המחלק המשותף הגדול ביותר והמכפלה המשותפת הפחותה הם מושגים אריתמטיים מרכזיים המאפשרים לך לפעול בקלות עם שברים רגילים. LCM ומשמשים לרוב למציאת המכנה המשותף של מספר שברים.
מושגי יסוד
המחלק של מספר X שלם הוא מספר Y שלם אחר שבו X מתחלק ללא שארית. לדוגמה, המחלק של 4 הוא 2, ו-36 הוא 4, 6, 9. כפולה של המספר השלם X היא מספר Y שמתחלק ב-X ללא שארית. לדוגמה, 3 הוא כפולה של 15, ו-6 הוא כפולה של 12.
עבור כל זוג מספרים, נוכל למצוא את המחלקים והמכפילים המשותפים שלהם. לדוגמה, עבור 6 ו-9, הכפולה המשותפת היא 18, והמחלק המשותף הוא 3. ברור שלזוגות יכולים להיות מספר מחלקים וכפולות, כך שהמחלק הגדול ביותר של GCD וכפולה הקטנה ביותר של LCM משמשים בחישובים .
המחלק הקטן ביותר אינו הגיוני, שכן עבור כל מספר הוא תמיד אחד. גם הכפולה הגדולה ביותר היא חסרת משמעות, שכן רצף הכפולות נוטה לאינסוף.
מציאת GCD
ישנן שיטות רבות למציאת המחלק המשותף הגדול ביותר, המפורסמות שבהן הן:
- ספירה רציפה של מחלקים, בחירת משותפים לזוג וחיפוש הגדול שבהם;
- פירוק של מספרים לגורמים בלתי ניתנים לחלוקה;
- האלגוריתם של אוקלידס;
- אלגוריתם בינארי.
כיום, במוסדות חינוך, השיטות הפופולריות ביותר של פירוק לגורמים ראשוניים והאלגוריתם האוקלידי. האחרון, בתורו, משמש בפתרון משוואות דיופנטיות: החיפוש אחר GCD נדרש כדי לבדוק את המשוואה לאפשרות לפתור אותה במספרים שלמים.
מציאת ה-NOC
המכפלה הפחות משותפת נקבעת במדויק על ידי ספירה איטרטיבית או פירוק לגורמים בלתי ניתנים לחלוקה. בנוסף, קל למצוא את ה-LCM אם המחלק הגדול ביותר כבר נקבע. עבור מספרים X ו-Y, LCM ו-GCD קשורים בקשר הבא:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
לדוגמה, אם gcd(15,18) = 3, אז LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. השימוש הברור ביותר של LCM הוא למצוא את המכנה המשותף, שהוא הכפולה הפחות משותפת של שברים נתונים.
מספרים ראשוניים
אם לזוג מספרים אין מחלקים משותפים, אז זוג כזה נקרא קו-פריים. ה-GCM עבור זוגות כאלה תמיד שווה לאחד, ובהתבסס על חיבור של מחלקים ומכפילים, ה-GCM עבור coprime שווה למכפלה שלהם. לדוגמה, המספרים 25 ו-28 הם ראשוניים, מכיוון שאין להם מחלקים משותפים, ו-LCM(25, 28) = 700, המתאים למכפלתם. כל שני מספרים בלתי ניתנים לחלוקה יהיו תמיד ראשוניים.
מחלק משותף ומחשבון מרובה
עם המחשבון שלנו אתה יכול לחשב GCD ו-LCM עבור כל מספר של מספרים לבחירה. משימות לחישוב מחלקים משותפים וכפולות נמצאות בחשבון של כיתות 5 ו-6, עם זאת, GCD ו-LCM הם מושגי המפתח של מתמטיקה ומשמשים בתורת המספרים, פלנימטריה ואלגברה תקשורתית.
דוגמאות מהחיים האמיתיים
מכנה משותף של שברים
הכפולה הפחות משותפת משמשת כשמוצאים את המכנה המשותף של מספר שברים. נניח בבעיה אריתמטית נדרש לסכם 5 שברים:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
כדי להוסיף שברים, יש לצמצם את הביטוי למכנה משותף, מה שמצמצם לבעיה של מציאת ה-LCM. כדי לעשות זאת, בחר 5 מספרים במחשבון והזן את ערכי המכנה בתאים המתאימים. התוכנית תחשב LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. כעת עליך לחשב גורמים נוספים עבור כל שבר, המוגדרים כיחס בין LCM למכנה. אז המכפילים הנוספים ייראו כך:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
לאחר מכן, נכפיל את כל השברים בגורם הנוסף המתאים ונקבל:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
אנחנו יכולים בקלות להוסיף שברים כאלה ולקבל את התוצאה בצורה של 159/360. אנחנו מצמצמים את השבר ב-3 ורואים את התשובה הסופית - 53/120.
פתרון משוואות דיופנטיניות ליניאריות
משוואות דיופנטיות לינאריות הן ביטויים של הצורה ax + by = d. אם היחס d/gcd(a,b) הוא מספר שלם, אז המשוואה ניתנת לפתרון במספרים שלמים. בואו נבדוק כמה משוואות לאפשרות של פתרון מספר שלם. ראשית, בדוק את המשוואה 150x + 8y = 37. בעזרת מחשבון, נמצא gcd (150.8) = 2. מחלקים 37/2 = 18.5. המספר אינו מספר שלם, לכן אין למשוואה שורשים שלמים.
בוא נבדוק את המשוואה 1320x + 1760y = 10120. השתמש במחשבון כדי למצוא gcd(1320, 1760) = 440. נחלק 10120/440 = 23. כתוצאה מכך, אנו מקבלים מספר שלם, לכן, מקדם הממס של דיאופנטי הוא בר-ממסות .
סיכום
GCD ו-LCM ממלאים תפקיד חשוב בתורת המספרים, והמושגים עצמם נמצאים בשימוש נרחב בתחומים שונים של מתמטיקה. השתמש במחשבון שלנו כדי לחשב את המחלקים הגדולים ביותר ואת הכפולות הקטנים ביותר של כל מספר של מספרים.
אבל מספרים טבעיים רבים ניתנים לחלוקה שווה במספרים טבעיים אחרים.
לדוגמה:
המספר 12 מתחלק ב-1, ב-2, ב-3, ב-4, ב-6, ב-12;
המספר 36 מתחלק ב-1, ב-2, ב-3, ב-4, ב-6, ב-12, ב-18, ב-36.
המספרים שבהם המספר מתחלק (עבור 12 זה 1, 2, 3, 4, 6 ו-12) נקראים מחלקי מספרים. מחלק של מספר טבעי אהוא המספר הטבעי המחלק את המספר הנתון אבלי עקבות. מספר טבעי שיש בו יותר משני גורמים נקרא מרוכבים .
שימו לב שלמספרים 12 ו-36 יש מחלקים משותפים. אלו הם המספרים: 1, 2, 3, 4, 6, 12. המחלק הגדול מבין המספרים הללו הוא 12. המחלק המשותף של שני המספרים הללו או בהוא המספר שבו שני המספרים הנתונים מתחלקים ללא שארית או ב.
כפולה משותפתמספר מספרים נקרא המספר המתחלק בכל אחד מהמספרים הללו. לדוגמה, למספרים 9, 18 ו-45 יש כפולה משותפת של 180. אבל 90 ו-360 הם גם הכפולות המשותפת שלהם. מבין כל הכפולות ה-jcommon, תמיד יש את הקטן ביותר, במקרה זה הוא 90. מספר זה נקרא הכי פחותכפולה משותפת (LCM).
LCM הוא תמיד מספר טבעי, שחייב להיות גדול מהמספר הגדול ביותר שלגביהם הוא מוגדר.
הכיפלה הנמוכה ביותר (LCM). נכסים.
קומוטטיביות:
אסוציאטיביות:
בפרט, אם והם מספרים ראשוניים , אז:
הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של שני מספרים שלמים Mו נהוא מחלק של כל הכפולות המשותפים האחרים Mו נ. יתר על כן, קבוצת הכפולות המשותפת מ,נעולה בקנה אחד עם קבוצת הכפולות עבור LCM( מ,נ).
האסימפטוטיקה של יכולה לבוא לידי ביטוי במונחים של כמה פונקציות תיאורטיות של המספרים.
כך, תפקוד צ'בישב. ממש כמו:
הדבר נובע מההגדרה והמאפיינים של פונקציית לנדאו g(n).
מה נובע מחוק התפלגות המספרים הראשוניים.
מציאת הכפולה הפחות משותפת (LCM).
NOC( א, ב) ניתן לחשב בכמה דרכים:
1. אם ידוע המחלק המשותף הגדול ביותר, אתה יכול להשתמש בקשר שלו עם ה-LCM:
2. אפשר לדעת את הפירוק הקנוני של שני המספרים לגורמים ראשוניים:
איפה p 1 ,...,p kהם מספרים ראשוניים שונים, ו ד 1 ,...,ד קו e 1 ,...,ekהם מספרים שלמים לא שליליים (הם יכולים להיות אפס אם הראשוני המתאים אינו בפירוק).
ואז LCM ( א,ב) מחושב לפי הנוסחה:
במילים אחרות, הרחבת LCM מכילה את כל הגורמים הראשוניים הכלולים לפחות באחת מהרחבות המספרים א, ב, והגדול מבין שני המעריכים של גורם זה נלקח.
דוגמא:
ניתן לצמצם את חישוב הכפולה הפחות משותפת של מספר מספרים למספר חישובים עוקבים של LCM של שני מספרים:
כְּלָל.כדי למצוא את ה-LCM של סדרת מספרים, אתה צריך:
- לפרק מספרים לגורמים ראשוניים;
- להעביר את ההרחבה הגדולה ביותר לגורמים של המוצר הרצוי (מכפלת הגורמים של המספר הגדול מבין הנתונים), ולאחר מכן להוסיף גורמים מהתרחבות של מספרים אחרים שאינם מופיעים במספר הראשון או נמצאים בו מספר קטן יותר של פעמים;
- המכפלה המתקבלת של גורמים ראשוניים תהיה LCM של המספרים הנתונים.
לכל שני מספרים טבעיים או יותר יש LCM משלהם. אם המספרים אינם כפולים אחד של השני או שאין להם אותם גורמים בהרחבה, אזי ה-LCM שלהם שווה למכפלת המספרים הללו.
הגורמים הראשוניים של המספר 28 (2, 2, 7) נוספו עם גורם 3 (המספר 21), המכפלה המתקבלת (84) תהיה המספר הקטן ביותר שמתחלק ב-21 וב-28.
הגורמים הראשוניים של המספר הגדול ביותר 30 נוספו עם פקטור 5 של המספר 25, המכפלה המתקבלת 150 גדולה מהמספר הגדול ביותר 30 ומתחלקת בכל המספרים הנתונים ללא שארית. זהו המוצר הקטן ביותר האפשרי (150, 250, 300...) שכל המספרים הנתונים הם כפולות שלו.
המספרים 2,3,11,37 הם ראשוניים, כך שה-LCM שלהם שווה למכפלת המספרים הנתונים.
כְּלָל. כדי לחשב את LCM של מספרים ראשוניים, עליך להכפיל את כל המספרים הללו יחד.
אפשרות נוספת:
כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) של מספר מספרים אתה צריך:
1) מייצגים כל מספר כמכפלה של הגורמים הראשוניים שלו, לדוגמה:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) רשום את הכוחות של כל הגורמים הראשוניים:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) רשום את כל המחלקים הראשוניים (המכפילים) של כל אחד מהמספרים הללו;
4) בחר את הדרגה הגדולה ביותר של כל אחד מהם, הנמצאת בכל ההרחבות של המספרים הללו;
5) להכפיל את החזקות הללו.
דוגמא. מצא את ה-LCM של המספרים: 168, 180 ו-3024.
פִּתָרוֹן. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
אנו כותבים את החזקות הגדולות ביותר של כל המחלקים הראשוניים ומכפילים אותם:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
כדי ללמוד כיצד למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים או יותר, עליך להבין מהם מספרים טבעיים, ראשוניים ומרוכבים.
מספר טבעי הוא כל מספר המשמש לספירת מספרים שלמים.
אם ניתן לחלק מספר טבעי רק בעצמו ובאחד, אז הוא נקרא ראשוני.
ניתן לחלק את כל המספרים הטבעיים בעצמם ובאחד, אך המספר הראשוני הזוגי היחיד הוא 2, את כל שאר הראשוניים ניתן לחלק בשניים. לכן, רק מספרים אי-זוגיים יכולים להיות ראשוניים.
יש הרבה מספרים ראשוניים, אין רשימה מלאה שלהם. כדי למצוא את ה-GCD, נוח להשתמש בטבלאות מיוחדות עם מספרים כאלה.
ניתן לחלק את רוב המספרים הטבעיים לא רק באחד, בעצמם, אלא גם במספרים אחרים. כך, למשל, ניתן לחלק את המספר 15 ב-3 וב-5. כולם נקראים מחלקים של המספר 15.
לפיכך, המחלק של כל A הוא המספר שבו ניתן לחלק אותו ללא שארית. אם למספר יש יותר משני מחלקים טבעיים, הוא נקרא מורכב.
למספר 30 יש מחלקים כמו 1, 3, 5, 6, 15, 30.
אתה יכול לראות של-15 ו-30 יש את אותם מחלקים 1, 3, 5, 15. המחלק המשותף הגדול ביותר מבין שני המספרים הללו הוא 15.
לפיכך, המחלק המשותף של המספרים A ו-B הוא המספר שבו ניתן לחלק אותם לחלוטין. המקסימום יכול להיחשב כמספר הכולל המרבי שבו ניתן לחלק אותם.
כדי לפתור בעיות, נעשה שימוש בכיתוב המקוצר הבא:
GCD (A; B).
לדוגמה, GCD (15; 30) = 30.
כדי לרשום את כל המחלקים של מספר טבעי, נעשה שימוש בסימון:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
בדוגמה זו, למספרים טבעיים יש רק מחלק משותף אחד. הם נקראים coprime, בהתאמה, היחידה היא המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.
כיצד למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים
כדי למצוא את ה-GCD של מספר מספרים, אתה צריך:
מצא את כל המחלקים של כל מספר טבעי בנפרד, כלומר, לפרק אותם לגורמים (מספרים ראשוניים);
בחר את כל אותם הגורמים עבור מספרים נתונים;
תכפיל אותם יחד.
לדוגמה, כדי לחשב את המחלק המשותף הגדול ביותר של 30 ו-56, תכתוב את הדברים הבאים:
כדי לא להתבלבל עם , נוח לכתוב את המכפילים באמצעות עמודות אנכיות. בצד שמאל של הקו, אתה צריך למקם את הדיבידנד, ובצד ימין - המחלק. מתחת לדיבידנד, עליך לציין את המנה המתקבלת.
אז, בעמודה הימנית יהיו כל הגורמים הדרושים לפתרון.
ניתן להדגיש מחלקים זהים (נמצאו גורמים) מטעמי נוחות. יש לשכתב ולהכפיל אותם ולרשום את המחלק המשותף הגדול ביותר.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
זה באמת כל כך פשוט למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים. עם קצת תרגול, אתה יכול לעשות זאת כמעט אוטומטית.
הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים קשורה ישירות למחלק המשותף הגדול ביותר של אותם מספרים. זֶה קישור בין GCD ל-NOCמוגדר על ידי המשפט הבא.
מִשׁפָּט.
הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים שלמים חיוביים a ו-b שווה למכפלת המספרים a ו-b חלקי המחלק המשותף הגדול ביותר של המספרים a ו-b, כלומר, LCM(a,b)=a b: GCD(a,b).
הוכחה.
תן M הוא כפולה כלשהי של המספרים a ו-b. כלומר, M מתחלק ב-a, ולפי הגדרת ההתחלקות, יש איזה מספר k שלם כך שהשוויון M=a·k נכון. אבל M מתחלק גם ב-b, ואז k מתחלק ב-b.
סמן gcd(a,b) כ-d . אז נוכל לרשום את השוויון a=a 1 ·d ו-b=b 1 ·d, ו-a 1 =a:d ו-b 1 =b:d יהיו מספרים ראשוניים. לכן ניתן לנסח מחדש את התנאי שהתקבל בפסקה הקודמת לפיו a k מתחלק ב-b כדלקמן: a 1 d k מתחלק ב-b 1 d, וזה, בשל תכונות ההתחלקות, שווה ערך לתנאי ש- a 1 k מתחלק ב-b אחד.
עלינו גם לרשום שתי מסקנות חשובות מהמשפט הנחשב.
מכפילות משותפות של שני מספרים זהות לכפולות של הכפולה הפחות משותפת שלהם.
זה נכון, מכיוון שכל כפולה משותפת של M מספרים a ו-b מוגדרת על ידי השוויון M=LCM(a,b) t עבור ערך שלם כלשהו t .
הכפולה הפחות משותפת של מספרים חיוביים ראשוניים a ו-b שווה למכפלתם.
הרציונל לעובדה זו ברור למדי. מכיוון ש-a ו-b הם קו-פריים, אז gcd(a, b)=1, לכן, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
כפולה משותפת קטנה ביותר של שלושה מספרים או יותר
ניתן לצמצם את מציאת הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של שלושה או יותר מספרים למציאת LCM של שני מספרים ברציפות. איך זה נעשה מצוין במשפט הבא: a 1 , a 2 , …, a k חופפים לכפולות משותפת של מספרים m k-1 ו- a k , לפיכך, חופפים לכפולות של m k . ומכיוון שהכפולה הפחות חיובית של המספר m k היא המספר m k עצמו, אז הכפולה הפחות משותפת של המספרים a 1 , a 2 , …, a k היא m k .
בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.
- Vilenkin N.Ya. וכו' מתמטיקה. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות חינוך.
- וינוגרדוב I.M. יסודות תורת המספרים.
- מיכאלוביץ ש.ח. תורת המספרים.
- קוליקוב ל.יא. ואחרים אוסף בעיות באלגברה ותורת המספרים: ספר לימוד לתלמידי fiz.-mat. התמחויות של מכונים פדגוגיים.
GCD הוא המחלק המשותף הגדול ביותר.
כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של מספר מספרים:
- לקבוע את הגורמים המשותפים לשני המספרים;
- למצוא את התוצר של גורמים משותפים.
דוגמה למציאת GCD:
מצא את ה-GCD של המספרים 315 ו-245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. רשום את הגורמים המשותפים לשני המספרים:
3. מצא את התוצר של גורמים משותפים:
gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.
תשובה: GCD(315; 245) = 35.
מציאת ה-NOC
LCM היא הכפולה הכי פחות משותפת.
כדי למצוא את הכפולה הפחות משותפת של מספר מספרים:
- לפרק מספרים לגורמים ראשוניים;
- רשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים;
- להוסיף להם את הגורמים החסרים מהרחבת המספר השני;
- למצוא את המכפלה של הגורמים המתקבלים.
דוגמה למציאת ה-NOC:
מצא את ה-LCM של המספרים 236 ו-328:
1. אנו מפרקים את המספרים לגורמים ראשוניים:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. רשמו את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים והוסיפו אליהם את הגורמים החסרים מהרחבת המספר השני:
2; 2; 59; 2; 41.
3. מצא את המכפלה של הגורמים המתקבלים:
LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
תשובה: LCM(236; 328) = 19352.
כדי למצוא את ה-GCD (המחלק המשותף הגדול ביותר) של שני מספרים, אתה צריך:
2. מצא (קו תחתון) את כל הגורמים הראשוניים הנפוצים בהרחבות שהושגו.
3. מצא את המכפלה של גורמים ראשוניים משותפים.
כדי למצוא את ה-LCM (הכפולה הנמוכה ביותר) של שני מספרים, אתה צריך:
1. לפרק את המספרים הללו לגורמים ראשוניים.
2. משלימים את ההרחבה של אחד מהם באותם גורמים של התרחבות המספר השני, שאינם בהרחבה של הראשון.
3. חשב את מכפלת הגורמים המתקבלים.