Koos punkti ja lennukiga. See on lõpmatu kujund, mis võib ühendada mis tahes kaks punkti ruumis. Joon kuulub alati mõnele tasapinnale. Kahe sirgjoone asukohast lähtuvalt tuleks nendevahelise kauguse leidmiseks kasutada erinevaid meetodeid.

Kahe joone paigutamiseks ruumis üksteise suhtes on kolm võimalust: need on paralleelsed, lõikuvad või. Teine võimalus on võimalik ainult siis, kui need on samas tasapinnas, ei välista kuulumist kahele paralleelsele tasapinnale. Kolmas olukord ütleb, et jooned asuvad erinevatel paralleelsetel tasapindadel.

Kahe paralleelse joone vahelise kauguse leidmiseks peate määrama neid mis tahes kahes punktis ühendava risti lõigu pikkuse. Kuna sirgel on kaks identset koordinaati, mis tuleneb nende paralleelsuse definitsioonist, siis saab kahemõõtmelises koordinaatruumis sirgete võrrandid kirjutada järgmiselt:
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
Seejärel leiate segmendi pikkuse järgmise valemi abil:
s = |c - d|/√(a² + b²), ja on lihtne näha, et C = D korral, s.o. sirgjoonte kokkulangevuse korral võrdub kaugus nulliga.

On selge, et kahemõõtmelistes koordinaatides lõikuvate joonte vaheline kaugus ei ole mõttekas. Kuid kui need asuvad erinevatel tasapindadel, võib selle leida mõlemaga risti asetseval tasapinnal asuva segmendi pikkusena. Selle lõigu otsad on punktid, mis on joonte mis tahes kahe punkti projektsioonid sellele tasapinnale. Teisisõnu, selle pikkus on võrdne neid jooni sisaldavate paralleelsete tasapindade vahelise kaugusega. Seega, kui tasapinnad on antud üldvõrranditega:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
ridade vahelise kauguse saab anda järgmise valemiga:
s = |E – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

Märge

Sirged jooned üldiselt ja eriti ristuvad jooned pakuvad huvi mitte ainult matemaatikutele. Nende omadused on kasulikud paljudes muudes valdkondades: ehituses ja arhitektuuris, meditsiinis ja looduses endas.

Vihje 2: kuidas leida kahe paralleelse joone vaheline kaugus

Kahe objekti vahelise kauguse määramine ühel või mitmel tasapinnal on geomeetria üks levinumaid ülesandeid. Tavaliste meetodite abil saate leida kahe paralleelse joone vahelise kauguse.

Juhend

Paralleelsed sirged on sirged, mis asuvad samal tasapinnal ja kas ei ristu või langevad kokku. Paralleelsete sirgete vahelise kauguse leidmiseks tuleks valida ühel neist suvaline punkt ja seejärel langetada risti teise sirge suhtes. Nüüd jääb ainult mõõta saadud segmendi pikkus. Kahte paralleelset sirget ühendava risti pikkus on nendevaheline kaugus.

Pöörake tähelepanu järjestusele, milles risti tõmmatakse ühelt paralleelselt teisele, kuna sellest sõltub arvutatud kauguse täpsus. Selleks kasutage täisnurgaga joonistustööriista "kolmnurk". Valige ühel sirgel punkt, kinnitage sellele kolmnurga üks täisnurgaga külgnevatest külgedest (jalad) ja joondage teine ​​külg teise sirgjoonega. Tõmmake teritatud pliiatsiga joon piki esimest jalga nii, et see ulatuks vastassuunalise sirgjooneni.

Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed, st asetsevad paralleelsel sirgel (joonis 1).

1. teoreem. Rööpküliku külgede ja nurkade omadustest. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed, vastasnurgad on võrdsed ja rööpküliku ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°.

Tõestus. Sellele rööpkülikule ABCD tõmmake diagonaal AC ja saage kaks kolmnurka ABC ja ADC (joonis 2).

Need kolmnurgad on võrdsed, kuna ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (paralleelsete joonte ristnurgad) ja külg AC on ühine. Võrdusest Δ ABC = Δ ADC järeldub, et AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Ühe küljega külgnevate nurkade summa, näiteks nurgad A ja D, võrdub 180° kui üks -külgnevad paralleelsete joontega. Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri. Rööpküliku vastaskülgede võrdsus tähendab, et paralleelsete lõigud, mis on paralleelsete poolt ära lõigatud, on võrdsed.

Järeldus 1. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis on ühe sirge kõik punktid teisest sirgest samal kaugusel.

Tõestus. Tõepoolest, olgu || b (joonis 3).

Tõmbame sirge b mõnest kahest punktist B ja C sirge a ristid BA ja CD. Kuna AB || CD, siis on joonis ABCD rööpkülik ja seetõttu AB = CD.

Kahe paralleelse joone vaheline kaugus on kaugus ühel sirgel olevast suvalisest punktist teise sirgeni.

Tõestatu põhjal on see võrdne ühe paralleelse sirge mõnest punktist teisele sirgele tõmmatud risti pikkusega.

Näide 1 Rööpküliku ümbermõõt on 122 cm Tema üks külg on teisest 25 cm pikem Leia rööpküliku küljed.

Lahendus. Teoreemi 1 kohaselt on rööpküliku vastasküljed võrdsed. Tähistame rööpküliku üht külge kui x, teist kui y. Siis tingimusega $$\left\(\begin(maatriks) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(maatriks)\right.$$ Selle süsteemi lahendamisel saame x = 43, y = 18. Seega on rööpküliku küljed 18, 43, 18 ja 43 cm.

Näide 2

Lahendus. Laske joonisel 4 vastata ülesande olukorrale.

Tähista AB-d x-ga ja BC-d y-ga. Tingimuse järgi on rööpküliku ümbermõõt 10 cm, st 2(x + y) = 10 või x + y = 5. Kolmnurga ABD ümbermõõt on 8 cm Ja kuna AB + AD = x + y = 5 , siis BD = 8-5 = 3 . Seega BD = 3 cm.

Näide 3 Leidke rööpküliku nurgad, teades, et üks neist on teisest 50° suurem.

Lahendus. Laske joonisel 5 vastata ülesande olukorrale.

Tähistame nurga A kraadimõõtu kui x. Siis on nurga D kraadimõõt x + 50°.

Nurgad BAD ja ADC on sisemised ühepoolsed paralleelsete joontega AB ja DC ning sekant AD. Siis on nende nimetatud nurkade summaks 180°, s.o.
x + x + 50° = 180° või x = 65°. Seega ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Näide 4 Rööpküliku küljed on 4,5 dm ja 1,2 dm. Teravnurga tipust tõmmatakse poolitaja. Millisteks osadeks jagab rööpküliku pika külje?

Lahendus. Olgu joonisel 6 vastav ülesande seisukord.

AE on rööpküliku teravnurga poolitaja. Seetõttu ∠ 1 = ∠ 2.

Kaugus

punktist joonele

Paralleelsete joonte vaheline kaugus

Geomeetria, 7. klass

L.S. Atanasyani õpiku juurde

kõrgeima kategooria matemaatikaõpetaja

Memorandum "Upshinsky põhikool"

Mari Eli Vabariigi Orsha ringkond

Perpendikulaarne pikkus tõmmatud punktist joonele, helistas vahemaa sellest punktist kuni sirge.

AN ⏊ a

M є a, M erineb H-st

Perpendikulaarne tõmmatud punktist joonele, vähem ükskõik milline kaldus tõmmatud samast punktist sellele joonele.

OLEN – kaldus, tõmmatud punktist A joonele a

AN OLEN

AN - kaldus

AN AN

AN AK

AK - kaldus

Kaugus punktist jooneni

M

Kaugus punktist M jooneni c on ...

N

Kaugus punktist N jooneni c on ...

Koos

Kaugus punktist K jooneni c on ...

K

Kaugus punktist F jooneni c on ...

F

Kaugus punktist jooneni

AN ⏊ a

AN= 5,2 cm

VC ⏊ a

VC= 2,8 cm

Teoreem.

Mõlema paralleelse sirge kõik punktid on teisest sirgest võrdsel kaugusel

Arvestades: a ǁ b

A є a, B є a,

Tõesta: punktide A ja B kaugused sirgeni a on võrdsed.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

Tõesta: AH = BK

Δ ANC = ΔVKA(miks?)

Kolmnurkade võrdsusest järeldub AN = VK

Kaugust ühe paralleelse sirge suvalisest punktist teise sirgeni nimetatakse nende sirgete vaheliseks kauguseks.

Pöördteoreem.

Kõik tasapinna punktid, mis asuvad antud sirgega samal küljel ja on sellest võrdsel kaugusel, asuvad antud sirgega paralleelsel sirgel.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

AH = BK

Tõesta: AB ǁ b

Δ ANC = ΔKVA(miks?)

Kolmnurkade võrdsusest järeldub … , kuid need on sisemised risti asetsevad nurgad, mille moodustavad … , seega AB ǁ NK

Kui suur on sirgete b ja c vaheline kaugus, kui ridade vaheline kaugus a ja b on 4 ning ridade vahel a ja c on 5?

a ǁ b ǁ c

Kui suur on sirgete b ja a vaheline kaugus, kui joonte b ja c vaheline kaugus on 7 ning joonte vahel a ja c on 2?

Kui suur on joonte vaheline kaugus a ja c, kui ridade b ja c vaheline kaugus on 10, ja joonte vaheline kaugus b ja a võrdne 6?

Mis on kahest paralleelsest sirgest võrdsel kaugusel asuva tasapinna kõigi punktide hulk?

a ǁ b

Vastus: Antud sirgetega paralleelne ja neist võrdsel kaugusel olev sirge.

Kui suur hulk on tasapinna kõik punktid, mis asuvad antud sirgest teatud kaugusel?

Vastus: Kaks sirget, mis on paralleelsed antud sirgega ja asuvad etteantud kaugusel selle vastaskülgedel.

Selle veebikalkulaatoriga saate leida joonte vahelise kauguse ruumis. Antakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Ruumijoonte vahelise kauguse arvutamiseks määrake joonte võrrandi tüüp ("kanooniline" või "parameetriline"), sisestage lahtritesse joonte võrrandite koefitsiendid ja klõpsake nuppu "Lahenda".

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhend. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendarvudena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Ridade vaheline kaugus ruumis – teooria, näited ja lahendused

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz L 1 ja L 2:

.

(1)

,

(2)

kus M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − sirgel asuvad punktid L 1 ja L 2 ja q 1 ={m 1 , lk 1 , l 1) ja q 2 ={m 2 , lk 2 , l 2 ) − sirgete suunavad vektorid L 1 ja L 2 vastavalt.

Sirged (1) ja (2) ruumis võivad kokku langeda, olla paralleelsed, ristuvad või viltu. Kui ruumis olevad sirged lõikuvad või langevad kokku, on nende vaheline kaugus võrdne nulliga. Vaatleme kahte juhtumit. Esimene on see, et sirged on paralleelsed ja teine, et sirged ristuvad. Ülejäänud on tavalised nähtused. Kui paralleelsete sirgete vahelise kauguse arvutamisel saame kauguse võrdseks nulliga, tähendab see, et need sirged langevad kokku. Kui lõikuvate sirgete vaheline kaugus on võrdne nulliga, siis need sirged lõikuvad.

1. Ruumi paralleeljoonte vaheline kaugus

Kaaluge kahte meetodit joonte vahelise kauguse arvutamiseks.

1. meetod. Punktist M 1 sirge L 1 joonistage tasapind α , joonega risti L 2. Punkti leidmine M 3 (x 3 , y 3 , y 3) tasapinnalised ristumiskohad α ja otsene L 3 . Sisuliselt leiame punkti projektsiooni M 1 sirge L 2. Vaadake, kuidas leida punkti projektsioon joonele. Järgmisena arvutame punktide vahelise kauguse M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Näide 1. Leidke joonte vaheline kaugus L 1 ja L 2:

Otse L 2 läbib punkti M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Väärtuste asendamine m 2 , lk 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 in (5) saame:

Leidke sirge lõikepunkt L 2 ja lennuk α , loome selleks sirge parameetrilise võrrandi L 2 .

Sirge lõikepunkti leidmiseks L 2 ja lennuk α , asendage muutujate väärtused x, y, z(7) kuni (6):

Saadud väärtuse asendamine t punktis (7) saame sirge lõikepunkti L 2 ja lennuk α :

Jääb üle leida punktide vaheline kaugus M 1 ja M 3:

L 1 ja L 2 võrdub d=7.2506.

2. meetod. Leidke joonte vaheline kaugus L 1 ja L 2 (võrrandid (1) ja (2)). Esiteks kontrollime joonte paralleelsust L 1 ja L 2. Kui sirgete suunavektorid L 1 ja L 2 on kollineaarsed, st. kui on olemas selline arv λ, et võrdsus q 1 =λ q 2, seejärel sirgjooned L 1 ja L 2 on paralleelsed.

See paralleelsete vektorite vahelise kauguse arvutamise meetod põhineb vektorite ristkorrutisel. On teada, et vektorite ja vektorkorrutise norm q 1 näitab nende vektorite moodustatud rööpküliku pindala (joonis 2). Teades rööpküliku pindala, saate leida rööpküliku tipu d jagades ala alusega q 1 rööpkülik.

q 1:

.

Sirgete vaheline kaugus L 1 ja L 2 on võrdne:

,

,

Näide 2. Lahenda näide 1 meetodi 2 abil. Leidke joonte vaheline kaugus

Otse L 2 läbib punkti M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) ja sellel on suunavektor

q 2 ={m 2 , lk 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Vektorid q 1 ja q 2 on kollineaarsed. Sellest ka otsene L 1 ja L 2 on paralleelsed. Paralleeljoonte vahelise kauguse arvutamiseks kasutame vektorite vektorkorrutist.

Ehitame vektori =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Arvutame vektorite ja vektorkorrutise qüks . Selleks koostame 3 × 3 maatriksi, mille esimene rida on baasvektorid i, j, k, ja ülejäänud read on täidetud vektorite ja elementidega q 1:

Seega vektorite ja ristkorrutise tulemus q 1 on vektor:

Vastus: ridade vaheline kaugus L 1 ja L 2 võrdub d=7.25061.

2. Ruumi lõikuvate sirgete vaheline kaugus

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz ja olgu selles koordinaatsüsteemis antud sirged L 1 ja L 2 (võrrandid (1) ja (2)).

Lase sirgeks L 1 ja L 2 ei ole paralleelsed (paralleelseid sirgeid käsitlesime eelmises lõigus). Ridadevahelise kauguse leidmiseks L 1 ja L 2 on vaja ehitada paralleelsed tasapinnad α 1 ja α 2 nii et otse L 1 lamas α 1 sirge L 2 - lennukis α 2. Siis ridade vaheline kaugus L 1 ja L 2 on võrdne tasapindade vahelise kaugusega L 1 ja L 2 (joonis 3).

kus n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − tasapinna normaalvektor α üks . Lennukile α 1 läbis sirgjoone L 1, normaalvektor n 1 peab olema suunavektori suhtes ortogonaalne q 1 sirge L 1 , s.o. nende vektorite skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga:

Lineaarvõrrandisüsteemi (27)−(29) lahendamine kolme võrrandi ja nelja tundmatuga A 1 , B 1 , C 1 , D 1 ja asendades võrrandiga

lennukid α 1 ja α 2 on paralleelsed, sellest tulenevad normaalvektorid n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) ja n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) neist tasapindadest on kollineaarsed. Kui need vektorid ei ole võrdsed, saame (31) korrutada mõne arvuga nii, et saadud normaalvektor n 2 langes kokku võrrandi (30) normaalvektoriga.

Seejärel arvutatakse paralleelsete tasapindade vaheline kaugus valemiga:

(33)

Lahendus. Otse L 1 läbib punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ja sellel on suunavektor q 1 ={m 1 , lk 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Otse L 2 läbib punkti M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) ja sellel on suunavektor q 2 ={m 2 , lk 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Ehitame lennuki α 1 läbib liini L 1, paralleelne joonega L 2 .

Alates lennukist α 1 läbib liini L 1 , siis läbib see ka punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) ja normaalvektor n 1 ={m 1 , lk 1 , l 1) lennuk α 1 on risti suunavektoriga q 1 sirge Lüks . Siis peab tasapinna võrrand täitma tingimust:

Alates lennukist α 1 peab olema joonega paralleelne L 2, siis peab olema täidetud järgmine tingimus:

Esitame neid võrrandeid maatriksi kujul:

(40)

Lahendame lineaarvõrrandisüsteemi (40) suhtes A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Selles artiklis keskendutakse kaldjoonte vahelise kauguse leidmisele koordinaatide meetodil. Esiteks antakse kaldjoonte vahelise kauguse määratlus. Järgmisena saadakse algoritm, mis võimaldab leida kaldjoonte vahelise kauguse. Kokkuvõttes analüüsitakse üksikasjalikult näite lahendust.

Leheküljel navigeerimine.

Viltusjoonte vaheline kaugus on määratlus.

Enne kaldjoonte vahelise kauguse määratlust tuletame meelde kaldjoonte definitsiooni ja tõestame kaldjoontega seotud teoreemi.

Definitsioon.

on kaugus ühe lõikuva sirge ja sellega paralleelse tasandi vahel, mis läbib teist sirget.

Vahemaa sirge ja sellega paralleelse tasapinna vahel on omakorda kaugus joone mingist punktist tasapinnani. Siis kehtib järgmine kaldjoonte vahelise kauguse määratluse sõnastus.

Definitsioon.

Lõikuvate joonte vaheline kaugus on kaugus ühe kaldjoone mõnest punktist tasapinnani, mis läbib teise esimese sirgega paralleelset sirget.

Vaatleme sirgete a ja b ristumisi. Märgime sirgele a kindla punkti M 1, läbi sirge b tõmbame sirgega a paralleelse tasapinna ja punktist M 1 kukutame tasapinnale risti M 1 H 1. Risti M 1 H 1 pikkus on ristuvate sirgete a ja b vaheline kaugus.

Ristumisjoonte vahekauguse leidmine - teooria, näited, lahendused.

Ristuvate joonte vahelise kauguse leidmisel on sageli peamiseks raskuseks sellise lõigu nägemine või konstrueerimine, mille pikkus on võrdne nõutava kaugusega. Kui selline segment konstrueerida, siis olenevalt ülesande tingimustest saab selle pikkuse leida Pythagorase teoreemi, kolmnurkade võrdsuse või sarnasuse märkide jms abil. Seda teeme 10.-11. klassi geomeetriatundides lõikuvate sirgete vahekauguse leidmisel.

Kui Oxyz tuuakse kolmemõõtmelisse ruumi ja selles on antud kaldjooned a ja b, siis koordinaatide meetod võimaldab toime tulla etteantud kaldjoonte vahelise kauguse arvutamise ülesandega. Analüüsime seda üksikasjalikult.

Olgu tasapind, mis läbib sirget b paralleelselt sirgega a. Siis on soovitud kaugus ristuvate sirgete a ja b vahel definitsiooni järgi kaugusega mingist sirgel a asuvast punktist M 1 tasapinnani. Seega, kui määrame mõne sirgel a asuva punkti M 1 koordinaadid ja saame tasapinna normaalvõrrandi kujul, siis saame arvutada kauguse punktist tasapinnale valemiga (see valem saadi punktist tasandi kauguse leidmise artiklis). Ja see kaugus on võrdne soovitud kaugusega kaldjoonte vahel.

Nüüd üksikasjalikult.

Ülesanne taandub sirgel a asuva punkti M 1 koordinaatide saamisele ja tasandi normaalvõrrandi leidmisele.

Punkti M 1 koordinaatide määramisel pole raskusi, kui tunnete hästi põhilisi sirgjoonevõrrandite tüüpe ruumis. Kuid tasub peatuda üksikasjalikumalt tasapinna võrrandi saamisel.

Kui määrame mõne punkti M 2 koordinaadid, mida tasand läbib, ja saame ka tasapinna normaalvektori kujul , siis saame tasandi üldvõrrandi kirjutada kujul .

Punktina M 2 võite võtta mis tahes punkti, mis asub sirgel b, kuna tasapind läbib sirget b. Seega võib punkti M 2 koordinaadid lugeda leituks.

Jääb üle saada tasapinna normaalvektori koordinaadid . Teeme seda.

Tasapind läbib sirget b ja on paralleelne sirgega a. Seetõttu on tasapinna normaalvektor risti nii sirge a suunavektoriga (tähistame seda ) kui ka sirge b suunavektoriga (tähistame seda ). Siis saame vektorina võtta ja, see tähendab . Olles määranud sirge a ja b koordinaadid ja suunavektorid ning arvutanud , leiame tasapinna normaalvektori koordinaadid.

Niisiis, meil on tasapinna üldvõrrand: .

Jääb vaid viia tasapinna üldvõrrand normaalkujule ja arvutada valemi abil soovitud kaugus ristuvate sirgete a ja b vahel.

Sellel viisil, ristuvate sirgete a ja b vahelise kauguse leidmiseks on vaja:

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Kolmemõõtmelises ruumis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz on antud kaks lõikuvat sirget a ja b. Rida a on määratletud