הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה. פונקציות קיצוניות

לפעמים בבעיות B15 יש פונקציות "גרועות" שקשה למצוא להן את הנגזרת. בעבר, זה היה רק על בדיקות, אבל עכשיו המשימות האלה כל כך נפוצות, עד שלא ניתן עוד להתעלם מהן בעת הכנה לבחינה זו.

במקרה זה, טריקים אחרים עובדים, אחד מהם הוא - מוֹנוֹטוֹנִיוּת.

הפונקציה f (x) נקראת עלייה מונוטונית על הקטע, אם עבור כל נקודות x 1 ו-x 2 של קטע זה נכון הדבר הבא:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

הפונקציה f (x) נקראת ירידה מונוטונית על הקטע אם עבור כל נקודות x 1 ו-x 2 של קטע זה נכון הדבר הבא:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

במילים אחרות, עבור פונקציה הולכת וגדלה, ככל ש-x גדול יותר, כך f(x) גדול יותר. עבור פונקציה יורדת, ההיפך הוא הנכון: ככל שיותר x , ה פָּחוּת f(x).

לדוגמה, הלוגריתם גדל באופן מונוטוני אם הבסיס a > 1 ויורד באופן מונוטוני אם 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

השורש הריבועי האריתמטי (ולא רק הריבועי) גדל באופן מונוטוני על פני כל תחום ההגדרה:

הפונקציה המעריכית מתנהגת בדומה ללוגריתם: היא גדלה עבור a > 1 ויורדת עבור 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

לבסוף, מעלות עם מעריך שלילי. אתה יכול לכתוב אותם כשבר. יש להם נקודת שבירה שבה המונוטוניות נשברת.

כל הפונקציות הללו לעולם אינן נמצאות בצורתן הטהורה. מתווספים אליהם פולינומים, שברים ושטויות אחרות, שבגללן קשה לחשב את הנגזרת. מה קורה במקרה הזה - עכשיו ננתח.

קואורדינטות קודקוד פרבולה

לרוב, ארגומנט הפונקציה מוחלף ב טרינום מרובעמהצורה y = ax 2 + bx + c . הגרף שלו הוא פרבולה סטנדרטית, שבה אנו מעוניינים:

ענפי פרבולה - יכולים לעלות (עבור > 0) או למטה (א< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
הקודקוד של פרבולה הוא נקודת הקיצון של פונקציה ריבועית, שבה פונקציה זו לוקחת את הקטן ביותר שלה (עבור > 0) או הגדול ביותר (a< 0) значение.

העניין הגדול ביותר הוא החלק העליון של פרבולה, שהאבססיס שלו מחושב על ידי הנוסחה:

אז מצאנו את נקודת הקיצון של הפונקציה הריבועית. אבל אם הפונקציה המקורית היא מונוטונית, עבורה הנקודה x 0 תהיה גם נקודת קיצון. לפיכך, אנו מנסחים את כלל המפתח:

נקודות הקיצון של הטרינום המרובע והפונקציה המורכבת אליה הוא נכנס חופפות. לכן, אתה יכול לחפש את x 0 עבור טרינום ריבועי, ולשכוח מהפונקציה.

מהנימוק לעיל, לא ברור איזו נקודה אנחנו מקבלים: מקסימום או מינימום. עם זאת, המשימות תוכננו במיוחד כך שזה לא משנה. תשפטו בעצמכם:

אין קטע במצב הבעיה. לכן, אין צורך לחשב את f(a) ו-f(b). נותר לשקול רק את נקודות הקיצון;
אבל יש רק נקודה אחת כזו - זה החלק העליון של הפרבולה x 0, שהקואורדינטות שלה מחושבות מילולית בעל פה וללא כל נגזרות.

לפיכך, פתרון הבעיה מפושט מאוד ומצטמצם לשני שלבים בלבד:

כתוב את משוואת הפרבולה y = ax 2 + bx + c ומצא את הקודקוד שלה באמצעות הנוסחה: x 0 = −b /2a;
מצא את הערך של הפונקציה המקורית בנקודה זו: f (x 0). אם אין תנאים נוספים, זו תהיה התשובה.

במבט ראשון, אלגוריתם זה והצדקתו עשויים להיראות מסובכים. אני בכוונה לא מפרסם סכימת פתרון "חשופה", מכיוון שהיישום חסר התחשבות של כללים כאלה כרוך בטעויות.

קחו בחשבון את המשימות האמיתיות מבחינת הניסיון במתמטיקה - כאן הטכניקה הזו נפוצה ביותר. יחד עם זאת, נוודא שבדרך זו בעיות רבות של B15 הופכות כמעט מילוליות.

מתחת לשורש נמצאת פונקציה ריבועית y \u003d x 2 + 6x + 13. הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה עם ענפים כלפי מעלה, שכן המקדם a \u003d 1\u003e 0.

החלק העליון של הפרבולה:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

מכיוון שהענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, בנקודה x 0 \u003d −3, הפונקציה y \u003d x 2 + 6x + 13 מקבלת את הערך הקטן ביותר.

השורש עולה באופן מונוטוני, ולכן x 0 היא נקודת המינימום של הפונקציה כולה. יש לנו:

משימה. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

מתחת ללוגריתם נמצאת שוב פונקציה ריבועית: y \u003d x 2 + 2x + 9. הגרף הוא פרבולה עם ענפים למעלה, מכיוון a = 1 > 0.

החלק העליון של הפרבולה:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

אז, בנקודה x 0 = −1, הפונקציה הריבועית מקבלת את הערך הקטן ביותר. אבל הפונקציה y = log 2 x היא מונוטונית, אז:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

המעריך הוא פונקציה ריבועית y = 1 − 4x − x 2 . בוא נשכתב אותו בצורה רגילה: y = −x 2 − 4x + 1.

ברור שהגרף של פונקציה זו הוא פרבולה, מסתעף למטה (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

הפונקציה המקורית היא אקספוננציאלית, היא מונוטונית, ולכן הערך הגדול ביותר יהיה בנקודת המוצא x 0 = −2:

קורא קשוב בוודאי ישים לב שלא כתבנו את אזור הערכים המותרים של השורש והלוגריתם. אבל זה לא היה נדרש: בפנים יש פונקציות שהערכים שלהן תמיד חיוביים.

השלכות מהיקף של פונקציה

לפעמים, כדי לפתור בעיה B15, לא מספיק רק למצוא את קודקוד הפרבולה. הערך הרצוי עשוי לשקר בסוף הקטע, אבל לא בנקודת הקיצון. אם המשימה אינה מציינת קטע כלל, תסתכל על טווח סובלנותפונקציה מקורית. כלומר:

שימו לב שוב: ייתכן שאפס נמצא מתחת לשורש, אבל לעולם לא בלוגריתם או במכנה של שבר. בוא נראה איך זה עובד עם דוגמאות ספציפיות:

משימה. מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה:

מתחת לשורש יש שוב פונקציה ריבועית: y \u003d 3 - 2x - x 2. הגרף שלו הוא פרבולה, אך מסתעף מטה מאז a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

אנו כותבים את אזור הערכים המותרים (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; אחד]

כעת מצא את קודקוד הפרבולה:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

הנקודה x 0 = −1 שייכת לקטע ODZ - וזה טוב. כעת אנו רואים את הערך של הפונקציה בנקודה x 0, כמו גם בקצות ה-ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

אז קיבלנו את המספרים 2 ו-0. אנחנו מתבקשים למצוא את הגדול ביותר - זה המספר 2.

משימה. מצא את הערך הקטן ביותר של הפונקציה:

y = log 0.5 (6x - x 2 - 5)

בתוך הלוגריתם יש פונקציה ריבועית y \u003d 6x - x 2 - 5. זוהי פרבולה עם סניפים למטה, אבל לא יכולים להיות מספרים שליליים בלוגריתם, אז אנחנו כותבים את ה-ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

שימו לב: אי השוויון מחמיר, ולכן הקצוות אינם שייכים לאו"ד. באופן זה, הלוגריתם שונה מהשורש, שם קצוות הקטע מתאימים לנו למדי.

מחפש את קודקוד הפרבולה:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

החלק העליון של הפרבולה מתאים לאורך ה-ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). אבל מכיוון שקצוות הקטע לא מעניינים אותנו, אנו רואים את הערך של הפונקציה רק בנקודה x 0:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0.5 (18 - 9 - 5) = log 0.5 4 = −2

תן לתפקד y=ו(איקס)רציף על הקטע [ א, ב]. כידוע, פונקציה כזו מגיעה לערכים המקסימליים והמינימליים שלה בקטע זה. הפונקציה יכולה לקחת את הערכים האלה בנקודה פנימית של הקטע [ א, ב], או על גבול הקטע.

כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה בקטע [ א, ב] נחוץ:

1) מצא את הנקודות הקריטיות של הפונקציה במרווח ( א, ב);

2) חשב את ערכי הפונקציה בנקודות הקריטיות שנמצאו;

3) חשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע, כלומר עבור איקס=או-x = ב;

4) מכל הערכים המחושבים של הפונקציה, בחר את הגדול והקטן ביותר.

דוגמא.מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה

על הקטע.

מציאת נקודות קריטיות:

נקודות אלו נמצאות בתוך הקטע; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

בנקודה איקס= 3 ובנקודה איקס= 0.

חקירת פונקציה לקמורות ונקודת פיתול.

פוּנקצִיָה y = ו (איקס) שקוראים לו קמורבין לבין (א, ב) , אם הגרף שלו נמצא מתחת למשיק שצויר בכל נקודה של מרווח זה, ונקרא קמור למטה (קעור)אם הגרף שלו נמצא מעל המשיק.

הנקודה במעבר שדרכה מוחלפת הקמורות בקיעור או להיפך נקראת נקודת פיתול.

אלגוריתם ללימוד קמור ונקודת פיתול:

1. מצא את הנקודות הקריטיות מהסוג השני, כלומר הנקודות שבהן הנגזרת השנייה שווה לאפס או לא קיימת.

2. שימו נקודות קריטיות על קו המספרים, חלקו אותו למרווחים. מצא את הסימן של הנגזרת השנייה בכל מרווח; אם , אז הפונקציה קמורה כלפי מעלה, אם, אז הפונקציה קמורה כלפי מטה.

3. אם במעבר דרך נקודה קריטית מהסוג השני הוא משנה סימן ובנקודה זו הנגזרת השנייה שווה לאפס, אז נקודה זו היא האבססיס של נקודת הפיתול. מצא את הסידור שלו.

אסימפטוטים של הגרף של פונקציה. חקירת פונקציה לאסימפטוטות.

הַגדָרָה.האסימפטוטה של הגרף של פונקציה נקראת יָשָׁר, בעל התכונה שהמרחק מכל נקודה של הגרף לקו זה שואף לאפס עם הסרה בלתי מוגבלת של נקודת הגרף מהמקור.

ישנם שלושה סוגים של אסימפטוטות: אנכי, אופקי ומשופע.

הַגדָרָה.התקשר ישירות אסימפטוטה אנכיתגרף פונקציות y = f(x), אם לפחות אחד מהגבולות החד-צדדיים של הפונקציה בנקודה זו שווה לאינסוף, כלומר

היכן היא נקודת האי-רציפות של הפונקציה, כלומר, היא אינה שייכת לתחום ההגדרה.

דוגמא.

ד( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

איקס= 2 - נקודת שבירה.

הַגדָרָה.יָשָׁר y=אשקוראים לו אסימפטוטה אופקיתגרף פונקציות y = f(x)ב, אם

דוגמא.

איקס
y

הַגדָרָה.יָשָׁר y=קx +ב (ק≠ 0) נקרא אסימפטוטה אלכסוניתגרף פונקציות y = f(x)איפה

תכנית כללית ללימוד פונקציות ותכנון.

אלגוריתם מחקר פונקציותy = f(x) :

1. מצא את התחום של הפונקציה ד (y).

2. מצא (אם אפשר) את נקודות החיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות (עם איקס= 0 ובשעה y = 0).

3. בדוק אם יש פונקציות זוגיות ואי-זוגיות ( y (‒ איקס) = y (איקס) ‒ שִׁוּוּי; y(‒ איקס) = ‒ y (איקס) ‒ מוזר).

4. מצא את האסימפטוטים של גרף הפונקציה.

5. מצא מרווחים של מונוטוניות של הפונקציה.

6. מצא את הקיצוניות של הפונקציה.

7. מצא את מרווחי הקמורות (קיעור) ונקודות הפיתול של גרף הפונקציה.

8. על בסיס המחקר שנערך, בנו גרף של הפונקציה.

דוגמא.חקרו את הפונקציה ושרטטו את הגרף שלה.

1) ד (y) =

איקס= 4 - נקודת שבירה.

2) מתי איקס = 0,

(0; – 5) – נקודת חיתוך עם אוי.

בְּ y = 0,

3) y(‒ איקס)= תפקוד כללי (לא זוגי ולא מוזר).

4) אנו חוקרים אסימפטוטות.

א) אנכי

ב) אופקי

ג) מצא אסימפטוטות אלכסוניות היכן

משוואת אסימפטוטה אלכסונית

5) במשוואה זו, אין צורך למצוא מרווחים של מונוטוניות של הפונקציה.

נקודות קריטיות אלו מחלקות את כל התחום של הפונקציה במרווח (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ו-(10; +∞). נוח להציג את התוצאות שהתקבלו בצורה של הטבלה הבאה.

איך מכניסים נוסחאות מתמטיות לאתר?

אם אי פעם תצטרכו להוסיף נוסחה מתמטית אחת או שתיים לדף אינטרנט, הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא כפי שמתואר במאמר: נוסחאות מתמטיות מוכנסות בקלות לאתר בצורה של תמונות שוולפרם אלפא יוצר אוטומטית. בנוסף לפשטות, שיטה אוניברסלית זו תסייע לשפר את הנראות של האתר במנועי החיפוש. זה עובד כבר הרבה זמן (ואני חושב שזה יעבוד לנצח), אבל זה מיושן מבחינה מוסרית.

אם, לעומת זאת, אתה משתמש כל הזמן בנוסחאות מתמטיות באתר שלך, אז אני ממליץ לך להשתמש ב- MathJax, ספריית JavaScript מיוחדת שמציגה סימון מתמטי בדפדפני אינטרנט באמצעות סימון MathML, LaTeX או ASCIIMathML.

ישנן שתי דרכים להתחיל להשתמש ב- MathJax: (1) באמצעות קוד פשוט, תוכל לחבר במהירות סקריפט MathJax לאתר שלך, שייטען אוטומטית משרת מרוחק בזמן הנכון (רשימת שרתים); (2) העלה את הסקריפט של MathJax משרת מרוחק לשרת שלך וחבר אותו לכל דפי האתר שלך. השיטה השנייה יותר מסובכת וגוזלת זמן ותאפשר לך להאיץ את הטעינה של דפי האתר שלך, ואם שרת האב MathJax הופך לבלתי זמין זמנית מסיבה כלשהי, זה לא ישפיע על האתר שלך בשום צורה. למרות היתרונות הללו, בחרתי בשיטה הראשונה, שכן היא פשוטה יותר, מהירה יותר ואינה דורשת כישורים טכניים. בצע את הדוגמה שלי, ותוך 5 דקות תוכל להשתמש בכל התכונות של MathJax באתר האינטרנט שלך.

אתה יכול לחבר את הסקריפט של ספריית MathJax משרת מרוחק באמצעות שתי אפשרויות קוד שנלקחו מהאתר הראשי של MathJax או מדף התיעוד:

אחת מאפשרויות הקוד הללו צריכה להיות מועתקת ולהדביק בקוד של דף האינטרנט שלך, רצוי בין התגים ואו מיד אחרי התג . לפי האפשרות הראשונה, MathJax נטען מהר יותר ומאט את העמוד פחות. אבל האפשרות השנייה עוקבת וטוענת אוטומטית את הגרסאות האחרונות של MathJax. אם תכניס את הקוד הראשון, יהיה צורך לעדכן אותו מעת לעת. אם תדביק את הקוד השני, הדפים ייטענו לאט יותר, אך לא תצטרך לפקח כל הזמן על עדכוני MathJax.

הדרך הקלה ביותר לחבר את MathJax היא ב-Blogger או ב-WordPress: בלוח הבקרה של האתר, הוסף ווידג'ט שנועד להכניס קוד JavaScript של צד שלישי, העתק אליו את הגרסה הראשונה או השנייה של קוד הטעינה שהוצגו למעלה, והצב את הווידג'ט קרוב יותר. לתחילת התבנית (אגב, זה בכלל לא הכרחי, מכיוון שהסקריפט של MathJax נטען באופן אסינכרוני). זה הכל. כעת למד את תחביר הסימון MathML, LaTeX ו-ASCIIMathML ואתה מוכן להטמיע נוסחאות מתמטיות בדפי האינטרנט שלך.

כל פרקטל בנוי על פי כלל מסוים, אשר מיושם באופן עקבי מספר בלתי מוגבל של פעמים. כל זמן כזה נקרא איטרציה.

האלגוריתם האיטרטיבי לבניית ספוג מנגר הוא די פשוט: הקובייה המקורית עם צלע 1 מחולקת על ידי מישורים מקבילים לפניה ל-27 קוביות שוות. קובייה מרכזית אחת ו-6 קוביות צמודות לה לאורך הפנים מוסרות ממנה. מסתבר שסט המורכב מ-20 קוביות קטנות שנותרו. אם נעשה את אותו הדבר עם כל אחת מהקוביות הללו, נקבל סט המורכב מ-400 קוביות קטנות יותר. ממשיכים בתהליך הזה ללא הגבלת זמן, אנחנו מקבלים את ספוג מנגר.

עם שירות זה, אתה יכול למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציהמשתנה אחד f(x) עם עיצוב הפתרון ב-Word. אם ניתנת הפונקציה f(x,y), לכן, יש צורך למצוא את הקיצון של הפונקציה של שני משתנים. אתה יכול גם למצוא את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

כללי הזנת פונקציה:

תנאי הכרחי לקיצון של פונקציה של משתנה אחד

המשוואה f "0 (x *) \u003d 0 היא תנאי הכרחי לקיצון של פונקציה של משתנה אחד, כלומר בנקודה x * הנגזרת הראשונה של הפונקציה חייבת להיעלם. היא בוחרת נקודות נייחות x c שבהן הפונקציה לא עולה ולא יורד .

תנאי מספיק לקיצון של פונקציה של משתנה אחד

תן f 0 (x) להיות מובחן פעמיים ביחס ל-x השייך לקבוצה D . אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

אז הנקודה x * היא הנקודה של המינימום המקומי (גלובלי) של הפונקציה.

אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

הנקודה x * היא מקסימום מקומי (גלובלי).

דוגמה מס' 1. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה: בקטע .
פִּתָרוֹן.

הנקודה הקריטית היא אחד x 1 = 2 (f'(x)=0). נקודה זו שייכת לקטע. (הנקודה x=0 אינה קריטית, שכן 0∉).
אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
תשובה: f min = 5 / 2 עבור x=2; f max =9 ב-x=1

דוגמה מס' 2. בעזרת נגזרות מסדר גבוה, מצא את הקיצון של הפונקציה y=x-2sin(x) .
פִּתָרוֹן.
מצא את הנגזרת של הפונקציה: y'=1-2cos(x) . הבה נמצא את הנקודות הקריטיות: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. נמצא y''=2sin(x), חשב , אז x= π / 3 +2πk, k∈Z הן נקודות המינימום של הפונקציה; , אז x=- π / 3 +2πk, k∈Z הן הנקודות המקסימליות של הפונקציה.

דוגמה מס' 3. חקור את פונקציית הקיצון בשכנות לנקודה x=0.
פִּתָרוֹן. כאן יש צורך למצוא את הקיצוניות של הפונקציה. אם הקיצון x=0 , גלה את סוגו (מינימום או מקסימום). אם בין הנקודות שנמצאו אין x = 0, חשב את הערך של הפונקציה f(x=0).
יש לציין שכאשר הנגזרת בכל צד של נקודה נתונה אינה משנה את הסימן שלה, המצבים האפשריים אינם מוצים אפילו עבור פונקציות הניתנות להבדלה: יכול לקרות שלשכונה קטנה באופן שרירותי בצד אחד של הנקודה x 0 או משני הצדדים, הנגזרת משנה סימן. בנקודות אלה, יש ליישם שיטות אחרות כדי ללמוד פונקציות עד קיצון.