Sirge, nüri, terav ja arenenud nurk

Blogi kood:

NURK (flat), geomeetriline kujund, mis on moodustatud ühest punktist (nurga tipust) väljuvast kahest kiirest (nurga küljest). Iga nurk, mille tipp on mingi ringi keskpunktis (kesknurk), määrab ringjoonel kaare AB, mida piiravad ringi lõikepunktid nurga külgedega. See võimaldab vähendada nurga mõõtmist vastavate kaare mõõtmiseni. Nurki mõõdetakse kraadides või radiaanides.

Nurka, mis tekib antud nurga külgede jätkumisel, nimetatakse antud nurga suhtes vertikaalseks; nurk, mille moodustab antud nurga üks külgedest ja sellega külgnev teise külje jätk. Kahe mingis punktis lõikuva kõvera nurk on nurk, mille moodustavad selles punktis kõverate puutujad.

Kuidas see välja näeb:

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Sümbolit π sel eesmärgil reeglina ei kasutata. Tihti kasutatakse ruuminurkade tähistamiseks tähti ω ja Ω (vt allpool).

Samuti on tavaline kujutada nurka näiteks kolme punktisümboliga ∠ A B C . (\displaystyle \angle ABC.) Sellises rekordis B (\displaystyle B)- ülemine ja A (\displaystyle A) ja C (\displaystyle C) on punktid nurga erinevatel külgedel. Seoses matemaatikas vastupäeva nurkade lugemise suuna valikuga on tavaks loendada nurga tähistuses külgedel asuvad punktid ka vastupäeva. See konventsioon võimaldab ühemõtteliselt eristada kahte lamedat nurka, millel on ühised küljed, kuid erinevad sisemised piirkonnad. Juhtudel, kui tasase nurga sisepinna valik on kontekstist selge või muul viisil näidatud, võidakse seda konventsiooni rikkuda. cm .

Harvem kasutatakse nurga külgi moodustavate sirgjoonte tähistust. Näiteks, ∠ (b c) (\displaystyle \angle (bc))- siin eeldatakse, et peame silmas kolmnurga sisenurka ∠ B A C (\displaystyle \angle BAC), α , mis tuleks tähistada ∠ (c b) (\displaystyle \angle (cb)).

Seega on parempoolse joonise jaoks kirjed γ , ∠ A C B (\displaystyle \angle ACB) ja ∠ (b a) (\displaystyle \angle (ba)) tähendavad sama nurka.

Mõnikord kasutatakse nurkade tähistamiseks väikeseid ladina tähti ( a, b, c,...) ja numbrid.

Joonistel on nurgad tähistatud väikeste ühe-, kahe- või kolmekordsete köidikutega, mis kulgevad piki nurga sisekülge nurga tipu keskel. Nurkade võrdsust saab tähistada kaare sama paljususe või sama arvu põiklöökidega kaarel. Kui on vaja näidata nurga näidu suund, märgitakse see vöörile noolega. Täisnurki tähistavad mitte kaared, vaid kaks omavahel ühendatud võrdset lõiku, mis on paigutatud nii, et need moodustavad koos külgedega väikese ruudu, mille üks tipp langeb kokku nurga tipuga.

Nurga mõõt

Nurkmõõte, mis võimaldab võrrelda tasapinna nurki, saab kasutusele võtta järgmiselt. Kaks lamedat nurka nimetatakse võrdne(või kongruentsed), kui neid saab kombineerida nii, et nende tipud ja mõlemad pooled langevad kokku. Tasapinna mis tahes kiirest antud suunas saate kõrvale jätta ühe nurga, mis on võrdne etteantud nurgaga. Kui ühe nurga saab asetada täielikult teise nurga sisse nii, et nende nurkade tipp ja üks külg langevad kokku, siis on esimene nurk teisest väiksem. Helistame külgnevad kaks nurka, mis asetsevad nii, et ühe külg langeb kokku teise küljega (ja seega ka tipud langevad kokku), kuid nende sisemised piirkonnad ei ristu. Nurka, mis koosneb kahe kõrvuti asetseva nurga mittekattuvatest külgedest, nimetatakse volditud nendest nurkadest. Igale nurgale saab määrata numbri (nurkmõõt) nii, et:

võrdsed nurgad vastavad võrdsele nurgamõõdule;
väiksem nurk vastab väiksemale nurgamõõdule;
nurga korral, mille küljed langevad kokku (nullnurk), on nurga mõõt null (sama kehtib ka paralleelsete joonte vahelise nurga kohta);
iga nullist erineva nurga teatud nurgamõõt on suurem kui null;
(liituvus) nurga nurk on võrdne nende nurkade nurkmõõtude summaga, milleks see on jagatud mis tahes selle külgede vahelt läbiva kiirega.

Mõnes tähistussüsteemis, kui on vaja eristada nurka ja selle mõõtu, kasutatakse nurga jaoks tähistust (geomeetriline joonis). ∠ A B C , (\displaystyle \angle ABC,) ja selle nurga mõõtmise väärtuse jaoks - tähistus A B C ^ . (\displaystyle (\widehat (ABC)).)

Nurkade mõõtmine kraadides ulatub tagasi Vana-Babülooniasse, kus kasutati seksagesimaalarvusüsteemi, mille jäljed on meil säilinud aja ja nurkade jaotuses.

1 pööre = 2π radiaani = 360° = 400 kraadi.

Merendusterminoloogias mõõdetakse nurki punktides. 1 rumb on võrdne 1 ⁄ 32 kompassi täisringist (360 kraadi), st 11,25 kraadi ehk 11°15′.

Mõnes kontekstis, nagu punkti tuvastamine polaarkoordinaatides või objekti orientatsiooni kirjeldamine kahes mõõtmes selle baasorientatsiooni suhtes, on nurgad, mis erinevad täisarvu täispöörete võrra, tegelikult samaväärsed. Näiteks võib sellistel juhtudel lugeda samaväärseteks nurki 15° ja 360015° (= 15° + 360°×1000). Muudes kontekstides, nagu punkti tuvastamine spiraalkõveral või objekti kumulatiivse pöörlemise kirjeldamine kahes mõõtmes selle esialgse orientatsiooni ümber, ei ole nurgad, mis erinevad täispöörete nullist erineva täisarvu võrra, samaväärsed.

Mõnel tasasel nurgal on erilised nimed. Lisaks ülaltoodud mõõtühikutele (radiaan, rumb, kraad jne) hõlmavad need järgmist:

kvadrant (täisnurk, 1 ⁄ 4 ringid);
sekstant ( 1 ⁄ 6 ringid);
oktant ( 1 ⁄ 8 ringid; lisaks on stereomeetrias oktant kolmnurkne nurk, mis on moodustatud kolmest üksteisega risti asetsevast tasapinnast),

Nurkade suund

Nool näitab nurkade lugemise suunda

Täisnurk

Tasapinna nurga üldistus stereomeetriaks on ruuminurk - ruumiosa, mis on kõigi antud punktist lähtuvate kiirte liit ( tipud nurk) ja lõikuvad mingi pinnaga (mida nimetatakse pinnaks, pingutamine antud ruuminurk).

Täisnurki mõõdetakse steradiaanides (üks SI põhiühikutest), aga ka süsteemivälistes ühikutes - täissfääri osades (st täisnurk 4π steradiaani), ruutkraadides, ruutminutites ja ruutsekundeid.

Täisnurgad on eelkõige järgmised geomeetrilised kehad:

kahetahuline nurk - ruumiosa, mida piirab kaks ristuvat tasapinda;
kolmetahuline nurk - ruumiosa, mis on piiratud kolme ristuva tasandiga;
hulktahukas nurk - ruumiosa, mis on piiratud mitme ühes punktis lõikuva tasandiga.

Dihedraalnurka saab iseloomustada nii lineaarnurga (seda moodustavate tasandite vaheline nurk) kui ka ruuminurgaga (tipuks võib valida ükskõik millise punkti sellel). serv- selle nägude otsene ristumiskoht). Kui kahetahulise nurga lineaarnurk (radiaanides) on φ, siis selle ruuminurk (steradiaanides) on 2φ.

Nurk kõverate vahel

Nii planimeetrias kui ka ruumilises geomeetrias, aga ka paljudes teistes geomeetriates on võimalik määrata siledate kõverate vaheline nurk lõikepunktis: definitsiooni järgi on selle väärtus võrdne kõverate puutujate vahelise nurgaga ristmikul. ristumispunkt.

Nurga- ja punktitoode

Nurga mõistet saab defineerida suvalise iseloomuga (ja suvaliste, sealhulgas lõpmatu mõõtmega) lineaarsete ruumide jaoks, millele aksiomaatiliselt sisestatakse positiivne kindel skalaarkorrutis (x , y) (\displaystyle (x,y)) kahe ruumielemendi vahel x (\displaystyle x) ja y . (\displaystyle y.) Skalaarkorrutis võimaldab defineerida ka elemendi nn normi (pikkuse) ruutjuurena elemendi ja iseenda korrutisest. | | x | | = (x, x) . (\displaystyle ||x||=(\sqrt ((x,x))).) Skalaarkorrutise aksioomidest tuleneb skalaarkorrutise Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) ebavõrdsus: | (x, y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , (\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,) millest järeldub, et väärtus võtab väärtused -1 kuni 1 ja äärmuslikud väärtused saavutatakse siis ja ainult siis, kui elemendid on üksteisega võrdelised (kollineaarsed) (geomeetriliselt nende suunad langevad kokku või on vastupidised). See võimaldab meil suhet tõlgendada (x, y) | | x | | ⋅ | | y | | (\displaystyle (\frac ((x,y))(||x||\cdot ||y||))) elementidevahelise nurga koosinusena x (\displaystyle x) ja y . (\displaystyle y.) Eelkõige nimetatakse elemente ortogonaalseteks, kui punktkorrutis (või nurga koosinus) on null.

Eelkõige võib tutvustada mingi intervalli pideva vahelise nurga mõistet [a, b] (\displaystyle) funktsioonid, kui võtame kasutusele standardse skalaarkorrutise (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , (\displaystyle (f,g)=\int _(a)^(b)f(x)g(x)dx,) siis määratletakse funktsioonide normid kui | | f | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . (\displaystyle ||f||^(2)=\int _(a)^(b)f^(2)(x)dx.) Seejärel defineeritakse nurga koosinus standardsel viisil funktsioonide skalaarkorrutise ja nende normide suhtena. Funktsioone võib nimetada ka ortogonaalseteks, kui nende punktkorrutis (nende korrutise integraal) on null.

Riemanni geomeetrias saab samamoodi määratleda puutujavektorite vahelise nurga, kasutades meetrilist tensorit g i j . (\displaystyle g_(ij).) Tangensivektorite punktkorrutis u (\displaystyle u) ja v (\displaystyle v) tensormärgistuses näeb välja selline: (u , v) = g i j u i v j , (\displaystyle (u,v)=g_(ij)u^(i)v^(j),) vastavalt vektorite normid - | | u | | = | g i j u i u j | (\displaystyle ||u||=(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|))) ja | | v | | = | g i j v i v j | . (\displaystyle ||v||=(\sqrt (|g_(ij)v^(i)v^(j)|)).) Seetõttu määratakse nurga koosinus kindlaksmääratud skalaarkorrutise ja vektorite normide suhte standardvalemiga: cos ⁡ θ = (u, v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . (\displaystyle \cos \theta =(\frac ((u,v))(||u||\cdot ||v||))=(\frac (g_(ij)u^(i)v^( j))(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|\cdot |g_(ij)v^(i)v^(j)|))).)

Nurk meetrilises ruumis

Samuti on mitmeid töid, milles tutvustatakse meetrilise ruumi elementide vahelise nurga mõistet.

Lase (X , ρ) (\displaystyle (X,\rho))- meetriline ruum. Lase edasi x , y , z (\displaystyle x,y,z)- selle ruumi elemendid.

K. Menger tutvustas mõistet nurk tippude vahel y (\displaystyle y) ja z (\displaystyle z)ülaosaga punktis x (\displaystyle x) mittenegatiivse arvuna y x z ^ (\displaystyle (\widehat(yxz))), mis rahuldab kolme aksioomi:

1932. aastal pidas Wilson nurgaks järgmist väljendit:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x, y) + ρ 2 (x, z) − ρ 2 (y, z) 2 ρ (x, y) ρ (x, z) (\displaystyle (\widehat () yxz))_(w)=\arccos (\frac (\rho ^(2)(x,y)+\rho ^(2)(x,z)-\rho ^(2)(y,z)) (2\rho (x,y)\rho (x,z))))

On lihtne näha, et kasutusele võetud väljend on alati mõttekas ja rahuldab Mengeri kolme aksioomi.

Lisaks on Wilsoni nurgal omadus, et eukleidilises ruumis on see samaväärne elementide vahelise nurgaga y − x (\displaystyle y-x) ja z−x (\displaystyle z-x) eukleidilise ruumi tähenduses.

Nurga mõõtmine

Üks levinumaid tööriistu nurkade konstrueerimiseks ja mõõtmiseks on nurgamõõtja (nagu ka joonlaud – vt allpool); reeglina kasutatakse seda teatud suurusjärgu nurga konstrueerimiseks. Nurkade enam-vähem täpseks mõõtmiseks on välja töötatud palju tööriistu:

goniomeeter - seade nurkade laboratoorseks mõõtmiseks;
kipregel - geodeetiline goniomeetriline instrument.

Nurkkaugus(või lihtsalt nurka) kahe objekti vahel vaatleja jaoks nimetatakse nurga mõõt, mille ülaosas vaatleja asub ja objektid asuvad külgedel. Käe abil saab ligikaudselt hinnata kahe kaugemal asuva objekti vahelisi nurki. Käsivarre pikkuses vastab 1 kraadine nurk (1°) väikese sõrme laiusele (vt ka allpool; keskmise sõrme nurga laius käe pikkuses on umbes 2°), nurk 10 kraadi – horisontaalselt kokku surutud rusika laius (või peopesa läbimõõt), nurk 20 kraadi (või umbes 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - lahutatud pöidla ja nimetissõrme otste vaheline kaugus (

Selles artiklis analüüsime põhjalikult ühte peamist geomeetrilist kuju - nurka. Alustame abimõistete ja definitsioonidega, mis viivad meid nurga definitsioonini. Pärast seda anname aktsepteeritud meetodid nurkade määramiseks. Järgmisena käsitleme üksikasjalikult nurkade mõõtmise protsessi. Kokkuvõtteks näitame, kuidas saate joonisel nurki märkida. Varustasime kogu teooria vajalike jooniste ja graafiliste illustratsioonidega materjali paremaks meeldejätmiseks.

Leheküljel navigeerimine.

Nurga määratlus.

Nurk on geomeetria üks olulisemaid näitajaid. Nurga definitsioon on antud kiir definitsiooni kaudu. Omakorda ei saa kiiri ideed ilma selliste geomeetriliste kujundite tundmiseta nagu punkt, sirgjoon ja tasapind. Seetõttu soovitame enne nurga definitsiooniga tutvumist teooriat värskendada lõikudest ja.

Niisiis, alustame punkti, tasapinna sirge ja tasandi mõistetest.

Esmalt anname kiire definitsiooni.

Olgu meile antud tasapinnal mingi sirgjoon. Tähistame seda tähega a. Olgu O mingi punkt sirgel a . Punkt O jagab sirge a kaheks osaks. Kõiki neid osi koos punktiga O nimetatakse tala, ja punkti O nimetatakse kiire algus. Samuti on kuulda, et kiirt kutsutakse pool otsene.

Lühiduse ja mugavuse huvides on kiirte jaoks kasutusele võetud järgmine tähistus: kiirt tähistatakse kas väikese ladina tähega (näiteks kiir p või kiir k) või kahe suure ladina tähega, millest esimene vastab algusele. ja teine tähistab mõnda selle kiire punkti (näiteks kiir OA või kiir CD). Näitame joonisel kiirte kujutist ja tähistust.

Nüüd saame anda nurga esimese definitsiooni.

Definitsioon.

Nurk- see on tasane geomeetriline kujund (see tähendab, et see asub täielikult teatud tasapinnal), mis koosneb kahest mittevastavast ühise päritoluga kiirest. Iga kiirt nimetatakse nurga pool, nimetatakse nurga külgede ühist algust ülemine nurk.

Võimalik, et nurga küljed moodustavad sirge. Sellel nurgal on oma nimi.

Definitsioon.

Kui nurga mõlemad küljed asuvad samal sirgel, nimetatakse nurka kasutusele võetud.

Juhime teie tähelepanu arenenud nurga graafilisele illustratsioonile.

Nurga tähistamiseks kasutatakse nurga sümbolit. Kui nurga küljed on tähistatud väikeste ladina tähtedega (näiteks nurga üks külg on k ja teine h), siis selle nurga tähistamiseks kirjutatakse nurgamärgi järel külgedele vastavad tähed. rida ja salvestamise järjekord ei oma tähtsust (st või). Kui nurga külgi tähistatakse kahe suure ladina tähega (näiteks nurga üks külg OA ja nurga teine külg OB), siis tähistatakse nurka järgmiselt: nurgamärgi järel on kolm tähte. kirjutatud, mis osalevad nurga külgede tähistamisel, ja nurga tipule vastav täht, mis asub keskel (meie puhul tähistatakse nurka kui või ). Kui nurga tipp ei ole mõne muu nurga tipp, siis saab sellist nurka tähistada nurga tipule vastava tähega (näiteks ). Mõnikord on näha, et joonistel on nurgad tähistatud numbritega (1, 2 jne), need nurgad on tähistatud kui ja nii edasi. Selguse huvides esitame joonise, millel on näidatud ja näidatud nurgad.

Iga nurk jagab tasapinna kaheks osaks. Veelgi enam, kui nurka ei arendata, kutsutakse üks tasapinna osa sisenurga piirkond, ja see teine välisnurga ala. Järgmine pilt selgitab, milline osa tasapinnast vastab nurga siseküljele ja milline osa välisküljele.

Kõiki kahte osa, milleks lamenurk jagab tasapinna, võib pidada lamestatud nurga sisepiirkonnaks.

Nurga sisemuse määratlus viib meid nurga teise definitsioonini.

Definitsioon.

Nurk- see on geomeetriline kujund, mis koosneb kahest mittevastavast ühise päritoluga kiirest ja vastavast nurga sisemisest piirkonnast.

Tuleb märkida, et nurga teine määratlus on rangem kui esimene, kuna see sisaldab rohkem tingimusi. Siiski ei tohiks kõrvale jätta nurga esimest definitsiooni ega ka nurga esimest ja teist definitsiooni eraldi käsitleda. Selgitame seda punkti. Kui rääkida nurgast kui geomeetrilisest kujundist, siis nurga all mõistetakse kujundit, mis koosneb kahest ühise päritoluga kiirest. Kui selle nurgaga on vaja teha mingeid toiminguid (näiteks nurga mõõtmine), tuleks nurga all mõista juba kahte kiirt, millel on ühine päritolu ja sisemine piirkond (muidu tekiks olemasolu tõttu kahekordne olukord nurga nii sise- kui ka välispiirkonnast).

Anname külgnevate ja vertikaalsete nurkade täpsemad määratlused.

Definitsioon.

Kõrvuti asetsevad nurgad- need on kaks nurka, mille üks külg on ühine ja ülejäänud kaks moodustavad sirge nurga.

Definitsioonist järeldub, et külgnevad nurgad täiendavad üksteist kuni sirge nurgani.

Definitsioon.

Vertikaalsed nurgad on kaks nurka, milles ühe nurga küljed on teise nurga küljed.

Joonisel on kujutatud vertikaalsed nurgad.

Ilmselgelt moodustavad kaks lõikuvat joont neli paari külgnevaid nurki ja kaks paari vertikaalseid nurki.

Nurga võrdlus.

Artikli selles lõigus käsitleme võrdsete ja ebavõrdsete nurkade määratlusi ning ka ebavõrdsete nurkade puhul selgitame, millist nurka peetakse suureks ja millist väiksemaks.

Tuletage meelde, et kahte geomeetrilist kujundit nimetatakse võrdseks, kui neid saab üksteise peale asetada.

Olgu meile antud kaks nurka. Toome välja põhjendused, mis aitavad meil saada vastuse küsimusele: “Kas need kaks nurka on võrdsed või mitte”?

Ilmselgelt saame alati sobitada kahe nurga tipud, samuti esimese nurga ühe külje teise nurga mis tahes külgedega. Kombineerime esimese nurga külje teise nurga selle küljega nii, et nurkade ülejäänud küljed oleksid samal pool sirgjoont, millel asuvad nurkade kombineeritud küljed. Seejärel, kui nurkade ülejäänud kaks külge on joondatud, nimetatakse nurki võrdne.

Kui nurkade ülejäänud kaks külge ei ühti, nimetatakse nurki ebavõrdne ja väiksem nurka loetakse teise osaks ( suur on nurk, mis sisaldab täielikult teist nurka).

Ilmselgelt on kaks sirgnurka võrdsed. Samuti on ilmne, et arenenud nurk on suurem kui mis tahes arenemata nurk.

Nurga mõõtmine.

Nurga mõõtmine põhineb mõõdetud nurga võrdlemisel mõõtühikuks võetud nurgaga. Nurkade mõõtmise protsess näeb välja järgmine: alustades mõõdetud nurga ühest küljest, täidetakse selle sisepind järjestikku üksikute nurkadega, asetades need tihedalt üksteise külge. Samal ajal jäetakse meelde virnastatud nurkade arv, mis annab mõõdetud nurga suuruse.

Tegelikult võib nurkade mõõtühikuks võtta mis tahes nurka. Erinevate teadus- ja tehnikavaldkondadega seotud nurkade mõõtmiseks on aga palju üldtunnustatud ühikuid, need on saanud erinimetused.

Üks nurkade mõõtmise ühikutest on kraadi.

Definitsioon.

üks kraad on nurk, mis on võrdne saja kaheksakümnendikuga sirgendatud nurgast.

Astet tähistatakse sümboliga "", seetõttu tähistatakse ühte kraadi kui.

Seega võime arendatud nurgas ühte kraadi mahutada 180 nurka. See näeb välja nagu pool ümmargune pirukas, mis on lõigatud 180 võrdseks tükiks. Väga oluline: "piruka tükid" sobivad tihedalt kokku (st nurkade küljed on joondatud), kusjuures esimese nurga külg on joondatud lamestatud nurga ühe küljega ja viimase nurga külg. langes kokku lameda nurga teise poolega.

Nurkade mõõtmisel selgitatakse välja, mitu korda kraad (või muu nurkade mõõtühik) mahub mõõdetud nurga alla, kuni mõõdetud nurga sisepind on täielikult kaetud. Nagu juba nägime, sobib arenenud nurga all kraad täpselt 180 korda. Allpool on toodud näited nurkadest, mille puhul ühekraadine nurk sobib täpselt 30 korda (selline nurk on kuuendik sirgendatud nurgast) ja täpselt 90 korda (pool sirgendatud nurka).

Nurkade mõõtmiseks, mis on väiksemad kui üks kraad (või mõni muu nurkade mõõtühik) ja juhtudel, kui nurka ei saa mõõta täisarvudes kraadides (võetavad ühikud), tuleb kasutada kraadi osi (võetud ühikute osasid). mõõtmine). Teatud osad kraadist said erinimetused. Levinumad on nn minutid ja sekundid.

Definitsioon.

Minut on üks kuuekümnendik kraadist.

Definitsioon.

Teiseks on üks kuuekümnendik minutist.

Teisisõnu, minutis on kuuskümmend sekundit ja kraadis kuuskümmend minutit (3600 sekundit). Sümbolit "" kasutatakse minutite tähistamiseks ja sümbolit "" kasutatakse sekundite tähistamiseks (ärge ajage segi tuletise ja teise tuletise märkidega). Seejärel saame kasutusele võetud definitsioonide ja tähistusega , ning nurka, millesse mahub 17 kraadi 3 minutit ja 59 sekundit, saab tähistada kui .

Definitsioon.

Nurga kraadimõõt nimetatakse positiivset arvu, mis näitab, mitu korda mahub kraad ja selle osad antud nurga alla.

Näiteks sirgendatud nurga kraadimõõt on sada kaheksakümmend ja nurga kraadimõõt on .

Nurkade mõõtmiseks on spetsiaalsed mõõteriistad, millest tuntuim on nurgamõõtja.

Kui on teada nii nurga tähis (näiteks) kui ka kraadimõõt (olgu 110), siis kasutage vormi lühikest tähistust ja öelge: "Nurk AOB on sada kümme kraadi."

Nurga ja nurga astmemõõdu definitsioonidest järeldub, et geomeetrias väljendatakse nurga mõõtu kraadides reaalarvuga intervallist (0, 180] (trigonomeetrias suvalise kraadimõõduga nurgad). peetakse, neid nimetatakse). Üheksakümnekraadisel nurgal on eriline nimi, seda nimetatakse täisnurk. Nurka, mis on väiksem kui 90 kraadi, nimetatakse teravnurk. Nurka, mis on suurem kui üheksakümmend kraadi, nimetatakse nürinurk. Niisiis väljendatakse teravnurga mõõtu kraadides arvuga intervallist (0, 90), nüri nurga mõõtu - intervalli (90, 180) arvuga, täisnurk on võrdne üheksakümnega kraadid. Siin on teravnurga, nürinurga ja täisnurga illustratsioonid.

Nurkade mõõtmise põhimõttest tuleneb, et võrdsete nurkade astmed on samad, suurema nurga astmemõõt on suurem kui väiksema ja mitmest nurgast koosneva nurga astmemõõt on võrdne komponentide nurkade astmemõõtude summaga. Alloleval joonisel on nurk AOB, mis koosneb nurkadest AOC, COD ja DOB, samas kui .

Sellel viisil, külgnevate nurkade summa on sada kaheksakümmend kraadi, kuna need moodustavad sirge nurga.

Sellest väitest järeldub, et . Tõepoolest, kui nurgad AOB ja COD on vertikaalsed, siis nurgad AOB ja BOC külgnevad ning nurgad COD ja BOC on samuti külgnevad, seega kehtivad võrdsused ja, millest järeldub võrdsus.

Koos kraadiga nimetatakse mugavat nurkade mõõtmise ühikut radiaan. Radiaanimõõtu kasutatakse trigonomeetrias laialdaselt. Defineerime radiaani.

Definitsioon.

Üks radiaannurk- see on kesknurk, mis vastab kaare pikkusele, mis on võrdne vastava ringi raadiuse pikkusega.

Toome ühe radiaani nurga graafilise illustratsiooni. Joonisel on raadiuse OA pikkus (nagu ka raadius OB ) võrdne kaare pikkusega AB , seega definitsiooni järgi on nurk AOB võrdne ühe radiaaniga.

Radiaanide tähistamiseks kasutatakse lühendit "rad". Näiteks 5 rad kirjutamine tähendab 5 radiaani. Kuid kirjalikult jäetakse tähistus "rad" sageli välja. Näiteks kui on kirjutatud, et nurk on võrdne pi-ga, tähendab see pi rad.

Eraldi tuleb märkida, et nurga väärtus, väljendatuna radiaanides, ei sõltu ringi raadiuse pikkusest. See on tingitud asjaolust, et antud nurga ja antud nurga tipuga tsentreeritud ringikaarega piiratud kujundid on üksteisega sarnased.

Nurkade mõõtmist radiaanides saab teha samamoodi nagu nurkade mõõtmist kraadides: saate teada, mitu korda mahub ühe radiaani nurk (ja selle osad) antud nurga alla. Ja saate arvutada vastava kesknurga kaare pikkuse ja seejärel jagada selle raadiuse pikkusega.

Praktika vajadusteks on kasulik teada, kuidas kraadi- ja radiaanimõõtmised on omavahel seotud, kuna üsna suur osa tuleb läbi viia. Selles artiklis luuakse seos nurga kraadi ja radiaani vahel ning tuuakse näiteid kraadide teisendamiseks radiaanideks ja vastupidi.

Nurkade tähistamine joonisel.

Joonistel saab mugavuse ja selguse huvides nurgad tähistada kaaredega, mis tavaliselt joonistatakse nurga sisepiirkonda nurga ühest servast teise. Võrdsed nurgad on tähistatud sama arvu kaaredega, ebavõrdsed nurgad erineva arvu kaaredega. Täisnurgad joonisel on tähistatud sümboliga kujul "", mis on kujutatud täisnurga sisemises piirkonnas nurga ühest servast teise.

Kui joonisel tuleb märkida palju erinevaid nurki (tavaliselt üle kolme), siis nurkade määramisel on lisaks tavakaaridele lubatud kasutada ka mõnda eriliiki kaare. Näiteks võite kujutada sakilisi kaarte või midagi sarnast.

Tuleb märkida, et te ei tohiks joonistel nurkade tähistamisest end ära lasta ja ärge ajage jooniseid segamini. Soovitame märkida ainult need nurgad, mis on lahendamise või tõestamise käigus vajalikud.

Bibliograafia.

Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geomeetria. 7. - 9. klass: õpik õppeasutustele.
Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geomeetria. Õpik gümnaasiumi 10-11 klassile.
Pogorelov A.V., Geomeetria. Õpik õppeasutuste 7-11 klassile.

Nurga mõõt

Nurka in mõõdetakse kraadides (kraad, minut, sekund), pööretena - kaare pikkuse s ja ümbermõõdu L suhe, radiaanides - kaare pikkuse s ja raadiuse r suhe; ajalooliselt kasutati nurkade mõõtmiseks ka rahemõõtu, praegu ei kasutata seda peaaegu üldse.

1 pööre = 2π radiaani = 360° = 400 kraadi.

Merendusterminoloogias tähistatakse nurki punktidega.

Nurga tüübid

Külgnevad nurgad on terav (a) ja nürinurk (b). Pööratud nurk (c)

Lisaks arvestatakse puutujapunktis sujuvate kõverate vahelist nurka: definitsiooni järgi on selle väärtus võrdne kõverate puutujate vahelise nurgaga.

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "Flat Angle" teistes sõnaraamatutes:

tasane nurk- 2.2 tasane nurk: nurk, mille moodustavad ruumi (struktuuri) geomeetrilisest keskpunktist väljuv kahe kiire (nurga külg). Allikas … Normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite sõnastik-teatmik

tasane nurk- T valdkond Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kampas tarp dviejų viename taške susikertančių pustiesių, išreiškiamas apskritimo (su centru tame taške) apima lanko ilgio iirii spinulio dalmeni. Matavimo vienetas … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

tasane nurk- plokasis kampas statusas T ala fizika vastavusmenys: angl. tasapinnaline nurk vok. ebener Winkel, m rus. tasane nurk, m pranc. nurkplaan, m … Fizikos terminų žodynas Sõnastik-normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite teatmik

LAME, ühtlane, justkui lapik, alla surutud; lamades kihina, vastavalt tasemele; milles pole ei kühmu ega süvendeid; madal, madal, kõrgendatud ja sügav. Tasane maa, koht, tasane, tasane pind. Lamekatus, täiesti tasane, ...... Dahli seletav sõnaraamat

pooljuhtemitteri kiirgusnurk- kiirgusnurk e Tasapinnaline nurk, mis sisaldab pooljuhtkiirguri optilist telge ja on moodustatud suundadest, milles kiirguse tugevus on suurem või võrdne poolega selle maksimumväärtusest. [GOST 27299 87] Pooljuhtide teemad ... ...

märke sünteesiva indikaatori kiirgusnurk- kiirgusnurk (märgisünteesi indikaator) θ Tasanurk vertikaal- või horisontaaltasandil, mis sisaldab aktiivse märgisünteesi indikaatori optilist telge ja on moodustatud suundadest, milles kiirgustugevus on suurem või ... Tehnilise tõlkija käsiraamat