Terminoloogia tundmine, samuti teadmised erinevate geomeetriliste kujundite omadustest aitavad lahendada paljusid geomeetriaprobleeme. Õppides sellist lõiku nagu planimeetria, puutub õpilane sageli kokku mõistega "hulknurk". Millist kujundit see mõiste iseloomustab?
Hulknurk - geomeetrilise kujundi määratlus
Suletud katkendjoon, mille kõik lõigud asetsevad samas tasapinnas ja millel ei ole iselõikusi, moodustab geomeetrilise kujundi, mida nimetatakse hulknurgaks. Polüliini linkide arv peab olema vähemalt 3. Teisisõnu, hulknurk on määratletud kui tasandi osa, mille piiriks on suletud katkendjoon.
Hulknurgaga seotud probleemide lahendamise käigus kasutatakse selliseid mõisteid nagu:
- Hulknurga külg. See termin iseloomustab soovitud kujundi katkenud ahela segmenti (linki).
- Hulknurga nurk (sisemine) - nurk, mille moodustavad polüliini 2 külgnevat lüli.
- Hulknurga tipp on määratletud polüliini tipuna.
- Hulknurga diagonaal on lõik, mis ühendab hulknurkse kujundi 2 tippu (välja arvatud naaberpunktid).
Sel juhul langeb linkide arv ja polüliini tippude arv ühes hulknurgas kokku. Sõltuvalt nurkade (või katkendliku joone segmentide) arvust määratakse ka hulknurga tüüp:
- 3 nurka - kolmnurk.
- 4 nurka - nelinurk.
- 5 nurka - viisnurk jne.
Kui hulknurksel kujundil on võrdsed nurgad ja vastavalt ka küljed, siis öeldakse, et see hulknurk on korrapärane.
Hulknurkade tüübid
Kõik hulknurksed geomeetrilised kujundid jagunevad kahte tüüpi - kumerad ja nõgusad.
- Kui mõni hulknurga külgedest ei moodusta pärast sirgjoonele jätkamist tegeliku kujundiga ristumispunkte, siis on teil kumer hulknurkne kujund.
- Kui pärast (ükskõik millise) külje pikendamist saadud joon lõikub hulknurgaga, räägime nõgusast hulknurgast.
Hulknurga omadused
Olenemata sellest, kas uuritav hulknurkne kujund on korrapärane või mitte, on sellel järgmised omadused. Niisiis:
- Selle sisenurgad moodustavad kokku (p – 2)*π, kus
π on sirgendatud nurga radiaanmõõt, mis vastab 180°-le,
p on hulknurkse kujundi (p-gon) nurkade (tippude) arv.
- Mis tahes hulknurkse kujundi diagonaalide arv määratakse suhtega p * (p - 3) / 2, kus
p on p-nurga külgede arv.
Hulknurga omadused
Hulknurk on geomeetriline kujund, mida tavaliselt defineeritakse kui suletud polüjoont, millel puuduvad iselõikused (lihtne hulknurk (joon. 1a)), kuid mõnikord on ka iselõikused lubatud (siis pole hulknurk lihtne).
Polüliini tippe nimetatakse hulknurga tippudeks ja lõikeid hulknurga külgedeks. Hulknurga tippe nimetatakse naabriteks, kui need on selle ühe külje otsad. Hulknurga mittenaabruses olevaid tippe ühendavaid joonelõike nimetatakse diagonaalideks.
Kumera hulknurga nurk (või sisenurk) antud tipus on nurk, mille moodustavad selle küljed koonduvad selles tipus ja nurka vaadeldakse hulknurga küljelt. Eelkõige võib nurk ületada 180°, kui hulknurk ei ole kumer.
Kumera hulknurga välisnurk antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga. Üldiselt on välisnurk 180° ja sisenurga vahe. Igast -goni tipust > 3 korral on -3 diagonaali, seega on -goni diagonaalide koguarv võrdne.
Kolme tipuga hulknurka nimetatakse kolmnurgaks, nelja tipuga nelinurgaks, viiega viisnurgaks jne.
Hulknurk koos n piike nimetatakse n- ruut.
Tasane hulknurk on kujund, mis koosneb hulknurgast ja sellega piiratud ala lõplikust osast.
Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui on täidetud üks järgmistest (võrdväärsetest) tingimustest:
- 1. see asub ühel pool mis tahes sirget, mis ühendab selle naabertippe. (st hulknurga külgede pikendused ei ristu selle teisi külgi);
- 2. see on mitme pooltasandi ristumiskoht (s.o. ühisosa);
- 3. iga lõik, mille otsad on hulknurgale kuuluvates punktides, kuulub täielikult sellele.
Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed, näiteks võrdkülgne kolmnurk, ruut ja viisnurk.
Kumer hulknurk on kirjutatud ringi ümber, kui selle kõik küljed puutuvad mõne ringiga
Tavaline hulknurk on hulknurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed.
Hulknurga omadused:
1 Kumera -nurga iga diagonaal, kus >3, jagab selle kaheks kumeraks hulknurgaks.
2 Kumera nurga kõigi nurkade summa on võrdne.
D-in: Tõestame teoreemi matemaatilise induktsiooni meetodil. = 3 puhul on see ilmne. Oletame, et teoreem on tõene -gon, kus <, ja tõestage seda -gon.
Laskma olla antud hulknurk. Joonistage selle hulknurga diagonaal. Teoreemi 3 järgi on hulknurk jaotatud kolmnurgaks ja kumeraks -nurgaks (joon. 5). Induktsiooni hüpoteesi järgi. Teiselt poolt, . Nende võrdsuste lisamine ja sellega arvestamine (- sisemine valgusnurk ) ja (- sisemine valgusnurk ), saame.Kui saame: .
3 Iga korrapärase hulknurga kohta on võimalik kirjeldada ringi ja pealegi ainult ühte.
D-in: olgu korrapärane hulknurk ja ja nurkade ja poolitajad (joonis 150). Kuna seega * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Tõestame seda O = OA 2 = O =… = OA P . Kolmnurk O võrdhaarne, seega O= O. Kolmnurkade võrdsuse teise kriteeriumi kohaselt on seega O = O. Samamoodi on tõestatud, et O = O jne. Nii et point O võrdsel kaugusel kõigist hulknurga tippudest, seega ringjoon keskpunktiga O raadius O on hulknurga ümber piiratud.
Tõestame nüüd, et on ainult üks piiratud ring. Vaatleme näiteks hulknurga kolme tippu, AGA 2 , . Kuna neid punkte läbib ainult üks ring, siis umbes hulknurgast … Te ei saa kirjeldada rohkem kui ühte suhtlusringi.
- 4 Igasse tavalisse hulknurka saab kirjutada ringi ja pealegi ainult ühe.
- 5 Korrapärasesse hulknurka kantud ringjoon puudutab hulknurga külgi nende keskpunktides.
- 6 Regulaarset hulknurka ümbritseva ringi keskpunkt langeb kokku samasse hulknurka kantud ringi keskpunktiga.
- 7 Sümmeetria:
Figuuri nimetatakse sümmeetriliseks (sümmeetriliseks), kui on olemas selline liikumine (mitte identne), mis muudab selle kujundi iseendaks.
- 7.1. Üldkolmnurgal ei ole telgesid ega sümmeetriakeskmeid, see ei ole sümmeetriline. Võrdhaarsel (kuid mitte võrdkülgsel) kolmnurgal on üks sümmeetriatelg: poolitaja aluse suhtes risti.
- 7.2. Võrdkülgsel kolmnurgal on kolm sümmeetriatelge (külgedega risti poolitajad) ja pöördesümmeetria keskpunkti suhtes pöördenurgaga 120°.
7.3 Igal korrapärasel n-nurgal on n sümmeetriatelge, mis kõik läbivad selle keskpunkti. Sellel on ka pöördenurgaga pöördesümmeetria keskpunkti suhtes.
Isegi nühed sümmeetriateljed läbivad vastassuunalisi tippe, teised aga vastaskülgede keskpunkte.
Imelikuks n iga telg läbib vastaskülje tipu ja keskpunkti.
Paarisarvu külgedega korrapärase hulknurga keskpunkt on selle sümmeetriakese. Paaritu arvu külgedega korrapärasel hulknurgal pole sümmeetriakeset.
8 Sarnasus:
Sarnasusega ja -gon läheb -gon, pooltasapind - pooltasandiks, seega kumer n-gon muutub kumeraks n-gon.
Teoreem: Kui kumerate hulknurkade küljed ja nurgad rahuldavad võrdusi:
kus on poodiumikoefitsient
siis on need hulknurgad sarnased.
- 8.1 Kahe sarnase hulknurga ümbermõõtude suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendiga.
- 8.2. Kahe kumera sarnase hulknurga pindalade suhe on võrdne sarnasuskordaja ruuduga.
hulknurga kolmnurga perimeetri teoreem
Kolmnurk, ruut, kuusnurk - need kujundid on peaaegu kõigile teada. Kuid mitte kõik ei tea, mis on tavaline hulknurk. Kuid see kõik on sama Regulaarset hulknurka nimetatakse selliseks, millel on võrdsed nurgad ja küljed. Selliseid kujundeid on palju, kuid neil kõigil on samad omadused ja neile kehtivad samad valemid.
Regulaarsete hulknurkade omadused
Iga korrapärase hulknurga, olgu see ruut või kaheksanurk, saab kirjutada ringi. Seda põhiomadust kasutatakse sageli figuuri koostamisel. Lisaks saab hulknurga sisse kirjutada ka ringi. Sel juhul on puutepunktide arv võrdne selle külgede arvuga. On oluline, et korrapärasesse hulknurka kantud ringil oleks sellega ühine keskpunkt. Nende geomeetriliste kujundite suhtes kehtivad samad teoreemid. Korrapärase n-nurga mis tahes külg on seotud seda ümbritseva ringjoone raadiusega R. Seetõttu saab selle arvutada järgmise valemi abil: a = 2R ∙ sin180°. Läbi leiate mitte ainult hulknurga küljed, vaid ka perimeetri.
Kuidas leida tavalise hulknurga külgede arvu
Igaüks neist koosneb teatud arvust üksteisega võrdsetest segmentidest, mis ühendamisel moodustavad suletud joone. Sel juhul on moodustatud figuuri kõik nurgad sama väärtusega. Hulknurgad jagunevad lihtsateks ja keerukateks. Esimesse rühma kuuluvad kolmnurk ja ruut. Komplekssetel hulknurkadel on rohkem külgi. Nende hulka kuuluvad ka tähekujulised kujundid. Keeruliste korrapäraste hulknurkade puhul leitakse küljed, kirjutades need ringikujuliseks. Anname tõestuse. Joonistage korrapärane hulknurk suvalise arvu külgedega n. Kirjeldage selle ümber olevat ringi. Määrake raadius R. Kujutage nüüd ette, et antud on mingi n-nurk. Kui selle nurkade punktid asuvad ringil ja on üksteisega võrdsed, saab küljed leida valemiga: a = 2R ∙ sinα: 2.
Sissekirjutatud täisnurkse kolmnurga külgede arvu leidmine
Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis ruudu ja n-nurga puhul. Kolmnurka peetakse õigeks, kui selle küljed on sama pikkusega. Sel juhul on nurgad 60⁰. Koostage kolmnurk antud külje pikkusega a. Teades selle mediaani ja kõrgust, saate leida selle külgede väärtuse. Selleks kasutame valemi a \u003d x: cosα leidmise meetodit, kus x on mediaan või kõrgus. Kuna kolmnurga kõik küljed on võrdsed, saame a = b = c. Siis on tõene järgmine väide: a = b = c = x: cosα. Samamoodi leiate võrdhaarse kolmnurga külgede väärtused, kuid x on antud kõrgus. Samal ajal tuleks see projitseerida rangelt figuuri alusele. Seega, teades kõrgust x, leiame võrdhaarse kolmnurga külje a, kasutades valemit a \u003d b \u003d x: cosα. Pärast a väärtuse leidmist saate arvutada aluse c pikkuse. Rakendame Pythagorase teoreemi. Otsime poole aluse c väärtust: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Siis c = 2xtanα. Nii lihtsal viisil saate leida mis tahes sisse kirjutatud hulknurga külgede arvu.
Ringi sisse kirjutatud ruudu külgede arvutamine
Nagu igal teisel tavalisel hulknurgal, on ka ruudul võrdsed küljed ja nurgad. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis kolmnurga puhul. Diagonaali väärtuse abil saate arvutada ruudu küljed. Vaatleme seda meetodit üksikasjalikumalt. On teada, et diagonaal poolitab nurga. Algselt oli selle väärtus 90 kraadi. Seega pärast jagamist moodustuvad kaks, mille nurgad aluses on 45 kraadi. Sellest lähtuvalt on ruudu mõlemad küljed võrdsed, see tähendab: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kus e on ruudu diagonaal või ruudu alus pärast jagamist tekkinud täisnurkne kolmnurk. See pole ainus viis ruudu külgede leidmiseks. Kirjutame selle kujundi ringi. Teades selle ringi R raadiust, leiame ruudu külje. Arvutame selle järgmiselt a4 = R√2. Regulaarsete hulknurkade raadiused arvutatakse valemiga R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kus a on külje pikkus.
Kuidas arvutada n-nurga ümbermõõt
N-nurga ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Seda on lihtne arvutada. Selleks peate teadma kõigi külgede väärtusi. Teatud tüüpi hulknurkade jaoks on olemas spetsiaalsed valemid. Need võimaldavad teil perimeetrit palju kiiremini leida. On teada, et igal korrapärasel hulknurgal on võrdsed küljed. Seetõttu piisab selle perimeetri arvutamiseks vähemalt ühe neist teadmisest. Valem sõltub joonise külgede arvust. Üldiselt näeb see välja järgmine: P \u003d an, kus a on külje väärtus ja n on nurkade arv. Näiteks tavalise kaheksanurga ümbermõõdu leidmiseks, mille külg on 3 cm, peate selle korrutama 8-ga, see tähendab, et P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Kuusnurga puhul, mille külg on 5 cm, arvutame järgmiselt: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ja nii iga hulknurga puhul.
Rööpküliku, ruudu ja rombi ümbermõõdu leidmine
Sõltuvalt sellest, mitu külge on tavalisel hulknurgal, arvutatakse selle ümbermõõt. See muudab ülesande palju lihtsamaks. Tõepoolest, erinevalt teistest kujunditest ei ole sel juhul vaja otsida selle kõiki külgi, piisab ühest. Samal põhimõttel leiame nelinurkade ümbermõõdu, see tähendab ruudu ja rombi. Hoolimata asjaolust, et tegemist on erinevate arvudega, on nende valem sama P = 4a, kus a on külg. Võtame näite. Kui rombi või ruudu külg on 6 cm, siis leiame perimeetri järgmiselt: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rööpkülikul on ainult vastasküljed. Seetõttu leitakse selle ümbermõõt erineva meetodi abil. Seega peame teadma joonise pikkust a ja laiust b. Seejärel rakendame valemit P \u003d (a + c) ∙ 2. Rööpkülikut, mille kõik küljed ja nendevahelised nurgad on võrdsed, nimetatakse rombiks.
Võrdkülgse ja täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu leidmine
Õige perimeetri saab leida valemiga P \u003d 3a, kus a on külje pikkus. Kui see pole teada, saab selle leida mediaani kaudu. Täisnurksel kolmnurgal on ainult kaks külge võrdsed. Aluse saab leida Pythagorase teoreemi kaudu. Pärast kõigi kolme külje väärtuste selgumist arvutame perimeetri. Selle saab leida, rakendades valemit P \u003d a + b + c, kus a ja b on võrdsed küljed ning c on alus. Tuletame meelde, et võrdhaarses kolmnurgas a \u003d b \u003d a, seega a + b \u003d 2a, siis P \u003d 2a + c. Näiteks võrdhaarse kolmnurga külg on 4 cm, leidke selle alus ja ümbermõõt. Arvutame hüpotenuusi väärtuse Pythagorase teoreemi järgi c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Nüüd arvutame ümbermõõdu P \u003d \u003d 4 \u0030. u003d 13,65 cm.
Kuidas leida tavalise hulknurga nurki
Korrapärane hulknurk esineb meie elus iga päev, näiteks tavaline ruut, kolmnurk, kaheksanurk. Näib, et pole midagi lihtsamat kui selle kuju ise üles ehitada. Kuid see on ainult esmapilgul. Mis tahes n-nurga konstrueerimiseks peate teadma selle nurkade väärtust. Aga kuidas neid leida? Isegi antiikaja teadlased püüdsid ehitada korrapäraseid hulknurki. Nad arvasid, et mahuvad need ringidesse. Ja siis märgiti sellele vajalikud punktid, mis olid ühendatud sirgjoontega. Lihtsate kujundite puhul on ehitusprobleem lahendatud. Valemid ja teoreemid on saadud. Näiteks tegeles Euclid oma kuulsas teoses "Algus" 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-goni ülesannete lahendamisega. Ta leidis viise nende konstrueerimiseks ja nurkade leidmiseks. Vaatame, kuidas seda 15-gonilise jaoks teha. Kõigepealt peate arvutama selle sisenurkade summa. On vaja kasutada valemit S = 180⁰(n-2). Seega antakse meile 15-nurkne, mis tähendab, et arv n on 15. Asendame meile teadaolevad andmed valemiga ja saame S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Oleme leidnud 15-goni sisenurkade summa. Nüüd peame saama neist igaühe väärtuse. Nurki on kokku 15. Arvutame 2340⁰: 15 = 156⁰. See tähendab, et iga sisenurk on 156⁰, nüüd saate joonlaua ja sirkli abil ehitada tavalise 15-gonilise. Aga kuidas on lood keerukamate n-nurkadega? Teadlased on sajandeid selle probleemi lahendamise nimel vaeva näinud. Carl Friedrich Gauss leidis selle alles 18. sajandil. Ta suutis ehitada 65537-goni. Sellest ajast alates on probleem ametlikult peetud täielikult lahendatuks.
N-nurga nurkade arvutamine radiaanides
Muidugi on hulknurkade leidmiseks mitu võimalust. Enamasti arvutatakse need kraadides. Kuid võite neid väljendada ka radiaanides. Kuidas seda teha? On vaja toimida järgmiselt. Esiteks selgitame välja tavalise hulknurga külgede arvu, seejärel lahutame sellest 2. Seega saame väärtuse: n - 2. Korrutage leitud erinevus arvuga n ("pi" \u003d 3,14). Nüüd jääb üle vaid saadud korrutis jagada n-nurga nurkade arvuga. Mõelge nendele arvutustele sama viieteistkümne külje näitel. Seega on arv n 15. Rakendame valemit S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. See pole muidugi ainus viis nurga arvutamiseks radiaanides. Nurga suuruse kraadides saate lihtsalt jagada numbriga 57,3. Lõppude lõpuks võrdub see mitu kraadi ühe radiaaniga.
Nurkade väärtuse arvutamine kraadides
Lisaks kraadidele ja radiaanidele võib proovida leida ka tavalise hulknurga nurkade väärtust gradides. Seda tehakse järgmisel viisil. Lahutage nurkade koguarvust 2, jagage saadud vahe tavalise hulknurga külgede arvuga. Leitud tulemuse korrutame 200-ga. Muide, sellist nurkade mõõtühikut kraadidena praktiliselt ei kasutata.
N-nurkade välisnurkade arvutamine
Iga tavalise hulknurga jaoks saate lisaks sisemisele arvutada ka välisnurga. Selle väärtus leitakse samamoodi nagu teiste arvude puhul. Nii et tavalise hulknurga välimise nurga leidmiseks peate teadma sisemise nurga väärtust. Lisaks teame, et nende kahe nurga summa on alati 180 kraadi. Seetõttu teeme arvutused järgmiselt: 180⁰ miinus sisenurga väärtus. Leiame erinevuse. See võrdub sellega külgneva nurga väärtusega. Näiteks ruudu sisenurk on 90 kraadi, nii et välimine nurk on 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Nagu näeme, pole seda raske leida. Välisnurk võib olla vahemikus +180⁰ kuni -180⁰.
Hulknurk on geomeetriline kujund, mis on igast küljest piiratud suletud katkendjoonega. Sel juhul ei tohiks polüliini linkide arv olla väiksem kui kolm. Igal polüliini segmentide paaril on ühine punkt ja see moodustab nurgad. Nurkade arv koos polüliini segmentide arvuga on hulknurga peamised omadused. Igas hulknurgas on piirava suletud polüliini linkide arv sama kui nurkade arv.
Geomeetria külgi nimetatakse tavaliselt polüliini linkideks, mis piiravad geomeetrilist objekti. Tipud on kahe külgneva külje kokkupuutepunktid., mille arvu järgi hulknurgad oma nimed saavad.
Kui suletud katkendjoon koosneb kolmest lõigust, nimetatakse seda kolmnurgaks; vastavalt neljast segmendist - nelinurk, viiest - viisnurk jne.
Kolmnurga või nelinurga tähistamiseks kasutage selle tippe tähistavaid suuri ladina tähti. Tähti kutsutakse järjekorras – päripäeva või vastupäeva.
Põhimõisted
Hulknurga määratluse kirjeldamisel tuleks arvesse võtta mõningaid seotud geomeetrilisi mõisteid:
- Kui tipud on sama külje otsad, nimetatakse neid naabriteks.
- Kui segment ühendab mitte-naabertippe, nimetatakse seda diagonaaliks. Kolmnurgal ei saa olla diagonaale.
- Sisenurk on nurk ühes tipus, mis moodustub selle kahe külje koondumisest selles punktis. See asub alati geomeetrilise kujundi sisemises piirkonnas. Kui hulknurk on mittekumer, võib selle suurus ületada 180 kraadi.
- Välisnurk teatud tipu juures on nurk, mis külgneb selle sisemise tipuga. Teisisõnu võib välisnurka pidada 180° ja sisenurga väärtuse erinevuseks.
- Kõigi segmentide väärtuste summat nimetatakse perimeetriks.
- Kui kõik küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse seda õigeks. Õiged võivad olla ainult kumerad.
Nagu eespool mainitud, põhinevad hulknurksete geomeetriate nimetused tippude arvul. Kui joonisel on neid n, nimetatakse seda n-gon:
- Hulknurka nimetatakse tasaseks, kui see piirab tasandi lõplikku osa. Selle geomeetrilise kujundi saab kirjutada ringi või ümber ringi.
- N-nurka nimetatakse kumeraks, kui see vastab ühele alltoodud tingimustest.
- Joonis asub kahte kõrvuti asetsevat tippu ühendava sirge ühel küljel.
- See kujund toimib mitme pooltasandi ühise osana või ristumiskohana.
- Diagonaalid asuvad hulknurga sees.
- Kui lõigu otsad asuvad punktides, mis kuuluvad hulknurga alla, kuulub kogu lõik sellele.
- Figuuri võib nimetada korrapäraseks, kui kõik selle lõigud ja nurgad on võrdsed. Näiteks ruut, võrdkülgne kolmnurk või tavaline viisnurk.
- Kui n-nurk on mittekumer, siis kõik selle küljed ja nurgad on võrdsed ning tipud langevad kokku tavalise n-nurga omadega, nimetatakse seda stellatuks. Sellistel kujunditel võib olla iselõikusi. Näiteks võib tuua pentagrammi või heksagrammi.
- Kolmnurka või nelinurka nimetatakse ringi sisse kirjutatud, kui kõik selle tipud asuvad sama ringi sees. Kui selle kujundi külgedel on kokkupuutepunktid ringiga, on see hulknurk, mis on piiritletud mingi ringi ümber.
Ükskõik milline kumera n-nurga saab jagada kolmnurkadeks. Sel juhul on kolmnurkade arv 2 võrra väiksem kui külgede arv.
Figuuride tüübid
See on hulknurk, millel on kolm tippu ja kolm neid ühendavat sirglõiku. Sel juhul ei asu segmentide ühenduspunktid ühel sirgel.
Segmentide ühenduspunktid on kolmnurga tipud. Lõike endid nimetatakse kolmnurga külgedeks. Iga kolmnurga sisenurkade summa on 180°.
Vastavalt külgede vahekordadele võib kõik kolmnurgad jagada mitut tüüpi:
- võrdkülgsed- milles kõigi segmentide pikkus on sama.
- võrdhaarne Kolmnurgad, millel on kaks võrdset lõiku kolmest.
- Mitmekülgne- kui kõigi segmentide pikkus on erinev.
Lisaks on tavaks eristada järgmisi kolmnurki:
- Teravnurkne.
- Ristkülikukujuline.
- nüri.
nelinurkne
Nelinurk on tasane kujund, millel on 4 tippu ja 4 segmenti, mis neid järjestikku ühendavad.
- Kui nelinurga kõik nurgad on täisnurgad, nimetatakse joonist ristkülikuks.
- Ristkülikut, mille kõik küljed on ühesuurused, nimetatakse ruuduks.
- Nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed, nimetatakse rombiks.
Kolm nelinurga tippu ei saa asuda samal sirgel.
Video
Lisateavet hulknurkade kohta leiate sellest videost.
Teema: "Polügoonid. Hulknurkade tüübid"
9. klass
SL nr 20
Õpetaja: Kharitonovich T.I. Tunni eesmärk: hulknurkade tüüpide uurimine.
Õppeülesanne: ajakohastada, laiendada ja üldistada õpilaste teadmisi hulknurkadest; kujundada ettekujutus hulknurga "komponentidest"; viia läbi uuring korrapäraste hulknurkade (kolmnurgast n-nurgani) moodustavate elementide arvu kohta;
Arendusülesanne: arendada analüüsi-, võrdlemis-, järelduste tegemise, arvutusoskuste, suulise ja kirjaliku matemaatilise kõne oskust, mälu, samuti iseseisvust mõtlemises ja õppetegevuses, paaris- ja rühmatöö oskust; arendada teadus- ja õppetegevust;
Hariduslik ülesanne: kasvatada iseseisvust, aktiivsust, vastutust antud ülesande eest, sihikindlust eesmärgi saavutamisel.
Varustus: interaktiivne tahvel (esitlus)
Tundide ajal
Näita esitlust: "Polygons"
"Loodus räägib matemaatika keelt, selle keele tähti ... matemaatilisi kujundeid." G. Gallilei
Tunni alguses jagatakse klass töörühmadeks (meie puhul jagatakse 3 rühma)
1. Kõne etapp-
a) õpilaste teadmiste täiendamine teemal;
b) huvi äratamine uuritava teema vastu, iga õpilase motivatsioon õppetegevuseks.
Vastuvõtt: mäng "Kas sa usud, et ...", tekstiga töö korraldamine.
Töövormid: frontaalne, rühm.
"Kas sa usud seda..."
1. ... sõna "hulknurk" näitab, et selle perekonna kõikidel kujudel on "palju nurki"?
2. … kas kolmnurk kuulub suurde hulknurkade perekonda, mis eristuvad tasandi erinevatest geomeetrilistest kujunditest?
3. …kas ruut on tavaline kaheksanurk (neli külge + neli nurka)?
Tänases tunnis räägime hulknurkadest. Saame teada, et seda kujundit piirab suletud katkendjoon, mis omakorda võib olla lihtne, suletud. Räägime sellest, et hulknurgad on tasased, korrapärased, kumerad. Üks tasapinnaline hulknurk on teile juba ammu tuttav kolmnurk (saate näidata õpilastele polügoone, katkendjoont kujutavaid plakateid, näidata nende erinevaid tüüpe, kasutada saab ka TCO-d).
2. Arusaamise staadium
Eesmärk: uue teabe hankimine, selle mõistmine, valik.
Vastuvõtt: siksakiline.
Töövormid: individuaalne->paar->rühm.
Igale rühmale antakse tunniteemaline tekst ja tekst on kujundatud nii, et see sisaldab nii õpilastele juba teadaolevat kui ka täiesti uut teavet. Koos tekstiga saavad õpilased küsimused, millele tuleb vastused leida sellest tekstist.
Hulknurgad. Hulknurkade tüübid.
Kes poleks kuulnud salapärasest Bermuda kolmnurgast, kus laevad ja lennukid jäljetult kaovad? Kuid meile lapsepõlvest tuttav kolmnurk on täis palju huvitavat ja salapärast.
Lisaks meile juba tuntud kolmnurkade tüüpidele, mis on jagatud külgede (mõõtkava, võrdhaarne, võrdkülgne) ja nurkadega (terasnurkne, nürinurkne, täisnurkne), kuulub kolmnurk suurde hulknurkade perekonda, mis eristuvad palju erinevaid geomeetrilisi kujundeid tasapinnal.
Sõna "polügoon" näitab, et selle perekonna kõigil kujudel on "palju nurki". Kuid sellest ei piisa figuuri iseloomustamiseks.
Katkendjoon A1A2…An on kujund, mis koosneb punktidest A1,A2,…An ja neid ühendavatest lõikudest A1A2, A2A3,…. Punkte nimetatakse polüliini tippudeks ja segmente nimetatakse polüliini lülideks. (JOON 1)
Katkendjoont nimetatakse lihtsaks, kui sellel ei ole iselõikusi (joon. 2,3).
Katkendjoont nimetatakse suletuks, kui selle otsad langevad kokku. Katkendjoone pikkus on selle lülide pikkuste summa (joonis 4)
Lihtsat suletud katkendjoont nimetatakse hulknurgaks, kui selle külgnevad lülid ei asu samal sirgel (joonis 5).
Asenda sõna “hulknurk” osa “paljude” asemel konkreetne arv, näiteks 3. Saad kolmnurga. Või 5. Siis - viisnurk. Pange tähele, et nurki on sama palju kui külgi, seega võiks neid kujundeid nimetada mitmekülgseteks.
Polüliini tippe nimetatakse hulknurga tippudeks ja polüliini linke nimetatakse hulknurga külgedeks.
Hulknurk jagab tasapinna kaheks piirkonnaks: sisemine ja välimine (joon. 6).
Tasapinnaline hulknurk ehk hulknurkne piirkond on hulknurgaga piiratud tasapinna lõplik osa.
Hulknurga kahte tippu, mis on sama külje otsad, nimetatakse naabriteks. Tipud, mis ei ole ühe külje otsad, ei külgne.
Hulknurka, millel on n tippu ja seega n külge, nimetatakse n-nurgaks.
Kuigi hulknurga väikseim külgede arv on 3. Kolmnurgad aga võivad üksteisega ühendudes moodustada teisi kujundeid, mis omakorda on samuti hulknurgad.
Lõike, mis ühendavad hulknurga mitte-naabertippe, nimetatakse diagonaalideks.
Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asub selle külge sisaldava sirge suhtes ühel pooltasandil. Sel juhul loetakse joon ise POOLTASANDI kuuluvaks
Kumera hulknurga nurk antud tipu juures on nurk, mille moodustavad selle tipus koonduvad küljed.
Tõestame teoreemi (kumera n-nurga nurkade summa kohta): Kumera n-nurga nurkade summa võrdub 1800*(n - 2).
Tõestus. Juhul n=3 teoreem kehtib. Olgu А1А2…А n etteantud kumer hulknurk ja n>3. Joonistame sellesse (ühest tipust) diagonaalid. Kuna hulknurk on kumer, jagavad need diagonaalid selle n - 2 kolmnurgaks. Hulknurga nurkade summa on sama, mis kõigi nende kolmnurkade nurkade summa. Iga kolmnurga nurkade summa on 1800 ja nende kolmnurkade arv on n - 2. Seetõttu on kumera n - nurga A1A2 ... A n nurkade summa 1800 * (n - 2). Teoreem on tõestatud.
Kumera hulknurga välisnurk antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga.
Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed.
Seega võib ruutu nimetada erinevalt – tavaliseks nelinurgaks. Ka võrdkülgsed kolmnurgad on korrapärased. Sellised figuurid on hooneid kaunistanud meistritele juba ammu huvi pakkunud. Nad tegid ilusaid mustreid näiteks parketile. Kuid kõiki tavalisi hulknurki ei saanud parketi moodustamiseks kasutada. Parketti ei saa vormida tavalistest kaheksanurkadest. Fakt on see, et nende iga nurk on 1350. Ja kui mõni punkt on kahe sellise kaheksanurga tipp, siis on neil 2700 ja kolmas kaheksanurk ei mahu kuhugi: 3600 - 2700 = 900. ruut sellest piisab. Seetõttu on parkett võimalik voltida tavalistest kaheksakandilistest ja ruutudest.
Tähed on õiged. Meie viieharuline täht on tavaline viisnurkne täht. Ja kui pöörate ruutu ümber keskpunkti 450 võrra, saate tavalise kaheksanurkse tähe.
Mis on katkendlik joon? Selgitage, mis on polüliini tipud ja lingid.
Millist katkendlikku joont nimetatakse lihtsaks?
Millist katkendlikku joont nimetatakse suletud?
Mis on hulknurk? Kuidas nimetatakse hulknurga tippe? Mis on hulknurga küljed?
Mis on tasane hulknurk? Too näiteid hulknurkade kohta.
Mis on n-gon?
Selgitage, millised hulknurga tipud on kõrvuti ja millised mitte.
Mis on hulknurga diagonaal?
Mis on kumer hulknurk?
Selgitage, millised hulknurga nurgad on välised ja millised sisemised?
Mis on tavaline hulknurk? Too näiteid regulaarsete hulknurkade kohta.
Kui suur on kumera n-nurga nurkade summa? Tõesta seda.
Õpilased töötavad tekstiga, otsivad vastuseid püstitatud küsimustele, mille järel moodustatakse ekspertrühmad, milles tehakse tööd samade küsimustega: õpilased tõstavad esile põhilise, koostavad toetava kokkuvõtte, esitavad teavet ühes graafilised vormid. Töö lõppedes naasevad õpilased oma töörühmadesse.
3. Peegelduse staadium –
a) oma teadmiste hindamine, väljakutse teadmiste järgmisele astmele;
b) saadud teabe mõistmine ja omastamine.
Vastuvõtt: uurimistöö.
Töövormid: individuaalne->paar->rühm.
Töörühmad on eksperdid, kes vastavad igale esitatud küsimuste jaotisele.
Naastes töörühma juurde, tutvustab ekspert teistele rühmaliikmetele vastuseid nende küsimustele. Grupis toimub kõigi töörühma liikmete infovahetus. Seega kujuneb igas töörühmas tänu ekspertide tööle üldine ettekujutus uuritavast teemast.
Õpilaste uurimistööd- tabeli täitmine.
Regulaarsed hulknurgad Joonistus Külgede arv Tipude arv Kõikide sisenurkade summa Sisenurga aste. nurk Välisnurga kraadimõõt Diagonaalide arv
A) kolmnurk
B) nelinurk
B) viie auguga
D) kuusnurk
E) n-gon
Huvitavate ülesannete lahendamine tunni teemal.
1) Mitu külge on tavalisel hulknurgal, mille iga sisenurk on 1350?
2) Teatud hulknurgas on kõik sisenurgad üksteisega võrdsed. Kas selle hulknurga sisenurkade summa võib olla: 3600, 3800?
3) Kas on võimalik ehitada viisnurka, mille nurgad on 100,103,110,110,116 kraadi?
Õppetunni kokkuvõte.
Kodutöö salvestamine: STR66-72 nr 15,17 JA ÜLESANNE: NELINURGUS JOONISTAGE OTSE, NII TA JAGAB SELLE KOLMEKS KOLMNURGAKS.
Peegeldus testide vormis (interaktiivsel tahvlil)