Vaatleme maatrikskorrutamise pöördtehte määratlemise probleemi.
Olgu A ruutmaatriks järku n. Maatriks A^(-1) , mis koos antud maatriksiga A rahuldab järgmised võrdsused:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
helistas tagurpidi. Maatriksit A nimetatakse pööratav, kui sellel on pöördväärtus, muidu - pöördumatu.
Definitsioonist järeldub, et kui pöördmaatriks A^(-1) on olemas, siis on see ruut samas suurusjärgus kui A . Siiski ei ole igal ruutmaatriksil pöördväärtust. Kui maatriksi A determinant on võrdne nulliga (\det(A)=0) , siis pöördväärtust sellel pole. Tõepoolest, rakendades identsusmaatriksi E=A^(-1)A maatriksite korrutise determinandi teoreemi, saame vastuolu
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
kuna identsusmaatriksi determinant on võrdne 1-ga. Selgub, et ruutmaatriksi determinandi erinevus nullist on pöördmaatriksi olemasolu ainus tingimus. Tuletame meelde, et ruutmaatriksit, mille determinant on võrdne nulliga, nimetatakse degeneratiivseks (ainsuseks), vastasel juhul - mitteainsuseks (mitteainsuseks).
Teoreem 4.1 pöördmaatriksi olemasolu ja kordumatuse kohta. ruutmaatriks A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), mille determinant on nullist erinev, omab pöördmaatriksit ja pealegi ainult ühte:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
kus A^(+) on maatriksi A elementide algebralistest täienditest koosneva maatriksi jaoks transponeeritud maatriks.
Maatriksit A^(+) nimetatakse lisatud maatriks maatriksi A suhtes.
Tõepoolest, maatriks \frac(1)(\det(A))\,A^(+) eksisteerib tingimuse \det(A)\ne0 all. Peame näitama, et see on A-ga pöördvõrdeline, s.t. vastab kahele tingimusele:
\begin(joondatud)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(joondatud)
Tõestame esimest võrdsust. Märkuste 2.3 punkti 4 kohaselt tuleneb determinandi omadustest, et AA^(+)=\det(A)\cdot E. Sellepärast
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
mida pidi näitama. Teine võrdsus on tõestatud sarnaselt. Seetõttu on tingimusel \det(A)\ne0 maatriksil A pöördväärtus
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Tõestame pöördmaatriksi unikaalsust vastuoluga. Olgu peale maatriksi A^(-1) olemas veel üks pöördmaatriks B\,(B\ne A^(-1)), nii et AB=E . Korrutades selle vasakpoolse võrdsuse mõlemad pooled maatriksiga A^(-1) , saame \undersulg(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Siit tuleneb B=A^(-1) , mis on vastuolus eeldusega B\ne A^(-1) . Seetõttu on pöördmaatriks ainulaadne.
Märkused 4.1
1. Definitsioonist järeldub, et maatriksid A ja A^(-1) on permuteeritavad.
2. Maatriks, mis on pöördvõrdeline mittedegenereerunud diagonaaliga, on samuti diagonaalne:
\Bigl[\operaatorinimi(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operaatorinimi(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\parem)\!.
3. Maatriks, mis on pöördvõrdeline mittedegenereerunud alumise (ülemise) kolmnurkse maatriksiga, on alumine (ülemine) kolmnurkne.
4. Elementaarmaatriksitel on pöördväärtused, mis on samuti elementaarmaatriksid (vt märkuste 1.11 punkt 1).
Pöördmaatriksi omadused
Maatriksi inversioonioperatsioonil on järgmised omadused:
\begin(joonatud)\paks(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \paks(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \paks(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \paks(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \paks(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(joondatud)
kui võrdustes 1-4 näidatud tehted on mõistlikud.
Tõestame omadust 2: kui sama järku mitteainsuse ruutmaatriksite korrutis AB on pöördmaatriksiga, siis (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Tõepoolest, maatriksite AB korrutise determinant ei ole võrdne nulliga, kuna
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), kus \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Seetõttu on pöördmaatriks (AB)^(-1) olemas ja ainulaadne. Näitame definitsiooni järgi, et maatriks B^(-1)A^(-1) on maatriksi AB suhtes pöördvõrdeline. Tõesti.
Meetodid pöördmaatriksi leidmiseks, . Vaatleme ruutmaatriksit
Tähistame Δ = det A.
Ruutmaatriksit A nimetatakse mitte-degenereerunud, või mitteeriline kui selle determinant on nullist erinev, ja degenereerunud, või eriline, kuiΔ = 0.
Ruutmaatriks B eksisteerib sama järku ruutmaatriksi A jaoks, kui nende korrutis A B = B A = E, kus E on maatriksitega A ja B sama järku identsusmaatriks.
Teoreem . Selleks, et maatriksil A oleks pöördmaatriks, on vajalik ja piisav, et selle determinant oleks nullist erinev.
Pöördmaatriks maatriksiks A, tähistatud tähega A- 1, seega B = A - 1 ja arvutatakse valemiga
, (1)
kus А i j - maatriksi A elementide a i j algebralised täiendid.
A -1 arvutamine valemiga (1) kõrget järku maatriksite jaoks on väga töömahukas, seetõttu on praktikas mugav leida A -1 elementaarteisenduste (EP) meetodil. Mis tahes mitteainsuse maatriksit A saab taandada ainult veergude (või ainult ridade) EP abil identiteedimaatriksiks E. Kui maatriksi A suhtes täiuslikud EP-d rakendatakse samas järjekorras identiteedimaatriksile E, siis on tulemus pöördmaatriks. Maatriksitel A ja E on mugav sooritada EP samaaegselt, kirjutades mõlemad maatriksid kõrvuti läbi joone. Märgime veel kord, et maatriksi kanoonilise vormi otsimisel võib selle leidmiseks kasutada ridade ja veergude teisendusi. Kui teil on vaja leida pöördmaatriks, peaksite teisendusprotsessis kasutama ainult ridu või ainult veerge.
Näide 2.10. Maatriksi jaoks 
leidke A -1.
Lahendus.Esmalt leiame maatriksi A determinandi 
seega on pöördmaatriks olemas ja leiame selle valemiga: 
, kus A i j (i,j=1,2,3) - algmaatriksi elementide a i j algebralised täiendid. 
Kus 
.
Näide 2.11. Elementaarteisenduste meetodil leidke maatriksi jaoks A -1: A=.
Lahendus.Parempoolsele algsele maatriksile määrame samas järjekorras identiteedimaatriksi: 
. Elementaarveeruteisenduste abil taandame vasakpoolse “poole” identiteediks, sooritades samaaegselt just selliseid teisendusi paremal maatriksil.
Selleks vahetage esimene ja teine veerg: 
~
. Esimese lisame kolmandasse veergu ja esimese korrutatuna -2-ga teisele: 
. Esimesest veerust lahutame kahekordistunud teise ja kolmandast - teise korrutatuna 6-ga; 
. Lisame kolmanda veeru esimesele ja teisele: 
. Korrutage viimane veerg -1-ga: 
. Vertikaalsest ribast paremal olev ruutmaatriks on antud maatriksi A pöördmaatriks.
.
Tavaliselt kasutatakse keeruliste algebraavaldiste lihtsustamiseks pöördtehteid. Näiteks kui ülesanne sisaldab murdosaga jagamise tehteid, saate selle asendada retsiprooksiga korrutamise operatsiooniga, mis on pöördtehte. Veelgi enam, maatriksiid ei saa jagada, seega peate korrutama pöördmaatriksiga. 3x3 maatriksi pöördväärtuse arvutamine on üsna tüütu, kuid peate saama seda käsitsi teha. Pöördarvu leiate ka hea graafikakalkulaatoriga.
Sammud
Kasutades lisatud maatriksit
Transponeerige algne maatriks. Transpositsioon on ridade asendamine veergudega maatriksi põhidiagonaali suhtes, see tähendab, et peate elemendid (i, j) ja (j, i) vahetama. Sellisel juhul ei muutu põhidiagonaali (algab vasakpoolsest ülanurgast ja lõpeb paremas alumises nurgas) elemendid.
- Ridade vahetamiseks veergude vastu kirjutage esimesse veergu esimese rea elemendid, teise veergu teise rea elemendid ja kolmandasse veergu kolmanda rea elemendid. Elementide asukoha muutmise järjekord on toodud joonisel, milles vastavad elemendid on värviliste ringidega ümber tõmmatud.
Leidke iga 2x2 maatriksi definitsioon. Iga maatriksi element, sealhulgas transponeeritud, on seotud vastava 2x2 maatriksiga. Teatud elemendile vastava 2x2 maatriksi leidmiseks kriipsutage maha rida ja veerg, milles see element asub, see tähendab, et peate läbi kriipsutama viis algse 3x3 maatriksi elementi. Neli elementi, mis on vastava 2x2 maatriksi elemendid, jäävad läbi kriipsutamata.
- Näiteks teise rea ja esimese veeru ristumiskohas asuva elemendi 2x2 maatriksi leidmiseks kriipsutage läbi viis elementi, mis asuvad teises reas ja esimeses veerus. Ülejäänud neli elementi on vastava 2x2 maatriksi elemendid.
- Leidke iga 2x2 maatriksi determinant. Selleks lahutatakse põhidiagonaali elementide korrutis teisese diagonaali elementide korrutis (vt joonist).
- Üksikasjalikku teavet 2x2 maatriksite kohta, mis vastavad 3x3 maatriksi teatud elementidele, leiate Internetist.
Looge kofaktorite maatriks. Salvestage varem saadud tulemused uue kofaktorite maatriksi kujul. Selleks kirjuta iga 2x2 maatriksi leitud determinant, kus asus vastav 3x3 maatriksi element. Näiteks kui elemendi (1,1) jaoks arvestatakse 2x2 maatriksit, kirjutage selle determinant positsioonile (1,1). Seejärel muuda vastavate elementide märke kindla mustri järgi, mis on näidatud joonisel.
- Märgi muutmise skeem: esimese rea esimese elemendi märk ei muutu; esimese rea teise elemendi märk on vastupidine; esimese rea kolmanda elemendi märk ei muutu ja nii rida-realt. Pange tähele, et diagrammil näidatud märgid "+" ja "-" (vt joonist) ei näita, et vastav element on positiivne või negatiivne. Sel juhul näitab "+" märk, et elemendi märk ei muutu, ja märk "-" näitab, et elemendi märk on muutunud.
- Üksikasjalikku teavet kofaktormaatriksite kohta leiate Internetist.
- Nii leiate algse maatriksi seotud maatriksi. Mõnikord nimetatakse seda kompleksseks konjugaatmaatriksiks. Sellist maatriksit tähistatakse kui adj(M).
Jagage adjointmaatriksi iga element determinandiga. Maatriksi M determinant arvutati kohe alguses välja, et kontrollida pöördmaatriksi olemasolu. Nüüd jaga iga adjointmaatriksi element selle determinandiga. Registreerige iga jagamise toimingu tulemus, kus vastav element asub. Nii et leiate maatriksi, originaali pöördväärtuse.
- Joonisel kujutatud maatriksi determinant on 1. Seega on siin seotud maatriksiks pöördmaatriks (sest suvalise arvu jagamine 1-ga ei muuda seda).
- Mõnes allikas asendatakse jagamistehe korrutustehtega 1/det(M). Sel juhul lõpptulemus ei muutu.
Kirjutage üles pöördmaatriks. Kirjutage suure maatriksi paremal poolel asuvad elemendid eraldi maatriksina, mis on pöördmaatriks.
Sisestage algne maatriks kalkulaatori mällu. Selleks klõpsake Matrixi nuppu, kui see on saadaval. Texas Instrumentsi kalkulaatori puhul peate võib-olla vajutama nuppe 2 ja Matrix.
Valige menüü Redigeerimine. Tehke seda noolenuppude või vastava funktsiooninupu abil, mis asub kalkulaatori klaviatuuri ülaosas (nupu asukoht sõltub kalkulaatori mudelist).
Sisestage maatriksi tähistus. Enamik graafilisi kalkulaatoreid saab töötada 3-10 maatriksiga, mida saab tähistada tähtedega A-J. Üldreeglina valige algse maatriksi tähistamiseks lihtsalt [A]. Seejärel vajutage sisestusnuppu.
Sisestage maatriksi suurus. See artikkel räägib 3x3 maatriksitest. Kuid graafilised kalkulaatorid võivad töötada suurte maatriksitega. Sisestage ridade arv, vajutage sisestusnuppu, seejärel sisestage veergude arv ja vajutage uuesti sisestusnuppu.
Sisestage maatriksi iga element. Kalkulaatori ekraanil kuvatakse maatriks. Kui maatriks on kalkulaatorisse juba varem sisestatud, ilmub see ekraanile. Kursor tõstab esile maatriksi esimese elemendi. Sisestage esimese elemendi väärtus ja vajutage sisestusklahvi. Kursor liigub automaatselt maatriksi järgmise elemendi juurde.
Olgu n-ndat järku ruutmaatriks
Maatriks A -1 nimetatakse pöördmaatriks maatriksi A suhtes, kui A * A -1 = E, kus E on n-ndat järku identsusmaatriks.
Identiteedi maatriks- selline ruutmaatriks, milles kõik elemendid piki põhidiagonaali, mis lähevad ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka, on ühed ja ülejäänud on nullid, näiteks:
pöördmaatriks võib eksisteerida ainult ruutmaatriksite jaoks need. nende maatriksite jaoks, millel on sama arv ridu ja veerge.
Pöördmaatriksi olemasolu tingimuse teoreem
Selleks, et maatriksil oleks pöördmaatriks, on vajalik ja piisav, et see poleks degenereerunud.
Maatriksit A = (A1, A2,...A n) nimetatakse mitte-mandunud kui veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud. Maatriksi lineaarselt sõltumatute veeruvektorite arvu nimetatakse maatriksi auastmeks. Seetõttu võime öelda, et pöördmaatriksi eksisteerimiseks on vajalik ja piisav, et maatriksi aste oleks võrdne selle mõõtmega, s.t. r = n.
Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks
- Kirjutage tabelisse maatriks A võrrandisüsteemide lahendamiseks Gaussi meetodil ja paremal pool (võrrandi parempoolsete osade asemel) määrake sellele maatriks E.
- Kasutades Jordani teisendusi, viige maatriks A maatriksisse, mis koosneb üksikutest veergudest; sel juhul on vaja maatriksi E samaaegselt teisendada.
- Vajadusel korralda viimase tabeli read (võrrandid) ümber nii, et identsusmaatriks E saadakse algse tabeli maatriksi A alla.
- Kirjutage pöördmaatriks A -1, mis on viimases tabelis algse tabeli maatriksi E all.
Maatriksi A jaoks leidke pöördmaatriks A -1
Lahendus: Kirjutame üles maatriksi A ja paremale omistame identiteedimaatriksi E. Jordani teisendusi kasutades taandame maatriksi A identiteedimaatriksiks E. Arvutused on näidatud tabelis 31.1.
Kontrollime arvutuste õigsust, korrutades algmaatriksi A ja pöördmaatriksi A -1.
Maatriksi korrutamise tulemusena saadakse identiteedimaatriks. Seetõttu on arvutused õiged.
Vastus: 
Maatriksvõrrandite lahendus
Maatriksvõrrandid võivad välja näha järgmised:
AX = B, XA = B, AXB = C,
kus A, B, C on antud maatriksid, siis X on soovitud maatriks.
Maatriksvõrrandid lahendatakse võrrandi korrutamisel pöördmaatriksitega.
Näiteks võrrandist maatriksi leidmiseks peate selle võrrandi korrutama vasakul olevaga.
Seetõttu tuleb võrrandile lahenduse leidmiseks leida pöördmaatriks ja korrutada see võrrandi paremal küljel oleva maatriksiga.
Teised võrrandid lahendatakse sarnaselt.
Lahendage võrrand AX = B, kui 
Lahendus: Kuna maatriksi pöördväärtus on võrdne (vt näide 1)
Maatriksmeetod majandusanalüüsis
Koos teistega leiavad rakendust ka nemad maatriksmeetodid. Need meetodid põhinevad lineaar- ja vektormaatriksalgebral. Selliseid meetodeid kasutatakse keerukate ja mitmemõõtmeliste majandusnähtuste analüüsimiseks. Kõige sagedamini kasutatakse neid meetodeid, kui on vaja võrrelda organisatsioonide ja nende struktuurijaotuste toimimist.
Maatriksanalüüsimeetodite rakendamise protsessis saab eristada mitmeid etappe.
Esimesel etapil moodustatakse majandusnäitajate süsteem ja selle põhjal koostatakse lähteandmete maatriks, milleks on tabel, kus süsteemi numbrid on näidatud selle üksikutel ridadel (i = 1,2,....,n), ja piki vertikaalseid graafikuid - indikaatorite arvud (j = 1,2,....,m).
Teises etapis iga vertikaalse veeru jaoks kuvatakse indikaatorite saadaolevatest väärtustest suurim, mida võetakse ühikuna.
Pärast seda jagatakse kõik selles veerus kajastatud summad suurima väärtusega ja moodustub standardiseeritud koefitsientide maatriks.
Kolmandas etapis kõik maatriksi komponendid on ruudus. Kui neil on erinev tähtsus, määratakse igale maatriksi indikaatorile teatud kaalukoefitsient k. Viimase väärtuse määrab ekspert.
Viimasel neljas etapp leitud hinnangute väärtused Rj rühmitatud suurenemise või kahanemise järjekorras.
Eeltoodud maatriksmeetodeid tuleks kasutada näiteks erinevate investeerimisprojektide võrdleval analüüsil, aga ka organisatsioonide muude majandustulemusnäitajate hindamisel.
Maatriksit A -1 nimetatakse maatriksi A suhtes pöördmaatriksiks, kui A * A -1 \u003d E, kus E on n-ndat järku identsusmaatriks. Pöördmaatriks saab eksisteerida ainult ruutmaatriksite jaoks.
Teenindusülesanne. Kasutades seda teenust võrgus, leiate algebralisi liitmisi, transponeeritud maatriksit A T , liitmaatriksit ja pöördmaatriksit. Lahendus viiakse läbi otse saidil (veebis) ja see on tasuta. Arvestustulemused esitatakse aruandena Wordi formaadis ja Exceli formaadis (st lahendust on võimalik kontrollida). vaata disaini näidet.
Juhend. Lahenduse saamiseks peate määrama maatriksi mõõtme. Järgmisena täitke uues dialoogiboksis maatriks A .
Vaata ka Jordani-Gaussi meetodi pöördmaatriksit
Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks
- Transponeeritud maatriksi A T leidmine.
- Algebraliste liitmiste definitsioon. Asendage maatriksi iga element selle algebralise täiendusega.
- Pöördmaatriksi koostamine algebralistest liitmistest: saadud maatriksi iga element jagatakse algse maatriksi determinandiga. Saadud maatriks on algse maatriksi pöördväärtus.
- Määrake, kas maatriks on ruudukujuline. Kui ei, siis pole selle jaoks pöördmaatriksit.
- Maatriksi A determinandi arvutamine. Kui see ei ole võrdne nulliga, jätkame lahendust, vastasel juhul pöördmaatriksit ei eksisteeri.
- Algebraliste liitmiste definitsioon.
- Liitmaatriksi (vastastikune, adjunktne) täitmine C .
- Pöördmaatriksi koostamine algebralistest liitmistest: liitmaatriksi C iga element jagatakse algmaatriksi determinandiga. Saadud maatriks on algse maatriksi pöördväärtus.
- Tehke kontroll: korrutage originaal ja saadud maatriksid. Tulemuseks peaks olema identiteedimaatriks.
Näide nr 1. Kirjutame maatriksi kujul:
Algebralised liitmised.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Siis pöördmaatriks võib kirjutada järgmiselt:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Teine algoritm pöördmaatriksi leidmiseks
Esitame veel ühe skeemi pöördmaatriksi leidmiseks.- Leia antud ruutmaatriksi A determinant.
- Leiame algebralisi liite maatriksi A kõikidele elementidele.
- Veergudesse kirjutame ridade elementide algebralised täiendid (transpositsioon).
- Saadud maatriksi iga elemendi jagame maatriksi A determinandiga.
Erijuhtum: Pöördväärtus identiteedimaatriksi E suhtes on identiteedimaatriks E .