Mõnikord on ülesannetes B15 "halbu" funktsioone, mille tuletist on raske leida. Varem oli see ainult sondidel, kuid nüüd on need ülesanded nii tavalised, et neid ei saa enam selleks eksamiks valmistudes ignoreerida.
Sel juhul töötavad muud nipid, millest üks on - monotoonne.
Funktsiooni f (x) nimetatakse lõigu monotoonselt kasvavaks, kui selle lõigu mis tahes punktide x 1 ja x 2 puhul on tõene:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).
Funktsiooni f (x) nimetatakse lõigu monotoonselt kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes punktide x 1 ja x 2 puhul kehtib järgmine:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).
Teisisõnu, mida suurem on funktsiooni x, seda suurem on f(x). Väheneva funktsiooni puhul on vastupidine: mida rohkem x , seda vähem f(x).
Näiteks logaritm suureneb monotoonselt, kui alus a > 1 ja väheneb monotoonselt, kui 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Aritmeetiline ruutjuur (ja mitte ainult ruutjuur) suureneb monotoonselt kogu määratluspiirkonna ulatuses:
Eksponentfunktsioon käitub sarnaselt logaritmiga: see suureneb, kui a > 1 ja väheneb kui 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Lõpuks kraadid negatiivse astendajaga. Saate need kirjutada murdudena. Neil on murdepunkt, kus monotoonsus katkeb.
Kõiki neid funktsioone ei leidu kunagi puhtal kujul. Neile lisatakse polünoomid, murded ja muu jama, mille tõttu on tuletise arvutamine keeruline. Mis sel juhul juhtub - nüüd analüüsime.
Parabooli tipu koordinaadid
Kõige sagedamini asendatakse funktsiooni argument ruudukujuline kolmik kujul y = ax 2 + bx + c . Selle graafik on standardne parabool, millest meid huvitab:
- Parabooli oksad – võivad minna üles (> 0 puhul) või alla (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Parabooli tipp on ruutfunktsiooni äärmuspunkt, kus see funktsioon on väikseim (> 0) või suurim (a< 0) значение.
Suurimat huvi pakub parabooli tipp, mille abstsiss arvutatakse järgmise valemiga:
Niisiis, oleme leidnud ruutfunktsiooni äärmuspunkti. Kui aga algfunktsioon on monotoonne, on selle jaoks punkt x 0 samuti äärmuspunkt. Seega sõnastame põhireegli:
Ruuttrinoomi ja kompleksfunktsiooni äärmuspunktid langevad kokku. Seetõttu võite ruudukujulise trinoomi jaoks otsida x 0 ja unustada funktsiooni.
Eelnevast arutlusest jääb arusaamatuks, millise punkti saame: maksimumi või miinimumi. Ülesanded on aga spetsiaalselt välja töötatud nii, et sellel pole tähtsust. Otsustage ise:
- Probleemi seisundis pole segmenti. Seetõttu ei ole vaja f(a) ja f(b) arvutada. Jääb üle võtta ainult äärmuslikud punktid;
- Kuid on ainult üks selline punkt - see on parabooli x 0 tipp, mille koordinaadid arvutatakse sõna otseses mõttes suuliselt ja ilma tuletisteta.
Seega on probleemi lahendamine oluliselt lihtsustatud ja taandatud vaid kahele etapile:
- Kirjutage üles paraboolvõrrand y = ax 2 + bx + c ja leidke selle tipp valemi abil: x 0 = −b /2a;
- Leidke selles punktis algfunktsiooni väärtus: f (x 0). Kui lisatingimusi pole, on see vastus.
Esmapilgul võib see algoritm ja selle põhjendus tunduda keeruline. Ma ei postita meelega "paljast" lahendusskeemi, kuna selliste reeglite mõtlematu rakendamine on täis vigu.
Mõelge matemaatika proovieksami tegelikele ülesannetele - siin on see tehnika kõige levinum. Samal ajal hoolitseme selle eest, et sel viisil muutuksid paljud B15 probleemid peaaegu verbaalseks.
Juure all on ruutfunktsioon y \u003d x 2 + 6x + 13. Selle funktsiooni graafik on harudega ülespoole suunatud parabool, kuna koefitsient a \u003d 1\u003e 0.
Parabooli tipp:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
Kuna parabooli harud on suunatud ülespoole, siis punktis x 0 \u003d −3 saab funktsioon y \u003d x 2 + 6x + 13 väikseima väärtuse.
Juur kasvab monotoonselt, seega on x 0 kogu funktsiooni minimaalne punkt. Meil on:
Ülesanne. Leia funktsiooni väikseim väärtus:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Logaritmi all on jälle ruutfunktsioon: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graafik on parabool harudega üles, sest a = 1 > 0.
Parabooli tipp:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Niisiis, punktis x 0 = −1 saab ruutfunktsioon väikseima väärtuse. Kuid funktsioon y = log 2 x on monotoonne, seega:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponent on ruutfunktsioon y = 1 − 4x − x 2 . Kirjutame selle ümber normaalkujul: y = −x 2 − 4x + 1.
Ilmselt on selle funktsiooni graafik parabool, hargneb allapoole (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
Algfunktsioon on eksponentsiaalne, see on monotoonne, nii et suurim väärtus on leitud punktis x 0 = −2:
Tähelepanelik lugeja märkab kindlasti, et me ei kirjutanud välja juure ja logaritmi lubatud väärtuste ala. Kuid seda polnud vaja: sees on funktsioone, mille väärtused on alati positiivsed.
Funktsiooni ulatusest tulenevad tagajärjed
Mõnikord ei piisa ülesande B15 lahendamiseks ainult parabooli tipu leidmisest. Soovitud väärtus võib olla segmendi lõpus, kuid mitte äärmuslikus punktis. Kui ülesanne ei määra segmenti üldse, vaadake tolerantsi vahemik originaalfunktsioon. Nimelt:
Pöörake uuesti tähelepanu: null võib olla juure all, kuid mitte kunagi murdosa logaritmis või nimetajas. Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see toimib:
Ülesanne. Leia funktsiooni suurim väärtus:
Juure all on jälle ruutfunktsioon: y \u003d 3 - 2x - x 2. Selle graafik on parabool, kuid hargneb allapoole, kuna a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Kirjutame välja lubatud väärtuste ala (ODZ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; üks]
Nüüd leidke parabooli tipp:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
Punkt x 0 = −1 kuulub ODZ segmenti – ja see on hea. Nüüd kaalume funktsiooni väärtust punktis x 0, samuti ODZ otstes:
y(−3) = y(1) = 0
Niisiis, saime numbrid 2 ja 0. Meil palutakse leida suurim - see on number 2.
Ülesanne. Leia funktsiooni väikseim väärtus:
y = log 0,5 (6x - x 2-5)
Logaritmi sees on ruutfunktsioon y \u003d 6x - x 2 - 5. See on parabool, mille harud on allapoole, kuid logaritmis ei saa olla negatiivseid numbreid, seega kirjutame välja ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Pange tähele: ebavõrdsus on range, nii et otsad ei kuulu ODZ-le. Nii erineb logaritm juurtest, kus meile sobivad lõigu otsad päris hästi.
Parabooli tipu otsimine:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
Parabooli tipp sobib piki ODZ-d: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Kuid kuna segmendi otsad meid ei huvita, arvestame funktsiooni väärtust ainult punktis x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2
Laske funktsioonil y=f(X) pidev lõigul [ a, b]. Nagu teada, saavutab selline funktsioon sellel segmendil oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse. Funktsioon võib võtta need väärtused kas segmendi sisepunktis [ a, b] või lõigu piiril.
Funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks intervallil [ a, b] vajalik:
1) leida funktsiooni kriitilised punktid vahemikus ( a, b);
2) arvutab funktsiooni väärtused leitud kriitilistes punktides;
3) arvutage funktsiooni väärtused segmendi otstes, see tähendab jaoks x=a ja x = b;
4) valige funktsiooni kõigist arvutatud väärtustest suurim ja väikseim.
Näide. Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused
segmendil.
Kriitiliste punktide leidmine:
Need punktid asuvad segmendi sees; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
punktis x= 3 ja punktis x= 0.
Kumeruse ja käändepunkti funktsiooni uurimine.
Funktsioon y = f (x) helistas kumer vahel (a, b) , kui selle graafik asub selle intervalli mis tahes punktis tõmmatud puutuja all ja seda nimetatakse allapoole kumer (nõgus) kui selle graafik asub puutuja kohal.
Nimetatakse üleminekupunkti, mille kaudu kumerus asendub nõgususega või vastupidi pöördepunkt.
Algoritm kumeruse ja käändepunkti uurimiseks:
1. Leidke teist tüüpi kriitilised punktid, st punktid, kus teine tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.
2. Pane arvureale kriitilised punktid, jagades selle intervallideks. Leia igal intervallil teise tuletise märk; kui , siis funktsioon on kumer ülespoole, kui, siis funktsioon on kumer allapoole.
3. Kui teist tüüpi kriitilist punkti läbides muudab see märki ja selles punktis on teine tuletis võrdne nulliga, siis on see punkt käändepunkti abstsiss. Leia selle ordinaat.
Funktsiooni graafiku asümptoodid. Funktsiooni uurimine asümptootideks.
Definitsioon. Funktsiooni graafiku asümptooti nimetatakse sirge, millel on omadus, et kaugus graafiku mis tahes punktist selle jooneni kipub nulli, graafiku punkti piiramatu eemaldamisega alguspunktist.
Asümptoote on kolme tüüpi: vertikaalne, horisontaalne ja kaldu.
Definitsioon. Otse kutsutud vertikaalne asümptoot funktsiooni graafik y = f(x), kui selles punktis on vähemalt üks funktsiooni ühekülgsetest piiridest võrdne lõpmatusega,
kus on funktsiooni katkestuspunkt, st see ei kuulu definitsiooni valdkonda.
Näide.
D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - murdepunkt.
Definitsioon. Otse y=A helistas horisontaalne asümptoot funktsiooni graafik y = f(x) juures , kui
Näide.
|
x | |||
|
y |
Definitsioon. Otse y=kx +b (k≠ 0) kutsutakse kaldus asümptoot funktsiooni graafik y = f(x) kus
Funktsioonide uurimise ja joonistamise üldskeem.
Funktsiooni uurimise algoritmy = f(x) :
1. Leidke funktsiooni domeen D (y).
2. Leidke (võimalusel) graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega (koos x= 0 ja at y = 0).
3. Uurige paaris- ja paarituid funktsioone ( y (‒ x) = y (x) ‒ võrdsus; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kummaline).
4. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid.
5. Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid.
6. Leia funktsiooni ekstreem.
7. Leia funktsiooni graafiku kumeruse (nõgususe) ja käänupunktide intervallid.
8. Koostage läbiviidud uurimistöö põhjal funktsiooni graafik.
Näide. Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik.
1) D (y) =
x= 4 - murdepunkt.
2) Millal x = 0,
(0; – 5) – lõikepunkt oi.
Kell y = 0,
3)
y(‒
x)=
üldfunktsioon (ei paaris ega paaritu).
4) Uurime asümptoote.
a) vertikaalne
b) horisontaalne
c) leida kaldus asümptoote kus
‒kald asümptoodi võrrand
5) Selles võrrandis ei ole vaja leida funktsiooni monotoonsuse intervalle.
6)
Need kriitilised punktid jagavad funktsiooni kogu domeeni intervalliga (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadud tulemused on mugav esitada järgmise tabeli kujul.
Kuidas sisestada saidile matemaatilisi valemeid?
Kui teil on kunagi vaja veebilehele lisada üks või kaks matemaatilist valemit, siis on seda kõige lihtsam teha artiklis kirjeldatud viisil: matemaatilised valemid sisestatakse saidile hõlpsalt piltidena, mille Wolfram Alpha automaatselt genereerib. Lisaks lihtsusele aitab see universaalne meetod parandada saidi nähtavust otsingumootorites. See on töötanud pikka aega (ja ma arvan, et see töötab igavesti), kuid see on moraalselt vananenud.
Kui aga kasutate oma saidil pidevalt matemaatilisi valemeid, siis soovitan kasutada MathJaxi, spetsiaalset JavaScripti teeki, mis kuvab MathML-i, LaTeX-i või ASCIIMathML-i märgistust kasutavates veebibrauserites matemaatilisi tähistusi.
MathJaxi kasutamise alustamiseks on kaks võimalust: (1) lihtsa koodi abil saate kiiresti oma saidiga ühendada MathJaxi skripti, mis laaditakse õigel ajal automaatselt kaugserverist (serverite loend); (2) laadige MathJaxi skript kaugserverist oma serverisse ja ühendage see oma saidi kõigi lehtedega. Teine meetod on keerulisem ja aeganõudvam ning võimaldab kiirendada saidi lehtede laadimist ning kui MathJaxi emaserver muutub mingil põhjusel ajutiselt kättesaamatuks, ei mõjuta see teie saiti kuidagi. Vaatamata nendele eelistele valisin esimese meetodi, kuna see on lihtsam, kiirem ja ei nõua tehnilisi oskusi. Järgige minu eeskuju ja 5 minuti jooksul saate oma saidil kasutada kõiki MathJaxi funktsioone.
Saate ühendada MathJaxi teegi skripti kaugserverist, kasutades kahte MathJaxi põhiveebisaidilt või dokumentatsioonilehelt võetud koodivalikut:
Üks neist koodivalikutest tuleb kopeerida ja kleepida oma veebilehe koodi, eelistatavalt siltide vahele
ja või kohe pärast silti . Esimese variandi järgi laadib MathJax kiiremini ja aeglustab lehte vähem. Kuid teine valik jälgib ja laadib automaatselt MathJaxi uusimad versioonid. Kui sisestate esimese koodi, tuleb seda perioodiliselt värskendada. Kui kleepite teise koodi, laaditakse lehed aeglasemalt, kuid te ei pea pidevalt MathJaxi värskendusi jälgima.Lihtsaim viis MathJaxi ühendamiseks on Bloggeris või WordPressis: lisage saidi juhtpaneelile vidin, mis on mõeldud kolmanda osapoole JavaScripti koodi sisestamiseks, kopeerige sellesse ülaltoodud laadimiskoodi esimene või teine versioon ja asetage vidin lähemale. malli algusesse (muide, see pole üldse vajalik, kuna MathJaxi skript laaditakse asünkroonselt). See on kõik. Õppige nüüd MathML-i, LaTeX-i ja ASCIIMathML-i märgistuse süntaksit ning olete valmis matemaatilisi valemeid oma veebilehtedele manustama.
Iga fraktal on ehitatud kindla reegli järgi, mida rakendatakse järjekindlalt piiramatu arv kordi. Iga sellist aega nimetatakse iteratsiooniks.
Mengeri käsna konstrueerimise iteratiivne algoritm on üsna lihtne: algne kuubik küljega 1 jagatakse selle tahkudega paralleelsete tasapindade abil 27 võrdseks kuubiks. Sellest eemaldatakse üks keskne kuubik ja 6 selle külge külgnevat kuubikut. Selgub komplekt, mis koosneb 20 ülejäänud väiksemast kuubikust. Tehes sama iga kuubikuga, saame komplekti, mis koosneb 400 väiksemast kuubikust. Jätkates seda protsessi lõputult, saame Mengeri käsna.
Selle teenusega saate leida funktsiooni suurim ja väikseim väärtusüks muutuja f(x) lahenduse kujundusega Wordis. Kui funktsioon f(x,y) on antud, siis on vaja leida kahe muutuja funktsiooni ekstreemum. Samuti saate leida funktsiooni suurendamise ja vähendamise intervallid.
Funktsioonide sisestamise reeglid:
Ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus
Võrrand f "0 (x *) \u003d 0 on ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus, st punktis x * peab funktsiooni esimene tuletis kaduma. See valib statsionaarsed punktid x c, kus funktsioon ei suurene ega vähene .Ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi piisav tingimus
Olgu f 0 (x) kaks korda diferentseeruv hulka D kuuluva x suhtes. Kui punktis x * on tingimus täidetud:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Siis on punkt x * funktsiooni lokaalse (globaalse) miinimumi punkt.
Kui punktis x * on tingimus täidetud:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
See punkt x * on lokaalne (globaalne) maksimum.
Näide nr 1. Leidke funktsiooni suurim ja väikseim väärtus: segmendil .
Lahendus. 
Kriitiline punkt on üks x 1 = 2 (f'(x)=0). See punkt kuulub segmenti . (Punkt x=0 ei ole kriitiline, kuna 0∉).
Arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes ja kriitilises punktis.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Vastus: f min = 5/2, kui x=2; f max = 9 at x = 1
Näide nr 2. Kasutades kõrgemat järku tuletisi, leidke funktsiooni y=x-2sin(x) ekstreemum.
Lahendus.
Leia funktsiooni tuletis: y’=1-2cos(x) . Leiame kriitilised punktid: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Leiame y''=2sin(x), arvutame , seega x= π / 3 +2πk, k∈Z on funktsiooni miinimumpunktid; 
, seega x=- π / 3 +2πk, k∈Z on funktsiooni maksimumpunktid.
Näide nr 3. Uurige äärmusfunktsiooni punkti x=0 läheduses.
Lahendus. Siin on vaja leida funktsiooni ekstreem. Kui ekstreemum x=0 , siis leia selle tüüp (minimaalne või maksimum). Kui leitud punktide hulgas ei ole x = 0, siis arvuta funktsiooni f(x=0) väärtus.
Tuleb märkida, et kui antud punkti mõlemal küljel olev tuletis ei muuda oma märki, ei ammendu võimalikud olukorrad isegi diferentseeruvate funktsioonide puhul: võib juhtuda, et punkti ühel küljel oleva suvaliselt väikese naabruskonna puhul on x 0 või mõlemal küljel muudab tuletis märki. Nendel punktidel tuleb äärmuse funktsioonide uurimiseks rakendada muid meetodeid.