מחשבון מקוון.
הערכת ביטוי עם שברים מספריים.
כפל, חיסור, חילוק, חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים.
עם המחשבון המקוון הזה אתה יכול להכפיל, להחסיר, לחלק, להוסיף ולצמצם שברים מספריים עם מכנים שונים.
התוכנית פועלת עם שברים מספריים נכונים, לא תקינים ומעורבים.
תוכנית זו (מחשבון מקוון) יכולה:
- הוסף שברים מעורבים עם מכנים שונים
- הורידו שברים מעורבים בעלי מכנים שונים
- מחלקים שברים מעורבים עם מכנים שונים
- הכפל שברים מעורבים עם מכנים שונים
- להביא שברים למכנה משותף
- המרת שברים מעורבים לשברים לא תקינים
- להפחית שברים
אתה יכול גם להזין לא ביטוי עם שברים, אלא שבר בודד אחד.
במקרה זה, השבר יקטן והחלק השלם ייבחר מהתוצאה.
המחשבון המקוון לחישוב ביטויים עם שברים מספריים לא רק נותן את התשובה לבעיה, הוא נותן פתרון מפורט עם הסברים, כלומר. מציג את תהליך מציאת הפתרון.
תוכנית זו יכולה להיות שימושית עבור תלמידי תיכון כהכנה למבחנים ומבחנים, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, להורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרון מפורט.
כך תוכלו לערוך בעצמכם הכשרה ו/או הכשרה של אחיכם או אחיותיכם הקטנים, תוך עלייה ברמת ההשכלה בתחום המשימות לפתרון.
אם אינך מכיר את הכללים להזנת ביטויים עם שברים מספריים, אנו ממליצים לך להכיר אותם.
כללים להזנת ביטויים עם שברים מספריים
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.
המכנה לא יכול להיות שלילי.
בעת הזנת שבר מספרי, המונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
קלט: -2/3 + 7/5
תוצאה: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)
החלק השלם מופרד מהשבר באמצעות אמפרסנד: &
קלט: -1&2/3 * 5&8/3
תוצאה: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)
חלוקת שברים מוצגת עם נקודתיים: :
קלט: -9&37/12: -3&5/14
תוצאה: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
זכור שאתה לא יכול לחלק באפס!
ניתן להשתמש בסוגריים בעת הזנת ביטויים עם שברים מספריים.
קֶלֶט: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
תוצאה: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)
נמצא שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון משימה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.
יש להפעיל JavaScript כדי שהפתרון יופיע.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.
כי יש הרבה אנשים שרוצים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך עומדת בתור.
לאחר מספר שניות, הפתרון יופיע למטה.
חכה בבקשה שניה...
אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על זה בטופס המשוב .
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה הזן בשדות.
המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:
קצת תיאוריה.
שברים רגילים. חלוקה עם השארית
אם צריך לחלק 497 ב-4, אז כשמחלקים, נראה ש-497 לא מתחלק ב-4, כלומר. נשאר שאר החלוקה. במקרים כאלה, נאמר כך חלוקה עם השארית, והפתרון כתוב כך:
497: 4 = 124 (שארית אחת).
רכיבי החלוקה בצד שמאל של השוויון נקראים כמו בחלוקה ללא שארית: 497 - דיבידנד, 4 - מחיצה. התוצאה של חלוקה כאשר מחלקים עם שארית נקראת פרטי לא שלם. במקרה שלנו, המספר הזה הוא 124. ולבסוף, הרכיב האחרון, שאינו בחלוקה הרגילה, הוא היתרה. כשאין שארית, אומרים שמספר אחד מחולק באחר. ללא עקבות, או לחלוטין. הוא האמין כי עם חלוקה כזו, השאר הוא אפס. במקרה שלנו, היתרה היא 1.
השאר תמיד קטן מהמחלק.
אתה יכול לבדוק מתי מחלקים על ידי הכפלה. אם, למשל, יש שוויון 64: 32 = 2, אז ניתן לבצע את הבדיקה כך: 64 = 32 * 2.
לרוב במקרים בהם מתבצעת חלוקה עם שארית, נוח להשתמש בשוויון
a \u003d b * n + r,
כאשר a הוא הדיבידנד, b הוא המחלק, n הוא המנה החלקית, r הוא השארית.
ניתן לכתוב את מנת החלוקה של המספרים הטבעיים כשבר.
המונה של שבר הוא הדיבידנד, והמכנה הוא המחלק.
מכיוון שמונה השבר הוא הדיבידנד והמכנה הוא המחלק, מאמינים שקו של שבר פירושו פעולת החלוקה. לפעמים נוח לכתוב חלוקה כשבר מבלי להשתמש בסימן ":".
ניתן לכתוב את המנה של המספרים הטבעיים m ו-n כשבר \(\frac(m)(n) \), כאשר המונה m הוא הדיבידנד והמכנה n הוא המחלק:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
הכללים הבאים נכונים:
כדי לקבל שבר \(\frac(m)(n) \), צריך לחלק את היחידה ל-n חלקים שווים (מניות) ולקחת m חלקים כאלה.
כדי לקבל את השבר \(\frac(m)(n) \), צריך לחלק את המספר m במספר n.
כדי למצוא חלק משלם, צריך לחלק את המספר המתאים לשלם במכנה ולהכפיל את התוצאה במונה השבר שמבטא את החלק הזה.
כדי למצוא שלם בחלק שלו, צריך לחלק את המספר המתאים לחלק זה במונה ולהכפיל את התוצאה במכנה של השבר המבטא את החלק הזה.
אם גם המונה וגם המכנה של שבר מוכפלים באותו מספר (למעט אפס), ערך השבר לא ישתנה:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
אם גם המונה וגם המכנה של שבר מחולקים באותו מספר (למעט אפס), ערך השבר לא ישתנה:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
נכס זה נקרא תכונה בסיסית של שבר.
שתי הטרנספורמציות האחרונות נקראות הפחתת שבר.
אם שברים צריכים להיות מיוצגים כשברים עם אותו מכנה, אז פעולה כזו נקראת הפחתת שברים למכנה משותף.
שברים תקינים ולא תקינים. מספרים מעורבים
אתה כבר יודע שאפשר לקבל שבר על ידי חלוקת שלם לחלקים שווים ולקיחת כמה חלקים כאלה. לדוגמה, השבר \(\frac(3)(4) \) פירושו שלושה רבעים מאחד. ברבות מהבעיות בסעיף הקודם, נעשה שימוש בשברים לציון חלק משלם. השכל הישר מכתיב שהחלק תמיד צריך להיות קטן מהשלם, אבל מה לגבי שברים כמו \(\frac(5)(5) \) או \(\frac(8)(5) \)? ברור שזה כבר לא חלק מהיחידה. זו כנראה הסיבה לכך ששברים כאלה, שבהם המונה גדול או שווה למכנה, נקראים שברים לא תקינים. השברים הנותרים, כלומר, שברים שבהם המונה קטן מהמכנה, נקראים שברים נאותים.
כידוע, כל שבר רגיל, תקין וגם לא תקין, יכול להיחשב כתוצאה של חלוקת המונה במכנה. לכן, במתמטיקה, בניגוד לשפה הרגילה, המונח "שבר לא תקין" לא אומר שעשינו משהו לא בסדר, אלא רק שלשבר זה יש מונה הגדול או שווה למכנה שלו.
אם מספר מורכב מחלק שלם ושבר, אז כזה שברים נקראים מעורבים.
לדוגמה:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 הוא החלק השלם ו-\(\frac(2)(3) \) הוא החלק השבר.
אם המונה של השבר \(\frac(a)(b) \) מתחלק במספר טבעי n, אז כדי לחלק את השבר הזה ב-n, יש לחלק את המונה שלו במספר זה:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
אם המונה של השבר \(\frac(a)(b) \) אינו מתחלק במספר טבעי n, אז כדי לחלק את השבר הזה ב-n, צריך להכפיל את המכנה שלו במספר זה:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
שימו לב שהכלל השני תקף גם כאשר המונה מתחלק ב-n. לכן, נוכל להשתמש בו כאשר קשה במבט ראשון לקבוע אם המונה של שבר מתחלק ב-n או לא.
פעולות עם שברים. הוספת שברים.
עם מספרים שברים, כמו במספרים טבעיים, ניתן לבצע פעולות אריתמטיות. בואו נסתכל על הוספת שברים תחילה. קל להוסיף שברים עם אותם מכנים. מצא, למשל, את הסכום של \(\frac(2)(7) \) ו-\(\frac(3)(7) \). קל להבין ש-\(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
כדי להוסיף שברים עם אותם מכנים, אתה צריך להוסיף את המונים שלהם, ולהשאיר את המכנה זהה.
באמצעות אותיות, ניתן לכתוב את הכלל להוספת שברים עם אותם מכנים באופן הבא:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
אם ברצונך להוסיף שברים עם מכנים שונים, תחילה יש לצמצם אותם למכנה משותף. לדוגמה:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
עבור שברים, כמו גם עבור מספרים טבעיים, התכונות הקומוטטיביות והאסוציאטיביות של החיבור תקפות.
הוספת שברים מעורבים
הקלטות כגון \(2\frac(2)(3) \) נקראות שברים מעורבים. המספר 2 נקרא חלק שלםשבר מעורב, והמספר \(\frac(2)(3) \) הוא שלו חלק חלקי. הערך \(2\frac(2)(3) \) נקרא כך: "שניים ושני שלישים".
חלוקת המספר 8 במספר 3 נותנת שתי תשובות: \(\frac(8)(3) \) ו-\(2\frac(2)(3) \). הם מבטאים את אותו מספר חלקי, כלומר \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)
לפיכך, השבר הלא תקין \(\frac(8)(3) \) מיוצג כשבר מעורב \(2\frac(2)(3) \). במקרים כאלה אומרים את זה משבר לא תקין ייחד את המכלול.
חיסור של שברים (מספרים שברים)
החיסור של מספרים שבריים, כמו גם טבעיים, נקבע על בסיס פעולת החיבור: חיסור אחר ממספר אחד פירושו מציאת מספר שבחיבור לשני הוא נותן את הראשון. לדוגמה:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) מאז \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)
הכלל להפחתת שברים עם מכנים דומים דומה לכלל לחיבור שברים כאלה:
כדי למצוא את ההבדל בין שברים עם אותם מכנים, החסר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, והשאר את המכנה זהה.
באמצעות אותיות, כלל זה נכתב כך:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
כפל שברים
כדי להכפיל שבר בשבר, צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם ולכתוב את המכפלה הראשונה בתור המונה ואת השני בתור המכנה.
באמצעות אותיות, ניתן לכתוב את הכלל להכפלת שברים באופן הבא:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
באמצעות הכלל המנוסח אפשר להכפיל שבר במספר טבעי, בשבר מעורב וגם להכפיל שברים מעורבים. כדי לעשות זאת, עליך לכתוב מספר טבעי כשבר עם מכנה 1, שבר מעורב כשבר לא תקין.
יש לפשט את תוצאת הכפל (אם אפשר) על ידי הפחתת השבר והדגשת החלק השלם של השבר הלא תקין.
עבור שברים, כמו גם עבור מספרים טבעיים, התכונות הקומוטטיביות והאסוציאטיביות של הכפל תקפות, כמו גם התכונה החלוקה של הכפל ביחס לחיבור.
חלוקה של שברים
קח את השבר \(\frac(2)(3) \) ו"הפוך" אותו על ידי החלפת המונה והמכנה. נקבל את השבר \(\frac(3)(2) \). שבר זה נקרא לַהֲפוֹךשברים \(\frac(2)(3) \).
אם כעת "היפוך" את השבר \(\frac(3)(2) \), אז נקבל את השבר המקורי \(\frac(2)(3) \). לכן, שברים כגון \(\frac(2)(3) \) ו-\(\frac(3)(2) \) נקראים הפוכה הדדית.
לדוגמה, השברים \(\frac(6)(5) \) ו-\(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ו-\(\frac (18) )(7) \).
באמצעות אותיות, ניתן לכתוב שברים הפוכים הדדית באופן הבא: \(\frac(a)(b) \) ו-\(\frac(b)(a) \)
זה ברור ש המכפלה של שברים הדדיים הוא 1. לדוגמה: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
באמצעות שברים הדדיים, ניתן לצמצם את חלוקת השברים לכפל.
הכלל לחלוקת שבר בשבר:
כדי לחלק שבר אחד בשני, אתה צריך להכפיל את הדיבידנד בהדדיות של המחלק.
שברים הם מספרים רגילים, ניתן גם להוסיף ולגרע אותם. אבל בשל העובדה שיש להם מכנה, נדרשים כאן כללים מורכבים יותר מאשר עבור מספרים שלמים.
שקול את המקרה הפשוט ביותר, כאשר יש שני שברים עם אותם מכנים. לאחר מכן:
כדי להוסיף שברים עם אותם מכנים, הוסף את המונים שלהם והשאר את המכנה ללא שינוי.
כדי להחסיר שברים עם אותם מכנים, יש צורך להחסיר את המונה של השני מהמונה של השבר הראשון, ושוב להשאיר את המכנה ללא שינוי.
בתוך כל ביטוי, המכנים של השברים שווים. בהגדרה של חיבור וחיסור של שברים, אנו מקבלים:
כפי שאתה יכול לראות, שום דבר לא מסובך: פשוט הוסף או הוריד את המונים - וזהו.
אבל גם בפעולות פשוטות כאלה אנשים מצליחים לעשות טעויות. לרוב הם שוכחים שהמכנה לא משתנה. למשל, כשמוסיפים אותם, הם גם מתחילים להצטבר, וזה שגוי מיסודו.
להיפטר מההרגל הרע של הוספת מכנים זה די פשוט. נסה לעשות את אותו הדבר בעת חיסור. כתוצאה מכך, המכנה יהיה אפס, והשבר (פתאום!) יאבד את משמעותו.
לכן זכרו אחת ולתמיד: בחיבור ובחיסור המכנה לא משתנה!
כמו כן, אנשים רבים עושים טעויות כאשר מוסיפים מספר שברים שליליים. יש בלבול עם הסימנים: איפה לשים מינוס, ואיפה - פלוס.
גם בעיה זו קלה מאוד לפתרון. מספיק לזכור שתמיד אפשר להעביר את המינוס לפני סימן השבר למונה - ולהיפך. וכמובן, אל תשכח שני כללים פשוטים:
- פלוס פעמים מינוס נותן מינוס;
- שתי שליליות גורמות לחיוב.
בואו ננתח את כל זה בעזרת דוגמאות ספציפיות:
משימה. מצא את הערך של הביטוי:
במקרה הראשון, הכל פשוט, ובשני, נוסיף מינוסים למספרי השברים:
מה אם המכנים שונים
אתה לא יכול להוסיף ישירות שברים עם מכנים שונים. לפחות, השיטה הזו לא מוכרת לי. עם זאת, תמיד ניתן לשכתב את השברים המקוריים כך שהמכנים יהיו זהים.
ישנן דרכים רבות להמיר שברים. שלושה מהם נדונים בשיעור "הבאת שברים למכנה משותף", ולכן לא נתעכב עליהם כאן. בואו נסתכל על כמה דוגמאות:
משימה. מצא את הערך של הביטוי:
במקרה הראשון, אנו מביאים את השברים למכנה משותף בשיטת "הצלבה". בשני, נחפש את ה-LCM. שימו לב ש-6 = 2 3; 9 = 3 · 3. הגורמים האחרונים בהרחבות אלו שווים, והראשונים הם קופריים. לכן, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.
מה אם לשבר יש חלק שלם
אני יכול לרצות אותך: מכנים שונים של שברים הם לא הרוע הגדול ביותר. הרבה יותר שגיאות מתרחשות כאשר החלק כולו מודגש במונחי השבר.
כמובן, עבור שברים כאלה יש אלגוריתמי חיבור וחיסור משלהם, אבל הם די מסובכים ודורשים לימוד ארוך. עדיף להשתמש בתרשים הפשוט להלן:
- המר את כל השברים המכילים חלק שלם לבלתי תקין. אנו מקבלים מונחים רגילים (גם אם עם מכנים שונים), המחושבים לפי הכללים שנדונו לעיל;
- למעשה, חשב את הסכום או ההפרש של השברים המתקבלים. כתוצאה מכך, למעשה נמצא את התשובה;
- אם זה כל מה שנדרש במשימה, אנו מבצעים את הטרנספורמציה ההפוכה, כלומר. אנו נפטרים מהשבר הלא תקין, ומדגישים את החלק השלם שבו.
הכללים למעבר לשברים לא תקינים והדגשת החלק השלם מתוארים בפירוט בשיעור "מהו שבר מספרי". אם אתה לא זוכר, הקפד לחזור. דוגמאות:
משימה. מצא את הערך של הביטוי:
הכל פשוט כאן. המכנים בתוך כל ביטוי שווים, ולכן נותר להמיר את כל השברים לשברים לא תקינים ולספור. יש לנו:
כדי לפשט את החישובים, דילגתי על כמה שלבים ברורים בדוגמאות האחרונות.
הערה קטנה לשתי הדוגמאות האחרונות, שבהן מופחתים שברים עם חלק שלם מודגש. המינוס לפני השבר השני אומר שהשבר השלם הוא שנגרע, ולא רק את כל החלק שלו.
קרא שוב את המשפט הזה, הסתכל בדוגמאות וחשוב על זה. זה המקום שבו מתחילים עושים הרבה טעויות. הם אוהבים לתת משימות כאלה בעבודת בקרה. כמו כן, תפגשו אותם שוב ושוב במבחנים לשיעור זה, שיתפרסמו בקרוב.
תקציר: תכנית מחשוב כללית
לסיכום, אתן אלגוריתם כללי שיעזור לך למצוא את הסכום או ההפרש של שני שברים או יותר:
- אם חלק שלם מסומן בשברים אחד או יותר, המר את השברים האלה לשברים לא תקינים;
- הביאו את כל השברים למכנה משותף בכל דרך שנוחה לכם (אלא אם כן, כמובן, המהדרים של הבעיות עשו זאת);
- הוסף או הורד את המספרים המתקבלים לפי כללי החיבור וההפחתה של שברים בעלי אותם מכנים;
- הפחיתו את התוצאה במידת האפשר. אם התברר שהשבר אינו נכון, בחר את החלק כולו.
זכרו שעדיף להדגיש את כל החלק ממש בסוף המשימה, רגע לפני כתיבת התשובה.
המונה, וזה שבו הוא מחולק הוא המכנה.
כדי לכתוב שבר, תחילה כתוב את המונה שלו, ואז צייר קו אופקי מתחת למספר הזה, ורשום את המכנה מתחת לשורה. הקו האופקי המפריד בין המונה והמכנה נקרא פס שברים. לפעמים הוא מתואר כ"/" או "∕" אלכסוני. במקרה זה, המונה נכתב משמאל לשורה, והמכנה מימין. כך, למשל, השבר "שני שליש" ייכתב כ-2/3. לשם הבהירות, המונה כתוב בדרך כלל בראש השורה, והמכנה בתחתית, כלומר במקום 2/3, ניתן למצוא: ⅔.
כדי לחשב את המכפלה של שברים, תחילה הכפל את המונה של אחד שבריםלמונה אחר. כתוב את התוצאה למונה של החדש שברים. לאחר מכן תכפילו גם את המכנים. ציין את הערך הסופי בחדש שברים. למשל, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
כדי לחלק שבר אחד בשבר אחר, תחילה מכפילים את המונה של הראשון במכנה של השני. עשה את אותו הדבר עם השבר השני (המחלק). או, לפני ביצוע כל השלבים, תחילה "העיף" את המחלק, אם זה יותר נוח לך: המכנה צריך להיות במקום המונה. לאחר מכן מכפילים את המכנה של הדיבידנד במכנה החדש של המחלק ומכפילים את המונים. לדוגמה, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
מקורות:
- משימות בסיסיות לשברים
מספרים שברים מאפשרים לך לבטא את הערך המדויק של כמות בדרכים שונות. עם שברים, אתה יכול לבצע את אותן פעולות מתמטיות כמו עם מספרים שלמים: חיסור, חיבור, כפל וחילוק. ללמוד איך להחליט שברים, יש צורך לזכור כמה מהתכונות שלהם. הם תלויים בסוג שברים, נוכחות של חלק שלם, מכנה משותף. כמה פעולות אריתמטיות לאחר ביצוע דורשות הפחתה של החלק השברי של התוצאה.
אתה תצטרך
- - מחשבון
הוראה
הסתכלו היטב על המספרים. אם בין השברים יש מספרים עשרוניים ואי סדירים, לפעמים נוח יותר לבצע תחילה פעולות עם עשרונים, ולאחר מכן להמיר אותם לצורה הלא נכונה. אתה יכול לתרגם שבריםבצורה זו תחילה, כתיבת הערך אחרי הנקודה העשרונית במונה והכנסת 10 במכנה. במידת הצורך, צמצם את השבר על ידי חלוקת המספרים מעל ומטה במחלק אחד. שברים שבהם כל החלק בולט, מובילים לצורה הלא נכונה על ידי הכפלתה במכנה והוספת המונה לתוצאה. ערך זה יהפוך למונה החדש שברים. לחלץ את כל החלק מהשגוי בתחילה שברים, חלקו את המונה במכנה. כתוב את כל התוצאה מתוך שברים. ושאר החלוקה הופכת למונה החדש, המכנה שבריםבזמן שלא משתנה. עבור שברים עם חלק שלם, ניתן לבצע פעולות בנפרד, תחילה עבור המספר השלם ולאחר מכן עבור החלקים השברים. לדוגמה, ניתן לחשב את הסכום של 1 2/3 ו- 2 ¾:
- המרת שברים לצורה הלא נכונה:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- סיכום בנפרד של חלקים שלמים ושברים של מונחים:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
כתוב אותם מחדש דרך המפריד ":" והמשך בחלוקה הרגילה.
כדי לקבל את התוצאה הסופית, צמצם את השבר המתקבל על ידי חלוקת המונה והמכנה במספר שלם אחד, הגדול ביותר האפשרי במקרה זה. במקרה זה, חייבים להיות מספרים שלמים מעל ומתחת לקו.
הערה
אל תעשה חשבון עם שברים בעלי מכנים שונים. בחר מספר כזה שכאשר המונה והמכנה של כל שבר מוכפלים בו, כתוצאה מכך, המכנים של שני השברים שווים.
עצה שימושית
כאשר כותבים מספרים שברים, הדיבידנד נכתב מעל השורה. כמות זו מכונה מונה של שבר. מתחת לשורה נכתב המחלק, או המכנה, של השבר. לדוגמה, קילוגרם וחצי של אורז בצורת שבר ייכתב באופן הבא: 1 ½ ק"ג אורז. אם המכנה של שבר הוא 10, הוא נקרא שבר עשרוני. במקרה זה, המונה (דיבידנד) כתוב מימין לכל החלק המופרד בפסיק: 1.5 ק"ג אורז. לנוחות החישובים, שבר כזה תמיד יכול להיכתב בצורה הלא נכונה: 1 2/10 ק"ג תפוחי אדמה. כדי לפשט, אתה יכול להקטין את ערכי המונה והמכנה על ידי חלוקתם במספר שלם בודד. בדוגמה זו ניתן לחלק ב-2. התוצאה היא 1 1/5 ק"ג תפוחי אדמה. ודא שהמספרים שאתה הולך לעשות איתם חשבון הם באותה צורה.
כעת, לאחר שלמדנו כיצד להוסיף ולהכפיל שברים בודדים, אנו יכולים לשקול מבנים מורכבים יותר. לדוגמה, מה אם חיבור, חיסור וכפל של שברים מתרחשים בבעיה אחת?
קודם כל, אתה צריך להמיר את כל השברים לשברים לא תקינים. לאחר מכן אנו מבצעים ברצף את הפעולות הנדרשות - באותו סדר כמו עבור מספרים רגילים. כלומר:
- ראשית, מבצעים אקספוננציה - היפטר מכל הביטויים המכילים מעריכים;
- לאחר מכן - חילוק וכפל;
- השלב האחרון הוא חיבור וחיסור.
כמובן שאם יש סוגריים בביטוי, סדר הפעולות משתנה - יש להתייחס תחילה לכל מה שנמצא בתוך הסוגריים. וזכור לגבי שברים לא תקינים: עליך לבחור את כל החלק רק כאשר כל שאר הפעולות כבר הושלמו.
נתרגם את כל השברים מהביטוי הראשון לשברים לא תקינים, ולאחר מכן נבצע את הפעולות הבאות:
עכשיו בואו נמצא את הערך של הביטוי השני. אין שברים עם חלק שלם, אבל יש סוגריים, אז קודם כל מבצעים חיבור ורק אחר כך חלוקה. שימו לב ש-14 = 7 2. לאחר מכן:
לבסוף, שקול את הדוגמה השלישית. יש כאן סוגריים ותואר - עדיף לספור אותם בנפרד. בהינתן ש-9 = 3 3, יש לנו:
שימו לב לדוגמא האחרונה. כדי להעלות שבר לחזקה, עליך להעלות בנפרד את המונה לחזקה זו, ולחוד את המכנה.
אתה יכול להחליט אחרת. אם נזכור את הגדרת התואר, הבעיה תצטמצם לכפל הרגיל של שברים:
שברים מרובי קומות
עד כה, התייחסנו רק לשברים "טהורים", כאשר המונה והמכנה הם מספרים רגילים. זה תואם את ההגדרה של שבר מספרי שניתנה כבר בשיעור הראשון.
אבל מה אם אובייקט מורכב יותר ממוקם במונה או במכנה? למשל, שבר מספרי אחר? קונסטרוקציות כאלה מתרחשות לעתים קרובות למדי, במיוחד כאשר עובדים עם ביטויים ארוכים. הנה כמה דוגמאות:
יש רק כלל אחד לעבודה עם שברים מרובי קומות: עליך להיפטר מהם מיד. הסרת רצפות "נוספות" היא די פשוטה, אם אתה זוכר שסרגל השבר פירושו פעולת החלוקה הסטנדרטית. לכן, כל שבר יכול להיכתב מחדש באופן הבא:
באמצעות עובדה זו ובעקבות ההליך, נוכל בקלות לצמצם כל חלק רב קומות לשבר רגיל. תסתכל על הדוגמאות:
משימה. המר שברים מרובי קומות לשברים נפוצים:
בכל מקרה, אנו כותבים מחדש את השבר הראשי, ומחליפים את קו ההפרדה בסימן חלוקה. זכור גם שכל מספר שלם יכול להיות מיוצג כשבר עם מכנה של 1. כלומר, 12 = 12/1; 3 = 3/1. אנחנו מקבלים:
בדוגמה האחרונה, השברים הופחתו לפני הכפל הסופי.
הפרטים של עבודה עם שברים מרובי קומות
יש עדינות אחת בשברים מרובי קומות שתמיד חייבים לזכור, אחרת אתה יכול לקבל תשובה שגויה, גם אם כל החישובים היו נכונים. תסתכל:
- במונה יש מספר נפרד 7, ובמכנה - השבר 12/5;
- המונה הוא השבר 7/12, והמכנה הוא המספר היחיד 5.
אז, עבור רקורד אחד, קיבלנו שתי פרשנויות שונות לחלוטין. אם סופרים, גם התשובות יהיו שונות:
כדי להבטיח שהערך תמיד ייקרא באופן חד משמעי, השתמש בכלל פשוט: קו ההפרדה של השבר הראשי חייב להיות ארוך מהשורה המקוננת. רצוי מספר פעמים.
אם אתה פועל לפי כלל זה, יש לכתוב את השברים לעיל באופן הבא:
כן, זה כנראה מכוער ותופס יותר מדי מקום. אבל אתה תספור נכון. לבסוף, כמה דוגמאות שבהן באמת מתרחשים שברים מרובי רמות:
משימה. מצא ערכי ביטוי:
אז בואו נעבוד עם הדוגמה הראשונה. בואו נמיר את כל השברים לשברים לא תקינים, ואז נבצע את פעולות החיבור והחילוק:
בואו נעשה את אותו הדבר עם הדוגמה השנייה. המר את כל השברים לשברים לא תקינים ובצע את הפעולות הנדרשות. כדי לא לשעמם את הקורא, אשמיט כמה חישובים ברורים. יש לנו:
בשל העובדה שהמונה והמכנה של השברים העיקריים מכילים סכומים, הכלל לכתיבת שברים רב-קומות מתקיים באופן אוטומטי. כמו כן, בדוגמה האחרונה השארנו בכוונה את המספר 46/1 בצורה של שבר על מנת לבצע את החלוקה.
אני גם מציין שבשתי הדוגמאות, סרגל השבר בעצם מחליף את הסוגריים: קודם כל מצאנו את הסכום, ורק אחר כך - את המנה.
מישהו יגיד שהמעבר לשברים לא תקינים בדוגמה השנייה היה מיותר בעליל. אולי זה המצב. אבל כך אנחנו מבטחים את עצמנו מפני טעויות, כי בפעם הבאה הדוגמה עלולה להתברר כהרבה יותר מסובכת. בחרו בעצמכם מה יותר חשוב: מהירות או אמינות.
מאמר זה הוא מבט כללי על פעולות עם שברים. כאן אנו מנסחים ומצדיקים את כללי החיבור, החיסור, הכפל, החלוקה וההעלאה בחזקת שברים מהצורה הכללית A/B , כאשר A ו-B הם כמה מספרים, ביטויים מספריים או ביטויים עם משתנים. כרגיל, נספק לחומר דוגמאות מסבירות עם תיאורים מפורטים של פתרונות.
ניווט בדף.
כללים לביצוע פעולות עם שברים מספריים של צורה כללית
בואו נסכים ששברים מספריים כלליים הם שברים שבהם המונה ו/או המכנה יכולים להיות מיוצגים לא רק על ידי מספרים טבעיים, אלא גם על ידי מספרים אחרים או ביטויים מספריים. לשם הבהירות, הנה כמה דוגמאות לשברים כאלה: 
.
אנחנו יודעים את הכללים לפיהם . לפי אותם כללים, אתה יכול לבצע פעולות עם שברים של צורה כללית:
נימוק לכללים
כדי להצדיק את תקפות הכללים לביצוע פעולות עם שברים מספריים של צורה כללית, אפשר להתחיל מהנקודות הבאות:
- פס שבר הוא בעצם סימן חלוקה,
- חלוקה במספר שאינו אפס יכול להיחשב ככפל בהדדיות של המחלק (זה מסביר מיד את הכלל לחלוקת שברים),
- תכונות של פעולות עם מספרים ממשיים,
- וההבנה המוכללת שלה,
הם מאפשרים לך לבצע את התמורות הבאות שמצדיקות את הכללים לחיבור, חיסור שברים עם מכנים זהים ושונים, כמו גם את הכלל להכפלת שברים: 
דוגמאות
הבה ניתן דוגמאות לביצוע פעולה עם שברים של צורה כללית על פי הכללים שנלמדו בפסקה הקודמת. נניח מיד שבדרך כלל, לאחר ביצוע פעולות עם שברים, השבר המתקבל מצריך פישוט, ותהליך פישוט שבר לרוב קשה יותר מביצוע הפעולות הקודמות. לא נתעכב על פישוט השברים (התמורות המקבילות נדונות במאמר טרנספורמציה של שברים), כדי לא להסיח את דעתנו מהנושא שמעניין אותנו.
נתחיל בדוגמאות של חיבור והפחתה של שברים עם אותם מכנים. נתחיל בהוספת השברים ו- . ברור שהמכנים שווים. לפי הכלל המקביל, רושמים שבר שהמונה שלו שווה לסכום המונים של השברים המקוריים, ומשאירים את המכנה זהה, יש לנו . התוספת מתבצעת, נותר לפשט את השבר המתקבל: 
. כך, 
.
ניתן היה לבצע את ההחלטה בצורה אחרת: ראשית, לבצע את המעבר לשברים רגילים, ולאחר מכן לבצע חיבור. עם הגישה הזו, יש לנו 
.
כעת יש להחסיר מהשבר 
שבריר 
. המכנים של השברים שווים, לכן, אנו פועלים לפי הכלל להפחתת שברים עם אותם מכנים: 
נעבור לדוגמאות של חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים. כאן הקושי העיקרי טמון בהבאת השברים למכנה משותף. עבור שברים של צורה כללית, זהו נושא נרחב למדי, ננתח אותו בפירוט במאמר נפרד. הפחתת שברים למכנה משותף. לעת עתה, נצמצם את עצמנו לכמה המלצות כלליות, מכיוון שכרגע אנו מתעניינים יותר בטכניקה של ביצוע פעולות עם שברים.
באופן כללי, התהליך דומה לצמצום למכנה משותף של שברים רגילים. כלומר, המכנים מוצגים כמוצרים, ואז לוקחים את כל הגורמים מהמכנה של השבר הראשון ומוסיפים אליהם את הגורמים החסרים מהמכנה של השבר השני.
כאשר למכנים של השברים שנוספו או החסרים אין גורמים משותפים, אז זה הגיוני לקחת את המכפלה שלהם כמכנה משותף. בואו ניקח דוגמה.
נניח שאנחנו צריכים להוסיף שברים ו-1/2. כאן, כמכנה משותף, הגיוני לקחת את מכפלת המכנים של השברים המקוריים, כלומר. במקרה זה, הגורם הנוסף עבור השבר הראשון יהיה 2. לאחר הכפלת המונה והמכנה בו, השבר יקבל את הצורה . ולגבי השבר השני, הגורם הנוסף הוא הביטוי. בעזרתו, השבר 1/2 מצטמצם לצורה. נותר להוסיף את השברים המתקבלים עם אותם מכנים. להלן תקציר של הפתרון כולו: 
במקרה של שברים של צורה כללית, כבר לא מדברים על המכנה המשותף הפחות משותף, אליו מצטמצמים בדרך כלל שברים רגילים. למרות שבעניין זה עדיין רצוי לשאוף לקצת מינימליזם. בכך אנו רוצים לומר שאין צורך לקחת מיד את מכפלת המכנים של השברים המקוריים כמכנה משותף. לדוגמה, אין צורך כלל לקחת את המכנה המשותף של השברים והתוצר 
. כאן, כמכנה משותף, אנו יכולים לקחת .
אנו פונים לדוגמאות של כפל שברים של צורה כללית. הכפל את השברים ו. הכלל לביצוע פעולה זו אומר לנו לרשום שבר שהמונה שלו הוא מכפלה של המונים של השברים המקוריים, והמכנה הוא מכפלת המכנים. יש לנו 
. כאן, כמו במקרים רבים אחרים בעת הכפלת שברים, אתה יכול להקטין את השבר: 
.
הכלל לחלוקת שברים מאפשר לעבור מחילוק לכפל בהדדיות. כאן אתה צריך לזכור שכדי לקבל שבר הדדי של שבר נתון, אתה צריך להחליף את המונה והמכנה של השבר הזה. הנה דוגמה למעבר מחלוקת שברים כלליים לכפל: 
. נותר לבצע את הכפל ולפשט את השבר המתקבל (במידת הצורך, ראה את הטרנספורמציה של ביטויים לא רציונליים): 
לסיום המידע של פסקה זו, נזכיר שכל מספר או ביטוי מספרי יכולים להיות מיוצגים כשבר עם מכנה 1, לכן, חיבור, חיסור, כפל וחלוקה של מספר ושבר יכולים להיחשב כמבצעים את הפעולה המקבילה עם שברים, שלאחד מהם יש יחידה במכנה . למשל, החלפה בביטוי 
שורש של שלושה שברים, נמשיך מכפלת שבר במספר לכפל שני שברים: 
.
ביצוע פעולות עם שברים המכילים משתנים
הכללים מהחלק הראשון של מאמר זה חלים גם על ביצוע פעולות עם שברים המכילים משתנים. הבה נצדיק את הראשון שבהם - כלל החיבור והחיסור של שברים עם אותם מכנים, השאר מוכחים בדיוק באותו אופן.
הבה נוכיח שלכל ביטוי A, C ו-D (D זהה לא אפס) יש לנו את השוויון 
על טווח הערכים המקובלים שלו של המשתנים.
בואו ניקח כמה סט משתנים מ-ODZ. תן לביטויים A, C ו-D לקחת את הערכים a 0 , c 0 ו- d 0 עבור הערכים הללו של המשתנים. לאחר מכן החלפת ערכי המשתנים מהקבוצה שנבחרה בביטוי הופכת אותו לסכום (הפרש) של שברים מספריים עם אותם מכנים של הצורה , שלפי כלל החיבור (חיסור) של שברים מספריים עם אותם מכנים, שווה ל. אבל החלפת ערכי המשתנים מהקבוצה שנבחרה לביטוי הופכת אותו לאותו שבר. משמעות הדבר היא שעבור קבוצת ערכי המשתנים שנבחרו מה-ODZ, ערכי הביטויים ו- שווים. ברור שהערכים של הביטויים המצוינים יהיו שווים עבור כל סט אחר של ערכים של משתנים מה-ODZ, כלומר הביטויים ושווים באופן זהה, כלומר, השוויון המוכח נכון .
דוגמאות לחיבור וחיסור של שברים עם משתנים
כאשר המכנים של השברים שמוסיפים או גורעים זהים, אז הכל די פשוט - המונים מתווספים או גורעים, והמכנה נשאר זהה. ברור שהשבר המתקבל לאחר מכן מפושט אם יש צורך ואפשרי.
שימו לב שלפעמים המכנים של השברים שונים רק במבט ראשון, אבל למעשה הם ביטויים שווים זהים, כמו למשל, 
ו , או ו . ולפעמים מספיק לפשט את השברים הראשוניים כך ש"יופיעו" המכנים הזהים שלהם.
דוגמא.
, ב) 
, ב) 
.
פִּתָרוֹן.
א) עלינו להחסיר שברים עם אותם מכנים. לפי הכלל המקביל, נשאיר את המכנה זהה ונחסיר את המונים, יש לנו 
. בוצעה פעולה. אבל אתה עדיין יכול לפתוח את הסוגריים במונה ולהביא מונחים כמו: 
.
ב) ברור שהמכנים של השברים שנוספו זהים. לכן, אנו מוסיפים את המונים, ומשאירים את המכנה זהה: . הוספה הושלמה. אבל קל לראות שניתן להפחית את השבר המתקבל. ואכן, ניתן לצמצם את המונה של השבר המתקבל בריבוע הסכום כ-(lgx+2) 2 (ראה נוסחאות הכפל המקוצר), כך שמתבצעות התמורות הבאות: 
.
ג) שברים בסכום בעלי מכנים שונים. אבל, על ידי המרת אחד השברים, אתה יכול להמשיך להוספת שברים עם אותם מכנים. אנו מציגים שני פתרונות.
דרך ראשונה. ניתן לחשב את המכנה של השבר הראשון באמצעות נוסחת הפרש הריבועים, ולאחר מכן להפחית את השבר הזה: 
. בדרך זו, . זה לא מזיק להיפטר מחוסר היגיון במכנה של שבר: 
.
הדרך השנייה. הכפלת המונה והמכנה של השבר השני (ביטוי זה אינו נעלם עבור אף ערך של המשתנה x מה-DPV עבור הביטוי המקורי) מאפשר לך להשיג שתי מטרות בבת אחת: להיפטר מחוסר ההיגיון ולעבור להוספת שברים עם אותם מכנים. יש לנו 
תשובה:
א) 
, ב) 
, ב) 
.
הדוגמה האחרונה הביאה אותנו לשאלת הבאת השברים למכנה משותף. שם, כמעט בטעות הגענו לאותם מכנים, תוך פישוט אחד מהשברים שנוספו. אבל ברוב המקרים, כשמוסיפים ומחסורים שברים עם מכנים שונים, יש להביא את השברים בכוונה למכנה משותף. לשם כך, מכנים השברים מוצגים בדרך כלל כמוצרים, כל הגורמים נלקחים מהמכנה של השבר הראשון, ומוסיפים אליהם את הגורמים החסרים מהמכנה של השבר השני.
דוגמא.
בצע פעולות עם שברים: א) 
, ב) , ג) 
.
פִּתָרוֹן.
א) אין צורך לעשות דבר במכנה של השברים. כמכנה משותף, אנו לוקחים את המוצר 
. במקרה זה, הגורם הנוסף לשבר הראשון הוא הביטוי, ועבור השבר השני - המספר 3. גורמים נוספים אלו מביאים שברים למכנה משותף, מה שמאפשר לנו עוד יותר לבצע את הפעולה שאנו צריכים, יש לנו 
ב) בדוגמה זו, המכנים כבר מוצגים כמוצרים, ואין צורך בשינויים נוספים. ברור שהגורמים במכנים שונים רק במעריכים, לכן, כמכנה משותף, אנו לוקחים את המכפלה של הגורמים בעלי המעריכים הגדולים ביותר, כלומר, 
. אז הגורם הנוסף עבור השבר הראשון יהיה x 4, ועבור השני - ln(x+1) . כעת אנו מוכנים להחסיר שברים: 
ג) ובמקרה זה, לכתחילה, נעבוד עם מכנים של שברים. הנוסחאות של הפרש הריבועים וריבוע הסכום מאפשרות לעבור מהסכום המקורי לביטוי 
. כעת ברור שניתן לצמצם את השברים הללו למכנה משותף 
. בגישה זו, הפתרון ייראה כך: 
תשובה:
א) 
ב) 
ב) 
דוגמאות להכפלת שברים עם משתנים
כפל שברים נותן שבר שהמונה שלו הוא מכפלת המונים של השברים המקוריים, והמכנה הוא מכפלת המכנים. כאן, כפי שניתן לראות, הכל מוכר ופשוט, ואפשר רק להוסיף שהשבר המתקבל כתוצאה מפעולה זו מצטמצם לרוב. במקרים אלו היא מצטמצמת, אלא אם כן, כמובן, יש צורך ומוצדק.