Kuidas arvutada ruumi või seina ruutu, saame teada ruutmeetrid. Ruudupinna kalkulaator. Mõiste "minimaalne ruumi pindala" ja selle arvutamine

Enne kalkulaatorite tulekut arvutasid õpilased ja õpetajad ruutjuuri käsitsi. Arvu ruutjuure käsitsi arvutamiseks on mitu võimalust. Mõned neist pakuvad vaid ligikaudset lahendust, teised annavad täpse vastuse.

Sammud

Peamine faktoriseerimine

Tegutsege juurarv teguriteks, mis on ruutarvud. Olenevalt juurnumbrist saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab võtta terve ruutjuure. Tegurid on arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks arvu 8 tegurid on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, arvud 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutarvud. Esiteks proovige juurarv ruututeguriteks faktoriseerida.

• Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Esmalt proovige arvutada 400 ruutteguriteks. 400 on 100 kordne, st jagub 25-ga - see on ruutarv. Jagades 400 25-ga, saad 16. Arv 16 on samuti ruutarv. Seega saab 400 arvestada ruutteguriteks 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.
• Selle saab kirjutada järgmiselt: √400 = √(25 x 16).

1. Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne iga liikme ruutjuure korrutisega, see tähendab √(a x b) = √a x √b. Kasutage seda reeglit ja võtke iga ruutteguri ruutjuur ja korrutage vastuse leidmiseks tulemused.

   • Meie näites võtke 25 ja 16 ruutjuur.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Kui radikaalarv ei muutu kaheks ruutteguriks (ja see on enamikul juhtudel), ei saa te täpset vastust täisarvuna leida. Kuid saate probleemi lihtsustada, kui jagate juurarvu ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa võtta kogu ruutjuurt). Seejärel võtate ruutjuure ja hariliku teguri juure.

   • Näiteks arvutage arvu 147 ruutjuur. Arvu 147 ei saa arvestada kahe ruutteguriga, kuid selle saab arvestada järgmiste teguritega: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Vajadusel hinnake juure väärtust. Nüüd saate juure väärtust hinnata (leida ligikaudne väärtus), võrreldes seda ruutarvude juurte väärtustega, mis on juurarvule kõige lähemal (mõlemal pool arvjoont). Juure väärtuse saate kümnendmurruna, mis tuleb korrutada juuremärgi taga oleva arvuga.

   • Läheme tagasi meie näite juurde. Juurarv on 3. Sellele lähimad ruuduarvud on arvud 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Seega jääb √3 väärtus 1 ja 2 vahele. Kuna √3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: √3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgi numbriga: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Kui teete arvutused kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.
     • See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Võtke näiteks √35. Juurarv on 35. Sellele lähimad ruuduarvud on numbrid 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Seega jääb √35 väärtus 5 ja 6 vahele. Kuna √35 väärtus on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on ainult 1 võrra väiksem kui 36), võime väita, et √35 on veidi väiksem kui 6. Kalkulaatoriga kontrollides saame vastuseks 5,92 - meil oli õigus.

4. Teine võimalus on jagada juurarv algteguriteks. Algtegurid on arvud, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjutage algtegurid ritta ja leidke identsete tegurite paarid. Selliseid tegureid saab juure märgist välja võtta.

   • Näiteks arvutage ruutjuur 45-st. Jaotame juurarvu algteguriteks: 45 \u003d 9 x 5 ja 9 \u003d 3 x 3. Seega √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 saab juurmärgist välja võtta: √45 = 3√5. Nüüd saame hinnata √5.
   • Mõelge veel ühele näitele: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Teil on kolm kordajat 2; võta paar tükki ja võta juure märgist välja.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nüüd saame hinnata √2 ja √11 ning leida ligikaudse vastuse.

   Ruutjuure käsitsi arvutamine

   Veergude jaotuse kasutamine

   1. See meetod hõlmab pika jagamisega sarnast protsessi ja annab täpse vastuse. Kõigepealt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab lehe kaheks pooleks, ja seejärel tõmmake horisontaaljoon paremale ja veidi alla lehe ülaserva vertikaaljooneni. Nüüd jaga juurarv arvupaarideks, alustades komajärgsest murdosast. Seega on number 79520789182.47897 kirjutatud kujul "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Näiteks arvutame ruutjuure arvust 780.14. Tõmmake kaks joont (nagu on näidatud pildil) ja kirjutage vasakus ülanurgas olevaks numbriks "7 80, 14". On normaalne, et esimene number vasakult on paaritu number. Vastus (antud arvu juur) kirjutatakse üleval paremale.

   2. Arvestades vasakult esimest arvupaari (või ühte numbrit), leidke suurim täisarv n, mille ruut on väiksem või võrdne kõnealuse arvupaariga (või ühe arvuga). Teisisõnu leidke ruutnumber, mis on vasakult esimesele numbripaarile (või üksikarvule) kõige lähemal, kuid väiksem kui, ja võtke selle ruutarvu ruutjuur; saad numbri n. Kirjutage leitud n paremasse ülanurka ja kirjutage üles ruut n all paremale.

      • Meie puhul on esimene number vasakul number 7. Järgmisena 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Lahutage äsja leitud arvu n ruut esimesest numbripaarist (või ühest arvust) vasakult. Arvutuse tulemus kirjuta alamjaotuse alla (arvu n ruut).

      • Meie näites lahutage 7-st 4, et saada 3.

   4. Võtke teine ​​numbripaar maha ja kirjutage see eelmises etapis saadud väärtuse kõrvale. Seejärel kahekordistage paremas ülanurgas olev arv ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=".

      • Meie näites on teine ​​numbripaar "80". Kirjutage "80" pärast 3. Seejärel kahekordistades ülevalt paremalt numbrit annab 4. Kirjutage "4_×_=" all paremalt.

   5. Täitke paremal pool olevad lüngad.

      • Kui meie puhul paneme sidekriipsude asemele arvu 8, siis 48 x 8 \u003d 384, mis on rohkem kui 380. Seetõttu on 8 liiga suur arv, aga 7 on hea. Kirjutage kriipsude asemel 7 ja saage: 47 x 7 \u003d 329. Kirjutage ülalt paremalt 7 - see on numbri 780.14 soovitud ruutjuure teine ​​koht.

   6. Lahutage saadud arv vasakul olevast praegusest arvust. Kirjutage eelmise sammu tulemus vasakpoolse praeguse arvu alla, leidke erinevus ja kirjutage see lahutatud numbri alla.

      • Meie näites lahutage 380-st 329, mis võrdub 51-ga.

   7. Korrake 4. sammu. Kui lammutatud arvupaar on algarvu murdosa, siis asetage täisarvu ja murdosa eraldaja (koma) ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Vasakul kandke järgmine numbripaar alla. Kahekordistage number paremas ülanurgas ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=".

      • Meie näites on järgmine lammutatav arvupaar arvu 780.14 murdosa, seega asetage täisarvu ja murdosa eraldaja ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Lammutage 14 ja kirjutage alla vasakus servas. Topelt ülemine parem (27) on 54, nii et kirjutage "54_×_=" all paremale.

   8. Korrake samme 5 ja 6. Leidke parempoolsete kriipsude asemel suurim arv (kriipsude asemel tuleb asendada sama arv), et korrutamistulemus oleks väiksem või võrdne vasakpoolse praeguse arvuga.

      • Meie näites on 549 x 9 = 4941, mis on väiksem kui praegune arv vasakul (5114). Kirjutage üleval paremale 9 ja lahutage vasakpoolsest praegusest arvust korrutamise tulemus: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kui teil on vaja ruutjuure jaoks leida rohkem komakohti, kirjutage praeguse numbri kõrvale vasakul nullipaar ja korrake samme 4, 5 ja 6. Korrake samme, kuni saate vajaliku vastuse täpsuse (number kümnendkohad).

      Protsessi mõistmine

      1. Selle meetodi valdamiseks kujutlege ruudu S pindalana arvu, mille ruutjuure peate leidma. Sel juhul otsite sellise ruudu külje L pikkust. Arvutage L väärtus, mille puhul L² = S.

         Sisestage oma vastuses iga numbri jaoks täht. Tähistage A-ga esimene number L väärtuses (soovitud ruutjuur). B on teine ​​number, C kolmas ja nii edasi.

         Määrake iga esinumbri paari jaoks täht. Tähistage S a väärtuse S esimest numbripaari, S b -ga teist numbripaari jne.

         Selgitage selle meetodi seost pika jagamisega. Nagu jagamistehte puhul, kus iga kord huvitab meid ainult üks jaguva arvu järgmine number, töötame ruutjuure arvutamisel numbripaariga järjestikku (selleks, et saada ruutjuure väärtuses järgmine number) .

      2. Vaatleme arvu S esimest numbripaari Sa (meie näites Sa = 7) ja leidke selle ruutjuur. Sel juhul on ruutjuure otsitava väärtuse esimene number A selline number, mille ruut on väiksem või võrdne S a (st otsime sellist A, mis rahuldab ebavõrdsust A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Oletame, et peame jagama 88962 7-ga; siin on esimene samm sarnane: arvestame jaguva arvu 88962 esimest numbrit (8) ja valime suurima arvu, mis 7-ga korrutades annab väärtuse, mis on väiksem või võrdne 8-ga. See tähendab, et me otsime arv d, mille võrratus on tõene: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Kujutage vaimselt ette ruutu, mille pindala peate arvutama. Otsite L-i, st ruudu külje pikkust, mille pindala on S. A, B, C on arvud L. Võite selle kirjutada erinevalt: 10A + B \u003d L (kahe jaoks -kohaline number) või 100A + 10B + C \u003d L (kolmekohalise numbri jaoks) ja nii edasi.

         • Lase (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pidage meeles, et 10A+B on arv, mille B tähistab ühtesid ja A kümneid. Näiteks kui A=1 ja B=2, siis 10A+B võrdub arvuga 12. (10A+B)² on kogu ruudu pindala, 100A² on suure sisemise ruudu pindala, B² on väikese sisemise ruudu pindala, 10A × B on kummagi kahe ristküliku pindala. Lisades kirjeldatud jooniste pindalad, leiate algse ruudu pindala.

MEETOD 1 ALGDEKOMPOSTIS 2. Mõne liikme korrutise ruutjuur võrdub iga liikme ruutjuurte korrutisega, st √(a x b) = √a x √b Kasutades seda reeglit, võta iga ruutteguri ruutjuur ja vastuse leidmiseks korrutage tulemused.)

Src="https://present5.com/presentation/167355482_437013212/image-4.jpg" alt="(!KEEL:MEETOD 1 ALGNE OTSUS 3. Sest 5*5=25 => √ 25= 5 4*4= 16"> МЕТОД 1 РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 3. Т. к. 5*5=25 => √ 25=5 4*4=16 => √ 16=4 Значит √ 400=5*4=20 Это важно! -20² тоже дает 400, поэтому ответ надо записать так: √ 400=± 20!}

LEIA RUUTJUUR: 45; 147; 294; 1573. Kasutades seda valemit: √(a x b) = √a x √b

2. MEETOD MANUAALNE RUUTJUUR See meetod hõlmab pika jagamisega sarnast protsessi ja annab täpse vastuse. 1. jaga juurarv arvupaarideks, alustades koma järel olevast murdosast. Seega on number 79520789182, 47897 kirjutatud kujul "7 95 20 78 91 82, 47 89 70". Näiteks arvutame ruutjuure arvust 780, 14

2. MEETOD ARVUTAGE KÄSITSI RUUTJUUR 2. Tõmmake kaks joont (nagu näidatud) ja kirjutage vasakus ülanurgas olev number "7 80, 14". On normaalne, et esimene number vasakult on paaritu number. Vastus (antud arvu juur) kirjutatakse üleval paremale.

2. MEETOD RUUTJUURE KÄSITSI ARVUTAMINE Arv 780, 14 jagatuna kolmeks paariks tähendab, et seal on kolm numbrit 3. Esimese numbripaari (või ühe arvu) jaoks vasakult leidke suurim täisarv n, mille ruut on väiksem kui või võrdne vaadeldava arvupaariga (või ühe arvuga). Teisisõnu leidke ruutnumber, mis on vasakult esimesele numbripaarile (või üksikarvule) kõige lähemal, kuid väiksem kui, ja võtke selle ruutarvu ruutjuur; saad numbri n. Kirjutage leitud n paremasse ülanurka ja kirjutage üles ruut n all paremale.

2. MEETOD ARVUTAGE RUUTJUUR KÄSITSI Meie puhul on esimene number vasakult number 7. Järgmiseks 4

2. MEETOD KÄSITSI RUUTJUUR 4. Lahutage äsja leitud arvu n ruut vasakult esimesest numbripaarist (või ühest arvust). Arvutuse tulemus kirjuta alamjaotuse alla (arvu n ruut). Meie näites lahutage 7-st 4, et saada 3.

2. MEETOD ARVUTAGE KÄSITSI RUUTJUUR 5. Võtke maha teine ​​numbripaar ja kirjutage see eelmises etapis saadud väärtuse kõrvale. Seejärel kahekordistage paremas ülanurgas olev arv ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=". Meie näites on teine ​​numbripaar "80". Kirjutage "80" pärast 3. Seejärel kahekordistades ülevalt paremalt numbrit annab 4. Kirjutage "4_×_=" all paremalt.

2. MEETOD ARVUTAGE KÄSITSI RUUTJUUR 6. Leidke suurim arv, millega asendada parempoolsed sidekriipsud (kriipsude asemel tuleb asendada sama arv), et korrutamistulemus oleks väiksem või võrdne vasakpoolse praeguse arvuga. Kui meie puhul paneme sidekriipsude asemele arvu 8, siis 48 x 8 \u003d 384, mis on rohkem kui 380. Seetõttu on 8 liiga suur arv, aga 7 on hea. Sidekriipsude asemel kirjutage 7 ja saate: 47 x 7 \u003d 329. Kirjutage 7 ülalt paremalt – see on teine ​​number soovitud ruutjuures 780, 14.

Ei tea kust kodutöid leida – hakake majaseinu krohvima. See õppetund nõuab arvutuste täpsust ja pinna õiget mõõtmist viimistlemiseks. Seetõttu mõelge enne seinte joondamise ja kaunistamise jätkamist välja, kuidas arvutada seinte ruut krohvi jaoks. Viimistlemiseks mõeldud vertikaalse pinna pindala tundmine aitab vältida tarbetuid kulumaterjalide raiskamist.

Arvutusoskus on kvaliteetse remondi saladus

Olles teinud krohvimiseks seinte õige arvutuse, arvestage, et pool võitu on tehtud. Peamine küsimus, mida ehituse käigus küsitakse, on see, kuidas arvutada ruumi seinte ruudukujulisust, võttes arvesse akna- ja ukseavasid?

Kui ehitusmeeskond krohvib seinu, teevad meistrid arvutused ise. Isegi ilma seda tegemata, kuid ehitusplatsi planeerimisel on parem saada teadmisi seinte pindala arvutamise kohta. Tänu sellele teate täpset kvadratuuri iseviimistluseks ja saate kontrollida töötavate meistrite andmete õigsust.

Mis on arvutamise ajal kasulik

Kvadratuur arvutatakse järgmise tööriista abil:

• ehitusmõõdulint (alates 5 m);
• pliiats või pliiats;
• kalkulaator;
• hoone tase;
• trepp või väljaheide;
• märkmik või paberileht märkmete ja valemite jaoks.

Valmistage ette tööriistad, mida vajate seinte mõõtmiseks ja valmistuge tööle.

Kust arvutamist alustada

Enne seinte kandumise arvutamist viige mööbel eemale, et saaksite vabalt liikuda. See on oluline aspekt, kuna mõõtmiste arvutamise tulemusena saadud esialgsed näitajad kajastavad ruumi mahtu, põranda ja lae ruutu.

Kuidas mõõta pindalasid

Pinna mõõtmiseks tõmmake sirgjoon 4–5 cm kõrgusele põrandaliistu tasemest, kasutades kontrollimiseks loodi või muud sirget siini.

Seejärel pange mõõdulint joonele, mõõtke seinte pikkus ja kirjutage joonis paberile.

Järgmises etapis valmistuge sama mustri järgi arvutama seinte kõrgust laest põrandani. Pärast vajalike väärtuste saamist jääb üle välja mõelda, kuidas arvutada valemi abil seinte kvadratuur.

Arvutusreeglid

Ristkülikukujulise ruumi seinte pindala saamiseks korrutatakse laius pikkusega. Vaatame näidet.

Seina pikkus 6 m, laius - 4. S \u003d 6 * 4 \u003d 24 m 2. Arvutage samamoodi ka teiste pindade pindala ja liidage need kokku. Ristkülikukujulises ruumis on kahe seina pikkus 8 m, ülejäänud kaks on kumbki 6 m. Voltimise tulemusena: 8 * 2 \u003d 16, 6 * 2 \u003d 12, 16 + 12 \u003d 28 m - ruumi seinte pikkuste summa. S \u003d 28 * 4 = 112 m 2. See on ruumi kõigi seinte pindala

Akna- ja ukseavade pindala arvutamine

Seinte ruutude õige arvutamise nuputamisel tasub arvestada, et töödeldava pinna arvutamiseks mõõdetakse ka akna- ja ukseavasid. Mõõtmised tehakse ainult avade nõlvadelt. See samm on töödeldava pinna arvutamisel oluline. Niisiis on ristkülikukujulise akna pindala, mille laius on 1 ja kõrgus 1,2 m, 1,2 m 2 (1,00 * 1,20 = 1,2). Kui ruumis on rohkem kui üks aken, mõõdetakse nende mõõtmeid eraldi. Ja alad summeeritakse, et saada lõpptulemus.

Ukseavasid mõõdetakse samamoodi. Siin on oluline võtta parameetreid mitte mööda lõuendit, vaid mööda nõlvad. Mõõtmiste tulemusena selgub, et aknakalde pindala on 1,20 m 2 ja ukseava näiteks 4,80 m 2. Lisaks liidetakse mõõtmed ühe numbriga: 1,20 + 4,80 = 6 m 2 ja lahutatakse ruumi pindalast: 112 - 6 = 106 m 2.

Nüüd teate, kuidas arvutada seinte ruutu ja milliseid valemeid kasutada täpse lõppväärtuse saamiseks. Sellised teadmised on kasulikud ja praktilised. Lõppude lõpuks ei pea korteri või maja omanik kulutama lisaraha viimistlusmaterjalidele, mis lõpuks jäävad üle. Teades, kui palju katvust vajate, saate oluliselt vähendada raiskamist ja säästa raha oma renoveerimiseelarvest, kulutades raha ruumi kaunistamisele.

Valige mõõdulint või mõõdulint. Valige mõõdulint või mõõdulint, millel on märgistus sentimeetrites (cm) või meetrites (m). See seade muudab pindala ruutmeetrites arvutamise lihtsamaks, kuna need on kavandatud samas mõõtesüsteemis.

• Kui leiate mõõdulindi jalgades või tollides, mõõtke pindala saadaolevate mõõtühikute abil ja jätkake sammuga, mis kirjeldab teiste mõõtühikute teisendamist ruutmeetriteks.

Mõõtke valitud ala pikkus. Ruutmeeter on kahemõõtmelise objekti, näiteks põranda või põllu pindala või suuruse mõõtühik. Mõõtke ühe külje pikkus ühest nurgast teise ja registreerige tulemus.

• Kui pikkus on üle ühe meetri, loe nii meetrit kui ka sentimeetreid. Näiteks 2 meetrit 35 sentimeetrit.
• Kui mõõdetav objekt ei ole ristkülik või ruut, lugege selle artikli kolmandat jaotist "Keeruliste kujundite pindala mõõtmine".

Kui te ei saa pikkust korraga mõõta, tehke seda etappide kaupa. Voltige mõõdulint lahti ja tehke märk sellest, kus see lõppes (näiteks 1 meeter või 25 sentimeetrit), seejärel keerake see uuesti lahti ja alustage märgitud alast. Korrake, kuni olete kogu pikkuse mõõtnud. Seejärel lisage kõik mõõdud kokku.

Mõõda laius. Kasutage sama mõõdulint objekti laiuse mõõtmiseks. Mõõtmist tuleb alustada, asetades mõõdulint juba mõõdetud objekti pikkuse suhtes 90º nurga alla. See tähendab, et kaks ruudu joont külgnevad üksteisega. Saadud numbrid kirjuta ka paberile.

• Kui mõõdetud pikkus on veidi alla ühe meetri, ümardage mõõtmisel sentimeetri täpsusega. Näiteks kui laius on veidi suurem kui 1 meeter 8 sentimeetrit, siis kirjutage lihtsalt "1 m. 8 cm." ära loe millimeetreid.

Teisenda sentimeetrid meetriteks. Tavaliselt ei saa mõõta täpselt meetrites. Näete nii meetrites kui ka sentimeetrites, näiteks "2 meetrit 35 sentimeetrit". 1 sentimeeter = 0,01 meetrit, nii et saate sentimeetreid meetriteks teisendada, nihutades koma 2 numbrit vasakule. Siin on mõned näidised.

• 35 cm = 0,35 m, seega 2 m 35 cm = 2 m + 0,35 m = 2,35 m
• 8cm = 0,08m, seega 1m 8cm = 1,08 m

Korrutage pikkus laiusega. Kui olete kõik mõõtmised meetriteks teisendanud, korrutage pikkus laiusega ja saate mõõdetava objekti pindala. Vajadusel kasutage kalkulaatorit. Näiteks:

• 2,35 m x 1,08 m = 2,538 ruutmeetrit (m2).

Kokku võtma. Kui saate palju komakohti, näiteks 2,538 ruutmeetrit, siis ümardage näiteks 2,54 ruutmeetrit. Tõenäoliselt ei võtnud te mõõtmisi millimeetri täpsusega, nii et viimased arvud ei ole ikkagi täpsed. Enamasti ümardame lähima sentimeetrini (0,01 m). Kui vajate täpsemaid mõõtmisi, lugege seda materjali.

• Iga kord, kui korrutate kaks arvu sama mõõtühikuga (nt meetrid), tuleb vastus kirjutada samas mõõtühikus (m 2 ehk ruutmeetrit).

Matemaatika sündis siis, kui inimene teadvustas ennast ja hakkas positsioneerima maailma autonoomse üksusena. Soov mõõta, võrrelda, arvutada seda, mis teid ümbritseb, on meie päeva ühe fundamentaalteaduse aluseks. Alguses olid need elementaarmatemaatika tükid, mis võimaldasid numbreid nende füüsiliste väljenditega seostada, hiljem hakati järeldusi esitama ainult teoreetiliselt (nende abstraktsuse tõttu), kuid mõne aja pärast, nagu üks teadlane ütles, " matemaatika jõudis keerukuse laeni, kui kõik arvud. Mõiste "ruutjuur" ilmus ajal, mil seda sai hõlpsasti toetada empiiriliste andmetega, väljudes arvutustasandist.

Kuidas see kõik algas

Esimest korda mainiti juurt, mida praegu tähistatakse kui √, registreeriti Babüloonia matemaatikute kirjutistes, kes panid aluse kaasaegsele aritmeetikale. Muidugi nägid need välja veidi praegusel kujul – nende aastate teadlased kasutasid esmalt mahukaid tablette. Kuid teisel aastatuhandel eKr. e. nad mõtlesid välja ligikaudse arvutusvalemi, mis näitas ruutjuure võtmist. Alloleval fotol on kivi, millele Babüloonia teadlased nikerdasid väljundprotsessi √2 ja see osutus nii õigeks, et vastuses leiti lahknevus alles kümnenda kümnendkoha täpsusega.

Lisaks kasutati juurt, kui oli vaja leida kolmnurga külg, eeldusel, et teised kaks olid teada. No ruutvõrrandite lahendamisel pole pääsu juure väljavõtmisest.

Koos Babüloonia teostega uuriti artikli objekti Hiina teoses "Matemaatika üheksas raamatus" ja iidsed kreeklased jõudsid järeldusele, et iga arv, millest juurt ilma jäägita ei eraldata, annab irratsionaalse tulemuse.

Selle termini päritolu seostatakse numbri araabiakeelse esitusega: iidsed teadlased uskusid, et suvalise arvu ruut kasvab juurest nagu taim. Ladina keeles kõlab see sõna nagu radix (võib jälgida mustrit - kõik, millel on "juure" semantiline koormus, on kaashäälik, olgu see siis redis või ishias).

Järgmiste põlvkondade teadlased võtsid selle idee üles, nimetades selle Rx-ks. Näiteks 15. sajandil kirjutasid nad selleks, et näidata, et ruutjuur on võetud suvalisest arvust a, R 2 a. Moodsa välimusega tuttav “puuk” √ ilmus tänu Rene Descartes’ile alles 17. sajandil.

Meie päevad

Matemaatiliselt on y ruutjuur arv z, mille ruut on y. Teisisõnu, z 2 =y on ekvivalentne √y=z-ga. See määratlus on aga asjakohane ainult aritmeetilise juure puhul, kuna see eeldab avaldise mittenegatiivset väärtust. Teisisõnu, √y=z, kus z on suurem kui 0 või sellega võrdne.

Üldiselt, mis kehtib algebralise juure määramisel, võib avaldise väärtus olla kas positiivne või negatiivne. Seega tänu sellele, et z 2 =y ja (-z) 2 =y, saame: √y=±z või √y=|z|.

Kuna armastus matemaatika vastu on teaduse arenguga ainult suurenenud, ilmneb selle vastu mitmesuguseid kiindumuse ilminguid, mis ei väljendu kuivades arvutustes. Näiteks koos selliste huvitavate sündmustega nagu pii päev tähistatakse ka ruutjuure pühi. Neid tähistatakse üheksa korda saja aasta jooksul ja nende määramisel järgitakse järgmist põhimõtet: päeva ja kuud tähistavad numbrid peavad olema aasta ruutjuur. Niisiis, järgmine kord tähistatakse seda püha 4. aprillil 2016.

Ruutjuure omadused väljal R

Peaaegu kõigil matemaatilistel avaldistel on geomeetriline alus, see saatus ei läinud mööda ja √y, mis on defineeritud kui ruudu külg pindalaga y.

Kuidas leida arvu juur?

Arvutusalgoritme on mitu. Lihtsaim, kuid samal ajal üsna tülikas on tavaline aritmeetiline arvutus, mis on järgmine:

1) arvust, mille juurt me vajame, lahutatakse omakorda paarituid arve - kuni väljundi jääk on väiksem kui lahutatud üks või võrdub isegi nulliga. Käikude arv muutub lõpuks soovitud arvuks. Näiteks 25 ruutjuure arvutamine:

Järgmine paaritu arv on 11, ülejäänu on: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Sellistel juhtudel on Taylori seeria laiendus:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kus n võtab väärtused vahemikus 0 kuni

+∞ ja |y|≤1.

Funktsiooni z=√y graafiline esitus

Vaatleme reaalarvude väljal R elementaarfunktsiooni z=√y, kus y on nullist suurem või sellega võrdne. Tema diagramm näeb välja selline:

Kõver kasvab lähtepunktist ja ületab tingimata punkti (1; 1).

Funktsiooni z=√y omadused reaalarvude väljal R

1. Vaadeldava funktsiooni määratluspiirkond on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on kaasatud).

2. Vaadeldava funktsiooni väärtuste vahemik on intervall nullist pluss lõpmatuseni (null on jälle kaasatud).

3. Funktsioon võtab minimaalse väärtuse (0) ainult punktis (0; 0). Maksimaalset väärtust pole.

4. Funktsioon z=√y ei ole paaris ega paaritu.

5. Funktsioon z=√y ei ole perioodiline.

6. Funktsiooni z=√y graafikul on ainult üks lõikepunkt koordinaattelgedega: (0; 0).

7. Funktsiooni z=√y graafiku lõikepunkt on ühtlasi selle funktsiooni null.

8. Funktsioon z=√y kasvab pidevalt.

9. Funktsioon z=√y võtab ainult positiivseid väärtusi, mistõttu selle graafik hõivab esimese koordinaatnurga.

Funktsiooni z=√y kuvamise võimalused

Matemaatikas kasutatakse keeruliste avaldiste arvutamise hõlbustamiseks mõnikord ruutjuure kirjutamise astmevormi: √y=y 1/2. See valik on mugav näiteks funktsiooni tõstmisel astmeks: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . See meetod sobib hästi ka integreerimisega diferentseerimiseks, kuna tänu sellele on ruutjuur esindatud tavalise astmefunktsiooniga.

Ja programmeerimises on sümboli √ asenduseks tähtede kombinatsioon sqrt.

Väärib märkimist, et selles piirkonnas on ruutjuur suur nõudlus, kuna see on osa enamikust arvutusteks vajalikest geomeetrilistest valemitest. Loendusalgoritm ise on üsna keeruline ja põhineb rekursioonil (funktsioon, mis kutsub ennast ise).

Ruutjuur kompleksväljal C

Üldiselt oli selle artikli teema see, mis stimuleeris kompleksarvude välja C avastamist, kuna matemaatikuid kummitas küsimus, kuidas saada negatiivsest arvust paaris kraadijuur. Nii tekkis kujuteldav ühik i, mida iseloomustab väga huvitav omadus: selle ruut on -1. Tänu sellele said ruutvõrrandid ja negatiivse diskriminandiga lahenduse. C-s on ruutjuure jaoks olulised samad omadused, mis R-is, ainus asi on see, et juuravaldise piirangud eemaldatakse.