede ja nurkade omadustest. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed, vastasnurgad on võrdsed ja rööpküliku ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°.
Tõestus. Sellele rööpkülikule ABCD tõmmake diagonaal AC ja saage kaks kolmnurka ABC ja ADC (joonis 2).
Need kolmnurgad on võrdsed, kuna ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (paralleelsete joonte ristnurgad) ja külg AC on ühine. Võrdusest Δ ABC = Δ ADC järeldub, et AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Ühe küljega külgnevate nurkade summa, näiteks nurgad A ja D, võrdub 180° kui üks -külgnevad paralleelsete joontega. Teoreem on tõestatud.
Kommenteeri. Rööpküliku vastaskülgede võrdsus tähendab, et paralleelsete lõigud, mis on paralleelsete poolt ära lõigatud, on võrdsed.
Järeldus 1. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis on ühe sirge kõik punktid teisest sirgest samal kaugusel.
Tõestus. Tõepoolest, olgu || b (joonis 3).
Tõmbame sirge b mõnest kahest punktist B ja C sirge a ristid BA ja CD. Kuna AB || CD, siis on joonis ABCD rööpkülik ja seetõttu AB = CD.
Kahe paralleelse joone vaheline kaugus on kaugus ühel sirgel olevast suvalisest punktist teise sirgeni.
Tõestatu põhjal on see võrdne ühe paralleelse sirge mõnest punktist teisele sirgele tõmmatud risti pikkusega.
Näide 1 Rööpküliku ümbermõõt on 122 cm Tema üks külg on teisest 25 cm pikem Leia rööpküliku küljed.
Lahendus. Teoreemi 1 kohaselt on rööpküliku vastasküljed võrdsed. Tähistame rööpküliku üht külge kui x, teist kui y. Siis tingimusega $$\left\(\begin(maatriks) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(maatriks)\right.$$ Selle süsteemi lahendamisel saame x = 43, y = 18. Seega on rööpküliku küljed 18, 43, 18 ja 43 cm.
Näide 2
Lahendus. Laske joonisel 4 vastata ülesande olukorrale.
Tähista AB-d x-ga ja BC-d y-ga. Tingimuse järgi on rööpküliku ümbermõõt 10 cm, st 2(x + y) = 10 või x + y = 5. Kolmnurga ABD ümbermõõt on 8 cm Ja kuna AB + AD = x + y = 5 , siis BD = 8-5 = 3 . Seega BD = 3 cm.
Näide 3 Leidke rööpküliku nurgad, teades, et üks neist on teisest 50° suurem.
Lahendus. Laske joonisel 5 vastata ülesande olukorrale.
Tähistame nurga A kraadimõõtu kui x. Siis on nurga D kraadimõõt x + 50°.
Nurgad BAD ja ADC on sisemised ühepoolsed paralleelsete joontega AB ja DC ning sekant AD. Siis on nende nimetatud nurkade summaks 180°, s.o.
x + x + 50° = 180° või x = 65°. Seega ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.
Näide 4 Rööpküliku küljed on 4,5 dm ja 1,2 dm. Teravnurga tipust tõmmatakse poolitaja. Millisteks osadeks jagab rööpküliku pika külje?
Lahendus. Olgu joonisel 6 vastav ülesande seisukord.
AE on rööpküliku teravnurga poolitaja. Seetõttu ∠ 1 = ∠ 2.
Selles artiklis keskendutakse kaldjoonte vahelise kauguse leidmisele koordinaatide meetodil. Esiteks antakse kaldjoonte vahelise kauguse määratlus. Järgmisena saadakse algoritm, mis võimaldab leida kaldjoonte vahelise kauguse. Kokkuvõttes analüüsitakse üksikasjalikult näite lahendust.
Leheküljel navigeerimine.
Viltusjoonte vaheline kaugus on määratlus.
Enne kaldjoonte vahelise kauguse määratlust tuletame meelde kaldjoonte definitsiooni ja tõestame kaldjoontega seotud teoreemi.
Definitsioon.
on kaugus ühe lõikuva sirge ja sellega paralleelse tasandi vahel, mis läbib teist sirget.
Vahemaa sirge ja sellega paralleelse tasapinna vahel on omakorda kaugus joone mingist punktist tasapinnani. Siis kehtib järgmine kaldjoonte vahelise kauguse määratluse sõnastus.
Definitsioon.
Lõikuvate joonte vaheline kaugus on kaugus ühe kaldjoone mõnest punktist tasapinnani, mis läbib teise esimese sirgega paralleelset sirget.
Vaatleme sirgete a ja b ristumisi. Märgime sirgele a kindla punkti M 1, läbi sirge b tõmbame sirgega a paralleelse tasapinna ja punktist M 1 kukutame tasapinnale risti M 1 H 1. Risti M 1 H 1 pikkus on ristuvate sirgete a ja b vaheline kaugus.
Ristumisjoonte vahekauguse leidmine - teooria, näited, lahendused.
Ristuvate joonte vahelise kauguse leidmisel on sageli peamiseks raskuseks sellise lõigu nägemine või konstrueerimine, mille pikkus on võrdne soovitud kaugusega. Kui selline segment konstrueerida, siis olenevalt ülesande tingimustest saab selle pikkuse leida Pythagorase teoreemi, kolmnurkade võrdsuse või sarnasuse märkide jms abil. Seda teeme 10.-11. klassi geomeetriatundides lõikuvate sirgete vahekauguse leidmisel.
Kui Oxyz tuuakse kolmemõõtmelisse ruumi ja selles on antud kaldjooned a ja b, siis koordinaatide meetod võimaldab toime tulla etteantud kaldjoonte vahelise kauguse arvutamise ülesandega. Analüüsime seda üksikasjalikult.
Olgu tasapind, mis läbib sirget b paralleelselt sirgega a. Siis on soovitud kaugus ristuvate sirgete a ja b vahel definitsiooni järgi kaugusega mingist sirgel a asuvast punktist M 1 tasapinnani. Seega, kui määrame mõne sirgel a asuva punkti M 1 koordinaadid ja saame tasapinna normaalvõrrandi kujul, siis saame arvutada kauguse punktist 
tasapinnale valemiga (see valem saadi punktist tasandi kauguse leidmise artiklis). Ja see kaugus on võrdne soovitud kaugusega kaldjoonte vahel.
Nüüd üksikasjalikult.
Ülesanne taandub sirgel a asuva punkti M 1 koordinaatide saamisele ja tasandi normaalvõrrandi leidmisele.
Punkti M 1 koordinaatide määramisel pole raskusi, kui tunnete hästi põhilisi sirgjoonevõrrandite tüüpe ruumis. Kuid tasub peatuda üksikasjalikumalt tasapinna võrrandi saamisel.
Kui määrame mõne punkti M 2 koordinaadid, mida tasand läbib, ja saame ka tasapinna normaalvektori kujul 
, siis saame tasandi üldvõrrandi kirjutada kujul .
Punktina M 2 võite võtta mis tahes punkti, mis asub sirgel b, kuna tasapind läbib sirget b. Seega võib punkti M 2 koordinaadid lugeda leituks.
Jääb üle saada tasapinna normaalvektori koordinaadid . Teeme seda.
Tasapind läbib sirget b ja on paralleelne sirgega a. Seetõttu on tasapinna normaalvektor risti nii sirge a suunavektoriga (tähistame seda ) kui ka sirge b suunavektoriga (tähistame seda ). Siis saame vektorina võtta ja, see tähendab . Olles määranud sirge a ja b koordinaadid ja suunavektorid ning arvutanud 
, leiame tasapinna normaalvektori koordinaadid.
Niisiis, meil on tasapinna üldvõrrand: .
Jääb vaid viia tasapinna üldvõrrand normaalkujule ja arvutada valemi abil soovitud kaugus ristuvate sirgete a ja b vahel.
Sellel viisil, ristuvate sirgete a ja b vahelise kauguse leidmiseks on vaja:
Vaatame näidislahendust.
Näide.
Kolmemõõtmelises ruumis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz on antud kaks lõikuvat sirget a ja b. Rida a on määratletud