רצף פיבונאצ'י, שהתפרסם על ידי הסרט והספר צופן דה וינצ'י, הוא סדרה של מספרים שהסיקו המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו מפיזה, הידוע יותר בשם הבדוי פיבונאצ'י, במאה השלוש-עשרה. חסידיו של המדען שמו לב שהנוסחה לה כפופה סדרת המספרים הזו מוצאת את השתקפותה בעולם הסובב אותנו ומהדהדת תגליות מתמטיות אחרות, ובכך פותחת לנו את הדלת לסודות היקום. במאמר זה, נסביר מהו רצף פיבונאצ'י, נשקול דוגמאות כיצד דפוס זה מוצג בטבע, וגם נשווה אותו עם תיאוריות מתמטיות אחרות.
ניסוח והגדרת המושג
סדרת פיבונאצ'י היא רצף מתמטי, שכל אלמנט שלו שווה לסכום השניים הקודמים. נסמן איבר מסוים ברצף כ-x n. לפיכך, אנו מקבלים נוסחה שתקפה עבור כל הסדרה: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. במקרה זה, סדר הרצף ייראה כך: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. המספר הבא יהיה 55, שכן הסכום של 21 ו-34 הוא 55. וכן הלאה לפי אותו עיקרון.
דוגמאות בסביבה
אם נסתכל על הצמח, במיוחד, על כתר העלים, נבחין שהם פורחים בספירלה. זוויות נוצרות בין עלים סמוכים, אשר, בתורם, יוצרים את רצף פיבונאצ'י המתמטי הנכון. הודות לתכונה זו, כל עלה בודד שגדל על עץ מקבל את הכמות המקסימלית של אור שמש וחום.
חידה מתמטית של פיבונאצ'י
מתמטיקאי מפורסם הציג את התיאוריה שלו בצורה של חידה. זה נשמע ככה. ניתן להכניס זוג ארנבות לחלל סגור על מנת לגלות כמה זוגות ארנבות ייולדו בשנה אחת. בהתחשב באופי החיות הללו, העובדה שבכל חודש זוג מסוגל לייצר זוג חדש, והם הופכים מוכנים לרבייה כשהם מגיעים לחודשיים, כתוצאה מכך, הוא קיבל את סדרת המספרים המפורסמת שלו: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - המראה את מספר זוגות הארנבונים החדשים בכל חודש.
רצף פיבונאצ'י ויחס פרופורציונלי
לסדרה זו יש כמה ניואנסים מתמטיים שיש לקחת בחשבון. הוא, שמתקרב לאט יותר ולאט יותר (אסימפטוטי), נוטה ליחס פרופורציונלי מסוים. אבל זה לא הגיוני. במילים אחרות, זהו מספר עם רצף בלתי צפוי ואינסופי של מספרים עשרוניים בחלק השבר. לדוגמה, היחס של כל אלמנט בסדרה משתנה סביב הנתון 1.618, לפעמים עולה עליו, לפעמים מגיע אליו. הבא באנלוגיה מתקרב ל-0.618. שהוא ביחס הפוך למספר 1.618. אם נחלק את האלמנטים לאחד, נקבל 2.618 ו-0.382. כפי שכבר הבנתם, הם גם פרופורציונליים הפוך. המספרים המתקבלים נקראים יחסי פיבונאצ'י. כעת נסביר מדוע ביצענו את החישובים הללו.
יחס הזהב
אנו מבחינים בין כל החפצים סביבנו לפי קריטריונים מסוימים. אחד מהם הוא צורה. חלקם מושכים אותנו יותר, חלקם פחות, וחלקם לא אוהבים בכלל. הבחינו כי אובייקט סימטרי ופרופורציונלי קל הרבה יותר לאדם לתפוס ומעורר תחושת הרמוניה ויופי. תמונה שלמה כוללת תמיד חלקים בגדלים שונים, שנמצאים ביחס מסוים אחד עם השני. מכאן נובעת התשובה לשאלה מה נקרא יחס הזהב. מושג זה פירושו שלמות היחס בין השלם לחלקים בטבע, במדע, באמנות וכו'. מנקודת מבט מתמטית, שקול את הדוגמה הבאה. קחו קטע בכל אורך וחלקו אותו לשני חלקים באופן שהחלק הקטן יותר קשור לגדול כסכום (אורך הקטע כולו) לגדול יותר. אז בואו נקצץ עםלגודל של אחד. חלק מזה איהיה שווה ל-0.618, החלק השני ב, מסתבר, שווה ל-0.382. לפיכך, אנו רואים את המצב של יחס הזהב. יחס פלחים גל אשווה ל-1.618. והיחס בין החלקים גו ב- 2.618. אנו מקבלים את מקדמי פיבונאצ'י שכבר ידועים לנו. משולש הזהב, מלבן הזהב וקוביית הזהב בנויים על פי אותו עיקרון. ראוי גם לציין שהיחס היחסי בין חלקי גוף האדם קרוב ליחס הזהב.
האם רצף פיבונאצ'י הוא הבסיס לכל דבר?
בואו ננסה לשלב בין התיאוריה של חתך הזהב לבין הסדרה הידועה של המתמטיקאי האיטלקי. נתחיל בשני ריבועים בגודל הראשון. לאחר מכן מוסיפים ריבוע נוסף בגודל השני מעל. נצייר ליד אותה דמות עם אורך הצלע השווה לסכום שתי הצלעות הקודמות. באופן דומה, אנו מציירים ריבוע בגודל החמישי. וכך אתה יכול להמשיך ללא הגבלת זמן, עד שאתה משתעמם. העיקר הוא שגודל הצלע של כל ריבוע שלאחר מכן שווה לסכום הצלעות של השתיים הקודמות. אנו מקבלים סדרה של מצולעים שאורכי הצלעות שלהם הם מספרי פיבונאצ'י. דמויות אלו נקראות מלבני פיבונאצי. הבה נצייר קו חלק דרך פינות המצולעים שלנו ונצליח להגיע אל הספירלה של ארכימדס! העלייה במדרגה של נתון זה, כידוע, היא תמיד אחידה. אם אתה מפעיל פנטזיה, ניתן לשייך את הדפוס המתקבל למעטפת צדפה. מכאן נוכל להסיק שרצף פיבונאצ'י הוא הבסיס ליחסים פרופורציונליים והרמוניים של אלמנטים בעולם הסובב.
רצף מתמטי והיקום
אם אתה מסתכל מקרוב, אז את הספירלה של ארכימדס (אי שם במפורש, אבל איפשהו מצועפת) ולפיכך, עקרון פיבונאצ'י ניתן לאתר באלמנטים טבעיים מוכרים רבים המקיפים אדם. למשל, אותה קליפה של צדפה, תפרחות של ברוקולי רגיל, פרח חמניות, חרוט של צמח מחטני וכדומה. אם נסתכל הלאה, נראה את רצף פיבונאצ'י בגלקסיות אינסופיות. גם אדם, בהשראת הטבע ומאמץ את צורותיו, יוצר חפצים שבהם ניתן להתחקות אחר הסדרות הנ"ל. הגיע הזמן להיזכר בחתך הזהב. יחד עם דפוס פיבונאצ'י, עוקבים אחר העקרונות של תיאוריה זו. יש גרסה שרצף פיבונאצ'י הוא מעין מבחן של הטבע להסתגל לרצף הלוגריתמי המושלם והבסיסי יותר של יחס הזהב, שהוא כמעט זהה, אבל אין לו התחלה והוא אינסופי. התבנית של הטבע היא כזו שחייבת להיות לה נקודת מוצא משלה, שממנה ניתן להמשיך וליצור משהו חדש. היחס בין האלמנטים הראשונים של סדרת פיבונאצ'י רחוק מהעקרונות של יחס הזהב. עם זאת, ככל שנמשיך בה, כך אי ההתאמה הזו מוחלקת יותר. כדי לקבוע רצף, עליך להכיר את שלושת האלמנטים שלו שעוקבים זה אחר זה. לרצף הזהב מספיקים שניים. שכן מדובר בהתקדמות אריתמטית וגם בהתקדמות גיאומטרית.
סיכום
ובכל זאת, בהתבסס על האמור לעיל, אפשר לשאול שאלות הגיוניות למדי: "מאיפה הגיעו המספרים האלה? מי זה המחבר הזה של המכשיר של כל העולם שניסה להפוך אותו לאידיאלי? האם הכל היה תמיד כמו שהוא רצה? אם כן , מדוע התרחש הכישלון? מה יקרה אחר כך?" כשמוצאים את התשובה לשאלה אחת, מקבלים את השאלה הבאה. פתרו את זה - עוד שניים מופיעים. אם תפתור אותם, תקבל עוד שלושה. לאחר שטיפלתם בהם, תקבלו חמישה לא פתורים. ואז שמונה, ואז שלוש עשרה, עשרים ואחת, שלושים וארבע, חמישים וחמש...
מוסד חינוך ממלכתי
"בית ספר תיכון KRIVLYANSKAYA"
מחוז ZHABINKO
מספרי פיבונאצי ויחס הזהב
עבודת מחקר
העבודה הושלמה:
תלמיד כיתה י'
גנן ולריה אלכסייבנה
מְפַקֵחַ:
לברניוק לריסה ניקולייבנה,
מורה למדעי המחשב ו
מוקדמות מתמטיקה 1
מספרי פיבונאצ'י והטבע
מאפיין אופייני של מבנה הצמחים והתפתחותם הוא הליסי. אפילו גתה, שהיה לא רק משורר גדול, אלא גם חוקר טבע, ראה בהליסיה אחת התכונות האופייניות לכל האורגניזמים, ביטוי של המהות הפנימית ביותר של החיים. קנוקנות הצמחים מתפתלות בספירלה, רקמות גדלות בספירלה בגזעי עצים, זרעים בחמנייה מסודרים בספירלה, תנועות ספירליות (נוטציות) נצפות במהלך צמיחת שורשים ויורים.
במבט ראשון, נראה כי מספר העלים, הפרחים יכול להשתנות על פני טווח רחב מאוד ולקבל כל ערך. אבל מסקנה כזו מתבררת כבלתי נסבלת. מחקרים הראו שמספר האיברים באותו שם בצמחים אינו שרירותי, ישנם ערכים שנמצאים לעתים קרובות וערכים נדירים מאוד.
בחיות בר נפוצות צורות המבוססות על סימטריה מחומשת - כוכבי ים, קיפודי ים, פרחים.
תמונה 13. נוּרִית צְהוּבָּה
לקמומיל יש 55 או 89 עלי כותרת.
תמונה 14. קמומיל
לקודח 34 עלי כותרת.
אוֹרִיָה. חֲמֵשׁ עֶשׂרֵה. פירתרום
בואו נסתכל על אצטרובלים. הקשקשים על פניו מסודרים באופן סדיר למהדרין - לאורך שתי ספירלות המצטלבות בערך בזווית ישרה. מספר הספירלות הללו באצטרובלים הוא 8 ו-13 או 13 ו-21.
תמונה 16. קוֹנוּס
בסלסילות חמניות, זרעים מסודרים גם בשתי ספירלות, מספרם הוא בדרך כלל 34/55, 55/89.
תמונה 17. חַמָנִית
בואו נסתכל על קונכיות. אם נספור את מספר ה"צלעות המתקקשות" עבור הקליפה הראשונה שנלקחה באקראי - התברר שהוא 21. ניקח את הקליפה השנייה, השלישית, החמישית, העשירית - לכולם יהיו 21 צלעות על פני השטח. ניתן לראות שהרכיכות היו לא רק מהנדסים טובים, הם "הכירו" את מספרי פיבונאצ'י.
תמונה 18. צדף
כאן שוב אנו רואים שילוב קבוע של מספרי פיבונאצ'י הממוקמים זה לצד זה: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. היחס שלהם בגבול נוטה ליחס הזהב, המתבטא במספר 0.61803 ...
מספרי פיבונאצ'י וחיות
מספר הקרניים בכוכבי הים מתאים לסדרה של מספרי פיבונאצ'י או קרוב מאוד אליהם ושווה ל-5.8, 13.21.34.55.
תמונה 19. כּוֹכַב יָם
פרוקי רגליים מודרניים מגוונים מאוד. ללובסטר הקוצני יש גם חמישה זוגות רגליים, חמש נוצות על הזנב, הבטן מחולקת לחמישה מקטעים, וכל רגל מורכבת מחמישה חלקים.
אוֹרִיָה. עשרים. לובסטר קוצני
בחלק מהחרקים, הבטן מורכבת משמונה מקטעים, ישנם שלושה זוגות של גפיים, המורכבים משמונה חלקים, ושמונה איברים שונים דמויי אנטנות בוקעים מפתח הפה. ליתוש הידוע שלנו יש שלושה זוגות רגליים, הבטן מחולקת לשמונה מקטעים, ועל הראש יש חמש אנטנות. זחל היתושים מחולק ל-12 מקטעים.
אוֹרִיָה. 21. יַתוּשׁ
בזבוב כרוב הבטן מחולקת לחמישה חלקים, יש שלושה זוגות רגליים, והזחל מחולק לשמונה מקטעים. כל אחת משתי הכנפיים מחולקת לשמונה חלקים על ידי ורידים דקים.
הזחלים של חרקים רבים מחולקים ל-13 מקטעים, למשל, באוכלי העור, אוכלי הקמח, הבוגר המאוריטני. ברוב חיפושיות המזיקים, הזחל מחולק ל-13 מקטעים. מבנה הרגליים של חיפושיות אופייני מאוד. כל רגל מורכבת משלושה חלקים, כמו בחיות גבוהות יותר - מהכתף, האמה והכף. כפות דקות ופתוחות של חיפושיות מחולקות לחמישה חלקים.
כנפי שפירית פתוחות, שקופות וחסרות משקל הן יצירת מופת של מיומנות "הנדסית" של הטבע. אילו פרופורציות עומדות בבסיס העיצוב של מכונית השרירים המעופפת הזעירה הזו? היחס בין מוטת הכנפיים לאורך הגוף אצל שפיריות רבות הוא 4/3. גופה של שפירית מחולק לשני חלקים עיקריים: גוף מסיבי וזנב דק וארוך. הגוף מחולק לשלושה חלקים: ראש, חזה, בטן. הבטן מחולקת לחמישה מקטעים, והזנב מורכב משמונה חלקים. כאן עדיין יש צורך להוסיף שלושה זוגות רגליים עם חלוקתם לשלושה חלקים.
אוֹרִיָה. 22. שַׁפִּירִית
קל לראות ברצף הזה של חלוקת השלם לחלקים את הרחבה של סדרה של מספרי פיבונאצ'י. אורך הזנב, הגוף והאורך הכולל של השפירית קשורים זה בזה על ידי יחס הזהב: היחס בין אורכי הזנב והגוף שווה ליחס בין האורך הכולל לאורכו של הזנב.
זה לא מפתיע שהשפירית נראית כל כך מושלמת, כי היא נוצרת על פי חוקי יחס הזהב.
המראה של צב על רקע טאקיר סדוק הוא תופעה מדהימה. במרכז השדרה יש שדה סגלגל גדול עם לוחות קרניים גדולים שהתמזגו, ולאורך הקצוות יש גבול של לוחות קטנים יותר.
אוֹרִיָה. 23. צָב
קח כל צב - מצב הביצה הקרוב אלינו ועד צב הים הענק, צב המרק - ותראה שהתבנית על השריון שלהם דומה: בשדה הסגלגל יש 13 לוחות קרניים התמזגו - 5 לוחות במרכז ו 8 בקצוות, ובגבול ההיקפי כ-21 צלחות (לצב הצ'יליאני יש בדיוק 21 צלחות בפריפריה של השריון). לצבים יש 5 אצבעות על כפותיהם, ועמוד החוליה מורכב מ-34 חוליות. קל לראות שכל הכמויות הללו מתאימות למספרי פיבונאצ'י. כתוצאה מכך, התפתחות הצב, היווצרות גופו, חלוקת השלם לחלקים בוצעה על פי החוק של סדרת מספרי פיבונאצ'י.
יונקים הם הסוג הגבוה ביותר של בעלי חיים על פני כדור הארץ. מספר הצלעות במינים רבים של בעלי חיים שווה או קרוב לשלוש עשרה. ביונקים שונים לגמרי - לוויתן, גמל, צבי, סיור - מספר הצלעות הוא 13 ± 1. מספר החוליות משתנה מאוד, בעיקר בגלל הזנבות, שיכולים להיות באורכים שונים גם אצל אותה חיה מִין. אבל ברבים מהם מספר החוליות שווה או קרוב ל-34 ו-55. אז, 34 חוליות בצבי ענק, 55 בלווייתן.
שלד הגפיים של חיות הבית מורכב משלושה חוליות עצם זהות: עצם עצם הזרוע (אגן), עצם האמה (שוקה) ועצם הכפה (רגל). כף הרגל, בתורה, מורכבת משלושה חוליות עצם.
מספר השיניים בחיות בית רבות נוטה למספרי פיבונאצ'י: לארנב יש 14 זוגות, לכלב, חזיר, לסוס יש 21 ± 1 זוגות שיניים. בחיות בר מספר השיניים משתנה יותר: אצל טורף כיס אחד הוא 54, בצבוע - 34, באחד ממיני הדולפינים הוא מגיע ל-233. המספר הכולל של עצמות בשלד של חיות בית (כולל שיניים) בקבוצה אחת הוא קרוב ל-230, והשנייה - ל-300. יש לציין כי עצמות השמיעה הקטנות והעצמות הלא קבועות אינן נכללות במספר העצמות של השלד. אם לוקחים אותם בחשבון, המספר הכולל של עצמות השלד בבעלי חיים רבים יהפוך קרוב ל-233, בעוד שבאחרים הוא יעלה על 300. כפי שניתן לראות, חלוקת הגוף, המלווה בהתפתחות השלד, מאופיינת על ידי שינוי בדיד במספר העצמות באיברים שונים של בעלי חיים, ומספרים אלה תואמים למספרי פיבונאצ'י או קרובים מאוד אליהם, ויוצרים סדרה של 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 יחס הגודל של רוב ביצי התרנגולת הוא 4:3 (עבור חלק 3/2), גרעיני דלעת - 3:2, גרעיני אבטיח - 3/2. היחס בין אורך האצטרובלים לקוטרם נמצא 2:1. גודל עלי ליבנה בממוצע קרוב מאוד, ובלוטים - 5:2.
הוא האמין שאם יש צורך לחלק מדשאה פרחים לשני חלקים (דשא ופרחים), אז אסור לעשות פסים אלה שווים ברוחב, זה יהיה יפה יותר אם תיקח אותם ביחס של 5: 8 או 8:13, כלומר. השתמש ביחס שנקרא יחס הזהב.
מספרי פיבונאצ'י וצילום
כפי שמיושם על אמנות צילום, כלל חתך הזהב מחלק את המסגרת בשני קווים אופקיים ושני אנכיים ל-9 מלבנים לא שווים. כדי להקל על עצמם לצלם תמונות מאוזנות, צלמים פשטו מעט את המשימה והחלו לחלק את הפריים ל-9 מלבנים שווים לפי מספרי פיבונאצ'י. אז שלטון חתך הזהב הפך לכלל השלישים, המתייחס לאחד מעקרונות החיבור.
אוֹרִיָה. 24. מסגרת ויחס זהב
בעיניות של מצלמות דיגיטליות מודרניות, נקודות מיקוד ממוקמות בעמדות 2/8 או על קווים דמיוניים המחלקים את הפריים לפי כלל חתך הזהב.
תמונה 25. מצלמה דיגיטלית ונקודות מיקוד
תמונה 26.
תמונה 27. צילום ונקודות מיקוד
כלל השליש חל על כל קומפוזיציות הנושא: אתה מצלם נוף או דיוקן, טבע דומם או דיווח. כל עוד תחושת ההרמוניה שלכם לא הפכה נרכשת ובלתי מודעת, הקפדה על הכלל הפשוט של השלישים תאפשר לכם לצלם תמונות אקספרסיביות, הרמוניות, מאוזנות.
תמונה 28. צילום והיחס בין שמים וארץ 1 ל-2.
הדוגמה המוצלחת ביותר להדגמה היא הנוף. העיקרון של ההרכב הוא שהשמים והיבשה (או פני המים) צריכים להיות בעלי יחס של 1:2. שליש מהמסגרת צריך לקחת מתחת לשמים, ושני שליש מתחת לארץ, או להיפך.
תמונה 29. תמונה של פרח מסתחרר
פיבונאצ'י וחלל
היחס בין מים ואדמה על כדור הארץ הוא 62% ו-38%.
מימדי כדור הארץ והירח הם ביחס הזהב.
תמונה 30. מידות כדור הארץ והירח
האיור מציג את הגדלים היחסיים של כדור הארץ והירח לפי קנה מידה.
בואו נצייר את רדיוס כדור הארץ. נצייר קטע מהנקודה המרכזית של כדור הארץ לנקודה המרכזית של הירח, שאורכו יהיה שווה). נצייר קו כדי לחבר את שני הקווים הללו ליצירת משולש. נקבל את משולש הזהב.
שבתאי מציג את יחס הזהב בכמה מממדיו
תמונה 31. שבתאי וטבעותיו
קוטרו של שבתאי קרוב מאוד ביחס ליחס הזהב עם קוטר הטבעות, כפי שמוצג בקווים הירוקים.רדיוס פנימההחלק הפנימי של הטבעות הוא ביחס קרוב מאוד לקוטר החיצוני של הטבעות, כפי שמוצג בקו הכחול.
גם המרחק של כוכבי הלכת מהשמש מציית ליחס הזהב.
תמונה 32. מרחק כוכבי הלכת מהשמש
יחס הזהב בחיי היומיום
יחס הזהב משמש גם להוספת סטייל ופנייה לשיווק ועיצוב מוצרי צריכה יומיומיים. ישנן דוגמאות רבות, אך נמחיש רק כמה.
תמונה 33. סֵמֶלטויוטה
תמונה 34. יחס הזהב והלבוש
תמונה 34. יחס הזהב ועיצוב רכב
תמונה 35. סֵמֶלתפוח עץ
תמונה 36. סֵמֶלגוגל
מחקר מעשי
כעת ניישם את הידע שנצבר בפועל. בואו נבצע תחילה מדידות בקרב תלמידים בכיתה ח'.
בניסוי השתתפו 7 תלמידי כיתה ח', 5 בנות ו-2 בנים. נמדדו גובה ומרחק מהטבור לרצפה. התוצאות משתקפות בטבלאות. תלמידה אחת בעלת מבנה גוף אידיאלי, מבחינתה היחס בין הגובה למרחק מהטבור לרצפה הוא 1.6185. תלמיד אחר קרוב מאוד ליחס הזהב,. כתוצאה מהמדידות, ל-29% מהמשתתפים יש פרמטרים אידיאליים. אחוז התוצאות הללו גם קרוב ליחס הזהב של 68% ו-32%. לנושא הראשון אנו רואים ש-3 יחסים מתוך 5 קרובים ליחס הזהב, באחוזים הוא 60% עד 40%. ולשנייה - 4 מתוך 5, כלומר 80% עד 20%.אם אתה מסתכל מקרוב על תמונת הטלוויזיה, אז הממדים שלה יהיו 16 עד 9 או 16 עד 10, וזה גם קרוב ליחס הזהב.
ביצוע מדידות וקונסטרוקציות ב CorelDRAW X4 ובאמצעות מסגרת מערוץ החדשות Russia 24, אתה יכול למצוא את הדברים הבאים:
א) היחס בין האורך לרוחב המסגרת הוא 1.7.
ב) האדם בפריים ממוקם בדיוק בנקודות המיקוד הממוקמות במרחק של 3/8.
לאחר מכן, נפנה למיקרובלוג הרשמי של העיתון איזבסטיה, במילים אחרות, לעמוד הטוויטר. עבור מסך צג עם צדדים של 4:3, אנו רואים שה"כותרת" של העמוד היא 3/8 מגובה העמוד כולו.
בהסתכלות מקרוב על כובעי הצבא, אתה יכול למצוא את הדברים הבאים:
א) למכסה של שר ההגנה של הפדרציה הרוסית יש את היחס בין החלקים המצוינים 21.73 ל-15.52, שווה ל-1.4.
ב) הכובע של משמר הגבול של הרפובליקה של בלארוס יש את הממדים של החלקים המצוינים 44.42 עד 21.33, אשר שווה ל 2.1.
ג) למכסת הזמנים של ברית המועצות יש את הממדים של החלקים המצוינים 49.67 עד 31.04, ששווה ל-1.6.
עבור דגם זה, אורך השמלה הוא 113.13 מ"מ.
אם אתה "מסיים" את השמלה באורך ה"אידיאלי", נקבל את התמונה הזו.
בכל המדידות יש טעות כלשהי, שכן הן נלקחו מצילומים, מה שלא מונע מאיתנו לראות את המגמה – כל מה שאידיאלי מכיל את יחס הזהב במידה כזו או אחרת.
סיכום
עולם חיות הבר מופיע לנו בצורה שונה לחלוטין - נייד, בר שינוי ומגוון באופן מפתיע. החיים מראים לנו קרנבל פנטסטי של גיוון ומקוריות של שילובים יצירתיים! עולם הטבע הדומם הוא קודם כל עולם של סימטריה, המעניק יציבות ויופי ליצירותיו. עולם הטבע הוא קודם כל עולם של הרמוניה, שבו פועל "חוק חתך הזהב".
“יחס הזהב" נראה אותו רגע של האמת, שבלעדיו, באופן כללי, כל דבר שקיים אינו אפשרי. מה שלא ניקח כמרכיב של מחקר, "חתך הזהב" יהיה בכל מקום; גם אם אין שמירה גלויה עליו, אז זה בהכרח מתרחש ברמת האנרגיה, המולקולרית או התאית.
אכן, הטבע מתגלה כמונוטוני (ולכן אחיד!) בביטוי חוקי היסוד שלו. הפתרונות ה"מוצלחים ביותר" שמצאה חלים על האובייקטים המגוונים ביותר, על צורות הארגון המגוונות ביותר. ההמשכיות והדיסקרטיות של הארגון נובעת מהדואליות של החומר – אופיו הגופי והגלי, חודר לתוך הכימיה, שם הוא נותן את חוקי הסטוכיומטריה של מספרים שלמים, תרכובות כימיות בעלות הרכב קבוע ומשתנה. בבוטניקה, המשכיות ודיסקרטיות מוצאות את ביטוין הספציפי בפילוטקסיס, קוונטות דיסקרטיות, קוונטות צמיחה, אחדות של דיסקרטיות והמשכיות של ארגון מרחב-זמן. ועכשיו, ביחסים המספריים של איברי הצמח, מופיע "עקרון היחסים המרובים" שהציג א. גורסקי - חזרה מלאה על החוק הבסיסי של הכימיה.
כמובן שהאמירה שכל התופעות הללו בנויות על רצף פיבונאצ'י נשמעת רועשת מדי, אבל המגמה ברורה. וחוץ מזה, היא עצמה רחוקה מלהיות מושלמת, כמו כל דבר אחר בעולם הזה.
יש השערות שסדרת פיבונאצ'י היא ניסיון מטבעו להסתגל לרצף לוגריתמי של חתך זהב מהותי ומושלם יותר, שהוא כמעט זהה, פשוט מתחיל משום מקום ולא הולך לשום מקום. הטבע, לעומת זאת, בהחלט צריך איזושהי התחלה שלמה, שממנה אפשר להתרחק, הוא לא יכול ליצור יש מאין. היחסים של האיברים הראשונים ברצף פיבונאצ'י רחוקים מחתך הזהב. אבל ככל שאנו מתקדמים הלאה, כך הסטיות הללו מוחלקות יותר. כדי לקבוע סדרה כלשהי, מספיק להכיר שלושה מחבריה, הולכים בזה אחר זה. אבל לא לרצף הזהב, מספיקים לו שניים, זו התקדמות גיאומטרית ואריתמטית בו זמנית. אולי תחשוב שזה הבסיס לכל שאר הרצפים.
כל איבר ברצף הלוגריתמי המוזהב הוא דרגה של יחס הזהב (). חלק מהשורה נראה בערך כך:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... אם נעגל את הערך של יחס הזהב לשלושה מקומות עשרוניים, נקבל=1,618 , אז השורה נראית כך:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... כל איבר הבא ניתן לקבל לא רק על ידי הכפלה של הקודם ב1,618 , אלא גם על ידי הוספת שני הקודמים. לפיכך, צמיחה אקספוננציאלית מושגת על ידי הוספת שני אלמנטים שכנים. זו סדרה ללא התחלה וסוף, ודווקא לזה מנסה להיראות הרצף של פיבונאצ'י. לאחר התחלה מוגדרת היטב, הוא שואף לאידיאל, לעולם לא מגיע אליו. אלה החיים.
ובכל זאת, בקשר לכל מה שנראה ונקרא, עולות שאלות טבעיות למדי:
מאיפה הגיעו המספרים האלה? מי זה האדריכל הזה של היקום שניסה להפוך אותו למושלם? האם זה אי פעם היה כמו שהוא רצה שזה יהיה? ואם כן, מדוע זה נכשל? מוטציות? בחירה חופשית? מה יהיה הבא? האם הסליל מתפתל או מתפתל?
כשמוצאים את התשובה לשאלה אחת, מקבלים את השאלה הבאה. אם תפתרו את זה, תקבלו שניים חדשים. תתמודד איתם, עוד שלושה יופיעו. לאחר שפתרת אותם, תרכוש חמישה לא פתורים. ואז שמונה, ואז שלוש עשרה, 21, 34, 55...
רשימת מקורות בשימוש
Vasyutinskiy, N. פרופורציה זהב / Vasyutinskiy N, Moscow, Young Guard, 1990, - 238 p. - (אוריקה).
Vorobyov, N.N. מספרי פיבונאצ'י,
מצב גישה: . תאריך כניסה: 17.11.2015.
מצב גישה: . תאריך כניסה: 16/11/2015.
מצב גישה: . תאריך כניסה: 13. 11. 2015.
קאנלייבה דנה
במאמר זה, למדנו וניתחנו את הביטוי של המספרים של רצף פיבונאצ'י במציאות סביבנו. גילינו קשר מתמטי מפתיע בין מספר הספירלות בצמחים, מספר הענפים בכל מישור אופקי, והמספרים ברצף פיבונאצ'י. ראינו גם מתמטיקה קפדנית במבנה האדם. מולקולת ה-DNA האנושי, שבה מוצפנת כל תוכנית ההתפתחות של אדם, מערכת הנשימה, מבנה האוזן - הכל מציית ליחסים מספריים מסוימים.
ראינו שלטבע יש חוקים משלו, המתבטאים בעזרת מתמטיקה.
ומתמטיקה זה מאוד כלי למידה חשובסודות הטבע.
הורד:
תצוגה מקדימה:
MBOU "בית ספר תיכון Pervomaiskaya"
מחוז אורנבורגסקי של מחוז אורנבורג
עבודת מחקר
"חידת המספרים
פיבונאצ'י"
הושלם על ידי: Kanalieva Dana
תלמיד כיתה ו'
יועץ מדעי:
גזיזובה ולריה ולרייבנה
מורה למתמטיקה מהקטגוריה הגבוהה ביותר
נ. ניסוי
2012
הערת הסבר……………………………………………………………………………………………… 3.
מבוא. היסטוריה של מספרי פיבונאצ'י.……………………………………………………………………… 4.
פרק 1. מספרי פיבונאצ'י בחיות הבר....... ………………………………………… 5.
פרק 2. ספירלת פיבונאצ'י ................................................ .. .......................................................... 9.
פרק 3. מספרי פיבונאצ'י בהמצאות אנושיות ..............................................................................
פרק 4. המחקר שלנו……………………………………………………………………………………………………………….
פרק 5. מסקנה, מסקנות………………………………………………………………………………
רשימת אתרי הספרות והאינטרנט בשימוש …………………………………………………………21.
מושא לימוד:
האדם, הפשטות מתמטיות שנוצרו על ידי האדם, המצאות האדם, החי והצומח שמסביב.
נושא לימוד:
הצורה והמבנה של האובייקטים והתופעות הנחקרים.
מטרת המחקר:
ללמוד את הביטוי של מספרי פיבונאצ'י ואת חוק חתך הזהב הקשור אליו במבנה של עצמים חיים ודוממים,
מצא דוגמאות לשימוש במספרי פיבונאצ'י.
משימות עבודה:
תאר כיצד לבנות סדרת פיבונאצ'י וספירלת פיבונאצ'י.
לראות תבניות מתמטיות במבנה האדם, עולם הצומח והטבע הדומם מנקודת מבט של תופעת חתך הזהב.
חידוש במחקר:
גילוי פיבונאצ'י מספר במציאות שסביבנו.
משמעות מעשית:
שימוש בידע הנרכש ובמיומנויות המחקר בלימוד מקצועות בית ספר אחרים.
מיומנויות ויכולות:
ארגון וביצוע הניסוי.
שימוש בספרות מיוחדת.
רכישת היכולת לעיין בחומר שנאסף (דוח, מצגת)
רישום עבודה עם שרטוטים, דיאגרמות, צילומים.
השתתפות פעילה בדיון על עבודתם.
שיטות מחקר:
אמפירית (תצפית, ניסוי, מדידה).
תיאורטי (שלב לוגי של ידע).
הערת הסבר.
"המספרים שולטים בעולם! מספר הוא הכוח השולט על אלים ובני תמותה!" – כך אמרו הפיתגוראים הקדומים. האם הבסיס הזה של ההוראה הפיתגורית רלוונטי לימינו? בלימוד מדע המספרים בבית הספר, אנו רוצים לוודא שאכן, התופעות של היקום כולו כפופות ליחסים מספריים מסוימים, כדי למצוא את הקשר הבלתי נראה הזה בין מתמטיקה לחיים!
האם זה באמת בכל פרח,
גם במולקולה וגם בגלקסיה,
תבניות מספריות
המתמטיקה ה"יבשה" הקפדנית הזו?
פנינו למקור מידע מודרני - האינטרנט וקראנו על מספרי פיבונאצ'י, על מספרי קסם שטופים בתעלומה גדולה. מסתבר שאת המספרים הללו ניתן למצוא בחמניות ובאצטרובלים, בכנפי שפיריות ובכוכבי ים, במקצבי לב האדם ובמקצבים מוזיקליים...
מדוע רצף המספרים הזה נפוץ כל כך בעולמנו?
רצינו ללמוד על הסודות של מספרי פיבונאצ'י. עבודת מחקר זו היא תוצאה של עבודתנו.
הַשׁעָרָה:
במציאות שסביבנו הכל בנוי לפי חוקים הרמוניים להפליא עם דיוק מתמטי.
כל דבר בעולם מחושב ומחושב על ידי המעצב הכי חשוב שלנו - הטבע!
מבוא. ההיסטוריה של סדרת פיבונאצ'י.
מספרים מדהימים התגלו על ידי המתמטיקאי האיטלקי של ימי הביניים, ליאונרדו מפיזה, הידוע יותר בשם פיבונאצ'י. בטיול במזרח, התוודע להישגי המתמטיקה הערבית ותרם להעברתם למערב. באחת מיצירותיו, שכותרתה "ספר החישובים", הוא הכיר לאירופה את אחת התגליות הגדולות בכל הזמנים והעמים - מערכת המספרים העשרונית.
פעם אחת הוא תמה על פתרון בעיה מתמטית. הוא ניסה ליצור נוסחה המתארת את רצף הרבייה של ארנבות.
התשובה הייתה סדרת מספרים, שכל מספר עוקב שלה הוא הסכום של שני הקודמים:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
המספרים היוצרים את הרצף הזה נקראים "מספרי פיבונאצ'י", והרצף עצמו נקרא רצף פיבונאצ'י.
"אז מה?" - אתה תגיד, - "האם אנחנו בעצמנו יכולים להמציא סדרות מספריות דומות, הגדלות בהתאם להתקדמות נתונה?" ואכן, כשהופיעה סדרת פיבונאצ'י, אף אחד, כולל הוא עצמו, לא חשד עד כמה קרוב הוא הצליח להתקרב לפענוח אחת התעלומות הגדולות של היקום!
פיבונאצ'י ניהל חיים מתבודדים, בילה זמן רב בטבע, ותוך כדי הליכה ביער, הוא שם לב שהמספרים האלה ממש התחילו לרדוף אותו. בכל מקום בטבע הוא פגש את המספרים האלה שוב ושוב. לדוגמה, עלי הכותרת והעלים של צמחים מתאימים בהחלט לסדרת מספרים נתונה.
יש תכונה מעניינת במספרי פיבונאצ'י: המנה של חלוקת מספר פיבונאצ'י הבא במספר הקודם נוטה ל-1.618 ככל שהמספרים עצמם גדלים. זה היה מספר החלוקה הקבוע הזה שנקרא הפרופורציה האלוהית בימי הביניים, וכיום הוא מכונה חתך הזהב או יחס הזהב.
באלגברה, מספר זה מסומן באות היוונית phi (Ф)
אז φ = 1.618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
לא משנה כמה פעמים נחלק אחד בשני, המספר שלידו, תמיד נקבל 1.618. ואם נעשה הפוך, כלומר נחלק את המספר הקטן במספר הגדול יותר, נקבל 0.618, זהו המספר הפוך ל-1.618, הנקרא גם יחס הזהב.
סדרת פיבונאצ'י הייתה יכולה להישאר רק תקרית מתמטית אלמלא העובדה שכל חוקרי חלוקת הזהב בעולם הצומח והחי, שלא לדבר על אמנות, הגיעו תמיד לסדרה זו כביטוי אריתמטי לחוק חלוקת הזהב .
מדענים, שניתחו את היישום הנוסף של סדרת מספרים זו על תופעות ותהליכים טבעיים, מצאו שמספרים אלה כלולים ממש בכל האובייקטים של חיות הבר, בצמחים, בבעלי חיים ובבני אדם.
צעצוע מתמטי מדהים התברר כקוד ייחודי שהוטבע בכל האובייקטים הטבעיים על ידי בורא היקום עצמו.
שקול דוגמאות שבהן מספרי פיבונאצ'י נמצאים בטבע החי והדומם.
מספרי פיבונאצ'י בחיות הבר.
אם תסתכלו על הצמחים והעצים שסביבנו, תוכלו לראות כמה עלים יש לכל אחד מהם. מרחוק נראה שהענפים והעלים על הצמחים מסודרים באופן אקראי, בסדר שרירותי. עם זאת, בכל הצמחים מתוכנן באופן נס, מתמטי בדיוק איזה ענף יצמח מאיפה, איך ימוקמו ענפים ועלים ליד הגבעול או הגזע. מהיום הראשון להופעתו, הצמח עוקב בדיוק אחר החוקים הללו בהתפתחותו, כלומר אף עלה אחד, אף פרח לא מופיע במקרה. עוד לפני הופעת הצמח כבר מתוכנתת במדויק. כמה ענפים יהיו על העץ העתידי, היכן יצמחו הענפים, כמה עלים יהיו על כל ענף, ואיך, באיזה סדר יסדרו העלים. העבודה המשותפת של בוטנאים ומתמטיקאים שפכה אור על תופעות הטבע המדהימות הללו. התברר שבסידור העלים על ענף (פילוטקסיס), במספר הסיבובים על הגבעול, במספר העלים במחזור, באה לידי ביטוי סדרת פיבונאצ'י, ולכן, חוק חתך הזהב גם בא לידי ביטוי.
אם תצאו לחפש דפוסים מספריים בחיות בר, תשימו לב שמספרים אלו נמצאים לרוב בצורות ספירליות שונות, שעולם הצומח כה עשיר בהן. לדוגמה, ייחורי עלים צמודים לגזע בספירלה העוברת ביניהםשני עלים סמוכים:סיבוב מלא - ליד הלוז,- באלון - ליד הצפצפה והאגס,- בערבה.
זרעי החמנייה, האכינצאה פורפורה וצמחים רבים אחרים מסודרים בספירלות, ומספר הספירלות לכל כיוון הוא מספר פיבונאצ'י.
חמניות, 21 ו-34 ספירלות. אכינצאה, 34 ו-55 ספירלות.
צורה ברורה וסימטרית של פרחים כפופה גם לחוק מחמיר.
לפרחים רבים יש את מספר עלי הכותרת - בדיוק המספרים מסדרת פיבונאצ'י. לדוגמה:
איריס, 3 lep. חמאה, 5 lep. פרח זהב, 8 lep. דָרְבָנִית,
13 lep.
עולש, 21 לפ. אסטר, בן 34. חינניות, 55 lep.
סדרת פיבונאצ'י מאפיינת את הארגון המבני של מערכות חיים רבות.
כבר אמרנו שהיחס בין המספרים השכנים בסדרת פיבונאצ'י הוא המספר φ = 1.618. מסתבר שהאיש עצמו הוא רק מחסן של המספר phi.
הפרופורציות של חלקי הגוף השונים מהווים מספר קרוב מאוד ליחס הזהב. אם הפרופורציות הללו עולות בקנה אחד עם הנוסחה של יחס הזהב, אז המראה או הגוף של אדם נחשבים בנוי באופן אידיאלי. העיקרון של חישוב מידת הזהב על גוף האדם יכול להיות מתואר בצורה של דיאגרמה.
M/m=1.618
הדוגמה הראשונה לחתך הזהב במבנה גוף האדם:
אם ניקח את נקודת הטבור כמרכז גוף האדם, ואת המרחק בין כף הרגל האנושית לנקודת הטבור כיחידת מדידה, אזי גובהו של אדם שווה ערך למספר 1.618.
יד אדם
מספיק רק לקרב את כף היד אליך עכשיו ולהסתכל בזהירות על האצבע המורה, ומיד תמצא בה את נוסחת חתך הזהב. כל אצבע ביד שלנו מורכבת משלושה פלנגות.
סכום שני הפלנגות הראשונות של האצבע ביחס לכל אורך האצבע נותן את יחס הזהב (למעט האגודל).
בנוסף, היחס בין האצבע האמצעית והזרת שווה גם הוא ליחס הזהב.
לאדם יש 2 ידיים, האצבעות בכל יד מורכבות מ-3 פלנגות (למעט האגודל). יש 5 אצבעות בכל יד, כלומר בסך הכל 10, אבל למעט שני אגודלים דו פלנגליים נוצרות רק 8 אצבעות לפי עקרון יחס הזהב. ואילו כל המספרים האלה 2, 3, 5 ו-8 הם המספרים של רצף פיבונאצ'י.
יחס הזהב במבנה הריאות האנושיות
הפיזיקאי האמריקאי B.D. West וד"ר A.L. גולדברגר במהלך מחקרים פיזיקליים ואנטומיים מצא שחתך הזהב קיים גם במבנה הריאות האנושיות.
המוזרות של הסמפונות המרכיבות את הריאות של אדם טמונה באסימטריה שלהם. הסימפונות מורכבים משני דרכי אוויר עיקריות, האחד (שמאלי) ארוך יותר והשני (ימין) קצר יותר.
נמצא שאסימטריה זו נמשכת בענפי הסמפונות, בכל דרכי הנשימה הקטנות יותר. יתרה מכך, היחס בין אורך הסימפונות הקצרים והארוכים הוא גם יחס הזהב ושווה ל-1:1.618.
אמנים, מדענים, מעצבי אופנה, מעצבים עושים את החישובים, הרישומים או הסקיצות שלהם על סמך היחס בין יחס הזהב. הם משתמשים במדידות מגוף האדם, שנוצרו גם הם על פי העיקרון של חתך הזהב. לאונרדו דה וינצ'י ולה קורבוזיה, לפני שיצרו את יצירות המופת שלהם, לקחו את הפרמטרים של גוף האדם, שנוצר על פי חוק יחס הזהב.
ישנו יישום אחר, פרוזאי יותר, של הפרופורציות של גוף האדם. לדוגמה, באמצעות יחסים אלה, אנליטיקאים פליליים וארכיאולוגים משחזרים את מראה השלם משברים של חלקים בגוף האדם.
פרופורציות זהובות במבנה מולקולת ה-DNA.
כל המידע על המאפיינים הפיזיולוגיים של יצורים חיים, בין אם זה צמח, בעל חיים או אדם, מאוחסן במולקולת DNA מיקרוסקופית, שהמבנה שלה מכיל גם את חוק יחס הזהב. מולקולת ה-DNA מורכבת משני סלילים השזורים זה בזה אנכית. כל אחת מהספירלות הללו היא באורך 34 אנגסטרים ורוחבה של 21 אנגסטרים. (אנגסטרם אחד הוא מאה מיליון סנטימטר).
אז 21 ו-34 הם מספרים הבאים בזה אחר זה ברצף של מספרי פיבונאצ'י, כלומר, היחס בין האורך והרוחב של הסליל הלוגריתמי של מולקולת ה-DNA נושא את הנוסחה של חתך הזהב 1: 1.618.
לא רק ההולכים זקופים, אלא גם כל השוחים, זוחלים, עפים וקופצים, לא נמלטו מהגורל של ציות למספר פי. שריר הלב האנושי מתכווץ ל-0.618 מנפחו. המבנה של קליפת החילזון מתאים לפרופורציות של פיבונאצ'י. ויש המון דוגמאות כאלה - יהיה רצון לחקור אובייקטים ותהליכים טבעיים. העולם כל כך חדור במספרי פיבונאצ'י שלפעמים נדמה שאפשר להסביר את היקום רק על ידם.
ספירלת פיבונאצי.
אין צורה אחרת במתמטיקה שיש לה את אותן תכונות ייחודיות כמו ספירלה, כי
מבנה הספירלה מבוסס על הכלל של חתך הזהב!
כדי להבין את הבנייה המתמטית של הספירלה, בואו נחזור על מהו יחס הזהב.
יחס הזהב הוא חלוקה פרופורציונלית כזו של קטע לחלקים לא שווים, שבה כל הקטע קשור לחלק הגדול יותר כמו שהחלק הגדול עצמו קשור לקטן יותר, או במילים אחרות, הקטן יותר הקטע קשור לגדול כמו שהגדול יותר קשור לכל דבר.
כלומר, (a + b) / a = a / b
מלבן עם יחס צלעות זה בדיוק נקרא מלבן הזהב. צלעותיו הארוכות קשורות לצדדים הקצרים ביחס של 1.168:1.
למלבן הזהב יש תכונות יוצאות דופן רבות. חותכים ממלבן הזהב ריבוע שצלעו שווה לצלע הקטנה של המלבן,
נקבל שוב מלבן זהוב קטן יותר.
תהליך זה יכול להימשך עד אינסוף. ככל שנמשיך לחתוך את הריבועים, נקבל מלבני זהב קטנים יותר ויותר. יתרה מכך, הם ימוקמו בספירלה לוגריתמית, שחשובה במודלים מתמטיים של עצמים טבעיים.
לדוגמה, ניתן לראות צורת ספירלה גם בסידור גרעיני חמניות, באננס, קקטוסים, במבנה של עלי ורדים וכדומה.
אנו מופתעים ומאושרים מהמבנה הספירלי של הפגזים.
ברוב החלזונות שיש להם קונכייה, השריון גדל בצורת ספירלה. עם זאת, אין ספק שליצורים הבלתי סבירים הללו אין רק מושג לגבי הספירלה, אלא אפילו אין להם את הידע המתמטי הפשוט ביותר ליצור לעצמם מעטפת ספירלה.
אבל אז איך יכלו היצורים הלא-חכמים האלה לקבוע ולבחור בעצמם את הצורה האידיאלית של צמיחה וקיום בצורה של מעטפת ספירלית? האם היצורים החיים האלה, שהעולם המדעי מכנה צורות חיים פרימיטיביות, יכלו לחשב שצורת הספירלה של הקליפה תהיה אידיאלית לקיומם?
הניסיון להסביר את מקורה של צורת חיים פרימיטיבית כזו, אפילו בצירוף מקרים אקראי של כמה נסיבות טבעיות, הוא לפחות אבסורדי. ברור שהפרויקט הזה הוא יצירה מודעת.
ספירלות יש גם באדם. בעזרת ספירלות אנו שומעים:
כמו כן, באוזן הפנימית האנושית יש איבר Cochlea ("שבלול"), אשר מבצע את הפונקציה של העברת רטט קול. מבנה דמוי עצם זה מלא בנוזל ונוצר בצורה של חילזון בעל פרופורציות זהובות.
ספירלות נמצאות על כפות הידיים והאצבעות שלנו:
בממלכת החיות, אנו יכולים למצוא גם דוגמאות רבות של ספירלות.
הקרניים והחטים של בעלי החיים מתפתחים בצורה ספירלית, טפרים של אריות ומקורם של תוכים הם צורות לוגריתמיות ודומות לצורת ציר הנוטה להפוך לספירלה.
מעניין שהוריקן, ענני ציקלון מסתחררים, וזה נראה בבירור מהחלל:
בגלי אוקיינוס וים, ניתן לשרטט את הספירלה באופן מתמטי עם נקודות 1,1,2,3,5,8,13,21,34 ו-55.
כולם יזהו גם ספירלה "יומיומית" ו"פרוזאית" כזו.
אחרי הכל, מים בורחים מחדר האמבטיה בספירלה:
כן, ואנחנו חיים בספירלה, כי הגלקסיה היא ספירלה התואמת את הנוסחה של חתך הזהב!
אז, גילינו שאם ניקח את מלבן הזהב ונשבור אותו למלבנים קטנים יותרברצף פיבונאצ'י המדויק, ואז מחלקים כל אחד מהם בפרופורציות כאלה שוב ושוב, מקבלים מערכת שנקראת ספירלת פיבונאצ'י.
מצאנו את הספירלה הזו באובייקטים ובתופעות הכי לא צפויים. עכשיו ברור מדוע הספירלה נקראת גם "עקומת החיים".
הספירלה הפכה לסמל של אבולוציה, כי הכל מתפתח בספירלה.
מספרי פיבונאצ'י בהמצאות אנושיות.
לאחר שהציצו מהטבע את החוק המתבטא ברצף של מספרי פיבונאצ'י, מדענים ואנשי אמנות מנסים לחקות אותו, לגלם את החוק הזה ביצירותיהם.
היחס של phi מאפשר לך ליצור יצירות מופת של ציור, להתאים בצורה מוכשרת מבנים אדריכליים לחלל.
לא רק מדענים, אלא גם אדריכלים, מעצבים ואמנים נדהמים מהספירלה חסרת הפגמים הזו במעטפת הנאוטילוס,
תופס את החלל הקטן ביותר ומספק את איבוד החום המועט ביותר. אדריכלים אמריקאים ותאילנדים, בהשראת הדוגמה של "camera nautilus" של הצבת המקסימום במינימום מקום, עסוקים בפיתוח עיצובים שיתאימו.
מאז ומתמיד, היחס של יחס הזהב נחשב לשיעור הגבוה ביותר של שלמות, הרמוניה ואפילו אלוהות. את יחס הזהב אפשר למצוא בפסלים, ואפילו במוזיקה. דוגמה לכך היא יצירותיו המוזיקליות של מוצרט. אפילו מחירי המניות והאלפבית העברי מכילים יחס זהב.
אבל אנחנו רוצים להתעכב על דוגמה ייחודית ליצירת התקנה סולארית יעילה. איידן דווייר, תלמיד תיכון אמריקאי מניו יורק, ריכז את הידע שלו על עצים וגילה שניתן להגביר את היעילות של תחנות כוח סולאריות על ידי שימוש במתמטיקה. במהלך טיול חורף, תהה דווייר מדוע העצים זקוקים ל"תבנית" כזו של ענפים ועלים. הוא ידע שהענפים על העצים מסודרים לפי רצף פיבונאצ'י, והעלים מבצעים פוטוסינתזה.
בשלב מסוים, ילד קטן וחכם החליט לבדוק אם המיקום הזה של הענפים עוזר לאסוף יותר אור שמש. איידן בנה מפעל פיילוט בחצר האחורית שלו עם פאנלים סולאריים קטנים במקום עלים ובדק אותו בפעולה. התברר שבהשוואה לפאנל סולארי שטוח רגיל, ה"עץ" שלו אוסף 20% יותר אנרגיה ועובד ביעילות למשך 2.5 שעות יותר.
דגם העץ הסולארי של דווייר ומגרשי סטודנטים.
"הוא גם תופס פחות מקום מפאנל שטוח, אוסף 50% יותר שמש בחורף גם במקום שהוא לא פונה דרומה, והוא לא צובר שלג כל כך. בנוסף, העיצוב בצורת עץ הוא הרבה יותר מתאים לנוף האורבני", מציין הממציא הצעיר.
איידן זיהה אחד מדעני הטבע הצעירים הטובים ביותר של 2011. תחרות חוקר הטבע הצעיר 2011 התארחה על ידי מוזיאון ניו יורק להיסטוריה של הטבע. איידן הגיש בקשה לפטנט זמנית על המצאתו.
מדענים ממשיכים לפתח באופן פעיל את התיאוריה של מספרי פיבונאצ'י וחתך הזהב.
יו. מתיאסביץ' פותר את הבעיה העשירית של הילברט באמצעות מספרי פיבונאצ'י.
ישנן שיטות אלגנטיות לפתרון מספר בעיות קיברנטיות (תורת חיפוש, משחקים, תכנות) באמצעות מספרי פיבונאצ'י וחתך הזהב.
בארה"ב אפילו נוצרת אגודת פיבונאצ'י מתמטית, שמפרסמת כתב עת מיוחד מאז 1963.
אז, אנו רואים שההיקף של רצף פיבונאצ'י הוא רב-גוני:
בהתבוננות בתופעות המתרחשות בטבע, מדענים הגיעו למסקנות מדהימות כי כל רצף האירועים המתרחשים בחיים, מהפכות, קריסות, פשיטות רגל, תקופות שגשוג, חוקים וגלי התפתחות בשוקי המניות והמטבעות, מחזורי חיי המשפחה, ו וכן הלאה , מאורגנים בסולם זמן בצורה של מחזורים, גלים. המחזורים והגלים הללו מופצים גם לפי סדרת המספרים של פיבונאצ'י!
על סמך ידע זה, ילמד אדם לחזות אירועים שונים בעתיד ולנהל אותם.
4. המחקר שלנו.
המשכנו בתצפיות ולמדנו את המבנה
אצטרובלים
yarrow
יַתוּשׁ
בן אנוש
וידאנו שבעצמים האלה, כל כך שונים במבט ראשון, המספרים של רצף פיבונאצ'י נמצאים באופן בלתי נראה.
אז שלב 1.
בואו ניקח אצטרובלים:
בואו נסתכל על זה מקרוב:
אנו מבחינים בשתי סדרות של ספירלות פיבונאצ'י: האחת - עם כיוון השעון, השנייה - נגד, מספרן 8 ו-13.
שלב 2
בואו ניקח yarrow:
בואו נסתכל מקרוב על מבנה הגבעולים והפרחים:
שימו לב שכל ענף חדש של ירוול צומח מהסינוס, וענפים חדשים צומחים מהענף החדש. הוספת ענפים ישנים וחדשים, מצאנו את מספר פיבונאצ'י בכל מישור אופקי.
שלב 3
האם מספרי פיבונאצ'י מופיעים במורפולוגיה של אורגניזמים שונים? קחו בחשבון את היתוש הידוע:
אנו רואים: 3 זוג רגליים, ראש 5 אנטנות - אנטנות, הבטן מחולקת ל 8 קטעים.
סיכום:
במחקר שלנו ראינו שבצמחים סביבנו, אורגניזמים חיים, ואפילו במבנה האנושי, מתבטאים מספרים מרצף פיבונאצ'י, מה שמשקף את ההרמוניה של המבנה שלהם.
אצטרובלים, yarrow, יתוש, אדם מסודרים בדיוק מתמטי.
חיפשנו תשובה לשאלה: איך מתבטאת סדרת פיבונאצ'י במציאות שסביבנו? אבל, בתשובה, קיבלו שאלות חדשות וחדשות.
מאיפה הגיעו המספרים האלה? מי זה האדריכל הזה של היקום שניסה להפוך אותו למושלם? האם הסליל מתפתל או מתפתל?
כמה מדהים האדם מכיר את העולם הזה!!!
לאחר שמצא את התשובה לשאלה אחת, הוא מקבל את השאלה הבאה. תפתור את זה, תקנה שניים חדשים. תתמודד איתם, עוד שלושה יופיעו. לאחר שפתר אותם, הוא ירכוש חמישה לא פתורים. ואז שמונה, ואז שלוש עשרה, 21, 34, 55...
האם אתה מזהה?
סיכום.
על ידי היוצר עצמו בכל החפצים
קוד ייחודי הוקצה
ומי שמידד למתמטיקה,
הוא יידע ויבין!
למדנו וניתחנו את הביטוי של המספרים של רצף פיבונאצ'י במציאות סביבנו. למדנו גם שהדפוסים של סדרת מספרים זו, כולל דפוסי הסימטריה "הזהובה", מתבטאים במעברי אנרגיה של חלקיקים יסודיים, במערכות פלנטריות וקוסמיות, במבני הגנים של יצורים חיים.
גילינו קשר מתמטי מפתיע בין מספר הספירלות בצמחים, מספר הענפים בכל מישור אופקי, והמספרים ברצף פיבונאצ'י. ראינו כיצד המורפולוגיה של אורגניזמים שונים מצייתת גם לחוק המסתורי הזה. ראינו גם מתמטיקה קפדנית במבנה האדם. מולקולת ה-DNA האנושי, שבה מוצפנת כל תוכנית ההתפתחות של אדם, מערכת הנשימה, מבנה האוזן - הכל מציית ליחסים מספריים מסוימים.
למדנו שאצטרובלים, קונכיות חלזונות, גלי אוקיינוס, קרניים של בעלי חיים, ענני ציקלון וגלקסיות יוצרים כולם ספירלות לוגריתמיות. אפילו האצבע האנושית, המורכבת משלושה פלנגות ביחס זה לזה ביחס הזהב, מקבלת צורה ספירלית כאשר היא דחוסה.
נצח של זמן ושנות אור של חלל מפרידים בין אצטרוב לגלקסיה ספירלית, אבל המבנה נשאר זהה: המקדם 1,618 ! אולי זה החוק העליון השולט בתופעות הטבע.
לפיכך, ההשערה שלנו לגבי קיומם של דפוסים מספריים מיוחדים האחראים להרמוניה מאושרת.
ואכן, כל דבר בעולם מחושב ומחושב על ידי המעצב החשוב ביותר שלנו - הטבע!
אנו משוכנעים שלטבע יש חוקים משלו, המתבטאים בעזרתמָתֵימָטִיקָה. ומתמטיקה היא כלי חשוב מאוד
לגלות את מסתורי הטבע.
רשימת אתרי ספרות ואתרי אינטרנט:
1.
Vorobyov N. N. מספרי פיבונאצ'י. - מ., נאוקה, 1984.
2. Gika M. אסתטיקה של פרופורציות בטבע ובאמנות. - מ', 1936.
3. דמיטרייב א. כאוס, פרקטלים ומידע. // מדע וחיים, מס' 5, 2001.
4. קשניצקי S. E. הרמוניה ארוגה מפרדוקסים // תרבות ו
חַיִים. - 1982.- מס' 10.
5. מלאית ג. הרמוניה - זהות הפרדוקסים // מ.נ. - 1982.- מס' 19.
6. סוקולוב א. סודות חתך הזהב // טכניקת הנעורים. - 1978.- מס' 5.
7. Stakhov A. P. קודים של יחס הזהב. - מ', 1984.
8. Urmantsev Yu. A. סימטריה של הטבע ואופי הסימטריה. - מ', 1974.
9. Urmantsev Yu. A. חתך הזהב // Priroda. - 1968.- מס' 11.
10. שבלב י.ש., מרוטאיב מ.א., שמלב אי.פ. יחס הזהב/שלוש
מבט על טבעה של הרמוניה.-מ', 1990.
11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. סימטריה במדע ובאמנות. -M.:
העולם שמסביב, החל מהחלקיקים הבלתי נראים הקטנים ביותר, וכלה בגלקסיות רחוקות של חלל חסר גבולות, טומן בחובו תעלומות רבות ובלתי פתורות. עם זאת, מעטה המסתורין כבר הוסר מעל כמה מהם הודות למוחם הסקרני של מספר מדענים.
דוגמה אחת כזו היא יחס הזהב ומספרי פיבונאצ'י המהווים את הבסיס שלו. דפוס זה הוצג בצורה מתמטית ונמצא לעתים קרובות בטבע הסובב אדם, שוב מבלי לכלול את האפשרות שהוא נוצר כתוצאה ממקריות.
מספרי פיבונאצ'י והרצף שלהם
רצף מספרי פיבונאצ'י נקרא סדרה של מספרים, שכל אחד מהם הוא הסכום של השניים הקודמים:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …
מאפיין של רצף זה הוא הערכים המספריים המתקבלים על ידי חלוקת המספרים של סדרה זו זה בזה.
לסדרה של מספרי פיבונאצ'י יש דפוסים מעניינים משלה:
- בסדרת פיבונאצ'י, כל מספר חלקי הבא יציג ערך הנוטה לכיוון 0,618 . ככל שהמספרים יהיו רחוקים יותר מתחילת הסדרה, כך היחס יהיה מדויק יותר. לדוגמה, המספרים שנלקחו בתחילת השורה 5 ו 8 יופיע 0,625 (5/8=0,625 ). אם ניקח את המספרים 144 ו 233 , אז הם יציגו את היחס 0.618 .
- בתורו, אם בסדרה של מספרי פיבונאצ'י נחלק את המספר במספר הקודם, אזי תוצאת החלוקה תטוה ל 1,618 . לדוגמה, נעשה שימוש באותם מספרים כפי שהוזכר לעיל: 8/5=1,6 ו 233/144=1,618 .
- המספר חלקי במספר שאחריו יראה ערך שמתקרב 0,382 . וככל שמרחיקים את המספרים מתחילת הסדרה, כך ערך היחס מדויק יותר: 5/13=0,385 ו 144/377=0,382 . חלוקת הספרות בסדר הפוך תיתן את התוצאה 2,618 : 13/5=2,6 ו 377/144=2,618 .
באמצעות שיטות החישוב הנ"ל והגדלת הפערים בין המספרים, ניתן להציג את טווח הערכים הבא: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, אשר נמצא בשימוש נרחב בכלי פיבונאצ'י בשוק המט"ח.
יחס הזהב או פרופורציה אלוהית
"חתך הזהב" ומספרי פיבונאצ'י מיוצגים בצורה ברורה מאוד על ידי האנלוגיה עם קטע. אם קטע AB מחולק בנקודה C ביחס כזה שמתקיים התנאי:
AC / BC \u003d BC / AB, אז זה יהיה "חתך הזהב"
קרא גם את המאמרים הבאים:
באופן מפתיע, ניתן לאתר את היחס הזה בסדרת מספרי פיבונאצ'י. אם לוקחים כמה מספרים מהסדרה, אפשר לבדוק בחישוב שזה כך. לדוגמה, רצף כזה של מספרי פיבונאצ'י ... 55, 89, 144 ... תנו למספר 144 להיות הקטע השלם AB, שהוזכר לעיל. מכיוון ש-144 הוא הסכום של שני המספרים הקודמים, אז 55+89=AC+BC=144.
חלוקת הקטעים תציג את התוצאות הבאות:
AC/BC=55/89=0.618
BC/AB=89/144=0.618
אם ניקח את הקטע AB כמכלול, או כיחידה, אז AC \u003d 55 יהיה 0.382 מהשלם הזה, ו-BC \u003d 89 יהיה שווה ל-0.618.
היכן נמצאים מספרי פיבונאצ'י?
הרצף הקבוע של מספרי פיבונאצ'י היה ידוע ליוונים ולמצרים הרבה לפני לאונרדו פיבונאצ'י עצמו. סדרת מספרים זו זכתה לשם כזה לאחר שהמתמטיקאי המפורסם הבטיח את התפוצה הרחבה של תופעה מתמטית זו בדרגים מדעיים.
חשוב לציין שמספרי פיבונאצ'י המוזהבים הם לא רק מדע, אלא ייצוג מתמטי של העולם שסביבנו. להרבה תופעות טבע, נציגי החי והצומח יש את "חתך הזהב" בפרופורציות שלהם. אלה הם תלתלים ספירליים של הקליפה, וסידור של גרעיני חמניות, קקטוסים, אננס.
הספירלה, שפרופורציות הענפים שלה כפופות לחוקי "חתך הזהב", עומדת בבסיס היווצרות הוריקן, אריגת רשת על ידי עכביש, צורת גלקסיות רבות, שזירה של מולקולות DNA ו תופעות רבות אחרות.
אורך זנבה של הלטאה לגופו הוא ביחס של 62 ל-38. נורה העולש, לפני שחרור עלה, מבצע שחרור. לאחר שחרור הגיליון הראשון, מתרחשת פליטה שנייה לפני שחרור הסדין השני, בכוח השווה ל-0.62 מיחידת הכוח המקובלת על תנאי של הפליטה הראשונה. החריג השלישי הוא 0.38 והרביעי הוא 0.24.
כמו כן, ישנה חשיבות רבה לסוחר שתנועת המחירים בשוק המט"ח כפופה לרוב לדפוסים של מספרי פיבונאצ'י הזהובים. על סמך רצף זה, נוצרו מספר כלים שסוחר יכול להשתמש בארסנל שלו.
לעתים קרובות בשימוש על ידי סוחרים, המכשיר "" יכול להציג במדויק את יעדי תנועת המחירים, כמו גם את רמות התיקון שלו.
מספרי פיבונאצי הם מרכיבים של רצף מספרי.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, שבהם כל מספר עוקב שווה לסכום שני המספרים הקודמים. השם נקרא על שמו של המתמטיקאי מימי הביניים ליאונרדו מפיזה (או פיבונאצ'י), שחי ועבד כסוחר ומתמטיקאי בעיר פיזה שבאיטליה. הוא אחד המדענים האירופים המפורסמים ביותר בתקופתו. בין הישגיו הגדולים ביותר הוא הכנסת ספרות ערביות במקום הספרות הרומיות. Fn=Fn-1+Fn-2
הסדרה המתמטית באופן אסימפטוטי (כלומר, מתקרבת יותר ויותר לאט) נוטה ליחס קבוע. עם זאת, גישה זו אינה רציונלית; יש לו רצף אינסופי ובלתי צפוי של ערכים עשרוניים המסתדרים אחריו. לעולם אי אפשר לבטא את זה בדיוק. אם כל מספר שהוא חלק מהסדרה מחולק בערך הקודם (לדוגמה, 13-^8 או 21-FROM), תוצאת הפעולה מתבטאת ביחס שמשתנה סביב המספר האי-רציונלי 1.61803398875, מעט יותר או מעט פחות מהיחסים השכנים של הסדרה. היחס לעולם, ללא הגבלת זמן, יהיה מדויק עד הספרה האחרונה (גם עם המחשבים החזקים ביותר שנבנו בזמננו). למען הקיצור, נשתמש במספר 1.618 כיחס פיבונאצ'י ונבקש מהקוראים לא לשכוח את השגיאה הזו.
מספרי פיבונאצ'י חשובים גם בעת ביצוע ניתוח האלגוריתם של אוקלידס לקביעת המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים. מספרי פיבונאצ'י מגיעים מנוסחת האלכסון של פסקל (מקדמים בינומיים).
מספרי פיבונאצ'י נקשרו ליחס הזהב.
יחס הזהב היה ידוע במצרים העתיקה ובבבל, בהודו ובסין. מהו "חתך הזהב"? התשובה עדיין לא ידועה. מספרי פיבונאצ'י באמת רלוונטיים לתורת הפרקטיקה בזמננו. העלייה בחשיבות התרחשה במאה ה-20 ונמשכת עד היום. השימוש במספרי פיבונאצ'י בכלכלה ובמדעי המחשב משך המוני אנשים למחקר שלהם.
המתודולוגיה של המחקר שלי כללה לימוד הספרות המיוחדת וסיכום המידע שהתקבל, כמו גם ביצוע מחקר משלי וזיהוי מאפיינים של מספרים והיקף השימוש בהם.
במהלך המחקר המדעי, היא קבעה את עצם הרעיון של מספרי פיבונאצ'י, את תכונותיהם. גיליתי גם דפוסים מעניינים בחיות בר, ישירות במבנה של גרעיני חמניות.
על חמניות, הזרעים מסתדרים בספירלות, ומספר הספירלות שהולכות לכיוון השני שונה - הם מספרי פיבונאצ'י עוקבים.
לחמנייה הזו יש 34 ו-55.
אותו הדבר נצפה על פירות האננס, שבהם יש 8 ו 14 ספירלות. עלי תירס קשורים למאפיין הייחודי של מספרי פיבונאצ'י.
שברים מהצורה a/b, המתאימים לסידור הסליל של העלים של רגלי הגבעול של צמח, הם לרוב יחסים של מספרי פיבונאצ'י עוקבים. עבור לוז יחס זה הוא 2/3, עבור אלון 3/5, עבור צפצפה 5/8, עבור ערבה 8/13 וכו'.
בהתחשב בסידור העלים על גזע הצמחים, ניתן לראות שבין כל זוג עלים (A ו-C) השלישי ממוקם במקום חתך הזהב (B)
תכונה מעניינת נוספת של מספר פיבונאצ'י היא שהמכפלה והמנה של כל שני מספרי פיבונאצ'י שונים מלבד אחד הם אף פעם לא מספר פיבונאצ'י.
כתוצאה מהמחקר הגעתי למסקנות הבאות: מספרי פיבונאצ'י הם התקדמות אריתמטית ייחודית שהופיעה במאה ה-13 לספירה. התקדמות זו אינה מאבדת את הרלוונטיות שלה, דבר אשר אושר במהלך המחקר שלי. מספר פיבונאצ'י נמצא גם בתכנות ובתחזיות כלכליות, בציור, באדריכלות ובמוזיקה. הציורים של אמנים מפורסמים כמו ליאונרדו דה וינצ'י, מיכלאנג'לו, רפאל ובוטיצ'לי מסתירים את הקסם של יחס הזהב. אפילו I. I. Shishkin השתמש ביחס הזהב בציורו "חורשת האורנים".
קשה להאמין, אבל יחס הזהב נמצא גם ביצירותיהם המוזיקליות של מלחינים גדולים כמו מוצרט, בטהובן, שופן וכו'.
מספרי פיבונאצ'י נמצאים גם בארכיטקטורה. לדוגמה, יחס הזהב שימש בבניית קתדרלת הפרתנון ונוטרדאם.
גיליתי שמספרי פיבונאצ'י נמצאים בשימוש גם באזור שלנו. לדוגמה, פלטות של בתים, גמלונים.