MOU "בית ספר תיכון מס' 1 של שרבאקול"
קהילה מדעית של תלמידים "חיפוש"
נושא: "הספרה האחרונה של התואר".
הושלם: תלמיד כיתה ז' ב'
טרנטייבה ולנטינה
מנהיג: פושילו ט.ל.
ר.פ. שרבאקול
2010 – שנת 2011 שָׁנָה
· מבוא.
· מטרות עבודה.
· הספרה האחרונה של התואר.
· חוקי האקספונציה
· שתי הספרות האחרונות של התואר.
· משימות.
· סיכום.
· הפניות.
מבוא.
יום אחד, כשעלפתי בדפי הספר "אלף בעיות במתמטיקה", ראיתי במבט ראשון משימה קשה מאוד, או ליתר דיוק, דוגמה, היה צורך למצוא את הספרה האחרונה של הסכום
11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .
ואז חשבתי, אבל חייבת להיות איזו דרך רציונלית לחישוב, ואז התחלתי לספור...
הַשׁעָרָה: האם ניתן לומר מה תהיה הספרה האחרונה בכל תואר?
מטרות העבודה:
· גלה אם אתה יכול לבנות טבלה של הספרות האחרונות של עצמות שונות.
מצא בהם דפוסים.
· שימוש בטבלה כדי לתרגל על בעיות קלות יותר ולפתור את הדוגמה לעיל ואם זה מתברר יותר קשה.
הספרה האחרונה של התואר.
בואו נעשה מחקר קטן: גלה אם יש דפוס כלשהו כיצד משתנה הספרה האחרונה של המספר 2n, היכן נ- מספר טבעי, עם שינוי במחוון נ. לשם כך, שקול את הטבלה:
אנו רואים שכל ארבעה צעדים חוזרת הספרה האחרונה. לאחר ששמתי לב לכך, לא קשה לקבוע את הספרה האחרונה של החזקה 2n עבור כל מעריך נ .
ואכן, ניקח את המספר 2100. אם היינו ממשיכים את הטבלה, אז היא הייתה נכנסת לעמודה שבה נמצאים החזקות 24, 28, 212, שהמעריכים שלה הם כפולות של ארבע. המשמעות היא שהמספר 2100, כמו המעלות הללו, מסתיים במספר 6.
ניקח לדוגמא את 222, אם תבדוק את זה על ידי ספירה פשוטה, תקבל 4194304 - הספרה האחרונה היא 4.
כעת ננסה להשתמש בטבלה, אך בטבלה יש 4 מספרים, והמעריך הוא 22, אולם לאחר המספר האחרון, ה"מעגל" הזה מתחיל מחדש. לכן, נחלק את המעריך 22 ב-4, נקבל את המספר 5 ואת השאר 2, כלומר ניצור 5 "מעגלים", ונספר עוד 2 מלפנים, והמספר השני הוא 4, מה שאומר שהטבלה עובדת.
עכשיו בואו נראה אם נוכל ליצור טבלאות לשאר המספרים. אני לא אתאר הכל, אני רק אגיד שהצלחתי להרכיב טבלה לכל המספרים מ-1 עד 10, ואז היא תחזור, למשל, ל-12 יהיו המספרים האחרונים זהים ל-2, ו-25 יש אותו כמו וב-5.
חוקי העלאה לשלטון:
- מספר ריבוע מושלם יכול להסתיים רק ב-0, 1, 4, 5, 6 או 9.
- אם הזנת המספר מסתיימת ב-0, 1, 5 או 6, אז העלאה לעוצמה כלשהי לא תשנה את הספרות האחרונות.
- העלאת מספר כלשהו לחזקה חמישית אינה משנה את הספרה האחרונה שלו.
- אם המספר מסתיים במספר 4 (או 9), אז כאשר מועלים לחזקה אי-זוגית, הספרה האחרונה לא משתנה, וכאשר מועלים לחזקה זוגית היא תשתנה ל-6 (או 1, בהתאמה).
- אם מספר מסתיים ב-2, 3, 7 או 8, אז ארבע ספרות שונות אפשריות כאשר מועלות לחזקה.
שתי הספרות האחרונות של התואר.
כעת אנו יודעים שהספרה האחרונה תחזור על עצמה במוקדם או במאוחר. אבל מה לגבי 2 הספרות האחרונות? אני מעז להציע שלא רק 2, אלא גם 3 או יותר מהספרות האחרונות יחזרו על עצמם. ובכן, בוא נבדוק את זה, גם שמתי לב שהנקודות מהטבלה הקודמת פשוט גדלו פי 5, מלבד המספרים 5 ו-10, אבל לא כתבתי על המספר 1, מכיוון שהתוצאה תמיד תהיה 1.
תוֹאַר | |||||||||
חזור |
(עיגול אדום מדגיש את התקופה)
שימו לב שבמספרים מסוימים, למשל, ה-1 אינו נכלל בתקופה, שכן, למשל, למספר 2, אחרי המספר האחרון 52, יהיה 04, לא 02, כך שהוא עצמו אינו כלול בתקופה זו, לכן, לפני איך לחשב את 2 הספרות האחרונות יהיה צורך להפחית מהמעריך 1.
למרבה הצער, עם 2 הספרות האחרונות זה לא יעבוד כמו עם ה-1, ו-2 הספרות האחרונות של 3 לא יהיו זהות ל-2 הספרות האחרונות של 13, ויש להרכיב את הטבלה של השאר בנפרד.
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
לפי הטבלאות הללו, ברור שהמספרים שונים, אבל רק הספרה האחרונה תואמת.
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
תוֹאַר | ||||||||||
חזור |
אני חושב שזה לא הגיוני לעשות טבלה עם 3 הספרות האחרונות, כי אני רוצה למצוא דרכים רציונליות שבהן לא צריך לחשב הרבה, ובטבלה הזו, מספרים שפעם היו להם תקופה של 20 מספרים יהיו 100, אז אני אגיד שהם נחוצים רק עבור מספרים כמו 4, 5, 6, 7 ו-9.
משימות.
משימה 1.
מצא את 2 הספרות האחרונות של 81989.
בטבלה של 2 הספרות האחרונות, למספר 8 יש תקופה של 20, אנו מפחיתים 19800 מהמעריך, רק כל כך הרבה פעמים, התקופה תעבור לגמרי ותיעצר ב-1989 - 1980 = 9, ובמספר התשיעי, והמספר התשיעי הוא 28.
תשובה: 2 הספרות האחרונות של 81989 הן 28.
משימה 2.
בבדיקת הצביעה מחדש, הזיקית הצעירה נצבעת בתורה מאדום -> לצהוב -> ירוק -> כחול -> סגול -> אדום -> צהוב -> ירוק וכו'. הוא צבע מחדש 2010 פעמים והחל באדום הוא הפך לכחול בסוף, אבל ידוע שהוא עשה טעות, הסמיק ברגע שהיה צריך לרכוש צבע אחר. איזה צבע היה לפני הסומק הזה?
שימו לב שכאן תקופת החזרה על הצבע היא 5. אדום יופיע במספרים המסתיימים ב-0 ו-5. אז זה היה צריך להסתיים שוב באדום. לכן, על מנת למצוא את השגיאה, נעבור ישר לצביעה מחדש של 2005. עכשיו פשוט נספור בתורו את החלפת צבעים עד 2010. מיד רואים שהוא עשה טעות, נניח אחרי צהוב, ואז יוצא 2005-אדום, 2006 - צהוב 2007- שוב אדום (זו הטעות שלו), 2008 - צהוב, 2009 - ירוק, 2010 - כחול.
תשובה: לפני האדום הטעות, הזיקית הייתה צהובה.
משימה 3.
עכשיו השעון הוא 10:00. באיזו שעה הם יופיעו בעוד 102938475 שעות?
לשעון יש תקופת חזרה של 24, כלומר המספר 102938475 חלקי 24 = 4289103.12 ... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. זה אומר שהזמן שהשעון יראה אחרי 1029385 שעות הוא 10293840 + 3 שעות = 13 שעות.
תשובה: אחרי 102938475 השעון יראה 13:00.
סיכום.
הבנתי איך להשתמש בסימן הזה, הכנתי טבלאות שבעזרתן אתה יכול לקבוע לא רק 1 אלא גם את 2 הספרות האחרונות ולמדתי איך לפתור בעיות דומות. אני חושב שקיבלתי את מה שרציתי.
הספרה האחרונה של התואר.
בואו נעשה מחקר קטן: גלה אם יש דפוס כלשהו כיצד משתנה הספרה האחרונה של המספר 2 n, היכן נ- מספר טבעי, עם שינוי במחוון נ. לשם כך, שקול את הטבלה:
אנו רואים שכל ארבעה צעדים חוזרת הספרה האחרונה. לאחר ששמתי לב לכך, לא קשה לקבוע את הספרה האחרונה של החזקה 2 n עבור כל מעריך נ.
אכן, בואו ניקח את המספר 2100. אם היינו ממשיכים את הטבלה, אזי היא תיפול לטור שבו נמצאים החזקות 2 4, 2 8, 2 12, שהמעריכים שלה הם כפולות של ארבע. המשמעות היא שהמספר 2100, כמו המעלות הללו, מסתיים במספר 6.
בוא ניקח לדוגמא 2 22, אם אתה בודק פשוט על ידי ספירה, אתה מקבל 4194304 - הספרה האחרונה היא 4.
כעת ננסה להשתמש בטבלה, אך בטבלה יש 4 מספרים, והמעריך הוא 22, אולם לאחר המספר האחרון, ה"מעגל" הזה מתחיל מחדש. לכן, נחלק את המעריך 22 ב-4, נקבל את המספר 5 ואת השאר 2, כלומר ניצור 5 "מעגלים", ונספר עוד 2 מלפנים, והמספר השני הוא 4, מה שאומר שהטבלה עובדת.
עכשיו בואו נראה אם נוכל ליצור טבלאות לשאר המספרים. אני לא אתאר הכל, אני רק אגיד שהצלחתי להרכיב טבלה לכל המספרים מ-1 עד 10, ואז היא תחזור, למשל, ל-12 יהיו המספרים האחרונים זהים ל-2, ו-25 יש אותו כמו וב-5.
חוקי העלאה לשלטון:
מספר ריבוע מושלם יכול להסתיים רק ב-0, 1, 4, 5, 6 או 9.
אם מספר מסתיים ב-0, 1, 5 או 6, העלאתו לעוצמה כלשהי לא תשנה את הספרות האחרונות.
העלאת מספר כלשהו לחזקה חמישית אינה משנה את הספרה האחרונה שלו.
אם המספר מסתיים במספר 4 (או 9), אז כאשר מועלים לחזקה אי-זוגית, הספרה האחרונה לא משתנה, וכאשר מועלים לחזקה זוגית היא תשתנה ל-6 (או 1, בהתאמה).
אם מספר מסתיים ב-2, 3, 7 או 8, אז ארבע ספרות שונות אפשריות כאשר מועלות לחזקה.
שתי הספרות האחרונות של התואר.
כעת אנו יודעים שהספרה האחרונה תחזור על עצמה במוקדם או במאוחר. אבל מה לגבי 2 הספרות האחרונות? אני מעז להציע שלא רק 2, אלא גם 3 או יותר מהספרות האחרונות יחזרו על עצמם. ובכן, בוא נבדוק את זה, גם שמתי לב שהנקודות מהטבלה הקודמת פשוט גדלו פי 5, מלבד המספרים 5 ו-10, אבל לא כתבתי על המספר 1, מכיוון שהתוצאה תמיד תהיה 1.
| תוֹאַר | |||||||||
| איקס 2 | |||||||||
| איקס 3 | |||||||||
| איקס 4 | |||||||||
| איקס 5 | |||||||||
| איקס 6 | |||||||||
| איקס 7 | |||||||||
| איקס 8 | |||||||||
| איקס 9 | |||||||||
| איקס 10 | |||||||||
| איקס 11 | |||||||||
| איקס 12 | |||||||||
| איקס 13 | |||||||||
| איקס 14 | |||||||||
| איקס 15 | |||||||||
| איקס 16 | |||||||||
| איקס 17 | |||||||||
| איקס 18 | |||||||||
| איקס 20 | |||||||||
| איקס 21 | |||||||||
| איקס 22 | |||||||||
| איקס 23 | |||||||||
| חזור |
(עיגול אדום מדגיש את התקופה)
שימו לב שבמספרים מסוימים, למשל, ה-1 אינו נכלל בתקופה, שכן, למשל, למספר 2, אחרי המספר האחרון 52, יהיה 04, לא 02, כך שהוא עצמו אינו כלול בתקופה זו, לכן, לפני איך לחשב את 2 הספרות האחרונות יהיה צורך להפחית מהמעריך 1.
למרבה הצער, עם 2 הספרות האחרונות זה לא יעבוד כמו עם ה-1, ו-2 הספרות האחרונות של 3 לא יהיו זהות ל-2 הספרות האחרונות של 13, ויש להרכיב את הטבלה של השאר בנפרד.
| תוֹאַר | ||||||||||
| איקס 2 | ||||||||||
| איקס 3 | ||||||||||
| איקס 4 | ||||||||||
| איקס 5 | ||||||||||
| איקס 6 | ||||||||||
| איקס 7 | ||||||||||
| איקס 8 | ||||||||||
| איקס 9 | ||||||||||
| איקס 10 | ||||||||||
| איקס 11 | ||||||||||
| איקס 12 | ||||||||||
| איקס 13 | ||||||||||
| איקס 14 | ||||||||||
| איקס 15 | ||||||||||
| איקס 16 | ||||||||||
| איקס 17 | ||||||||||
| איקס 18 | ||||||||||
| איקס 20 | ||||||||||
| איקס 21 | ||||||||||
| איקס 22 | ||||||||||
| איקס 23 | ||||||||||
| חזור |
הטקסט של העבודה מוצב ללא תמונות ונוסחאות.
הגרסה המלאה של העבודה זמינה בלשונית "קבצי עבודה" בפורמט PDF
מבוא
« אז צריך ללמד מתמטיקה,
שהיא עושה סדר בראש"
M. V. Lomonosov
מילים אלו חושפות את מהותו של נושא המתמטיקה, שהרי היא זו שמלמדת אותנו קודם כל לחשוב, לנמק, לנתח, להסיק מסקנות, להסיק מסקנות ולסכם. מתמטיקה היא אחד המקצועות העיקריים בבית הספר, מכיוון שכל התכונות המפורטות נחוצות לא רק למתמטיקה, אלא גם לנציג של כל מדע אחר. מתמטיקה עוסקת בעיקר בפיתוח תכונות אלו. ישנן משימות מיוחדות המכוונות ליצירת מיומנויות אלו. בהכנות לתחרויות מתמטיות שונות, עמדה בפנינו משימה כזו "מה תהיה הספרה האחרונה של המספר?" במבט ראשון, משימה זו עשויה להיראות מסובכת למדי, והתחלתי לעבוד על החישובים ...
תוך כדי פתרון בעיה זו עלה הרעיון לחקור, ומה תהיה הספרה האחרונה של כל מספר טבעי במידה כלשהי, האם יש תבנית כלשהי כיצד משתנה הספרה האחרונה של המעלה של מספר טבעי?
מטרות עבודה
הכינו טבלת ייחוס "הספרות האחרונות של התואר", מצאו בהן תבניות, למדו כיצד לחשב את הספרות האחרונות של התארים.
הרלוונטיות של נושא המחקר נובעת מהצורך הדחוף למצוא אלגוריתמים מהירים לפתרון בעיות חשובות מעשית, ולפתח מיומנויות ספירה בעל פה.
2. הספרה האחרונה של התואר
בואו נגלה אם יש איזושהי חוקיות כיצד משתנה הספרה האחרונה של מספר, כאשר N, n הם מספרים טבעיים, עם שינוי במעריך n. בואו ניצור טבלה בשביל זה:
למען הבהירות, בואו נעשה טבלה שבה ייכתבו המספרים, שמסיימת את הרשומות של המספרים הטבעיים:
מילוי העמודות, נקבל את התוצאה הבאה: החמישית והתשיעית וכו', החזקה של המספר מסתיימת באותה ספרה כמו החזקה הראשונה של המספר; המעלה השישית, העשירית, הארבע-עשרה וכו', התואר מסתיימת באותה ספרה כמו המעלה השנייה של המספר; החזקה השביעית של מספר תסתיים באותה ספרה כמו החזקה השלישית של מספר.
3. דפוסי אקספונציה
התוצאות בטבלה חוזרות על עצמן כל ארבע עמודות.
לא נכתוב על המספרים 1 ו-10, כי התוצאה תמיד תהיה 1 או 0 בהתאמה.
כל חזקה של מספרים 5 ו-6 מסתיימת ב-5 ו-6, בהתאמה.
הספרות האחרונות בחזקות המספרים 4 ו-9 חוזרות על עצמן כל שני שלבים, כאשר מועלים לחזקה זוגית, הספרה האחרונה לא משתנה, היא תהיה 4 או 9, בהתאמה, כאשר מועלים לחזקה אי-זוגית, היא תשתנה ל-6 או 1, בהתאמה.
הריבוע של כל מספר טבעי יכול להסתיים ב-0, 1.4, 5, 6 ו-9,
הקובייה של מספר טבעי יכולה להסתיים בכל ספרה
בעזרת התוצאות שהתקבלו, ננסה למצוא את הספרות האחרונות של התואר על ידי שאר חלקי המחוון שלה ב-4
|
24: 4=5(השאר 0) |
||
|
48:4=12(שארית 0) |
||
|
2016:4=504(שארית0) |
||
|
28:4=7(שארית0) |
אם היתרה היא 0 והבסיס הוא אי זוגי, אז המספר יסתיים ב-1 (למעט מספרים המסתיימים ב-5), אם הבסיס הוא זוגי (למעט מספרים עגולים), אז המספרים יסתיימו ב-6.
כעת נבחר מספרים כאלה שכאשר מחלקים את המעריך ב-4, הם יתנו לשאר 1, 2, 3
|
45:4=11 (שארית 1) |
||
|
37:4=9 (שארית 1) |
||
|
18:4=4 (שארית 2) |
||
|
102:4=25 (שארית 2) |
||
|
31:4=7(שארית3) |
||
|
1199:4=299(שארית3) |
אם היתרה היא 1, אז הספרה האחרונה של התואר תהיה שווה לספרה האחרונה בבסיס התואר;
אם היתרה היא 2, אז הספרה האחרונה של התואר תהיה שווה לספרה האחרונה בריבוע הבסיס;
אם היתרה היא 3, אז הספרה האחרונה של התואר תהיה שווה לספרה האחרונה ברישום קוביית הבסיס.
אז כדי למצוא את הספרה האחרונה בחזקת מספר טבעי עם מעריך טבעי, עליך למצוא את יתרת חלוקת המעריך ב-4.
הספרות האחרונות בחזקות המספרים 2, 12, 22 וכו' (3, 13, 23 וכו') וכו' יתאימו.
4. שתי ספרות אחרונות של התואר
אנו רואים שהספרה האחרונה תחזור על עצמה במוקדם או במאוחר, אבל מה לגבי הספרה השנייה והשלישית האחרונה? כנראה שגם הם יחזרו על כך. לשם הבהירות, נערוך טבלה שבה ייכתבו שתי ספרות שמסיימות את הרשומות של המספרים הטבעיים:
בהסתכלות על הטבלה, אנו מבחינים שגם שתי הספרות האחרונות חוזרות על עצמן, רק תקופת החזרות גדלה, בנוסף, עבור מספרים מסוימים, ה-1 אינו נכלל בתקופה, למשל:
אבל החל ממעלות 21 עד 40, שתי הספרות האחרונות יחזרו על עצמן.
הספרות האחרונות של המספרים 3,13 ו-8 יחזרו גם הם עם נקודה של 20, אבל שתי הספרות האחרונות של המספרים 3 ו-13 לא יתאימו, שתי הספרות האחרונות לחזקות של מספרים 4 ו-14 לא יתאימו וכו'. .
הספרות האחרונות של הספרות 4 ו-9 יחזרו על עצמן עם נקודה של 10, הספרות האחרונות של המספר 6 יחזרו עם נקודה של 5, אך המספר 6 אינו נכלל בתקופה, הספרות האחרונות של ה- מספר 7 יחזור על עצמו עם נקודה של - 4. כל חזקה של המספר 5 (החל מ-2 - הו) ו-25 יסתיים ב-25, והמספר 15 במידה זוגית יסתיים ב-25, ובחזקה אי-זוגית ב-75. גם התקופה של המספרים 11 תהיה שווה ל-10, אבל יש כאן דפוס נוסף:
עבור המספר 11 בחזקת - מספר העשרות יהיה שווה למעריך
עבור המספר 21 - הנקודה היא 4, ומספר העשרות יהיה שווה למספר המתקבל אם המספר 2 מוכפל במעריך
5. מסקנה
לא קשה לקבוע את הספרה האחרונה של המדרגה של מספר, הידור בקלות אלגוריתם, עבור שתי הספרות האחרונות של המדרגה של מספר כבר אי אפשר להרכיב אלגוריתם כזה, יש תבניות, אבל יש פחות שלהם. אני חושב שזה לא הגיוני להרכיב טבלה עם שלוש הספרות האחרונות - זה לא רציונלי.
עשינו עבודה רבה: ריכזנו טבלאות לשתי הספרות האחרונות והאחרונות של התארים וקיבלנו מסקנות מעניינות מנקודת המבט שלנו. ניתן להשתמש בתוצאות העבודה בשיעורי חוג מתמטי וקורסי בחירה בכיתות ה'-ז' לפיתוח עניין התלמידים במתמטיקה וכן לעבודה פרטנית עם אותם תלמידים המתעניינים במתמטיקה. בנוסף, ניתן להשתמש בממצאים אלו כהכנה לאולימפיאדות ותחרויות שונות. בנוסף, תהליך המחקר עצמו אפשר לנו שוב להשתכנע ביכולות שלנו.
6. משימות
קבע את הספרה האחרונה בהזנת המספר (תשובה 8)
מצא את הספרה האחרונה של 2017 בחזקת 4207. (תשובה 3)
מצא את הספרה האחרונה של המספר 12^39+13^41 .
(8+3=11, הספרה האחרונה היא 1)
מצא את הספרה האחרונה של סכום החזקה של 2 עם מעריכים שווים ל-32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 הספרה האחרונה היא 6)
ספר השיאים של גינס אומר שהמספר הראשוני הגדול ביותר הידוע הוא (− 1). האם זו לא טעות הקלדה?
(טעות הדפסה. המספר 23021 337 מסתיים באחד. לכן, הספרה האחרונה של המספר (23021 337 − 1) היא 0, כלומר מספר זה מתחלק ב-10 ולכן מורכב.)
האם המספר + מתחלק ב-10?
(המספר 4730 מסתיים ב-9, והמספר 3950 מסתיים ב-1. אז הסכום שלהם מסתיים ב-0 ולכן מתחלק ב-10).
מצא את הספרה האחרונה של המספר. מעלות נספרים מלמעלה למטה: =
שתי הספרות האחרונות של 77 יוצרות את המספר 43 (ניתן לחשב זאת ישירות על ידי ביטול כל הספרות מלבד שתי הספרות האחרונות של התוצאה עם כל כפל). המשמעות היא שהמספר 7 7 מתחלק ב-4 עם שארית של 3. החזקות של השבע יכולות להסתיים ב-7, 9, 3 או 1 (בהתאם לשארית המעריך חלקי 4). במקרה שלנו, 43 מתחלק ב-4 עם שארית של 3, כלומר 7 7 מתחלק גם ב-4 עם שארית של 3 (לפי קריטריון ההתחלקות ב-4). ולכל המעלות של השבע, שהאינדיקטורים שלהם מתחלקים ב-4 עם שארית של 3, הספרה האחרונה היא 3).
מצא את 2 הספרות האחרונות של המספר 8 1989.
בטבלת 2 הספרות האחרונות, למספר 8 יש תקופה של 20, (1989:20=99 השאר הוא 9, המספר 8 בחזקת 9 מסתיימת ב-28, 2 הספרות האחרונות של המספר 8 1989 - 28).
בבדיקת הצביעה מחדש, הזיקית הצעירה נצבעת בתורה מאדום -> לצהוב -> ירוק -> כחול -> סגול -> אדום -> צהוב -> ירוק וכו'. הוא צבע מחדש 2010 פעמים והחל באדום הוא הפך לכחול בסוף, אבל ידוע שהוא עשה טעות, הסמיק ברגע שהיה צריך לרכוש צבע אחר. איזה צבע היה לפני הסומק הזה?
(שימו לב שכאן תקופת החזרה על הצבע היא 5. הצבע האדום יופיע במספרים המסתיימים ב-0 ו-5. זה אומר שהוא היה צריך לסיים שוב על אדום. לכן, כדי למצוא את השגיאה, נעבור ישר אל הצביעה מחדש של 2005. עכשיו פשוט נספור בתורו מחליפים צבעים עד 2010. מיד רואים שהוא עשה טעות, נניח אחרי צהוב, ואז יוצא 2005-אדום, 2006 - צהוב 2007- שוב אדום (זו הטעות שלו ), 2008 - צהוב, 2009 - ירוק, 2010 - כחול, לפני שהזיקית המאדימה הלא נכונה הייתה צהובה).
עכשיו השעון הוא 10:00. באיזו שעה הם יופיעו בעוד 102938475 שעות?
(לשעון יש תקופת חזרה של 24, אז המספר 102938475 מחולק ב-24 = 4289103.12... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. אז הזמן שהשעון יראה אחרי 102938403 שעות הוא 102938403 שעות אחרי 102938475 השעון יראה 13:00).
11. הוכח שהמספר הוא כפולה של 2.
12. הוכיחו ש-1 הוא כפולה של 5 (אם n טבעי).
13. האם זה נכון ש-1.6*(-1) הוא מספר שלם עבור כל n (טבעי). 14. איזו ספרה מסתיימת במכפלת כל המספרים הדו ספרתיים שכל אחד מהם מסתיים ב-7?
7. ספרות משומשת
1. "כל המשימות של" קנגורו "1994-2008 - סנט פטרסבורג, 2008.
2. “משימות הכנה לאולימפיאדות. מתמטיקה כיתות ה'-ח' קומפ. N.V. זבולוטנב. - וולגוגרד: מורה, 2007.- 99s.
3. ליכתרניקוב ל.מ. חידות היגיון משעשעות. (עבור תלמידי בית ספר יסודי) עיצוב מאת S. Grigoriev - St. Petersburg: Lan, MIK, 1996.- 125p.
4. L.M. Lopovok 1000 בעיות בעייתיות במתמטיקה. ספר לסטודנטים מוסקבה: הארה, 1995
5. פיצ'ורין ל.פ. מאחורי דפי ספר הלימוד באלגברה: ספר לתלמידי כיתות ז'-ט'. בית ספר תיכון - מ.: חינוך, 1990. - 224 עמ': ill.
6. צ'ולקוב P.V. מתמטיקה. אולימפיאדות בית הספר: מדריך. כיתה 5 / P.V. Chulkov.- M.: Publishing of NTs ENAS, 2007.- 88s. (תיק המורה).
7. שובא מ.יו. משימות משעשעות בהוראת מתמטיקה: ספר למורה. - מהדורה 2-מ': נאורות, 1995.- 22s.