Loetlege teile teadaolevate identiteeditõestuste tüübid. Võrrandid

Isikuid tõendav dokument. Matemaatikas on palju mõisteid. Üks neist on identiteet.

  • Identiteet on võrdsus, mis kehtib kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste kohta.

Mõned identiteedid on meile juba teada. Näiteks kõik lühendatud korrutusvalemid on identiteedid.

Tõesta identiteet- see tähendab kindlaks teha, et muutujate mis tahes lubatud väärtuse korral on selle vasak pool võrdne parema poolega.

Algebras on identiteedi tõestamiseks mitu erinevat viisi.

Identiteedi tõestamise viisid

  • identiteedi vasak pool. Kui lõpuks saame õige poole, siis loetakse identiteet tõestatuks.
  • Tehke samaväärsed teisendused identiteedi parem pool. Kui lõpuks saame vasaku poole, siis loetakse identiteet tõestatuks.
  • Tehke samaväärsed teisendused identiteedi vasak ja parem pool. Kui selle tulemusel saame sama tulemuse, loetakse identiteet tõestatuks.
  • Lahutage identiteedi paremast küljest vasak pool.
  • Lahutage identiteedi vasakust küljest parem pool. Teeme erinevusele samaväärsed teisendused. Ja kui lõpuks saame nulli, siis loetakse identiteet tõestatuks.

Samuti tuleb meeles pidada, et identiteet kehtib ainult muutujate lubatud väärtuste puhul.

Nagu näete, on palju viise. Milline viis antud juhul valida, sõltub isikusamasusest, mida peate tõendama. Erinevate identiteetide tõestamisel tuleb kogemusi tõendamismeetodi valimisel.

Vaatame mõnda lihtsat näidet

Näide 1

Tõesta identsus x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Lahendus.

Kuna paremal küljel on väike avaldis, siis proovime teisendada võrdsuse vasakut poolt.

  • x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Esitame sarnaseid termineid ja võtame ühisteguri sulgudest välja.

  • x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Saime, et vasak pool muutus pärast teisendusi samaks, mis parem pool. Seetõttu on see võrdsus identiteet.

Näide 2

Tõesta identsus a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Lahendus.

Selles näites saate teha järgmist. Avame võrdsuse paremal küljel olevad sulud.

  • (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Näeme, et pärast teisendusi on võrdsuse parem pool muutunud samaks, mis võrdsuse vasak pool. Seetõttu on see võrdsus identiteet.

LOENG №3 Isikute tõendamine

Eesmärk: 1. Korrake identiteedi määratlusi ja identselt võrdseid väljendeid.

2.Tutvustada väljendite identse teisenduse mõistet.

3. Polünoomi korrutamine polünoomiga.

4. Polünoomi lagundamine teguriteks rühmitamismeetodil.

Mai iga päev ja iga tund

Saame midagi uut

Olgu meie meeled head

Ja süda saab targaks!

Matemaatikas on palju mõisteid. Üks neist on identiteet.

Identiteet on võrdsus, mis kehtib kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste kohta. Mõned identiteedid on meile juba teada.

Näiteks kõik lühendatud korrutusvalemid on identiteedid.

Lühendatud korrutusvalemid

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3 ± 3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Tõesta identiteet- see tähendab kindlaks teha, et muutujate mis tahes lubatud väärtuse korral on selle vasak pool võrdne parema poolega.

Algebras on identiteedi tõestamiseks mitu erinevat viisi.

Identiteedi tõestamise viisid

    Tehke samaväärsed teisendused identiteedi vasak pool. Kui lõpuks saame õige poole, siis loetakse identiteet tõestatuks. Tehke samaväärsed teisendused identiteedi parem pool. Kui lõpuks saame vasaku poole, siis loetakse identiteet tõestatuks. Tehke samaväärsed teisendused identiteedi vasak ja parem pool. Kui selle tulemusel saame sama tulemuse, loetakse identiteet tõestatuks. Lahutage identiteedi paremast küljest vasak pool. Teeme erinevusele samaväärsed teisendused. Ja kui lõpuks saame nulli, siis loetakse identiteet tõestatuks. Lahutage identiteedi vasakust küljest parem pool. Teeme erinevusele samaväärsed teisendused. Ja kui lõpuks saame nulli, siis loetakse identiteet tõestatuks.

Samuti tuleb meeles pidada, et identiteet kehtib ainult muutujate lubatud väärtuste puhul.

Nagu näete, on palju viise. Milline viis antud juhul valida, sõltub isikusamasusest, mida peate tõendama. Erinevate identiteetide tõestamisel tuleb kogemusi tõendamismeetodi valimisel.

Identiteet on võrrand, mis on täidetud identselt, see tähendab, et see kehtib selle moodustavate muutujate mis tahes lubatud väärtuste jaoks. Identiteedi tõestamine tähendab kindlaks teha, et muutujate kõigi lubatud väärtuste puhul on selle vasak ja parem osa võrdsed.
Identiteedi tõendamise viisid:
1. Muutke vasak pool ja saage tulemuseks parem külg.
2. Tehke teisendusi paremal küljel ja lõpuks hankige vasak pool.
3. Eraldi teisendatakse parem ja vasak osa ning saadakse sama avaldis esimesel ja teisel juhul.
4. Koosta vahe vasak- ja parempoolse osa vahel ning selle teisenduste tulemusena saada null.
Vaatame mõnda lihtsat näidet

Näide 1 Tõesta identiteet x (a + b) + a (b-x) = b (a + x).

Lahendus.

Kuna paremal küljel on väike avaldis, siis proovime teisendada võrdsuse vasakut poolt.

x (a + b) + a (b-x) = x a + x b + a b - a x.

Esitame sarnaseid termineid ja võtame ühisteguri sulgudest välja.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Saime, et vasak pool muutus pärast teisendusi samaks, mis parem pool. Seetõttu on see võrdsus identiteet.

Näide 2 Tõesta identiteet: a² + 7a + 10 = (a+5)(a+2).

Lahendus:

Selles näites saate teha järgmist. Avame võrdsuse paremal küljel olevad sulud.

(a+5) (a+2) = (a²) + 5 a +2 a +10 = a² + 7 a + 10.

Näeme, et pärast teisendusi on võrdsuse parem pool muutunud samaks, mis võrdsuse vasak pool. Seetõttu on see võrdsus identiteet.

"Ühe avaldise asendamist teisega, mis on sellega identne, nimetatakse avaldise identseks teisendamiseks."

Uurige, milline võrdsus on identiteet:

1. - (a - c) \u003d - a - c;

2. 2 (x + 4) = 2x - 4;

3. (x - 5) (-3) \u003d - 3x + 15.

4. pxy (- p2 x2 y) = - p3 x3 y3.

"Tõestamaks, et mingi võrdsus on identiteet, või, nagu öeldakse, identiteedi tõestamiseks, kasutatakse väljendite identseid teisendusi."

Võrdsus kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta, mida nimetatakse identiteet. Tõestamaks, et mingi võrdsus on identiteet või, nagu öeldakse teisiti, et identiteeti tõestama, kasutage avaldiste identseid teisendusi.
Tõestame identiteeti:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3) (y - 5) + 1
xy - 3a - 5x + 16 = (xy - 3a) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5 (x -3) +1 = (y - 5) (x - 3) + 1 Selle tulemusena identiteedi transformatsioon polünoomi vasak pool, saime selle parema külje ja seega tõestasime, et see võrdsus on identiteet.
Sest isikut tõendavad dokumendid teisendada selle vasak pool parempoolseks või selle parem külg vasakpoolseks või näidata, et algse võrdsuse vasak ja parem külg on identselt võrdsed sama avaldisega.

Polünoomi korrutamine polünoomiga

Korrutame polünoomi a+b polünoomiks c + d. Koostame nende polünoomide korrutise:
(a+b)(c+d).
Tähistage binoom a+b kiri x ja teisendage saadud korrutis monooomi polünoomiga korrutamise reegli järgi:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
Väljenduses xc + xd. asemel asendada x polünoom a+b ja taas kasutage reeglit monomiaali polünoomiga korrutamiseks:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + reklaam + bd.
Niisiis: (a+b)(c+d) = ac + bc + reklaam + bd.
Polünoomide korrutis a+b ja c + d oleme esitanud polünoomi kujul ac+bc+ad+bd. See polünoom on kõigi polünoomide iga liikme korrutamisel saadud monomialide summa a+b iga polünoomi liikme kohta c + d.
Järeldus: mis tahes kahe polünoomi korrutist saab esitada polünoomina.
reegel: polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega ja liitma saadud korrutised.
Pange tähele, et polünoomi korrutamisel, mis sisaldab m termineid sisaldaval polünoomil n enne sarnaste liikmete arvu vähendamist peaks selguma mn liikmed. Seda saab kasutada kontrollimiseks.

Polünoomi jaotamine teguriteks rühmitamismeetodil:

Varem tutvusime polünoomi lagundamisega teguriteks, võttes ühisteguri sulgudest välja. Mõnikord on võimalik polünoomi faktoriseerida mõne muu meetodi abil - selle liikmete rühmitamine.
Polünoomi faktoriseerimine
ab - 2b + 3a - 6
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Saadud avaldise igal liikmel on ühine tegur (a - 2). Võtame selle ühise teguri sulgudest välja:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b + 3) (a - 2) Selle tulemusel arvestasime algse polünoomi:
ab - 2b + 3a - 6 = (b + 3)(a - 2) Meetodit, mida kasutasime polünoomi faktoriseerimiseks nimetatakse rühmitamise viis.
Polünoomide lagunemine ab - 2b + 3a - 6 saab korrutada, rühmitades selle terminid erinevalt:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a (b + 3) -2 (b + 3) = (a - 2) (b + 3)

Korda:

1. Identiteetide tõendamise viisid.

2. Mida nimetatakse avaldise identseks teisenduseks.

3. Polünoomi korrutamine polünoomiga.

4. Polünoomi faktoriseerimine rühmitamismeetodil

Võrrandid

Kuidas võrrandeid lahendada?

Selles osas tuletame meelde (või uurime – nagu kellelegi meeldib) kõige elementaarsemaid võrrandeid. Mis on siis võrrand? Inimlikult öeldes on see mingi matemaatiline väljend, kus on võrdusmärk ja tundmatu. Mida tavaliselt tähistatakse tähega "X". lahendage võrrand on leida sellised x-väärtused, mis asendamisel esialgne väljendus, annab meile õige identiteedi. Tuletan meelde, et identiteet on väljend, mis ei tekita kahtlusi isegi inimeses, kes pole absoluutselt matemaatiliste teadmistega koormatud. Nagu 2=2, 0=0, ab=ab jne. Kuidas siis võrrandeid lahendada? Selgitame välja.

Seal on igasuguseid võrrandeid (ma olin üllatunud, eks?). Kuid kogu nende lõputu mitmekesisuse saab jagada ainult nelja tüüpi.

4. Muu.)

Kõik ülejäänud, muidugi, kõige rohkem, jah ...) See hõlmab kuupmeetrit ja eksponentsiaalset, logaritmilist ja trigonomeetrilist ja kõikvõimalikke muid. Teeme nendega asjakohastes jaotistes tihedat koostööd.

Pean kohe ütlema, et mõnikord on esimese kolme tüübi võrrandid nii kokku keeratud, et te ei tunne neid ära ... Mitte midagi. Õpime, kuidas neid lahti võtta.

Ja miks meil neid nelja tüüpi vaja on? Ja mis siis lineaarvõrrandid lahendatud ühel viisil ruut teised murdosa ratsionaalne - kolmas, a puhata pole üldse lahendatud! Noh, asi pole selles, et nad üldse ei otsusta, ma solvasin matemaatikat asjata.) Neil on lihtsalt oma erilised tehnikad ja meetodid.

Kuid iga (ma kordan - jaoks ükskõik milline!) võrrandid on lahendamiseks usaldusväärne ja tõrgeteta alus. Töötab igal pool ja alati. See alus – Kõlab hirmutavalt, aga asi on väga lihtne. Ja väga (väga!) oluline.

Tegelikult koosneb võrrandi lahendus nendest samadest teisendustest. 99% juures. Vastus küsimusele: " Kuidas võrrandeid lahendada?" peitub just nendes teisendustes. Kas vihje on selge?)

Võrrandite identiteedi teisendused.

AT mis tahes võrrandid tundmatu leidmiseks on vaja algset näidet teisendada ja lihtsustada. Veelgi enam, nii et välimust muutes võrrandi olemus ei ole muutunud. Selliseid teisendusi nimetatakse identsed või samaväärne.

Pange tähele, et need teisendused on lihtsalt võrrandite jaoks. Matemaatikas on endiselt identsed teisendused väljendid. See on teine ​​teema.

Nüüd kordame kõik-kõik-kõik põhilist võrrandite identsed teisendused.

Põhilised, sest neid saab rakendada ükskõik milline võrrandid - lineaar-, ruut-, murd-, trigonomeetrilised, eksponentsiaalsed, logaritmilised jne. jne.

Esimene identne teisendus: mis tahes võrrandi mõlemad pooled saab liita (lahutada) ükskõik milline(aga sama!) arv või avaldis (ka avaldis tundmatuga!). Võrrandi olemus ei muutu.

Muide, sa kasutasid seda teisendust pidevalt, mõtlesid vaid, et kannad märgivahetusega võrrandi ühest osast teise üle mingeid termineid. Tüüp:

Asi on tuttav, liigutame kahekesi paremale ja saame:

Tegelikult sina võetud ära mõlemalt poolt võrrandit kaks. Tulemus on sama:

x+2 - 2 = 3 - 2

Terminite ülekandmine vasakule-paremale koos märgivahetusega on lihtsalt esimese identse teisenduse lühendatud versioon. Ja milleks meil nii sügavaid teadmisi vaja on? - te küsite. Võrrandis pole midagi. Liigutage seda, jumala eest. Lihtsalt ärge unustage silti muuta. Kuid ebavõrdsuses võib ülekandmise harjumus viia ummikusse ....

Teine identiteedi transformatsioon: võrrandi mõlemad pooled saab korrutada (jagada) samaga nullist erinev arv või avaldis. Siin ilmneb juba arusaadav piirang: nulliga korrutada on rumal, aga jagada pole üldse võimalik. Seda teisendust kasutate, kui otsustate midagi lahedat

Arusaadavalt X= 2. Aga kuidas sa selle leidsid? Valik? Või lihtsalt valgustatud? Selleks, et mitte haarata ja oodata arusaamist, peate mõistma, et olete õiglane jagage võrrandi mõlemad pooled 5 võrra. Vasaku poole jagamisel (5x) vähendati viit, jättes puhta X-i. Mida me vajasimegi. Ja jagades (10) parema poole viiega, tuli see loomulikult kahekohaliseks.

See on kõik.

See on naljakas, kuid need kaks (ainult kaks!) identset teisendust on lahenduse aluseks kõik matemaatika võrrandid. Kuidas! Mõistlik on vaadata näiteid selle kohta, mis ja kuidas, eks?)

Näited võrrandite identsetest teisendustest. Peamised probleemid.

Alustame sellest esiteks identne teisendus. Liiguta vasakule-paremale.

Näide väikestele.)

Oletame, et peame lahendama järgmise võrrandi:

3-2x=5-3x

Meenutagem loitsu: "X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale!" See loits on juhis esimese identiteedi teisenduse rakendamiseks.) Mis on avaldis, kus x on paremal? 3x? Vastus on vale! Meist paremal - 3x! Miinus kolm x! Seetõttu muutub vasakule nihutamisel märk plussiks. Hankige:

3-2x+3x=5

Niisiis, X-d pandi kokku. Teeme numbreid. Kolm vasakul. Mis märk? Vastust "millega pole" ei aktsepteerita!) Kolmiku ees pole tõepoolest midagi joonistatud. Ja see tähendab, et kolmiku ees on pluss. Nii et matemaatikud nõustusid. Midagi pole kirjutatud, nii et pluss. Seetõttu kantakse kolmik paremale poole miinusega. Saame:

-2x+3x=5-3

Jäänud on tühjad kohad. Vasakul - andke sarnased, paremal - loendage. Vastus on kohe:

Selles näites piisas ühest identsest teisendusest. Teist polnud vaja. Noh, okei.)

Eeskujuks vanematele.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

§ 2. Identiteediväljendid, identiteet. Avaldise identiteedi teisendus. Isikutunnistused

Leiame muutuja x antud väärtuste jaoks avaldiste 2(x - 1) 2x - 2 väärtused. Kirjutame tulemused tabelisse:

Võib järeldada, et avaldiste 2(x - 1) 2x - 2 väärtused muutuja x iga antud väärtuse jaoks on üksteisega võrdsed. Vastavalt korrutamise jaotusomadusele lahutamise suhtes 2(x - 1) = 2x - 2. Seetõttu on muutuja x mis tahes muu väärtuse korral ka avaldise 2(x - 1) 2x - 2 väärtus üksteisega võrdsed. Selliseid avaldisi nimetatakse identselt võrdseteks.

Näiteks avaldised 2x + 3x ja 5x on sünonüümid, kuna muutuja x iga väärtuse puhul omandavad need avaldised samad väärtused (see tuleneb liitmise korrutamise jaotusomadusest, kuna 2x + 3x \u003d 5x).

Vaatleme nüüd avaldisi 3x + 2y ja 5xy. Kui x \u003d 1 ja b \u003d 1, siis on nende avaldiste vastavad väärtused üksteisega võrdsed:

3x + 2 a \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Siiski saate määrata x ja y väärtused, mille puhul nende avaldiste väärtused ei ole üksteisega võrdsed. Näiteks kui x = 2; y = 0, siis

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Järelikult on sellised muutujate väärtused, mille puhul avaldiste 3x + 2y ja 5xy vastavad väärtused ei ole üksteisega võrdsed. Seetõttu ei ole avaldised 3x + 2y ja 5xy identselt võrdsed.

Eelneva põhjal on identiteedid eelkõige võrdsused: 2(x - 1) = 2x - 2 ja 2x + 3x = 5x.

Identiteet on iga võrdsus, mis salvestab arvudele tehtavate toimingute teadaolevad omadused. Näiteks,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Samuti on olemas sellised võrdsused nagu identiteedid:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Kui vähendame sarnaseid termineid avaldises -5x + 2x - 9, saame, et 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Sel juhul öeldakse, et avaldis 5x + 2x - 9 asendati avaldisega 7x - 9, mis on sellega identne.

Muutujatega avaldiste identsed teisendused teostatakse arvude puhul tehtete omaduste rakendamisel. Eelkõige identsed teisendused sulgude avamisega, sarnaste terminite konstrueerimine jms.

Avaldise lihtsustamisel tuleb teha identsed teisendused, st asendada mõni avaldis sellega identselt võrdse avaldisega, mis peaks olema lühem.

Näide 1. Lihtsustage väljendit:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 min = -1,5 min;

2) 2 (3x4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Tõestamaks, et võrdsus on identiteet (teisisõnu, identiteedi tõestamiseks kasutatakse väljendite identiteedi teisendusi.

Saate isikut tõendada ühel järgmistest viisidest:

  • tehke selle vasaku külje identsed teisendused, vähendades seeläbi selle parema külje kuju;
  • teostage selle parema külje identsed teisendused, vähendades sellega vasaku külje kuju;
  • teostab mõlema osa identseid teisendusi, tõstes seeläbi mõlemad osad samadeks avaldisteks.

Näide 2. Tõesta identiteet:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Areng

1) Teisendame selle võrdsuse vasaku poole:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Identsete teisendustega taandati võrdsuse vasakpoolne avaldis parema poole vormiks ja seega tõestati, et see võrdsus on identiteet.

2) Teisendame selle võrdsuse parema külje:

5(2a-3b)-7(2a-5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identsete teisendustega taandati võrdsuse parem pool vasaku külje vormiks ja seega tõestati, et see võrdsus on identiteet.

3) Sel juhul on mugav lihtsustada nii võrdsuse vasakut kui ka paremat osa ja võrrelda tulemusi:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identsete teisendustega taandati võrdsuse vasak ja parem osa samale kujule: 26x - 44. Seetõttu on see võrdsus identiteet.

Milliseid väljendeid nimetatakse identseteks? Tooge näide identsetest väljenditest. Millist võrdsust nimetatakse identiteediks? Too identiteedi näide. Mida nimetatakse väljendi identiteedi teisendamiseks? Kuidas identiteeti tõestada?

  1. (Suuline) Või on väljendeid, mis on identsed:

1) 2a + a ja 3a;

2) 7x + 6 ja 6 + 7x;

3) x + x + x ja x 3;

4) 2 (x - 2) ja 2x - 4;

5) m - n ja n - m;

6) 2a ∙ r ja 2p ∙ a?

  1. Kas avaldised on identsed:

1) 7x - 2x ja 5x;

2) 5a - 4 ja 4 - 5a;

3) 4m + n ja n + 4m;

4) a + a ja a 2;

5) punktid 3 (a - 4) ja 3a - 12;

6) 5m ∙ n ja 5m + n?

  1. (Verbaalselt) Kas võrdsuse identiteet:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3 (x - y) = 3x - 5 a?

  1. Avatud sulgud:
  1. Avatud sulgud:
  1. Vähenda sarnaseid termineid:
  1. Nimetage mitu avaldist, mis on identsed avaldistega 2a + 3a.
  2. Lihtsustage avaldist, kasutades korrutamise permuteerivaid ja konjunktiivseid omadusi:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

  1. Lihtsusta väljendit:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 a);

4) - 1 m ∙ (-3n).

  1. (Verbaalne) Lihtsustage väljendit:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

  1. Vähenda sarnaseid termineid:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3m - 5) + 2 (3m - 7).

  1. Avage sulud ja vähendage sarnaseid termineid:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20), kui x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, kui a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), kui m = -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, kui x = -1, y = 1.

  1. Lihtsustage väljendit ja leidke selle väärtus:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), kui x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, kui v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), kui a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, kui m = 1,8; n = -0,9.

  1. Tõesta identiteet:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

  1. Tõesta identiteet:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

  1. Kolmnurga ühe külje pikkus on cm ja ülejäänud kahe külje pikkus on sellest 2 cm võrra suurem. Kirjutage avaldisena kolmnurga ümbermõõt ja lihtsustage avaldist.
  2. Ristküliku laius on x cm ja pikkus on 3 cm laiusest suurem. Kirjutage avaldisena ristküliku ümbermõõt ja lihtsustage avaldist.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

  1. Laiendage sulud ja lihtsustage väljendit:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

  1. Tõesta identiteet:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

  1. Tõesta identiteet:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

  1. Tõesta, et avaldise väärtus

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2 m) ei sõltu muutuja väärtusest.

  1. Tõesta, et muutuja mis tahes väärtuse korral on avaldise väärtus

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

on sama number.

  1. Tõesta, et kolme järjestikuse paarisarvu summa jagub 6-ga.
  2. Tõesta, et kui n on naturaalarv, siis avaldise -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) väärtus on paarisarv.

Harjutused, mida korrata

  1. 1,6 kg kaaluv sulam sisaldab 15% vaske. Mitu kg vaske sisaldab see sulam?
  2. Mitu protsenti on selle arv 20:

1) ruut;

  1. Turist kõndis 2 tundi ja sõitis jalgrattaga 3 tundi. Kokku läbis turist 56 km. Leidke kiirus, millega turist jalgrattaga sõitis, kui see on 12 km/h suurem kui kiirus, millega ta kõndis.

Huvitavad ülesanded laiskadele õpilastele

  1. Linna jalgpalli meistrivõistlustel osaleb 11 võistkonda. Iga meeskond mängib teistega ühe mängu. Tõesta, et igal võistlushetkel on meeskond, kes on mänginud paarisarv matše või pole veel ühtegi mänginud.

Õppeeesmärk:

    kordama võrrandi definitsioone, identiteete;

    õppida eristama võrrandi ja identiteedi mõisteid;

    tuvastada viise identiteedi tõendamiseks;

    identiteetide tõestamisel korrake monomiumi standardkujule viimise, polünoomide liitmise, monomiaali polünoomiga korrutamise meetodeid.

Arengu eesmärk:

    arendada õpilaste pädevat matemaatilist kõnet (rikastada ja raskendada sõnavara spetsiaalsete matemaatikaterminite kasutamisel),

    arendada mõtlemist: oskust võrrelda, analüüsida, tuua analoogiaid, ennustada, teha järeldusi (identiteetide tõestamise viiside valikul);

    arendada õpilaste hariduslikku ja tunnetuslikku pädevust.

hariduslik eesmärk:

    arendada oskust töötada rühmas, koordineerida oma tegevust teiste õppeprotsessis osalejatega;

    kasvatada sallivust.

Tunni tüüp: teadmiste kompleksne rakendamine.

Õppetunni sammud: ettevalmistav, teadmiste rakendamine, tulemus.

Teadmiste piir – teadmatus:

oskab rakendada monoomi taandamise tehteid tüüpvormile;

polünoomide liitmine, polünoomi korrutamine polünoomiga.

Eristada võrrandi ja identiteedi mõisteid;

teostama isikusamasuse tõendamist;

ratsionaalselt valida ja rakendada identiteedi tõendamise meetodeid.

Esitöö

Verbaalne

visuaalne

Teadmiste rakendamine (uute teadmiste ja tegevusmeetodite assimilatsiooni tagamine rakenduse tasemel muutunud õpisituatsioonis)

Lähtudes antud vasaku ja parema osa teisendustest

matemaatiline võrdsus, tuvastada identiteedi tõestamise viise;

Selgitage välja pakutud ratsionaalne viis ja töötage välja ratsionaalne lahendus vastavalt antud identiteetide tingimusele

rühmatööd

Iseseisev töö

Otsing

Praktiline

Tulemus (eesmärgi saavutamise edukuse analüüs ja hinnang)

Tunnis tehtud töö kokkuvõte individuaaltöö sooritamise teel, kus tehakse ettepanek valida esitatud võrdsuste hulgast identiteet ja tõestada seda mis tahes väljapakutud viisil (soovitavalt ratsionaalne);

Seejärel hindavad õpilased ise oma tööd tunnis vastavalt määratud (tunni algusest peale) kriteeriumidele.

Frontaalne

Verbaalne

Tunni ülevaade (lühidalt):

1. Etapp (ettevalmistav)

Mõelge matemaatilistele tähistele: (esitöö)

7. klassi õpilased usuvad reeglina, et see on võrrand, ja selle lahendamisel saavad nad lineaarvõrrandi kujul: 0 x \u003d 0, mis kehtib iga x kohta.

Seejärel näitab õpetaja teise klassi tööd ja lapsed seisavad silmitsi vastuoluga – teise klassi töös tõestavad õpilased, et see on sama.

Järeldus: Tähelepanu tuleks pöörata asjaolule, et sama võrdsust võib käsitleda identiteedina ja võrrandina. See oleneb antud töö tingimusest: kui on vaja kindlaks teha, millise muutuja võrdsuse väärtuse juures toimub, siis see- võrrand. Ja kui soovite tõestada, et muutujate mis tahes väärtuste puhul toimub võrdsus -identiteet.

2. Etapp (taotlus)

Identiteedi tõestamise viiside leidmine: (rühmatöö)

Kirjutatud väljend:

Praktiline ülesanne rühmades tuvastada identiteedi tõestamise viise:

    Järgige rühmades töötamise reegleid (need on trükitud õpilaste töökohtades õpetaja poolt üles pandud siltidele)

    Whatmani paberil tehke ühises töös teatud teisendused rühma ülesandes näidatud teatud tehnoloogia järgi ja tõestage, et antud avaldis ei sõltu muutujate väärtustest, mis tähendab, et see on identiteet;

    Tehke tehtud töö kohta selgitus ja järeldage: mis on see identiteetide tõendamise meetod;

Ülesande 1 rühm:

Liigutage võrrandi parem pool vasakule. Tõesta, et see avaldis ei sõltu muutujate väärtusest.

Ülesande 2 rühm:

Teisenda võrrandi vasak pool. Tõesta, et see on võrdne õigega, mis tähendab, et see avaldis ei sõltu muutujate väärtusest.

Ülesande 3 rühm:

Teisendage võrrandi vasak ja parem pool samal ajal. Tõesta, et see võrdsus ei sõltu muutujate väärtusest.

Arvestades kuttide identiteedi tõendamiseks tehtud tööd, on mugav kujutada kasutatud meetodite tulemusi diagrammidena eraldi paberilehtedel koos numbrinäidikuga, et tulevikus saaks neid diagramme kasutada. kasutatakse mitte ainult selles, vaid ka teistes algebratundides.

3. Etapp (tulemus)

a) Identiteedid ratsionaalse lahenduse valimiseks: (esitöö)

5)